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专业课习题解析课程西安电子科技大学844信号与系统专业课习题解析课程第1讲第一章信号与系统（一）专业课习题解析课程第2讲第一章信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
《线性系统理论基础》复习提纲第1章线性系统的状态空间描述1、基本概念状态（向量）状态空间状态轨迹状态空间模型（表示）状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构（方框）图线性系统时不变（定常）系统、时变系统连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵 传递函数矩阵2、知识要点%%知识点1：根据物理规律建立状态空间模型♦ 简单机械系统 ♦简单电气系统参考例题：例2.1.1，例2.1.2（P8）%%知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型♦微分方程中不含输入导数项给定 ()(1)110n n n y a ya y a y bu --++++=&L ，选取状态向量12(1)n n x y x y x y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&M M ， 则有状态方程： 1122011010010n n n x x x x u x a a a x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M M&L输出方程： []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x y M Λ21001 例2.1.3 (注意：方框图在没有要求时可以不画出) ♦微分方程中包含输入函数导数项，且m n <给定()(1)()(1)110110n n m m n m m ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，m n <,将其转化为()(1)110()(1)110n n n m m m m y a y a y a y u y b yb y b y b y ----⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩&%%%%L &%%%%L ，选取状态向量12(1)n n x yx y x y-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%&%M M %，则有状态方程 120110100101n n x x u x a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&M O M M &L 输出方程 12011[,,,,0,,0]m n m n x x y b b b x --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L 123M例2.1.4 ♦ 微分方程中包含输入函数导数项，且n m =若()(1)()(1)110110n n n n n n n ya y a y a yb u b u b u b u ----++++=++++&&L L ，让n y y b u =-%，则转化为如下微分方程的形式()(1)(1)(1)110111100()()()n n n n n n n n n y a y a y a y b a b u b a b u b a b u -----++++=-++-+-%%%%&L L 。
6 XI 给定图P2.12)和＜b)所示两个电路，试列写出其状态方S 和输出方程。
其中, 分别指定：⑹状态变组廿二叱•勺输入变M « = ef(r):输出支量尹=/(b)状态变宣组X 严气，输入变S“y(O；输出变量丿■“CP2 1解 本题A 于由物理系统養立状态令问描述的基本题，意在训练正磧和熟塚运用电 路定律列写岀电路的状态方程和输出方程•(1)列写P2・l(a)电路的状态方程和输山方程。
首先.考虎到电容C 和电感E 为给定 电路中仅有的两个储能元件•电容端电压弋和流经电感电流了构成此电路的线性无关极 人变*组，从而透取状态变*组州=%:和巧=i 符合定义要求。
基此，利用电路元件关 系式和回路基尔《夫定律，定出电路方程为C 虬r dr L —+= e再由上述电路方程导出状态变量陀和i 的导》项，可得到状态变査方程规范形式， 血C I •—=—(tU C d/ 1 心 1 d/L c L L表%=3山和dW/dn 并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程:继而.按约定输出y = A 可直接得到此电路的输出方程:(b)列写P2.i(b)电路的状态方程和«ta 方程•类似地.考虑到电容C ］和C2为给定电 路中仅有的两个储能元件，电容端电压乜和七构成此电路的线性无关极大变fi 组，选 取状态变量组二叱和可二叱2符合定义要求，基此，利用电路元件关系式和回路基尔 霍夫定定出电路方程为dur GRpM 叱+叱之71RZ,皿6再由上述电路方程导出状态变量叱和叱的导数项，可得到状态变量方程规范形式: % 1 I 1少GR q GR 5 C,Kdr 表M 也C| /曲和 MqI方程：继而，按约定输出y =坯，可由电路导出：尸叱=%+七 将其表为向*方程，就得萸i 此电路的皴出方程，八不叱~孫"6 +丽e并将上述方程组表为向量方程，就得封此电路的状态K2.6求出下列^输入输出描述的一个状态空同描述： (i) 施)二 2^2 十 18$+40u(s)『+ 6“ +11S+6 (ii) 型十妙⑴_u(j) (g + 3)2(zl)解本®属于由传递函数型输入输出描述导出狀态空间描述的基本fi 。
1.7 证明：())()det(det )det(det )(det )det()det()(1111λλλλλλλA B A I T A I T T A I T AT T I B I AT T B B A ∆=-=⋅-⋅-=-=-=∆⇒=----相似，与设= 又因为特征值为特征方程()0λ∆=的根，故特征值也相同。
1.11 解：可以参照课本P18的例题1.12（1）,3,2,1)3)(2)(1()(,300020104132111===⇒---=∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλA A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==Λ∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒=--3211000105411050140010)(1113211Q A Q Q q q q q A I ，，由λ（4）,2,1,1)2)(1)(1()(4344111432124==-==⇒-+-=∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--λλλλλλλA ，1241243111111()0,111122,()012,12,4822 2.P I A q q q u I A q q u λλλλλξλλη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==--=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==-=⎡⎤⎢⎥⎢⎥==<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦===对于，，由对于的特征值，其代数重数 由计算其对应的特征向量计算出一个特征向量，即几何重数个数小于代数重数，即标准型中存在一个对应的约当块，约当块的阶数即的指数可以利用[]4443434123414418 1.682,()001110111121,,44114412121181211212q I A q q q c q q Q q q q q Q A Q λλ-=-=⇒⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥∴Λ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦的式计算的广义特征向量由取1.12 证明：12n 222112n n 1n-1n-112n 21n 121n 1221n n 1n-3n-3221n 21n-22n-2n-2221n n 1111(1110()()0()()(0()()λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦后一行减去前一行的倍）n-221n n 123n 2131n 1n-2n-2n-223n j i 1i j n)()111()()()()()λλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-∏同理2.6 解：(d) 令24231211y x y x yx y x ====，，，，则状态空间方程为： u m m k m k m k mk ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0010020100000200112211x xx y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010*******y y (e) 令yx y x ==21，，则状态空间方程为： u e e t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-10102x x[]x y 01= 2.7 解：(c)非线性方程： ⎩⎨⎧==21221u-x xx x[]x y 01= (d) 设⎪⎩⎪⎨⎧+=⇒=+⋅++-=⇒=+⋅+ux sx x u)(x s u x x sx x s )x (u 333221122121112，则状态空间方程可为：u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=310312x x[]x y 01= 另法：先求出传递函数2323s G(s)s s +=+-，按2.6（b ）方法求解。
《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。
第一章 数学基础1、加法不变性：R(S)中存在零元0，使得对()()S R s f ∈∀，都有()()s f s f =+0成立。
乘法不变性：R(S)中存在单位元1，使得对()()S R s f ∈∀，都有()()()s f s f s f =⋅=⋅11成立。
2、反证法证明：(1)加法不变性的唯一性假设在域F 中，存在0和0’，0≠0’，..t s αααα=+=+'0,0,对F ∈∀α成立。
以α+0=α为例，取α=0’，则0’+0=0’ 因为0’为零元，所以0’+0=0 所以0’=0，与假设矛盾。
（2）乘法不变性的唯一性假设在域F 中，存在1和1’，'11≠，..t s αααααα=⋅=⋅=⋅=⋅'1'1,11,对F ∈∀α成立。
以ααα=⋅=⋅11为例，取'1=α，则有'1'111'1=⋅=⋅ '1为单位元1'111'1=⋅=⋅∴'11=∴ 与假设矛盾3、试用反例证明你对下列问题的回答域交换环 环 []R s 是是 是 n n R *是是 元素[]R s ∈的对角矩阵是是 是 []p R s 是 是 是[]n np R s *是是其中：()p R s 是元素为常态的实有理分式（当s →∞，()R s 有界）；()n n p R s ⨯是元素属于()p R s 的n n ⨯矩阵证明：⑴[]R s 不是域。
如 ()1f +=s s ，显然()[]s R s f ∉-1。
（2）n nR* 不是交换环。
如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010α，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0101β，显然22⨯∈R βα、。
但是βααβ≠。
（3）不是域。
如⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=0001s α，1-α不存在。
（4）()p R s 不是域。
如∈+=1s 1α()p R s ，1-α=s+1.∞→∞→-1α时，s , 所以1-α∉()p R s 。
第2章一、状态空间描述的建立1． (由系统机理建立状态空间描述) 如图电路，写出系统的状态方程和输出方程。
选择状态变量x =u c ，输入变量u = e (t )，输出变量y = u c 。
解：如图电路，写出系统的状态方程和输出方程。
选择状态变量x =u c ，输入变量u = e (t )，输出变量y = u c 。
解：11c c du e u R C ,x x u ,y xdt RC RC=+⋅=-+=2．(由输入输出描述建立状态空间描述)系统的传递函数如下，求系统的状态空间描述41265)(232+++++=s s s s s s G解：可控标准形， []x 115100x 6124100010x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=y u ； ； 或可观标准形， []x 100115x 6101201400x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=y u ； 3．例2.3 给定单输入单输出线性定常系统的输入输出描述为3324160720()16194640s s G s s s s ++=+++ 试求系统的状态空间表达式。
解：此例中3m n ==。
由长除法得3232324160720646161840()41619464016194640s s s s G s s s s s s s ++---==+++++++则系统的状态空间表达式为e(t)u c[][]112233123010000106401941611840616644x x x x u x x x y x u x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦4．例2.2：已知二阶系统的微分方程22yy y T u u ξωω++=+ 试求系统的状态空间表达式。
解：可控规范形实现为：[]1112222010121c c c c c c xx x u y T x x x ωξω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 则可观测规范形实现为：[]2111222100112o o o o o o x x x u y x x x T ωξω⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ；二、传递函数矩阵的计算1．系统的状态空间描述如下，求系统的传递函数矩阵G (s )，u 10x 5261x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= ；x 0210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--1217611052610210)I ()(211s s s s s B A s C s G 。
给定图P2.1(町和(b)所示两个电路，试列写岀其状态方程和输出方程。
其中, 分別指定：⑹状态变II组廿二陀・输入变量“ = 输出变畳尸=f(b)状态变量组齐= u c2 >输入变量输出变量y =(a) O)图P21解本题属于由物理系统尊立状态令间描述的基本题.意在训练正确和熟练运用电路定律列写出电路的状态方程和输出方程。
W列写P2.1(a)电路的状态方程和输川方程。
首先.考虑到电容C和电感I为给定电路中仅有的两个储能元件，电容端电压弋和流经电感电流/构成此电路的线性无关极人变裁组.从而选取状态变量组召=陀和勺符合定义耍求o基此，利用电路元件关系式利回路基尔霍夫定律.定出电路方程为cS d/再由上述电路方程导出状态变量陀和i的导数项..可得到状态变屋方程规范形式,dx 1 & 1丁二一"V u c —匸t + ~e d/ L c L L表u c x<to c/d/和i = d//dn并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程:继而，按约定输出y =几可直接得到此电路的输出方程：”[0 1卄(b)列写P2.1(b)电路的状态方程和輸出方程。
类似地，考虔到电容C]和C?为给定电路中仅有的两个储能元件，电容端电压呵和叱构成此电路的线性无关极大妾量组，选取状态变量组刁二呵和帀二叱2符合定义要求丿基此，利用电路元件关系式和回路基尔霍夫定律，定出电路方程为du cC&才4匕+七=€++M Q =€再由上述电路方程导出状态变最叱和叱:的导数项，可得到状态变量方程规范形式:表％二血c/击和击，并将上述方程组表为向最方程，就得到此电路的状态方程:继而，按约定输出y讥，可由电路导出:尸％% +七将其表为向量方程，就得到此电路的输出方程！T 1］卜融2・6求岀下列各输入输出描述的一个状态空树描述：⑴笳)—2?十18$+如1 i(s) ?+6?+11J 4-6(ii) 叫 n龜)(g+3)2(zl)解本题属于由传递函数型输入输出描述导出状态空间描述的基本题。
【关键字】理论1-1 证明：由矩阵可知A的特征多项式为若是A的特征值，则所以是属于的特征向量。
1-7 解：由于，可知当时，，所以系统不具有因果性。
又由于，所以系统是时不变的。
1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。
由于而，故，所以系统是时变的。
又因为而，故，所以系统具有因果性。
1-11 解：由题设可知，随变化的图如下所示。
随变化的图如下所示。
从上述两图及所描述的系统，分析如下：当，且即时，有；当时，；当时，有；当时，有；当时，有；综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为：1-15 解：由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：，所以即其基本矩阵为；状态转移矩阵为：1-17 证明：由题设我们可知故，得证。
1-19 证明：由题设可知：由上式可推出又由及习题1-17的结论可推出由以上两个结论，我们可得到 所以得证。
即 得证。
1-20 解：设其等价变换为，则可知: 由于P 是非奇异矩阵，所以。
1-24 解：易知，其中为严格真有理函数矩阵，进行下列计算： ，则所以因此，可得一个实现如下： 其模拟图如下所示。
1-25 证明：由题设知同理可知若要使得两系统零状态等价，则要满足，即满足 ，得证。
2-2 解： a,由题设可知：[]315 1 7- 1 1 1-7- 1 1 1- 1 0 1 1- 10 0 1 B A AB B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rank rank ，所以系统可控； 30 2 2 8- 14- 8-1- 3- 2-4 4 2 1 2 1 1- 10 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rank CA CA C rank ，所以系统可观。
b,[]x c c c y u x x 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•由题设可知：[]30 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 A B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==rank B rank rankB ，所以系统可控； （1）若0321===c c c ，则系统不可观；（2）若321c c c ，，中至少有一个不等于零，则3 2 CA CA C 321132113212≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c c c c c rank rank ，所以系统不可观； 总之，该系统不可观。
