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线性系统理论第1章绪论

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线性系统理论 第一章

线性系统理论 第一章

证明：(t, s) A(t) A(t)
t
A(e)de
s
t
A(t)( s A(e)de )
A(t)(t, s)
证毕。
对于时候 t1 和 t2 ，若 A(t) 满足条件 A(t1) A(t2 ) A(t2 ) A(t1)
时，状态转移矩阵可写(
)d
t A( )d 1 ( t A( )d )2 1 ( t A( )d )3
s
2! s
3! s
12
定理1.3：设 K 为某个正常数，如果对所有的 t 有 A(t) K ， 则对所有的 t 和 s 有
(t, s) expK t s
证明：设 s 固定且 t>s，因为 (s, s) 且
(t, s) A(t)(t, s)
将上式从 s 到 t 积分，得
t
(t, s) s A( )( , s)d
(t, )B( )ud
时t0 由初始状态 x(t0
)
(1-7) 引起的效应，称为
零输入响应；第二项是当系统初态 x(t0 ) 0 时由输入 u 引起
的效应，称为零状态响应。
由(1-5)、(1-7)可知要求得系统的运动轨迹，关键是求出 系统的状态转移矩阵。对于一般的时变系统，这是一件困难 的事情，大多只能依靠数值解法。
若 A,B,C,D 为常数，则称系统为定常系统，记为（A,B,C,D）
6
x1
x
x2
xn
y1
y
y2
ym
x X 状态空间
u U 输入空间
y Y 输出空间
t T 时间集
u1
u
u2
ur
7
D
u
x

线性系统理论-1a

线性系统理论-1a

线性系统理论第一章概论读书即未成名究竟人品高雅修德不期获报自然梦稳心安切实功夫须从难处做去真正学问都自苦中得来本课程的目的：•学习线性系统的描述方法及运动特性；•研究线性系统能控性和能观性；•研究线性系统标准形；•分析系统的稳定性；•研究与设计线性系统的反馈控制器；•了解线性系统理论研究的前沿教学要求及目的•掌握线性系统的分析与控制系统设计方法。

•了解关于线性系统理论的当前科研前沿领域。

•灵活利用所学知识，完成控制系统分析与设计。

课程主要内容•线性系统的数学描述•线性系统运动分析•离散时间系统•线性系统稳定性分析•线性系统的能控性与能观测性•线性时变系统•极点配置•状态观测器与分离原理课程教材及主要参考书1）肖建，张友刚. 线性系统. 西南交通大学出版社，20112）郑大钟．线性系统理论（第2版）．清华大学出版社，20023）段广仁．线性系统理论．哈尔滨工业大学出版社，1996§1.1概论线性系统理论的研究对象系统是由相互关联和相互作用的若干部分按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。

动态系统（动力学系统），可用一组微分方程或差分方程描述。

线性系统：满足叠加原理的动态系统)()()(22112211u L c u L c u c u c L +=+⎩⎨⎧齐次性可加性•系统的研究方法——经验法——理论法：依据数学理论建模（对真实系统的抽象）建立数学描述分析设计•本课程的研究范围——对象：线性动态系统，数学模型已知——工具：数学•课程的主要任务•研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性与方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。

•系统分析——系统运动规律•综合问题——改变运动规律的可能性和方法历史回顾五十年代前，古典控制理论：频域法。

传递函数处理SISO系统。

五十年代中期，多变量控制理论兴起：原因：①计算机的出现②控制系统的要求，空间技术的发展状态空间方法五十年代末期，Kalman提出状态空间理论，用LQG技术设计，得出最优状态反馈定律。

【正式版】线性理论第一讲PPT

【正式版】线性理论第一讲PPT
企业：资源共享、因特网、信息集成 信息技术+控制技术 集成控制技术
网络控制 技术
计算机集成制造CIMS：（工厂自动化） Computer Integrated Manufacturing System
(2)现代控制理论 随着计算机技术、航空航天技术的迅速发展而发展 起来的。
研究对象：多输入、多输出系统，线性、定常或时 变、离散系统。
解决方法：状态空间法（时域方法）。 数学工具：线性代数、微分方程。
1965年，R.Bellman提出了寻求最优控制的动态规 划方法。
1958年，R.E.Kalman采用状态空间法分析系
与控制系统，如生产过程、交通运输、生物 是指规模庞大、结构复杂、变量众多的信息与控制系统，如生产过程、交通运输、生物工程、社会经济和空间技术等复杂系统。
（5) 系统动力学的高度复杂性 李雅普诺夫 稳定性理论
工程、社会经济和空间技术等复杂系统。
复杂系统的特点：
（1）动力学模型的不确定性
（2）测量信息的粗糙性和不完整性 1961年，庞特里亚金证明了最优控制中的极大值原理。
线性理论第一讲
第一章 绪论
控制理论发展概况 1.2 现代控制理论的主要特点 1.3 现代控制理论基本内容 1.4 本课程内容 教学计划安排
第一章 绪论
1.1 控制理论发展概况
控制论：1948年 数学家维纳《控制论》 1940——1950 经典控制理论 单机自动化 1960——1970 现代控制理论 机组自动化 1970——1980 大系统理论 控制管理综合 1980——1990 智能控制理论 智能自动化 1990——21c 集成控制理论 网络控制自动化
（5) 系统动力学的高度复杂性 （控4制）论离：散1层94次8年和连数续学层家次维的纳混《杂控性制论》

线性系统理论(第一章)

线性系统理论(第一章)

x1(k +1) 0.9696 0.0202 x1(k) x (k +1) = 0.0404 0.9898 x (k) , k = 0,1,2,L 2 2 7 x1(0) 10 x (0) = 7 2 9×10
016
向量方程的形式：
Y = g (x,u,t)
, t ≥ t0
008
第一章
Ø线性系统的状态空间描述为：
& = A (t ) x + B (t )u x t ≥ t0 y = C (t ) x + D (t )u
其中：
a11 (t ) L a1n (t ) A(t ) = M M an1 (t ) L ann (t )
线性系统。
017
第一章
& = A(t ) x + B (t )u x t ≥ t0 y = C (t ) x + D (t )u
D(t ) + B(t ) +
+ +
u
∫
A(t )
C (t )
y
018
第一章
若向量函数中 f 为变量
( x,u,t)
和
g ( x, u , t ) 至少包含一个元
其中： ai 和 b j 为实常数，i = 0 ,1, L , n
j = 0 ,1, L , n − 1
003
第一章
假定初始条件为零，取拉氏变换。 复频率域描述，即传递函数。
bn −1 s + L + b1 s + b0 G (s) = n n −1 s + a n − 1 s + L + a1 s + a 0

第一章 绪论-wyz

第一章 绪论-wyz
2012-5-19 10
主要研究对象: 主要研究对象 单输入单输出线性时不变系统 主要数学基础: 主要数学基础 傅里叶变换和拉普拉斯变换 基本数学模型: 基本数学模型 传递函数和频率响应 主要研究方法：频率响应法、根轨迹法 主要研究方法：频率响应法、 突出特点: 突出特点 物理概念清晰, 研究思路直观, 物理概念清晰 研究思路直观 方法简单实用 但难于有效处理多输入多输出线性系统的分析综合 难于揭示系统内部的更为深刻的特性 系统内部的更为深刻的特性. 难于揭示系统内部的更为深刻的特性
2012-5-19 11
现代线性系统理论 标志性成果： 标志性成果：
卡尔曼 (R. E. Kalman), 把状态空间描述引入到线性系统中，并在此 把状态空间描述引入到线性系统中， 基础上引入能控性和能观测性的概念。 基础上引入能控性和能观测性的概念。
主要研究对象: 主要研究对象:
单输入单输出（时不变）线性系统， 单输入单输出（时不变）线性系统， 系统 多输入多输出（时不变）线性系统 系统， 多输入多输出（时不变）线性系统， 单输入单输出, 线性时变系统 (单输入单输出 多输入多输出 单输入单输出 多输入多输出)
五、线性系统理论的主要学派-基于所采用的 线性系统理论的主要学派分析工具、系统描述 分析工具、
1、线性系统的状态空间理论
状态空间法本质上是一种时间域方法， 状态空间法本质上是一种时间域方法，主要数学基础是线性 代数和矩阵理论 在现代线性系统理论中， 在现代线性系统理论中，它是形成最早和影响最广的一个分 支。 状态空间法已是一整套较为完整成熟的理论 线性系统理论的其他分支， 线性系统理论的其他分支，大都是在状态空间法的影响和推 动下形成和发展起来的. 动下形成和发展起来的.
2012-5-19 13

线性系统理论绪论

线性系统理论绪论

第3章讨论线性系统的运动分析。主要介绍 连续系统状态空间表达式的求解; 状态转移矩阵的性质和计算。 第4章讨论线性系统的结构性问题。主要介绍 动态系统的两个基本结构性质 ̶ 状态能控性和能观性， 状态能控性/能观性在状态空间结构分解和线性 变换中的应用； 能控/能观规范形； 结构分解。
②控制性能指标是明确的，可以得到最佳设计（系 统化的设计方法）。
③需要知道描述控制系统全体的数学模型（缺一不 可）。 ④难以利用人们的经验，直观性差。
1970年代后期，状态空间法的应用，遇到了困难， 进入了反省时期。
1980年代，在计算机技术的支持下，多变量系 统的频域设计法出现了。 H.H. Rosenbrock ; A.G.J. Macfarlane 英国学派
能控性和能观测性：表征系统结构特性的概念 1960年代后期，1970年代： 几何理论：从几何方法角度来研究线性系统的 结构和特征
代数理论：以抽象代数为工具
多变量频域理论：推广经典频率法
8.线性系统理论的主要学派
①线性系统的状态空间法
状态方程和输出方程：输入变量、状态变量和 输出变量间关系的向量方程。 时间域方法 数学基础是线性代数
Matlab软件概述
Matlab程序设计语言是美国Mathworks公司20世纪80 年代中期推出的高性能数值计算软件。 经过20 余年的开发、扩充与不断完善，Matlab已 经发展成为功能强大、适合多学科应用的大型系 统软件,成为数值计算、控制系统仿真与设计、信 号处理等领域的最重要的软件。 Matlab已经成为线性代数、控制理论、数理统计、 数字信号处理、动态系统仿真等课程的基本仿真 计算与设计的工具，成为大学学习的必修内容。
控制系统Matlab计算及仿真的优秀性能

线性系统理论第一章(1)

2
或脉冲函数的概念，为此考虑图 1—2 所示的脉动 函数 dD (t - t1 ) ，即
t1+△
图 1—2 脉动函数 dD (t - t1 )
0 ì ï ï ï ï1 dD (t - t1 ) = ï í ï D ï ï 0 ï ï î
t < t1 t1 £ t < t1 + D t ³ t1 + D
0
的定理给出的判断可以不必知道系统过去的历史。 定理 1—1 由下式描述的系统
y(t ) =
ò-¥ G(t, t )u(t )d t
0 ,+¥)
+¥
在 t0 是松弛的，必要且只要 u[t
0 ,+¥)
º 0 隐含着 y[t
º 0。
¥
证明 必要性。若系统在 t 0 松弛，则对于 t ³ t 0 ，输出 y(t ) 为 ò
图 1—1 系统的输入—输出描述 我们先介绍一些符号。在图 1—1 中，有 p 个输入端， q 个输出端； u1 u2 u p 为 输入，或用 p ´ 1 列向量 u = [u1 u2 u p ]T 表示输入。 y1 y2 yq 表示输出，同样， 可 用 q ´ 1 列 向 量 y = [y1 y2 yq ]T 表 示 输 出 。 输 入 或 输 出 有 定 义 的 时 间 区 间 为
ti
图 1—3 用脉冲函数近似输入 因为系统是初始松弛的线性系统，故输出
y = Hu »
å [H dD (t - ti )]u(ti )D
i
(1—7)
当 D 趋于零时，(1—7)式成为
y =
ò-¥ [H d(t - t )]u(t )d t
H d(t - t ) = g(t, t )

线性系统理论(第1章)


第1章 线性系统的数学描述
江苏大学电气学院
假设系统有p个输入， 个输出 分别用u 个输出， 假设系统有 个输入，q个输出，分别用 1，u2，…，up 个输入 ， 和y1，y2，…，yq来表示。或记为向量的形式：[u]＝[u1 ， 来表示。或记为向量的形式：[u]＝ ， [y]＝ u2 … up]T，[y]＝[y1 [u]、[y]为系统的 y2 …yq]T，称[u]、[y]为系统的 y
第1章 线性系统的数学描述
江苏大学电气学院
1.1 系统的输入与输出描述
系统的输入－输出描述揭示了系统的输入和输出之间 系统的输入－ 的某种数学关系。在建立系统输入 输出描述时 输出描述时， 的某种数学关系。在建立系统输入—输出描述时，可以假 设系统的内部特性是完全未知的，可将系统看作一个“ 设系统的内部特性是完全未知的，可将系统看作一个“黑 箱”，向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相 向该“黑箱” 应的输出，从这些输入－ 应的输出，从这些输入－输出数据可以确定出系统的输入 和输出之间的数学关系。 和输出之间的数学关系。 系统输入—输出描述是系统的外在表现， 系统输入 输出描述是系统的外在表现，只接触系统 输出描述是系统的外在表现 的输入端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量， 的输入端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量，只 从输入－输出的因果关系中获悉系统的内在的本质特性， 从输入－输出的因果关系中获悉系统的内在的本质特性， 因此称系统的输入－输出描述为系统的外部描述。 因此称系统的输入－输出描述为系统的外部描述。
第1章 线性系统的数学描述
江苏大学电气学院
2. 状态变量 状态变量是指构成系统状态的每一个变量， 状态变量是指构成系统状态的每一个变量，记为
{ x1 (t ), x2 (t ), L ,xn (t )}

线性系统理论第1章

• 还应该指出，状态变量不一定是物理上可量测或可观 测的量，但通常总是选择易于测量或观测的量作为状 态变量，因为当系统实现最优控制规律时，需要反馈 所有的状态变量。
9
杭州电子科技大学 自动化学院
2.状态向量：
由一组状态变量作为其分量的列向量称为状态向量，所包含状态 变量的个数即为状态向量的维数。
上例中设 x1 i, x2 uc 。把 x1(t)、x2 (t) 看作是向量 x(t) 的分量，即
• 1950年代后期开始，Bellman、Kalman等人提出了状态 变量法。在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性 是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。
• 在数字计算机上求解一阶微分方程组比求解相应的高阶 微分方程容易得多，而且可以同时得到系统全部独立变 量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。


R L
1
C
1 L 0


x1 x2
(t ) (t )





1 L 0



u
输出方程：系统输出向量与状态向量、输入向量的关系，是一个向量 代数方程。上例中，考虑uc (t) 为输出，并用 y(t) 表示，则有：
y(t) 0
1

x1 x2

12
杭州电子科技大学 自动化学院
1．一般系统：
将上述状态方程和输出方程的表达形式推广至一般的系统：
x f (x, u,t)

y

g(
x,
u,
t)
x-n维状态向量；u-p维输入向量；y-q维输出向量；f、g分别是
n、q维的任意向量函数，即:

线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)


系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2

up
x1 x2
动力学部件

xn
输出部件
y1 y2

yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu

y

Cx

Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u

y

C (t ) x

D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u

H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)


G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)


f
2
(
x,u,
e
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线性系统理论
主讲教师 陈玮
参考教材
• 1、线性系统理论
•
郑大钟编著 清华大学出版社
• 2、线性系统理论
•
段广仁编著 哈尔滨工业大学出版社
• 3、MATLAB科学计算
•
李敏波译
清华大学出版社
2020/10/17
线性系统理论 绪论
2
第1章 绪论
• 一、系统控制理论的研究对象 • 二、线性系统理论的基本概貌 • 三、本课程的论述范围
社会学规律等），其数学模型可表示为微分方程和差分方程。
•
借助于数学理论所提供的问题描述与求解方法，可对这类系统的建模、
分析、控制和优化进行研究。
•
大量的自然系统和工程系统都可归属于CVDS的范畴。
•
本课程主要研究连续变量动态系统分析和综合的理论和方法。
2020/10/17
线性系统理论 绪论
13
2、离散事件动态系统（DEDS）
有高阶微分方程组或高阶差分方程组的形式。
•
动态系统按照不同角度进行不同的分类：
•
* 从机制角度
•
* 从特性角度
•
* 从时间角度
2020/10/17
线性系统理论 绪论
11
从机制角度的动态系统分类
•
1、连续变量动态系统（Continuous Variable Dynamic Systems，简
称CVDS）
分方程组或差分方程组的形式；
•
另一部分是反映输入变量组和状态变量组两者到输出变量组间的变换影
响关系，其描述呈现为代数方程的形式。
2020/10/17
线性系统理论 绪论
10
动态系统
•
2、系统的外部描述，通常也被称为“黑箱描述”或输入输出描述，它是
建立在系统的内部机理为未知的前提之上的。
•
外部描述反映的是输入变量组对输出变量组间的动态影响关系，描述具
8
动态系统
•
所谓动态系统（动力学系统），就是运动状态按确定规律或确定统
计规律、按时间演化的一类系统。
•
动态系统是系统控制理论研究的主体，其行为由其各类变量间的关
系来表征。
•
系统的变量可区分为三类形式：
•
一是反映外部对系统的影响或作用的输入变量组如控制、投入、扰
动等；
•
二是表征系统状态行为的内部状态变量组；
•
集中参数系统是一类不存在或不考虑参数的空间分布性的连续变量
动态系统。
•
在模型形式上，连续时间的集中参数系统可以由常微分方程来描述，
属于有穷维系统。
•
在现实世界中，大量的连续变量动态系统都归属于或近似化为集中
(distributed parameter systems)
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线性系统理论 绪论
15
1、线性系统和非线性系统
•
描述系统模型的数学方程具有线性属性的系统被称为线性系统，相
应地模型数学方程具有非线性属性地系统被称为非线性系统。
•
相比于线性系统，非线性系统在运动行为上要丰富得多，而在分析
3、相对性
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线性系统理论 绪论
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1、整体性
• 整体性包含了两层基本含义： • （1）强调系统在结构上的整体性，即系统由“部分”组成，各组成部分之间
的相互作用是通过物质、能量和信息的交换来实现的； • （2）突出系统行为和功能由整体所决定的特点，系统可以具有其组成部分所
没有的功能。
•
离散事件动态系统来源于一批反映近年来技术发展方向的人造系统，
其典型例子如柔性生产线或装配线、大规模计算机/通讯网络、空中或机场交
通管理系统、军事上的3C系统等。
•
在DEDS中，对系统行为进程起决定作用的是一批异步离散时刻的离散
事件，并由离散事件驱动且按照一些复杂的人为规则相互作用来导致系统状态
的演化。
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线性系统理论 绪论
3
一、系统控制理论的研究对象
•
* 系统
•
* 动态系统
•
* 线性系统
•
* 系统模型
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线性系统理论 绪论
4
系统
•
从系统控制理论的角度，将系统定义为是由相互关联和相互制约的若
干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。
•
1、整体性
•
2、抽象性
•
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线性系统理论 绪论
6
2、抽象性
•
在现实世界中，一个系统总是具有具体的物理、自然或社会属性。
•
作为系统控制理论的研究对象的系统，常常是抽去了具体系统的物理、
自然或社会含义，而把它抽象化为一个一般意义下的系统而加以研究；
•
系统概念的这种抽象化处理，有助于揭示系统的一般特性和规律，使系
•
2、离散事件动态系统（Discrete event dynamic systems，简称DVDS）
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线性系统理论 绪论
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1、连续变量动态系统(CVDS)
•
连续变量动态系统(CVDS) — 服从于物理学定律（如电学的、力学的、
热学的定律等）或广义物理学规律（如经济学规律、人口学规律、生态学规律、
上则要复杂得多。
•
研究表明，如分叉(bifurcation)、混沌(chaos)、奇异吸引子
(strange attractor)等一些重要的现象，都只可能出现在非线性系统中。
•
在现今的非线性系统控制理论中，线性系统的理论和方法，仍然是
不可缺少的基础。
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线性系统理论 绪论
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2、集中参数系统和分布参数系统
•
对DEDS，按照不同的层次，需要分别采用排队论、极大极小代数、自
动机理论、佩特里（Petri）网等数学工具来进行建模和分析。
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线性系统理论 绪论
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从特性角度的动态系统分类
•
1、线性系统（linear systems）和非线性系统（non-linear systems）
•
2 、 集 中 参 数 系 统 （ lumped parameter systems） 和 分 布 参 数 系 统
统控制理论的理论和方法具有普适性。
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线性系统理论 绪论
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3、相对性
•
在系统的定义中，所谓“系统”和“部分”具有相对的“属性”：
•
对于一个系统而言，其组成部分通常也是由若干个更小部分所组成的
一个系统；
•
而这个系统往往又是另一个系统的一个组成部分。
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线性系统理论 绪论
•
三是反映系统对外部作用或影响的输出变量组如响应、产出等。
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线性系统理论 绪论
9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
动态系统
•
表征系统动态过程的数学描述具有两类基本形式。
•
1、系统的内部描述，通常也被称为“白箱描述”，它是建立在系统的内
部机理为已知的前提之上的。内部描述由两部分组成：
•
一部分是反映输入变量组对状态变量组的动态影响关系，其描述具有微