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武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。
高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
教材高等数学b试题及答案为了帮助学生更好地掌握高等数学B课程的知识，提升他们在考试中的表现，我们整理了一套高等数学B试题及答案。
以下是具体的试题内容及答案解析。
一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x - 2，求f(2)的值。
A) 0B) -2C) 4D) 7答案解析：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4。
因此，答案选项为B。
2. 若a, b是实数，且a^2 + b^2 = 25，则a + b的最大值为多少？A) 7B) 10C) 5D) 0答案解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2，即25 × 2 ≥ (a + b)^2，解得(a + b)^2 ≤ 50。
因此，a + b的最大值满足 -√50 ≤ a + b ≤ √50。
最大值约为7.071，所以答案选项为A。
二、计算题1. 计算极限lim(x→3) ((x - 3) / (x^2 - 8x + 15))。
答案解析：首先将分子分母都进行因式分解，得到((x - 3) / (x - 3)(x - 5)) = 1 / (x - 5)。
当x趋近于3时，1 / (x - 5)趋近于1 / (3 - 5) = -1 / 2。
因此，所求极限为-1 / 2。
2. 求曲线y = x^3 - 3x^2 - 4x的拐点。
答案解析：首先求出y = x^3 - 3x^2 - 4x的导数，即y' = 3x^2 - 6x - 4。
然后解方程3x^2 - 6x - 4 = 0，得到x = -1和x = 2两个解。
对应的y值分别为y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) = -2和y = (2)^3 - 3(2)^2 - 4(2) = -12。
因此，拐点为(-1, -2)和(2, -12)。
武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算lim n →∞-2、计算0ln(1)limcos 1x x x x →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d xxe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。
7、已知2200d cos d yx te t t t =⎰⎰，求xy d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)xy x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。
五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,f b f f b b ξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算3arctan limln(12)x x x x →-+ 2、计算12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、计算积分：21arctanx d xx +∞⎰4、已知两曲线()y f x =与1x y xy e ++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出 此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos tx t uduy t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰，试求：d d y x，22d |d t y x的值。
试点高校网络教育部分公共基础课全国统一考试高等数学（B ）试卷参考解答与评分标准2008年4月一、是非题（满分18分，每小题3分）1. 错2. 错3. 对4. 对5. 错6. 对二、选择题（满分20分，每小题4分）7. D 8. A 9. B 10. D 11. B三、填空题（满分20分，每小题4分）12．2e 13．1 14．1 15．e 16．x C y e =四、解答题（满分42分，每小题满分7分）17．解法一： )1(233lim )1(23lim 21231--=-+-→→x x x x x x x ·······························································3分 26l i m 1xx →= ·······································································6分3= ················································································7分解法二： )1(233lim )1(23lim 21231--=-+-→→x x x x x x x ·······························································3分2)1(3lim )1(2)1)(1(3lim 11+=--+=→→x x x x x x ································6分3= ················································································7分18．解：x x ycos d d -= ······························································································5分1d d 0-==x x y·······························································································7分 19．解：（1）),0(∞+，（写为0>x 也正确）························································2分（2）1ln '+=x y ····························································································4分x y 1"= ····································································································5分（3）函数图形的凹区间为),0(∞+····························································7分20．解法一：⎰⎰--=-13)13(d 3113d x x x x ··············································································3分 Cx +-=|13|ln 31········································································7分 解法二：设13-=x u ··························································································1分 x u d 3d = ·····························································································2分 ⎰⎰=-u u x x d 3113d ·························································································3分 C u +=||ln 31·················································································5分 Cx +-=|13|ln 31··········································································7分 注：①丢掉常数C 扣1分；②对数的真数不加绝对值符号不扣分．21．解：x S xd )1e (10⎰-= ························································································3分 10)e (x x -= ·····························································································6分 2e -= ····································································································7分22．解：x x P 1)(=，x x Q =)(··················································································1分 ⎰+⎰⎰=-]d e )([e d )(d )(C x x Q y x x P x x P ·························································2分 ⎰+⎰⎰=-]d e [ed 1d 1C x x x x x x ·····································································3分 ⎰+=)d (12C x x x·················································································5分 )3(13C x x += 或 xC x +32 ·································································7分。
08-09-3高数B期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分1. 曲面在点处的法线方程是；2.设，则梯度；3.已知，则在方向的投影；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5.设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分的值是；7. 设为球面：，则曲面积分的值是；8.设是折线，则曲线积分的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算.解，（3分）（4分）11．（本小题满分7分）计算，其中.解（1+1+3+2分）12．（本小题满分8分）计算二次积分.解，（3+2+3分）13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体的质心坐标.解（1分）（1+1+2+2+1分）三（14）．（本题满分7分）试求过点且与轴相交，又与直线垂直的直线方程.解设为所求直线的方程，（1分）由于直线与轴相交，所以三个向量，及共面，从而，即（1），（2分）又由于与互相垂直，得，即（2）（2分）联立（1），（2）解得，，所求直线的方程为（2分）四（15）。
（本题满分7分）计算，其中是柱面被锥面和平面所截下的部分.解（2分）（2+2+1分）五（16）.（本题满分7分）计算，其中为曲线，方向沿增大的方向.解记，由公式得（2+1+3+1分）六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧.解补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得（3+2+1+1分）七（18）（本题满分6分）证明不等式，，.证设，在区域的边界上恒为，而在内部恒为正，故的最大值只能在区域内部达到，（2分）令，，在区域内求驻点，得（1）及（2），（2分）这表明在区域内的最大值点应满足方程（1）（2），然而在（1）（2）所确定的点上，所以，，.（2分）。
08- 09- 3 高数 B期末试卷（A）参照答案及评分标准 09. 6. 8一 . 填空题 ( 此题共 9 小题，每题 4 分，满分 36 分1. 曲面在点处的法线方程是；2. 设，则梯度；3. 已知，则在方向的投影；4.设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是；5. 设函数拥有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充足必需条件是；6. 二重积分的值是；7.设为球面：，则曲面积分的值是；8.设是折线，则曲线积分的值是；9. 取（注：答案不独一），可使得级数收敛，且级数发散 .二 .计算以下各题(此题共4小题，满分30分10．（本小题满分 7 分）设，此中拥有连续的二阶偏导数，拥有连续导数，计算.解，（3 分）（4 分）11．（本小题满分 7 分）计算，此中.解（ 1+1+3+2 分）12．（本小题满分 8 分）计算二次积分.解，（3+2+3 分）13.（本小题满分 8 分）求密度平均散布的立体的质心坐标 .解（1 分）（1+1+2+2+1 分）三（ 14）．（此题满分7 分）试求过点且与轴订交，又与直线垂直的直线方程 .解设为所求直线的方程，（1分）因为直线与轴订交，所以三个向量，及共面，进而，即（1），（2分）又因为与相互垂直，得，即2分）联立（）（2（1），（ 2）解得，，所求直线的方程为（2分）四（ 15）。
（此题满分7分）计算，此中是柱面被锥面和平面所截下的部分 .解（2 分）（ 2+2+1 分）五（ 16） . （此题满分7分）计算，此中为曲线，方向沿增大的方向 .解记，由公式得（2+1+3+1 分）六（ 17）（此题满分7 分）计算，此中为被所截部分，取上侧 .解补一个面，取下侧，由和所围成的地区记为，由公式得（ 3+2+1+1 分）七（ 18）（此题满分6 分）证明不等式，，.证设内部恒为正，故，在地区的最大值只好在地区内部达到，的界限上恒为（2分）令，而在，，在地区内求驻点，得（ 1）及（2），（2分）这表示在地区内的最大值点应知足方程（ 1）（ 2），但是在（ 1）（ 2）所确立的点上，因此，，.（2分）。
暨南大学考试试卷答案及评分一、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1. 已知c x dx x f +=⎰2)(，则)(x f x 2 。
2. 210()x tf x e dt =⎰，则=')(x f 212x xe 。
3. 设级数10)52(+∞=∑n n ，则级数的和 =s32 。
4. 设D 是由4122≤+≤y x 围成的区域，则⎰⎰=Ddxdy π3 。
5. 设)ln(),(y x y x f +=，则=')1,1(y f 21。
二、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. x e 2-的原函数是（ C ）(A ) x e 2- (B) x e 2-- (C ) x e 221-- (D) x e 221- 2. =+∆)1(2x （ C ）(A ) 2x (B) 1+x (C) 12+x (D) x 2 3. 若x x f +='1)(，则=)(x f （ B ）(A) C x x ++2 (B) C x x ++221 (C) C x ++2211 (D) C x x ++224. 21ln d x dx dx=⎰（ D ） (A) C x x +ln (B) C x x x +-ln (C) C x + (D) 0 5. 下列广义积分收敛的是（ C ） (A) 1cos xdx ∞⎰(B)11dx x∞⎰(C)211dx x∞⎰(D) 1x e dx ∞⎰6. 设xy z =，则=dz （ C ）(A) ydy xdx + (B) dy dx + (C) xdy ydx + (D) 0 7.下列级数收敛的是（ B ） (A )∑∞=11n n(B )∑∞=11n nn(C) ∑∞=11n n (D)nn ∑∞=1)56(8. =ΓΓ)21()23(（ D ）(A) 51 (B) 41(C) 31 (D) 219. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数存在是函数在该点可微的（ A ）(A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 10. 微分方程yxdx dy -=的通解为（B ） (A) C y x =+ (B) C y x =+2323(C) C xy = (D) C y x =-2323三、计算题（共62分）1.dx x x ⎰++11 (7分)解 令1+=x t ，则12-=t x ，tdt dx 2= 2分原式= 2121t tdt t-+⎰=22()t t dt -⎰ =32123t t C -+ =2(3x x C ++ 7分 其中11C C =-。
高等数学（B ）（1）作业答案高等数学（B ）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设δ和a 是两个实数，且0>δ，满足不等式δ<-a x 的实数x 的全体，称为点a 的δ邻域。
绝对值——数轴上表示数a 的点到原点之间的距离称为数a 的绝对值。
记为a 。
区间——数轴上的一段实数。
分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。
实数——有理数和无理数统称为实数。
二、填空题1．绝对值的性质有0≥a 、b a ab =、)0(≠=b ba b a 、a a a ≤≤-、b a b a +≤+、b a b a -≥-。
2．开区间的表示有),(b a 、。
3．闭区间的表示有][b a ，、。
4．无穷大的记号为∞。
5．)(∞+-∞，表示全体实数，或记为+∞<<∞-x 。
6．)(b ，-∞b b x <<∞-。
7．)(∞+，a +∞<<x a 。
8．去心邻域是指)()(εε+-a a a a ，， 的全体。
用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为]211(--，。
三、回答题 1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。
（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。
（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。
（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2．答：包括整数与分数。
3．答：不对，可能有无理数。
4．答：等价于]51(，。
5．答：)2321(，。
四、计算题1．解：12020102010)2)(1(<>⇒⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-⇒>--x x x x x x x x 或或。
),2()1,(+∞-∞∴ 解集为。
2．解：⎩⎨⎧≤-≤-⎩⎨⎧≥-≥-⇒≥--⇒≥+-050105010)5)(1(0562x x x x x x x x 或 15≤≥⇒x x 或 )5[]1∞+∞-∴，，解集为（ 。
武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学A2》（国软、土建）试题（A 卷）一、（30 分）试解下列各题：1、（6分）判别级数31(1)2n n n n ∞=-∑的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？2、（6分）求曲面2222312x y z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程。
3、（6分）已知级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，试讨论此级数在2x =处的敛散性。
4、（6分）计算2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 由222,y x y x =-=所围成的区域。
5、（6分）求解微分方程0dx dyy x+=满足14x y ==的特解。
二、（10分）设方程(,)0F x az y bz --=确定(,)z z x y =，且(,)F u v 为可微函数，证明：1z zab x y∂∂+=∂∂。
三、（12分）已知函数()()yu yf x e xg xy =++，其中,f g 具有二阶连续导数，求2ux y∂∂∂四、（10分）试将函数()d cos 1()d x f x x x-=展成x 的幂级数。
五、（10分）设32(,,)f x y z x xy z =--（1）求(,,)f x y z 在点0(1,1,0)P 处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：(,,)f x y z 在哪些点的梯度垂直于x 轴。
六、（10分）计算222I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是222(0)xy z z a +=≤≤ 的外侧。
七、（10分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分2[3()2()]()x Lx x xe ydx x dy ϕϕϕ''-++⎰与路径无关，求函数()x ϕ。
八、（8分）将正数a 分为正数,,x y z 之和,使得mnpu x y z =最大(其中,,m n p 为已知正数)。
武汉大学2006—2007学年第二学期《高等数学A2》（国软、土建）试题A 参考解答一、（30分）试解下列各题： 1、（6分）判别级数∑∞1=n 32)1(nn n -的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解：1212231lim lim311<=n)(n+=u u nn+n →→n n+n →→，由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛. 2、（6分）求曲面2222312x y z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程。
2009(2)高等数学B2试卷参考答案D装订线（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数()()()()22,,0,0(,)0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） ()()0Df yg x d σ=⎰⎰。
（B ） ()()0Df xg y d σ=⎰⎰ 。
（C ）()()0D f y g x d σ+=⎰⎰。
（A ）()()0Df xg y d σ+=⎰⎰。
5. 微分方程cos 1y y x ''+=+的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）cos y A x C *=+。
（B ）(cos sin )y x A x B x C *=++。
（C ）(cos sin )y A x B x C *=++。
（D ）sin y B x C *=+。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）（1）设1()()z f x y x xy yϕ=++，其中f 和ϕ具有连续导数，求2z x y ∂∂∂。
【解】1()()()z f x y xy xy xy x yϕϕ∂''=+++∂22211()()2()()z f x y f x y x xy x y xy x y y yϕϕ∂''''''=-+++++∂∂（2）求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分。
【解】方程两边求微分得111222220xdz zdx yzdx zxdy xydz dx dy dz x y z+---+++=整理得11222(21)11(221)2222zx yz z z z xyz y x dz dx dy dx dy x y xz xyz x xy x xy z z ----=+=-+-+-+-+（3）交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +⎰⎰⎰。
