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第一节模糊数学基本知识一、模糊子集及其运算在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，绝不允许模棱两可。
这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围，它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。
但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限。
譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”，……，这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。
严格说来，这些概念就是没有绝对的外延，这些概念被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。
(一)模糊子集及其表示方法1.模糊子集(1)隶属函数：在经典集合论中，一个元素x和一个集合A之间的关系只能有Ax∉这两种情况。
集合可以通过其特征来刻划，每一个集合A都有x∈或者A一个特征函数C A(x)，其定义如下：(1)式所表示的特征函数的图形，如图9-1所示。
由于经典集合论的特征函数只允许取0与1两个值，故与二逻辑值｛0，1｝相对应。
模糊数学是将二值逻辑｛0，1｝拓广到可取[0，1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。
因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶属函数μ(x)，它满足：0≤μ(x)≤1 (2)(1)式也可以记作μ(x)∈[0，1]，一般情形下，其图形如图9-2所示。
(2)模糊子集的定义：1965年，查德首次给出了模糊子集的如下定义：设U 是一个给定的论域(即讨论对象的全体范围)，μA：x→[0，1]是U到[0，1]闭区间上的一个映射，如果对于任何x∈U，都有唯一的μA(x)∈[0，1]与之对应，则该映射便给定了论域U上的一个模糊子集，μA称做的隶属函数，μA(x)称做x对的隶属度。
2.模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出，一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。
因此，模糊子集通常有以下几种表示方法：=[μ1，μ2，…，μ(3)n]在(3)式中，μi∈[0，1](i=1，2，…，n)为第i个元素x i对的隶属度。
§3 股票反弹率的模糊聚类法将模糊集理论应用于聚类分析，便产生了模糊聚类法。
一、模糊聚类法介绍若矩阵A 的各元素ij a 满足10≤≤ij a ，则称A 为模糊矩阵。
设p n ij a A ⨯=)(和m p ij b B ⨯=)(为两个模糊矩阵，令m j n i b a c kj ik pk ij ,,2,1,,,2,1),(1 ==∧∨== 则称矩阵m n ij c C ⨯=)(为模糊矩阵A 与B 的乘积，记为B A C ∙=，其中∨和∧的含义为},max{b a b a =∨， },min{b a b a =∧ 显然，两个模糊矩阵的乘积仍为模糊矩阵。
设方阵A 为一个模糊矩阵，若A 满足A A A =∙，则称A 为模糊等价矩阵。
模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲象乙，乙象丙，则甲象丙”这样的关系。
设n n ij a A ⨯=)(为一个模糊等价矩阵，10≤≤λ为一个给定的数，令⎩⎨⎧=<≥=n j i a a a ij ij ij ,,2,1,,0,1)( λλλ则称矩阵n n ij a A ⨯=)()(λλ为A 的λ—截阵。
模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先计算变量间的相似系数矩阵（或样品间的距离矩阵），将其元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵，进一步改造成模糊等价矩阵，最后取不同的标准λ，得到不同的λ—截阵，从而可以得到不同的类。
具体步骤如下：1、计算相似系数矩阵R 或样品的距离矩阵D其中n n ij d D ⨯=)(和p p ij r R ⨯=)(的算法与第四章§4.7消费分布规律的分类中相同。
2、将R （或D ）中的元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵我们统一记为n n ij a A ⨯=)(；例如对相似系数矩阵p p ij r R ⨯=)(，可令p j i r a ij ij ,,2,1,),1(21 =+= 对于距离矩阵n n ij d D ⨯=)(，可令n j i d d a ij n j i ij ij ,,2,1,,max 11,1 =+-=≤≤ 3、建立模糊等价矩阵一般说来，上述模糊矩阵n n ij a A ⨯=)(不具有等价性，这可以通过模糊矩阵的乘积将其转化为模糊等价阵，具体方法是：计算,,,2242 A A A A A A ∙=∙=直到满足k k A A =2，这时模糊矩阵k A 便是一个模糊等价矩阵。
§2 小麦品种的模糊模式识别把一批来自同一品种的小麦称为一个小麦亲本。
小麦有各种不同的品种，某一品种的小麦有它自己的很多特性，如抽穗期、株高、有效穗数、主穗粒数和百粒重量等数量性质。
然而对于小麦的一个亲本，我们不能凭其中某一粒或某一株小麦去鉴定它的品种。
实际上，同一品种的小麦中，各株小麦的抽穗期显然是不完全相同的。
在同一种小麦中，百粒重量的每一次样本也是不完全相同的，但总是在各自的均值附近摆动。
这样我们就可以把某一品种的小麦看成是一个模糊集。
不同品种的小麦就对应着不同的模糊集。
如果能肯定待识别小麦亲本的模糊集与某一已知品种小麦的模糊集最贴近，那就可以断言它属于该种小麦了。
由于模糊集合是用隶属函数来表示的，而隶属函数又不同于普通的函数，怎样来度量模糊集的模糊性以及怎样比较两个模糊集是否相贴近还是差别很大，这就要引入一些有关模糊集度量的概念。
一、单个模糊集度量 1、模糊度在论域U 上的任意模糊子集~A 的模糊度)(~A D 应满足：（ⅰ）对任意的U x ∈，当且仅当x 对~A 的隶属度)(~x A μ只取0和1时，)(~A D =0 ；（ⅱ）当)(~x A μ=0.5时，)(~A D 应取最大值，即)(~A D =1；（ⅲ）对任意的U x ∈，设U 的两个模糊子集~A 和~B ，若5.0)()(~~≥≥x x B A μμ或5.0)()(~~≤≤x x B A μμ，则有)()(~~A D B D ≥。
2、模糊熵在模糊数学中，用模糊熵描述模糊度，是模糊集合所含模糊性大小的一种度量，这里仅介绍较其它方法为好的仙农函数引出的模糊熵定义。
设~A 是论域U 上的任意模糊子集，当U x ∈时，记))((2ln 1)(~1~i Ai x S n A H μ∑∞==叫做模糊集~A 的熵，此处)1ln()1(ln )(x x x x x S ----=。
容易验证，上述模糊熵满足模糊度的三个条件。
二、多个模糊集度量 1、海明距离设论域U 上的两个模糊子集~A 和~B ，它们之间的海明距离定义为∑=-=ni i B i A x x B A d 1~~)()(),(~~μμ这个定义适用于论域为有限集时，n 是论域中元素的个数，它又称为绝对海明距离。
-257- 第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。
这门学科经过多年的发展。
它在现实世界中的应用越来越广泛。
§1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。
一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。
不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。
若集合Ω⊆A ，则将集合},|{Ω∈∉x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。
集合及其性质可用所谓特征函数来描述。
定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μV A →Ω:μ)(x x A μ→其中对应规则A μ满足⎩⎨⎧∉∈=Ax A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质：)}(),(max{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∨)}(),(min{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∧)(1)(x x A A cμμ-= 1.2 模糊集合1.2.1 模糊集合的概念对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或cA x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。
然而，客观-258-世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。
为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。
下面我们把所讨论对象的全体称为论域。
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
第八章 模糊数学方法建模1965年,美国自动控制学家L.A.Zadch 首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。
它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。
模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。
而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
§1 模糊综合评判及其应用一、模糊综合评判在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。
如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。
但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。
所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。
综合评判最简单的方法有两种方式：一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和∑==mi isS 1按S 的大小给评判对象排出名次。
例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。
另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个因素的权重，并规定∑==mi ia11，于是用∑==mi ii sa S 1按S 的大小给评判对象排出名次。
以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。
由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。
模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。
应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：（1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。
定义1.1 设U 是一个论域，如果给定了一个映射]1,0[)(]1,0[:∈→x x U A A μμα则就确定了一个模糊集A ，其映射A μ称为模糊集A 的隶属函数，A μ称为x 对模糊集A 的隶属度。
定义1.1表明，论域U 上的模糊集A 由隶属函数A μ来表征，A μ的取值范围为闭区间]1,0[，A μ的大小反映了x 对模糊集A 的从属程度，A μ值接近于1，表示x 从属A 的程度很高，A μ值接近于0，表示x 从属A 的程度很低，使5.0=A μ的点x 称为模糊集A 的过渡点。
当A μ的值域为}1,0{时，A μ退化为普通集的特征函数，模糊集A 蜕变为普通集，所以模糊集是普通集概念的推广。
对于一个特定论域U 可以有多个不同的模糊集，记U 上的模糊集的全体为)(U F ，即}]1,0[:{)(→=U A U F A μ，则)(U F 就是论域U 上的模糊幂集，显然)(U F 是一个普通集，且)(U F U ⊆。
2.模糊集的表示法当论域},{,2,1n x x x U Λ=为有限集时，若A 是U 上的任一模糊集，其隶属度为),,2,1)((n i x i A Λ=μ，通常有如下三种表示方法：1）Zadeh 表示法：n nA A A ni i i A x x x x x x x x A )()()()(22111μμμμ+++==∑=Λ在论域U 中，0)(>iA x μ的元素集称为模糊集合A 的支集。
2）序偶表示法：将论域中的元素i x 与其隶属度)(i A x μ构成序偶来表示A))}((,)),(()),({(,2,21,1n A n A A x x x x x x A μμμΛ=此种表示方法隶属度为0的项可不写入。
3）向量表示法：)}(,),(),({21n A A A x x x A μμμΛ=在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。
当论域U 为无限集时，则U 上的模糊集A 可以表示为⎰=U Ax x A )(μ3.模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。
定义1.2 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(,)(x x B A μμ。
1）若对任意U x ∈，有)()(x x A B μμ≤，则称A 包含B ，记A B ⊆； 2）若A B ⊆且B A ⊆，则称A 与B 相等，记为A B =。
定义 1.3 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(,)(x x B A μμ，则称B A B A I Y ,分别为A 与B 的并集与交集；称C A 为A 的补集或余集，它们的隶属函数分别为))(,)(m ax ()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∨=Y ))(,)(m in()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∧=I)(1)(x x A A C μμ-=其中"",""∧∨分别表示取大运算与取小运算，称其为Zadeh 算子。
并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。
1.1.2 隶属函数的确定方法正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。
然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。
隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验。
1. 模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：1）论域U 。
2）U 中的一个固定元素0x。
3）U 中的一个随机变动的集合*A （普通集）。
4）U 中的一个以*A 作为弹性边界的模糊集A ，对*A 的变动起着制约作用。
其中*∈A x 0或*∉A x 0，致使0x对A 的隶属关系是不确定的。
假设做n 次模糊统计试验，则可计算出0x 对A的隶属频率nA x 的次数*∈=0事实上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x对A的隶属度，即n A x x n A 的次数*∞→∈=00lim)(μ2. 例证法例证法是Zadeh 在1972年提出的，主要思想是从已知有限个A μ的值来估计论域U 上的模糊子集A 的隶属函数。
3. 指派方法指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的隶属函数。
如果模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。
所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。
若以实数域R为论域，称隶属函数为模糊分布。
实际中，根据研究对象的描述来选择适当的模糊分布。
偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、“中年”等处于中间的模糊现象。
但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。
常用的4. 其他方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定。
例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。
如果论域U 表示机器设备，在U 上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A 的隶属度。
如果U 表示产品，在U 上定义模糊集A =“质量稳定”，可以用“正品率”作为A 的隶属度。
如果U 表示家庭，在U 上定义模糊集A =“贫困家庭”，则可以用Engel 系数=（食品消费）/（总消费）作为A 的隶属度。
1.2 模糊关系与模糊矩阵1.2.1模糊关系与模糊矩阵的概念模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少。
定义1.4 设论域V U ,，称V U ⨯的一个模糊子集)(V U F R ⨯∈为从U 到V的模糊关系，记为V U R−→−，其隶属函数为映射 ),(),(),(]1,0[:y x R y x y x V U R R =→⨯μμα并称隶属度),(y x R 为),(y x 关于模糊关系R 的相关程度。
由于模糊关系就是直积V U ⨯的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质。
对于有限论域},{,2,1mx x x U Λ=，},{,2,1ny y y V Λ=，则U 到V 的模糊关系R 可用n m ⨯阶模糊矩阵表示，即nm ij r R ⨯=)(其中]1,0[)(,∈=j i ij y x R r 表示)(,j i y x 对模糊关系R 的相关程度。
定义1.5 设矩阵nm ij r R ⨯=)(，且]1,0[∈ij r ;,,2,1(m i Λ=),,2,1n j Λ=则称矩阵R 为模糊矩阵。
若}1,0{∈ij r ，则模糊矩阵变成布尔（Boole ）矩阵。
1.2.2 模糊等价关系与模糊相似关系定义1.6 若模糊关系)(U U F R ⨯∈满足1)自反性：1),(=x x R μ 。
2)对称性：),(),(x y y x R R μμ=。
3)传递性；R R R ⊆ο（即),()),(),((),(y x y z z x y x R R R R R μμμμ≤∧∨=ο）。
则称R 是U 上的一个模糊等价关系。
其中隶属度),(y x R 表示),(y x 的相关程度。
当论域},{,2,1m x x x U Λ=为有限论域时，U 上的模糊等价关系可表示为n n ⨯阶模糊等价矩阵．定义1.7 设论域},{,2,1m x x x U Λ=，模糊矩阵nn ij r R ⨯=)(，I 为单位矩阵，若R 满足：1)自反性：R I ≤ （即ni r ii ,21;1Λ，，==）。
2)对称性：R R T =（即nj i r r ji ij ,21,;Λ，，==）。
3)传递性；R R R ≤ο （即n j i r r r ij kj ik nk ,21,;)(1Λ，，=≤∧∨=）。
则称R 为模糊等价矩阵。
定义1.8 设论域},{,2,1m x x x U Λ=，模糊矩阵n n ij r R ⨯=)(，I为单位矩阵，若R 满足：1)自反性：R I ≤ （即ni r ii ,21;1Λ，，==）。
