2014-2015年浙江省绍兴市诸暨中学实验班高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

浙江省诸暨中学高二数学期中试题（实验班）一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若复数满足的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 2．某个命题与正整数有关，已知由时命题成立，可推得当时命题也成立.现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得（ ）A ． 当n=7时该命题不成立B ． 当n=7时该命题成立C ． 当n=9时该命题不成立D ． 当n=9时该命题成立 3．已知函数xe xf =)(在点))0(,0(f 处的切线为l ，动点在直线l 上，则ba -+22的最小值是 （ ） A ． 4 B ． 2 C ．D ．4．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动。

若甲，乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为 （ ） A ． 2160 B ． 1320 C ． 2400 D ． 4320 5．如果6)1)(43(xx x ax +-的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为 （ ） A ．239 B ．239- C ． 221- D ．221 6．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中不放回地往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ，则=≤)6(ξP （ ）A ．149 B ． 5625 C ． 5637 D ． 2823 7．从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法.在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法.于是得到，即有等式：成立.试根据上述想法，下面式子（其中）应等于 （ ） A ．B ．C ．D ．8．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种. A ． 19 B ． 26 C ． 7 D ． 129．已知函数,,)(ln )(2R t x t x x x f ∈-+=若存在],2,21[∈x 使得0)()('>+x xf x f ，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数,)(xxe x f =要使函数1)()]([)(2+-=x f x f k x g 的零点个数最多，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．2e k -< B ．e e k --<2 C ．e e k -->2 D ．2e k -> 二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知k x f =)(0'，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()2(lim000＝__________.12．若复数i a z 3)2(--=为纯虚数（R a ∈），则aii a ++12007的值为________.13．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_________________．14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为______.15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是1a ∈ ． 16．已知函数.0,ln ,,2)(2⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=a x x a x e x x f 若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00)(kx x f =成立，则实数a 的值为 ．17．定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，有)()('x f x f >，且2018)()(π+=x f x g 为奇函数，则不等式0)(2018<+xe xf π的解集是 ．三、解答题（本题共5小题，总分52分）18．（本题10分）在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量为摸出的3个球上的数字和．（1）求概率；（2）求随机变量的分布列．19．（本题10分）设函数.)1ln()(x x x f -+=. （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若1->x ，证明：x x x ≤+≤+-)1ln(111.20.（本题10分）已知函数).(,ln )(3R a x a x x f ∈-= （1）讨论函数)(x f 的极值；（2）若函数)(x f 在区间],1(e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围.21.（本题10分）已知数列}{n a 是等差数列，且321,,a a a 是mx )211(+展开式的前三项的系数.（1）求的值以及mx )211(+的展开式中系数最大的项； （2）当时，用数学归纳法证明：.3111...11122121>+++++-++n n n n n a a a a a22．（本题12分）已知函数)1(ln 2)(+=x x x f . （1）求函数)(x f 的最值．（2）若斜率为k 的直线与)(x f 的导函数)('x f y =的图象交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，其中21x x <，求证：212x kx <<.参考答案1．A 【解析】 【分析】由求得，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果. 【详解】 因为数满足，所以，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 2．A 【解析】 【分析】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以选A.【详解】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以当时命题不成立，则命题也不成立，故答案为：A3．D【解析】由题得所以切线方程为即，故选D.4．B【解析】【分析】依题意，分和两组，先分组，后排列，最后求和即可.【详解】依题意，6名同学可分为两组，第一组为，利用间接法，有种，第二组为，利用间接法，有,所以分类计数原理，可得种，故选B.5．D【解析】【分析】令，由系数之和求出参数a ，由二项展开式公式将后面式子展开得与项，分别与前面括号中两式相乘，最后相加求出项，进而求出系数. 【详解】令，可得：，解得：，由二项展开式公式将后面式子展开可得：，，分别与前面括号中、相乘后求和可得：.6．D【解析】k =ξ表示前k 个为白球，第1+k 个恰为红球.18135)(+⋅==k k A A A k P ξ（=k 0，1，2，…，5），∴分布列为∴=≤)6(ξP 4623(0)(1)(2)5628P P P ξξξ=+=+===. 考点：离散型随机变量及其分布列. 7．A【解析】分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法。

诸暨中学2015学年第二学期高二年级数学期中试题卷考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题4分，共40分）1.设向量(1,0)a →=，11,22b →⎛⎫=⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 （ ） A.a b →→= B.22a b →→⋅= C.a b →→-与b →垂直 D.→→b a ||2.下列求导运算正确的是 （ ）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()21log ln 2x x '=C ．()333log x x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=-3.设函数812,(,1]()log ,(1,)x xx f x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则满足1()4f x =的x 值为 （ ） A ．3 B. 2 C. -3 D. 2或34.在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是 （ ）A ．ln(1)y x =+B ．21cos 2y x x =+ C ．3y x x =-D ．3sin y x x =+5.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式为 （ ） A ．()2sin()6f x x π=+B ．()2sin()3f x x π=+ C ．()2sin(2)6f x x π=+ D ．()2sin(2)3f x x π=+ 6.设52)4sin(=+πθ，则=θ2sin （ ）A.258-B.258C.2517 D.2517-7.函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则点(,)a b 为 （ ）A ．（3，﹣3）B ．（﹣4，11）C ．（3，﹣3）或（﹣4，11）D ．不存在 8.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，……9的9个小正方形(颜色可以不用完），使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种． A ．18 B ．36 C ．72 D ．1089.对于定义在R 上的函数)(x f ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x R ∈恒成立，则称)(x f 为关于a 的“倒函数”,已知定义在R 上的函数)(x f 是关于0和1的“倒函数”，且当]1,0[∈x 时，)(x f 的取值范围为]2,1[，则当]2016,2016[-∈x 时，)(x f 的取值范围为 （ ）A ．]2,1[B ．]2,21[C ．1[,2016]2D ．R10.如图，己知5,3,OA OB →→==∠AOB 为锐角，OM 平分∠AOB，点N 为线段AB 的中点，OP xOA y OB →→→=+，若点P 在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于,x y 的式子中，①0,0x y ≥≥;②0x y -≥；③0x y -≤；④530x y -≥；⑤350x y -≥．满足题设条件的为（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①③⑤D ．②⑤二、填空题（每题4分，共28分）11.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 . 12. 5名战士站成一排，其中甲不站在最左边的不同站法的种数为_________. 13.如图，在ABC ∆中，,8,3B AB π∠==点D 在边BC 上，1cos ,7ADC ∠=则sin _____,______.BAD BD ∠==14.直线1y =与曲线2||y x x a =-+有两个交点，则a 的取值范围为_______.15.设(cos ,sin ),(os ,sin )33n n n a b c ππθθ==，则22212100||||||y a b a b a b =++++++的最大值与最小值的差是 . 16.已知单位向量,a b →→夹角为锐角，对t R ∈，a t b →→-的取值范围是)3,⎡+∞⎢⎣，若向量c →满足 2.0c a c b →→→→⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则c →的最小值为_________.17.已知0,a ≥若函数22(1)()x f x x a+=+在[]1,1-上的最大值为2，则实数a 的值为______.三、解答題（共52分）18．已知4,3,(23)(2)61.a b a b a b →→→→→→==-⋅+= （1）求a →与b →的夹角θ； (2)求a b →→+.19.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，且.2cos cos ca bC B +-= （1）求角B 的大小；（2）若4,13=+=c a b ，求ABC ∆的面积.20.已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB .(1)已知0>b ，求)(x f 的单调递减区间; (2)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;21.设函数2(),(,)f x x ax b a b R =-+∈(1)若函数()f x 在[0，1]上不单调，求a 的取值范围;(2) 对任意[]1,1x ∈-，都存在t R ∈，使得()()f t f x t =+成立，求a 的取值范围．22.已知函数()ln ,()xf x ax xg x e =+=. (1)求函数()y f x =的极值； (2)若不等式()g x <在()0,+∞有解，求实数m 的取值菹围.诸暨中学2015学年第二学期高二年级数学期中答题卷数学 答题卷考试时间：120分钟 满分：120分一、选择题(每小题4分，共40分）二、填空题（每题7分，共28分）11. ___________； 12.___________；13．___________，___________ ； 14.__________； 15.___________； 16.___________； 17.___________；三、解答題（共52分） 18.（本题满分10 分）19.（本题满分10分）20.（本题满分10分）21.（本题满分11 分）22．（本题满分11 分）诸暨中学2015学年第二学期高二年级数学期中答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBADCDBDBB11. 34y x =-+ 12. 96 13.33,3 14.514a a <=或15. 43 16. 73- 17. 1 三、解答题（共52分）18.22(1)(23)(2)6144361a b a b a a b b →→→→→→→→-⋅+=∴-⋅-=1cos ,2θ∴=-又[0,]θπ∈23πθ∴=222(2)||213||13a b a b a b a b →→→→→→→→+=++⋅=∴+=19.由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===代入.2cos cos ca bC B +-=得 2sin cos sin()0A B B C ++=，又A B C π++=， 2sin cos sin A B A ∴=-，sin 0A ≠1cos 2B ∴=-，(0,)B π∈23B π∴=；（2）将4,13=+=c a b ，23B π=代入2222cos b a c ac B =+- 得3ac =，133sin 2ABC S ac B ∆∴==； 20..21.解：（Ⅰ）∵函数f（x）在[0，1]上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜2；（Ⅱ）解法1：由已知，对任意的实数x∈[﹣1，1]．，关于y的方程f（y）=f（x）+y有解，即对任意的实数x∈[﹣1，1]关于y的方程y2﹣（a+1）y﹣（x2﹣ax）=0有解，∴△1=（a+1）2+4（x2﹣ax）≥0，对任意x∈[﹣1，1]恒成立，即4x2﹣4ax+（a+1）2≥0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，极大值点，则当1xa=-时，()f x有极大值11()1ln()fa a-=-+-。

2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案的代号填在答题卷上）1．（3分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（）A．（4，﹣6）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣4，6）2．（3分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且只有一个平面B．平行于同一条直线的两个平面的平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D．过一点有且只有一条直线垂直于已知平面3．（3分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离4．（3分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．5．（3分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm26．（3分）若一直线过M（0，﹣1）且被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦AB 长为8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+4=0 B．3x+4y+4=0或y+1=0C．3x﹣4y﹣4=0 D．3x﹣4y﹣4=0或y+1=07．（3分）空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（）A．DF∥平面PBC B．AB⊥平面PDCC．平面PEF⊥平面ABC D．平面PAE平面PBC8．（3分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．4+2B．8+4C．4+8D．1+9．（3分）二面角α﹣l﹣β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线11．（3分）若直线x+y﹣b=0与曲线x=相交于不同的两点，则实数b的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2）C．[2，2）D．（2，2] 12．（3分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卷相应位置.）13．（4分）已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为．14．（4分）把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，若此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是．15．（4分）已知圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），则线段PQ中点M的轨迹方程是．16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给定下列四个命题（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β（3）若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n其中所有正确的命题为．（写出所有正确命题的编号）17．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是．18．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是．三．解答题（本大题共4小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.19．（10分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y+1）2=36上，求u=x+y的取值范围．20．（6分）三棱锥P﹣ABC中，已知PC=10，AB=8，E、F分别为PA、BC的中点，EF=，求异面直线AB与PC所成角的大小．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是BP的中点．（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求BP与平面ABCD所成的角的正弦值；（3）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx﹣1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案的代号填在答题卷上）1．（3分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（）A．（4，﹣6）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣4，6）【解答】解：∵圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，∴（x+2）2+（y﹣3）2=16，∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心坐标为（﹣2，3）．故选：C．2．（3分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且只有一个平面B．平行于同一条直线的两个平面的平行C．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D．过一点有且只有一条直线垂直于已知平面【解答】解：对于A，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，∴A错误；对于B，平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1B1∥平面CDD1C1，但两平面不平行，∴B错误；对于C，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，∴经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行，错误；对于D，如正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1点只有直线A1A⊥平面ABCD，反之，如果过点A1还有一条直线A1P⊥平面ABCD，则A1P∥A1A，这与A1P∩A1A矛盾，假设不成立，即过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，正确．3．（3分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0 即（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，表示以A（4，2）为圆心、半径等于3的圆；圆x2+y2+2y﹣3=0，即x2+（y+1）2=4，表示以B（0，﹣1）为圆心、半径等于2的圆．由于圆心距AB==5，正好等于半径之和，故两圆相外切，故选：B．4．（3分）已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是（）A．B．C．D．【解答】解：正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=1，正方体的对角线的长为2，棱长等于，故选：D．5．（3分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm2【解答】解：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长为2的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：=故选：A．6．（3分）若一直线过M（0，﹣1）且被圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=25截得的弦AB 长为8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+4=0 B．3x+4y+4=0或y+1=0C．3x﹣4y﹣4=0 D．3x﹣4y﹣4=0或y+1=0【解答】解：设直线方程为y=kx﹣1，∵圆心坐标为（1，2），圆的半径为5，弦AB长为8∴圆心到直线的距离d=3，∴=3⇒k=﹣或k=0，∴直线方程为y=﹣x﹣1或y+1=0，即3x+4y+4=0或y+1=0；故选：B．7．（3分）空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（）A．DF∥平面PBC B．AB⊥平面PDCC．平面PEF⊥平面ABC D．平面PAE平面PBC【解答】解：∵空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点，∴BC∥DF，又DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴BDF∥平面PBC，故A正确；∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，故B正确；∵DE⊥BC，AE⊥BC，DE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选：C．8．（3分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．4+2B．8+4C．4+8D．1+【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形∴这个平面图形的面积：═8+4．故选：B．9．（3分）二面角α﹣l﹣β的大小为45°，线段AB⊂α，B∈l，直线AB与l所成角为45°，则直线AB与β所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥β，垂足为C，作CD⊥l，垂足为D，连接AD，BC．则l⊥AD．∴∠ADC是二面角α﹣l﹣β的平面角，大小为45°．∠ABC是直线AB与β所成角．不妨取AD=，则AC=CD=1，AB=2，在Rt△ACB中，sin∠ABC==．∴∠ABC=30°．故选：A．10．（3分）若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a异面或相交，故A和C均错误；直线a与平面α至少有一个公共点，故B正确；当a⊂α时，α内存在与a平行的直线，故D不正确．故选：B．11．（3分）若直线x+y﹣b=0与曲线x=相交于不同的两点，则实数b的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2）C．[2，2）D．（2，2]【解答】解：曲线x=即x2+y2=4 （x≥0），表示以原点（0，0）为圆心、半径等于2的半圆（位于y轴或y轴右侧的部分）．当直线和半圆相切时，由=2，求得b=2，或b=﹣2（舍去）．当直线经过点（0，2）时，由0+2﹣b=0，求得b=2，故当直线和半圆有2个交点时，b的范围为[2，2），故选：C．12．（3分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部【解答】解：⇒CA⊥面ABC1⇒面ABC⊥面ABC1，∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面ABC1内，也在面ABC内，∴点H在两面的交线上，即H∈AB．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卷相应位置.）13．（4分）已知α∥β，a⊂α．b⊂β，则直线a与b的位置关系为平行或异面．【解答】解：因为α∥β，a⊂α．b⊂β，所以两条直线没有公共点，所以直线a与b的位置关系平行或异面；故答案为：平行或者异面．14．（4分）把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，若此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是90°．【解答】解：如图所示：∵等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角∴∠BDC即为二面角设BD=CD=1，则AB=AC=∵AB=AC 且∠BAC=60°∴△ABC为等边三角形∴BC=在△BCD中，∵BD=CD=1 且BC=，∴∠BDC=90°即：二面角为90°故答案为：90°15．（4分）已知圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），则线段PQ中点M的轨迹方程是（x﹣2）2+y2=1．【解答】解：圆x2+y2=4 上动点P及定点Q（4，0），设PQ中点M（x，y），则P（2x﹣4，2y），代入圆的方程得（x﹣2）2+y2=1．线段PQ中点M的轨迹方程是：（x﹣2）2+y2=1．故答案为：（x﹣2）2+y2=1．16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给定下列四个命题（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β（3）若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n其中所有正确的命题为（2）（4）．（写出所有正确命题的编号）【解答】解：（1）由于m∥α，n⊥β且α⊥β不能确定两条直线的位置关系，故是假命题；（2）由m⊥α，我们可以在α找到一条直线a与n平行，因为n⊥β，所以a⊥β，所以α⊥β，故（2）正确；（3）由面面平行的定理知，一个面中两条相交线分别平行于另一个平面中的两条线才能得出面面平行，故（3）错．（4）因为α∥β，m⊥α，所以m⊥β，因为n⊥β，所以m∥n，故正确．故答案为：（2）（4）17．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，）18．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B ∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V=××1×x×（1﹣x）=（x﹣x2），当x=时，体积取得最大值：．故答案是：．三．解答题（本大题共4小题，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.19．（10分）（1）已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点，且与直线x+y+3=0相切，求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆（x﹣2）2+（y+1）2=36上，求u=x+y的取值范围．【解答】解：（1）对于直线x﹣y+1=0，令y=0，得到x=﹣1，即圆心C（﹣1，0），∵圆心C（﹣1，0）到直线x+y+3=0的距离d==，∴圆C半径r=，则圆C方程为（x+1）2+y2=2；（2）u=x+y可化为x+y﹣u=0，圆心到直线的距离d≤6，即，得到：1﹣6≤u≤1+6．20．（6分）三棱锥P﹣ABC中，已知PC=10，AB=8，E、F分别为PA、BC的中点，EF=，求异面直线AB与PC所成角的大小．【解答】解：取PB中点M，连结EM，FM，则EM∥AB，FM∥PC，所以∠EMF（或其补角）为所求角．在△EMF中，cos∠EMF=，所以∠EMF=120°，所以AB和PC所成角为60°．21．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是BP的中点．（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求BP与平面ABCD所成的角的正弦值；（3）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取PA的中点F，连接EF，FD．因为E是BP中点，所以EF∥AB，且EF=AB，又由已知，四边形EFDC为平行四边形，所以EC∥FD⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，所以EC∥平面PAD．（2）设AB=2a，由已知，BD=，∠ABD=45°，由余弦定理得AD=，所以∠ADB=90°．以D为原点，建立如图所示坐标系，则B（0，，0），P（，0，），所以=（）平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）．所以cos＜＞===﹣，BP与平面ABCD所成的角的正弦值为．（3）易知A（，0，0），则=（﹣，，0），平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由得取x=1，则=（1，1，1）．所以cos＜＞=所以二面角P﹣AB﹣D的余弦值为．22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx﹣1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心坐标（1，﹣2），因为在两点A、B关于直线y=kx﹣1对称，所以直线经过圆的圆心，所以﹣2=k﹣1，k=﹣1．直线AB的斜率为：1；设直线AB的方程为x﹣y+b=0；对称轴方程为：x+y+1=0，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得2x2+2（b+1）x+b2+4b﹣4=0，x1x2=，x1+x2=﹣b﹣1．以AB为直径的圆经过原点．x1x2+y1y2=0，2×+b2+b（﹣b﹣1）=0，解得b=1或b=﹣4所以所求直线AB的方程为x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=0．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。