高中数学人教A版选修4-4阶段质量检测(一) A卷 Word版含解析

阶段质量检测（一）A卷

一、选择题

(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( )

A．(1,0) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(0，－1)

解析：选B x＝1×cos π＝－1，y＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．

2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P0，π2，Q(2，π)，则有( )

A．P在曲线C上，Q不在曲线C上

B．P，Q都不在曲线C上

C．P不在曲线C上，Q在曲线C上

D．P，Q都在曲线C上

解析：选C 当θ＝π2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q在曲线上．

3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是( )

A. x＝3x′y＝12y′ B. x′＝3xy′＝12y

C. x＝3x′y＝2y′ D. x′＝3xy′＝2y 解析：选B 将 x′＝λx，y′＝μy代入y＝sin x，得μy＝sin λx，

即y＝1μsin λx，与y＝2sin 3x比较，得μ＝12，λ＝3，

即变换公式为 x′＝3x，y′＝12y.

4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( )

A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4

C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4

解析：选B 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，故化为直角坐标方程是x2＋y2＝4y，即(y－2)2＋x2＝4.

5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C16，π2，5，则此长方体的体积为( )

A．100 B．120

C．160 D．240

解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C16，π2，5，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.

6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A．π B．4π

C．8π D．9π

解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，

∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]． 即(x－2)2＋y2＝4.

故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.

7．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )

A．2 B．6

C．23 D．215

解析：选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝23.

8．极坐标方程θ＝π3，θ＝23π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )

A.163π B.83π

C.43π D.23π

解析：选B 三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3.

∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π3.

9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sinθ－π3关于( )

A．θ＝π3轴对称 B．θ＝5π6轴对称

C.2，π3中心对称 D．极点中心对称

解析：选B ρ＝4sinθ－π3可化为ρ＝4cosθ－5π6，可知此曲线是以2，5π6为圆心的圆，故圆关于θ＝5π6对称．

10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q1，π2的最近距离等于( )

A.2－1 B.5－1

C．1 D.2

解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即2－1.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)

11．(陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．

解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l，则12＝122＋l22，解得l＝3.

答案：3

12．点A的直角坐标为332，92，3，则它的球坐标为________．

解析：r＝3322＋922＋32＝6.cos φ＝36＝12，

∴φ＝π3.tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3. ∴它的球坐标为6，π3，π3.

答案：6，π3，π3

13．在极坐标系中，点A2，π2关于直线l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．

解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝π4，且OA′＝22，

故A′的极坐标可以是22，π4.

答案：22，π4

14．已知直线l的方程为y＝x＋1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径 ρ＝________.

解析：直线l的方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝x2＋y2＝5.

答案：5

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x′＝x3，y′＝y2后的图形． (1)x2－y2＝1；(2)x29＋y28＝1.

解：由伸缩变换 x′＝x3，y′＝y2得错误! ①

(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，

因此，经过伸缩变换 x′＝x3，y′＝y2后，

双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示．

(2)将①代入x29＋y28＝1得x′2＋y′22＝1，因此，经过伸缩变换 x′＝x3，y′＝y2后，椭圆x29＋y28＝1变成椭圆x′2＋y′22＝1，如图(2)所示．

16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为A2，π4，B2，5π4，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标．

解：对于点A2，π4，直角坐标为(2，2)，点B2，5π4的直角坐标为(－2，－2)，

设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，

∴AC―→·BC―→＝0，

即(x－2，y－2)·(x＋2，y＋2)＝0，

∴x2＋y2＝4.① 又|AC―→|2＝|BC―→|2，

于是(x－2)2＋(y－2)2＝(x＋2)2＋(y＋2)2，

∴y＝－x，代入①，得x2＝2，

解得x＝±2.

∴ x＝2，y＝－2或 x＝－2，y＝2，

∴点C的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)，

∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，

∴点C的极坐标为2，3π4或2，7π4.

17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．

解：将极坐标方程化为直角坐标方程，

得圆的方程为x2＋y2＝2x，

即(x－1)2＋y2＝1，

直线的方程为3x＋4y＋a＝0.

由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，

即有|3×1＋4×0＋a|32＋42 ＝1，解得a＝－8或a＝2.

故a的值为－8或2.

18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－π6上的动点，试求|PQ|的最大值．

解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，

∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cosθ－π6，

∴ρ2＝12ρcos θcosπ6＋sin θsinπ6，

∴x2＋y2－63x－6y＝0，

∴(x－33)2＋(y－3)2＝36.

∴|PQ|max＝6＋6＋332＋32＝18.

19．(本小题满分12分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．

解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′(9a，0)，直线BP的方程为xa＋y2＝1，直线B′P′的方程为x9a＋y－2＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.

设M(x，y)，则由 2x＋ay－2a＝0，2ax－9y－18＝0，解得

 x＝18aa2＋9，y＝2a2－18a2＋9(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，

所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．

20．(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ

代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，

得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由 x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，

解得 x＝1，y＝1或 x＝0，y＝2.

所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.