人教版数学高二-人教A版选修4-5阶段质量检测(一) A卷

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高中数学 阶段质量检测（一）A卷

（时间90分钟，满分120分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，集合B＝{x||2x－1|>3}，则集合A∩B等于( )

A．{x|2≤x≤3} B．{x|2≤x<3}

C．{x|2

解析：选C A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x>2或x<－1}．∴A∩B＝{x|2

2．(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

A．a

C.ab

解析：选A 设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为Sa，从乙地到甲地所需时间为Sb，又因为a2ab2b＝a，即a

3．已知|x－a|

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C 由|x－a|

由已知得 a－b＝2，a＋b＝4.解得 a＝3，b＝1.

4．下列三个不等式：①x＋1x≥2(x≠0)；②ca＜cb(a＞b＞c＞0)；③a＋mb＋m＞ab(a，b，m为正数且a＜b)．其中恒成立的个数为( )

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：选B 当x＜0时，①不成立；由a＞b＞c＞0得1a＜1b，所以ca＜cb成立，所以②恒成立；a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m，由a，b，m为正数且a＜b知a＋mb＋m－ab＞0恒成立，故③恒成立． 打印版

高中数学 5．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )

A．2 B.2 C．4 D．6

解析：选A y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.

6．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为－12，12，则t的值为( )

A．0 B．1

C．－1 D．2

解析：选A |2x－t|<1－t，t－1<2x－t<1－t，

2t－1<2x<1，t－12

7．已知a＞b＞0，给出下列三个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式为( )

A．①② B．①②③

C．①③ D．②③

解析：选A 由a＞b＞0可得a2＞b2，①成立；由a＞b＞0可得a＞b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)＞f(b－1)，即2a＞2b－1，②成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3＜2a2b，③不成立．故选A.

8．函数y＝4x－92－4xx>12的最小值是( )

A．8 B．6 C．9 D．4

解析：选A y＝4x－92－4x＝4x＋94x－2

＝4x－2＋94x－2＋2，∵x>12，∴4x－2>0，

∴y≥29＋2＝8.当且仅当x＝54时，等号成立．

9．(重庆高考)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( )

A．6＋23 B．7＋23

C．6＋43 D．7＋43

解析：选D 由log4(3a＋4b)＝log2ab，

得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴a＝4bb－3. 打印版

高中数学 由a＞0，得b＞3，∴a＋b＝b＋4bb－3＝b＋4b－3＋12b－3

＝(b－3)＋12b－3＋7≥212＋7＝43＋7，

即a＋b的最小值为7＋43.

10．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )

A．0 B.98

C．2 D.94

解析：选C zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy－3＋4yx≥

2xy·4yx－3＝1，当且仅当xy＝4yx，

即x＝2y时，等号成立．

此时z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，

∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，

∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)

11．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________．

解析：因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，

所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6)，即A

答案：A

12．函数f(x)＝3x＋12x2(x>0)的最小值为________．

解析：f(x)＝3x＋12x2＝3x2＋3x2＋12x2≥333x2·3x2·12x2＝9，当且仅当3x2＝12x2，即x＝2时，等号成立．

答案：9

13．以下三个命题：

(1)若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1； 打印版

高中数学 (2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；

(3)若|x|<2，|y|>3，则xy<23.

其中正确的有__________个．

解析：(1)∵|a|－|b|≤|a－b|<1，∴|a|<|b|＋1.

∴(1)正确．

(2)∵|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|a＋b－2a|＝|b－a|＝|a－b|，∴(2)正确．

(3)∵|x|<2，|y|>3，∴xy＝|x||y|<23，∴(3)正确．

答案：3

14．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋4a，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：只要|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋4a即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x－4)|＝5，

所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，

故只要－5≥a＋4a即可．

当a＞0时，不等式－5≥a＋4a无解；

当a＜0时，得a2＋5a＋4≥0，

则有a≤－4或－1≤a＜0.

综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．

答案：(－∞，－4]∪[－1,0)

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)解不等式：

|2x－1－x|<2.

解：原不等式⇔ 2x－1－x<2，2x－1－x>－2.

因为2x－1－x<2⇔2x－1

高中数学 ⇔ 2x－1≥0，x＋2≥0，2x－1<x＋22⇔ x≥12，x2＋2x＋5>0⇔x≥12.

又2x－1－x>－2⇔ 2x－1≥0，x－2≥0，2x－1>x－22或 2x－1≥0，x－2<0.

⇔ x≥2，x2－6x＋5<0或12≤x<2，

⇔ x≥2，1

⇔12≤x<5.

所以，原不等式组等价于 x≥12，12≤x<5⇔12≤x<5.

因此，原不等式的解集为x 12≤x<5.

16．(本小题满分12分)已知a>0，b>0，求证：

a＋b＋1aa2＋1b＋1a2≥9.

证明：因为a>0，b>0，所以

a＋b＋1a≥33a·b·1a＝33b>0.①

同理可证a2＋1b＋1a2≥331b>0.②

由①②结合不等式的性质，得

a＋b＋1aa2＋1b＋1a2≥33b×331b＝9，

当a＝b＝1时，等号成立．

17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N. 打印版

高中数学 (1)求M；

(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.

解：(1)f(x)＝ 3x－3，x∈[1，＋∞，1－x，x∈－∞，1.

当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，得x≤43，

故1≤x≤43；

当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1，得x≥0，

故0≤x＜1.

所以f(x)≤1的解集为M＝x 0≤x≤43.

(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，

得(4x＋1)(4x－3)≤0，解得－14≤x≤34.

因此N＝x －14≤x≤34，

故M∩N＝x 0≤x≤34.

当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝14－x－122≤14.

18．(本小题满分14分)(辽宁高考)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

(1)求a的值；

(2)若fx－2fx2≤k恒成立，求k的取值范围．

解：(1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2.

又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，

所以当a≤0时，不合题意．

当a>0时，－4a≤x≤2a，得a＝2. 打印版

高中数学 (2)法一：记h(x)＝f(x)－2fx2，

则h(x)＝ 1， x≤－1，－4x－3，－1

所以|h(x)|≤1，因此k的取值范围是[1，＋∞)．

法二：fx－2fx2＝|||2x＋1|－2|x＋1|

＝2x＋12－|x＋1|≤1，

由fx－2fx2≤k恒成立，可知k≥1，

所以k的取值范围是[1，＋∞)．