九年级数学人教版(上册)小专题8 二次函数与几何图形的小综合

小专题(五) 二次函数与几何图形综合

类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题

以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积．

1．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．

2．(延庆县一模)二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－12x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．

3．(磴口县校级模拟)如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题

如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决．

4．(随州中考改编)如图，已知抛物线y＝28(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．

5．(广元中考改编)如图，已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；

(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．

小专题(五) 二次函数与几何图形综合

类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题

以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积．

1．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题:

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．

2．(延庆县一模)二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－12x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．

3．(磴口县校级模拟)如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题

如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决．

4．(随州中考改编)如图，已知抛物线y＝28(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．

5．(广元中考改编)如图，已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；

(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

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1．如图4－ZT－1，已知O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为(2，0)．

(1)求点B的坐标；

(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式．

图4－ZT－1

2．如图4－ZT－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，5)，且抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)求△MCB的面积．

图4－ZT－2

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

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3．[2019·云南模拟] 如图4－ZT－3，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，OB＝2OC且OC＝2.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标．

(2)P为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点P使得S△ABP＝32S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图4－ZT－3

4．如图4－ZT－4，抛物线y＝－x2＋5x＋n经过点A(1，0)，与y轴交于点B.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．

图4－ZT－4 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

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5．如图4－ZT－5，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．

(1)求a，b的值；

(2)C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，其横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．

图4－ZT－5

6．如图4－ZT－6所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)，求抛物线的函数解析式．

二次函数与几何图形综合练习题

1．如图，直线l过A(3，0)和B(0，3)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一

象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求二次函数的解析式．

2．如图，在直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，

B(0，2)，抛物线y＝1

2x2＋bx－2的图象过C点．求抛物线的解析式．

3．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

点B的坐标为(3，0)．

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；

(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．

4．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0), 直线y＝－x＋

b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C.

(1)求二次函数的解析式；

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为P，

交BD于点M，求MN的最大值．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴

交于A，B两点，且点B坐标为(3，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，交y轴于点D(0，3)，其对称

轴为直线x＝4，点C为对称轴上一点，四边形ABCD为平行四边形，求抛物线的

解析式．

7．如图是函数y＝2

3x2的图象，点A

0位于坐标原点，点A

1，A

2，A

3，…，A

n在y轴

的正半轴上，点B

1，B

2，B

3，…，B

n在二次函数位于第一象限的图象上，点C

1，C

2，

C

3，…，C

n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A

0B

1A

1C

1，四边形A

1B

2A

2C

2，

四边形A

2B

3A

3C

3，…，四边形A

n－1B

nA

nC

n都是菱形，∠A

0B

1A

1＝∠Ａ

1B

2A

2＝∠Ａ

2B

3A

3＝…

＝∠Ａ

n－1B

nA

n＝60°，则菱形A