13年高考真题——理科数学(山东卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z满足325zi（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）

（A）2i （B）2i （C）5i （D）5i

2．设集合0,1,2A，则集合|,BxyxAyA中元素的个数是（ ）

（A）1 （B）3 （C）5 （D）9

3．已知函数fx为奇函数，且当0x时，21fxxx，则1f（ ）

（A）2 （B）0 （C）1 （D）2

4．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为94，底面积是边长为3的正

三角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）

（A）512 （B）3 （C）4 （D）6

5．将函数sin2yx的图像沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ） （A）34 （B）4 （C）0 （D）4

6．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组220210380xyxyxy所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ） （A）2 （B）1 （C）13 （D）12

7．给定两个命题p、q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

8．函数cossinyxxx的图象大致为（ ）

9．过点3,1作圆2211xy的切线，切点分别为,AB，则直线AB的方程为（ ） （A）230xy （B）230xy （C）430xy （D）430xy

10．用0,1,2,,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（

）

（A）243

（B）252 （C）261 （D）279

11．抛物线1C：2102yxpp的焦点与双曲线2C：2213xy的右焦点的连线交1C于第一象限的点M。若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线，则p（ ）

（A）316 （B）38 （C）233 （D）433

12．设正实数,,xyz满足22340xxyyz，则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为（ ） （A）0 （B）1 （C）94 （D）3

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 。

13．执行右面的程序框图，若输入的的值为0.25，则输出的n的值为________。

14．在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为________。

15．已知向量AB与AC夹角为0120，且||3AB，||2AC，若,APABAC且APBC，则实数的值为________。

16．定义“正对数”：001lnln1xxxx，现有四个命题：

①若0,0ab，则lnlnbaba；②若0,0ab，则lnlnlnabab；③若0,0ab，则lnlnlnabab；④若0,0ab，则lnlnlnln2abab。其中的真命题有 （写出所有真命题的编号）。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。

17．（本小题满分12分）设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且6ac，2b，cos79B。⑴求,ac的值；⑵求sinAB的值。

18．（本小题满分12分） 如图所示，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BABPBQ，,,,DCEF分别是,,,AQBQAPBP中点，2AQBD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。 ⑴求证：//ABGH；⑵求二面角DGHE的余弦值。

19．（本小题满分12分） 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23。假设每局比赛结果互相独立。 ⑴分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率； ⑵若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望。

20．（本小题满分12分）设等差数列na的前n项和为nS，且424SS，221nnaa。⑴求数列na的通项公式；⑵设数列nb前n项和为nT，且 12nnnaT(为常数)。令2nncbnN，求数列nc的前n项和nR。

21．（本小题满分13分）设函数2xxfxce (2.71828e是自然对数的底数，cR)。⑴求fx的单调区间、最大值；⑵讨论关于x的方程|ln|xfx根的个数。

22．（本小题满分13分）椭圆C：222210xyabab的左、右焦点分别是12,FF，离心率为32，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。⑴求椭圆C的方程；⑵点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PFPF，设12FPF的角平分线PM交C

的长轴于点,0Mm，求m的取值范围；⑶在⑵的条件下，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线12,PFPF的斜率分别为12,kk，若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值。

2013年普通高校招生全国统考数学试卷山东卷解答

一．DCABB CADAB DB

二．13．3；14．13；15．712；16．①③④ 17．解：⑴由题2221432499acacacac，又6ac，解得3ac；

⑵由⑴可知42sin9B，且22sin3A，1cos3A，故227142102sin393927AB。

18．解：⑴因,CD为中点，故//CDAB。同理//EFAB，所以//EFCD。因EF平面EFQ，故//CD平面EFQ。又CD平面PCD，故//CDGH，所以//ABGH；

⑵因2AQBD，且ADDQ，故ABBQ。又PBAB，故AB平面PBQ，从而GH平面PBQ，因此FHC即为二面角DGHE的平面角。设2PB，则易知5PCQF，故253PHQH。又22PQ，故4cos5PHQ，此即为所求。

19．解：⑴331328327PC，2223212833327PC，22234211433227PC；

⑵由题0,1,2,3X，且88160272727PX，

4127PX，22241214223327PXC，33131123333327PXC。故X的分布列如右表所示，且79EX。

20．解：⑴设公差为d，则1111464221211adadandand，解得112ad，故21nan；

⑵由12nnnaT可得11b，12nnnT，故12122nnnTn，从而当2n时，122nnnb。所以当0时，122nnnb，114nnnc，故1114nniiiR，由错位相减法可得1431994nnnR；当0时，111124nnncnn，由错位相减法可得X 0 1 2 3

P 1627 427 427 327 1531994nnnR。综上知1143109945310994nnnnRn。

21．解：⑴212xxfxe，由0fx得12x，函数单增区间为1,2；由0fx得12x，函数单减区间为12,。故当12x时，函数取得最大值max12fxce；

⑵由⑴知，fx先增后减，即从负无穷增大到12ce，然后递减到c，而函数|ln|yx在0,1时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。令10f得，21ce。所以当21ce时，方程有两个根；当21ce时，方程有一个根；当21ce时，方程无实根。

22．解：⑴由题2232aba，221ba，解得2241ab，故椭圆方程为2214xy；

⑵由题1212||||||||PFPMPFPMPFPMPFPM，即1212||||PFPMPFPMPFPF。设2000,4Pxyx，将向量坐标代入并化简得23000416312mxxx，因204x，故034mx。而02,2x，所以32,32m；（另解：设1||23,23PFt，则433tmtm，可得323tm，故23323233m，故32,32m）

⑶由题可知l为椭圆的在P点处的切线，由导数法可求得，切线方程为0014xxyy，故004xky，而013ykx，023ykx，知001200331148xxkkkkxx为定值。