2014年高考(山东卷)理科数学
- 格式：doc
- 大小：5.42 MB
- 文档页数：13
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2014山东，理1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )．
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
答案：D
解析：由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.
所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.
2．(2014山东，理2)设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝( )．
A．[0,2] B．(1,3)
C．[1,3) D．(1,4)
答案：C
解析：由题意，得A＝{x||x－1|＜2}＝{x|－1＜x＜3}，
B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}＝{y|1≤y≤4}，
所以A∩B＝[1,3)．
3．(2014山东，理3)函数221log1fxx的定义域为( )．
A．10,2 B．(2，＋∞)
C．10,2∪(2，＋∞) D．10,2∪[2，＋∞)
答案：C
解析：要使函数有意义，应有(log2x)2＞1，且x＞0，
即log2x＞1或log2x＜－1，
解得x＞2或102x.
所以函数f(x)的定义域为10,2∪(2，＋∞)．
4．(2014山东，理4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )．
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案：A
解析：因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．
5．(2014山东，理5)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )．
A．221111xy B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C．sin x＞sin y D．x3＞y3
答案：D
解析：由ax＜ay(0＜a＜1)，可得x＞y. 又因为函数f(x)＝x3在R上递增，
所以f(x)＞f(y)，即x3＞y3.
6．(2014山东，理6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．
A．22 B．42 C．2 D．4
答案：D
解析：由34yxyx，，解得x＝－2或x＝0或x＝2，
所以直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为230(4)dSxxx－2422401122220444xx.
7．(2014山东，理7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，„„，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )．
A．6 B．8 C．12 D．18
答案：C
解析：设样本容量为n，
由题意，得(0.24＋0.16)×1×n＝20，解得n＝50.
所以第三组频数为0.36×1×50＝18.
因为第三组中没有疗效的有6人，
所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12.
8．(2014山东，理8)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )．
A．10,2 B．1,12
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案：B
解析：画出f(x)＝|x－2|＋1的图象如图所示．
由数形结合知识，可知若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点．
所以函数g(x)＝kx的图象应介于直线12yx和y＝x之间，所以k的取值范围是1,12.
9．(2014山东，理9)已知x，y满足约束条件10,230,xyxy当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为( )．
A．5 B．4 C．5 D．2
答案：B
解析：约束条件10,230xyxy满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取最小值时，最优解为(2,1)．
所以2a＋b＝25，则252ba，
所以2222224525258520545abaaaa，
即当455a，255b时，a2＋b2有最小值4.
10．(2014山东，理10)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为22221xyab，双曲线C2的方程为22221xyab，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为( )．
A．20xy B．20xy
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案：A
解析：由题意，知椭圆C1的离心率221abea，
双曲线C2的离心率为222abea.
因为1232ee，
所以2222232ababa， 即2222434ababa，
整理可得2ab.
又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay＝0，
所以20bxby，即20xy.
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．(2014山东，理11)执行下面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为__________．
答案：3
解析：输入x＝1,12－4＋3≤0，
则x＝2，n＝1；
返回22－8＋3≤0，则x＝3，n＝2；
返回32－12＋3≤0，则x＝4，n＝3；
返回42－16＋3＞0，则输出n＝3，结束．
12．(2014山东，理12)在△ABC中，已知tanABACA，当π6A时，△ABC的面积为__________．
答案：16
解析：由tanABACA，可得costanABACAA.
因为π6A，所以3323ABAC，
即23ABAC.
所以1sin2ABCSABACA
12112326.
13．(2014山东，理13)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则12VV＝__________. 答案：14
解析：由题意，知VD－ABE＝VA－BDE＝V1，
VP－ABC＝VA－PBC＝V2.
因为D，E分别为PB，PC中点，
所以14BDEPBCSS.
设点A到平面PBC的距离为d，
则12113143BDEBDEPBCPBCSdVSVSSd.
14．(2014山东，理14)若62baxx的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为__________．
答案：2
解析：62baxx的展开式的通项为626123+166=CCrrrrrrrrbTaxabxx，
令12－3r＝3，得r＝3.
由633366CC20rrrabab，得ab＝1.
所以a2＋b2≥2ab＝2×1＝2.
15．(2014山东，理15)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)．y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是24gxx关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是__________．
答案：(210,+)
解析：由已知得2432hxxxb，
所以，2624hxxbx.
h(x)＞g(x)恒成立，
即226244xbxx恒成立，
整理得234xbx恒成立．
在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆24yx(如图所示)，当直线与半圆相切时，2|300|213b，所以210b.故b的取值范围是210,． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．(本小题满分12分)(2014山东，理16)已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点π,312和点2π,23.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
分析：在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f(x)的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m，n的方程组，利用此方程组即得m，n的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g(x)的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g(x)确定的解析式，从而求出单调区间．
解：(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图象过点π,312和2π,23，
所以ππ3sincos664π4π2sincos33mnmn，，
即133,22312,22mnmn
解得3m，n＝1.
(2)由(1)知3sin2cos2fxxx
π2sin26x.
由题意知π()2sin226gxfxx.
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，
由题意知2011x，所以x0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)得πsin216，
因为0＜φ＜π，所以π6.
