2024届上海虹口区高三一模数学试卷和答案
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1上海虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试
高三数学试卷
2023.12
考生注意：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的
相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合
0,1,2,3,4,5,21,_______.ABxxAB则
2.函数1
lg(2)
5yx
x
的定义域为_________.
3．设等比数列{}
na的前
n项和为
nS，若
21a，
24S，则lim
n
nS
=_________.
4.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为_________.
5.在
72
()x
x的二项展开式中x
项的系数为_________.
6.已知1
cos,
3xx且
为第三象限的角
，则tan2x=_________.
7．双曲线2
21
4y
x的两条渐近线夹角的余弦值为_________.
8．已知函数()cos()fxx
(0,||
2
)的部分图像如
右图所示，则()fx
=_________.
9.已知()yfx
是定义在(1,1)
上的函数，若()3sinfxxx
，且2(1)(1)0,fafa
则实数a
的取
值范围为_________.
10.将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________.
（结果用分数表示）
11.设aR，
若关于x的方程
2210xxaxxa有3个不同的实数解，则实数a
的取值范
围为_________.
12.设
123123,,,,,aaabbb
是平面上两两不相等的向量，若
1223aaaa
312,aa
且对任意的
,1,2,3,ij
均有
1,3,
ijab
则
122331bbbbbb
________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5
分）（第8题图）
2每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13.设i为虚数单位，若
252
1z
i
ii
，则z
（）
（A）12i
（B）12i
（C）2i
（D）2i
14．空气质量指数AQI
是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:
AQI
指数值0~5051~100101~150151~200201~300300
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1
日—20日AQI
的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是（）
（A）这20
天中AQI
的中位数略大于150
（B）10月4日到10月11日，空气质量越来越好
（C）这20天中的空气质量为优的天数占25
%
（D）10月上旬AQI
的极差大于中旬AQI
的极差
15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全
相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的
三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、
6个面为正方形的一种半正多面体.若2AB
，则此半正多面体外接球的表面积为
（）
（A）43π（B）12π（C）82
3π（D）8π
16.已知曲线的对称中心为O
，若对于上的任意一点A
，都存在上两点
,BC，使得O
为ABC△
的重心，则称曲线为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”.（第15题图）
3则（）
（A）①是假命题，②是真命题（B）①是真命题，②是假命题
（C）①②都是假命题（D）①②都是真命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若
sinsinsin,sinmABCA
，
,ncbca
，且m
//n
．
（1）求角
B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，求sinsinyAC
的取值范围．
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
如图，在三棱柱ABC－A
1B
1C
1中，侧面AA
1C
1C为正
方形，4ABAC；设M是CC
1的中点，满足
11AMAB
，
N是BC的中点，P是线段A
1B
1上的一点.
(1)证明：AM⊥平面A
1PN；
(2)若
142,1BCAP，求直线AB
1与平面PMN
所成角的大小．
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂
2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,每月排
放处理后的废水比上月增加2吨.
（1）若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂从2023年7
月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试
问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知点(,4)Mm
在抛物线
：22(0)xpyp
上，点F为的焦点，且5MF
.
过点F的直线l与及圆22(1)1xy
依次相交于点,,,,ABCD
如图.
4（1）求抛物线
的方程及点M的坐标；
（2）求证：ACBD
为定值；
（3）过A,B两点分别作
的切线
12,,ll
且
1l
与
2l
相交于点P，求△
ACP与△
BDP的
面积之和的最小值．
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
已知()yfx
与()ygx都是定义在
0，上的函数，若对任意
12,0xx，，当
12xx时，都有
12
12
12()()
()()fxfx
gxgx
xx
，则称()ygx是()yfx
的一个“控制函数”.
（1）判断2yx
是否为函数2
0yxx的一个控制函数，并说明理由；
（2）设
lnfxx的导数为
'fx，0ab，求证：关于x
的方程
'fbfa
fx
ba
在区间
,ab上
有实数解；
（3）设
lnfxxx，函数
yfx是否存在控制函数？若存在，请求出
yfx的所有控制函数；
若不存在，请说明理由.
5虹口区2023-2024学年学生学习能力诊断测试
高三数学
参考答案和评分标准
2023年12月
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）
1．
1,2,32．
(2,5)3.9
24．
125．560
6.42
77.3
58．cos(2)
6x
9.
1,210．1
711．
9,12.3
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.A14.C15.D16.B
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
解：(1)因为m
//n
，所以
sinsinsinsinABCbcacA
，……2分
由正弦定理，可得
abcbcaac
，即222
acacb
.……4分于是，由余弦定理得2221
cos
22acb
B
ac
，又
0,B
，所以
3B
．……7分
（2）由（1）可知2
,
3AC
所以
233
sinsinsinsin()sincos3sin()
3226yACAAAAA
……11分
由△ABC为锐角△,得2
0,0,
232AA
且所以,
62A
从而
362
.
3A
所以sinsin3sin()
6yACA
的取值范围为3
2,3.
……14分
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
证：(1)取AC中点D，连接DN，A
1D.
因AA
1＝AC，AD＝CM，∠A
1AD＝∠ACM90
，
故△A
1AD≌△ACM.……2分
从而∠AA
1D＝∠CAM，又因∠AA
1D＋∠A
1DA
90，
故∠CAM＋∠A
1DA90
.所以AM⊥A
1D.
由于AM⊥A
1B
1及A
1B
1
11,ADA
因此
AM⊥平面A
1B
1D.……4分
因D,N分别为AC,BC的中点，故DN//AB，从而DN//A
1B
1，
于是A
1，P，B
1，N，D在同一平面内，故AM⊥面A
1PN.……6分
