2024年上海虹口区高三二模数学试卷和答案
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高中
1上海虹口区2023-2024学年第二学期学生学习能力诊断测试高三数学试卷2024.4考生注意：1.
本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的
相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．若3
sin,
5x则cos2x=_______.
2．已知一个球的表面积为36，则该球的体积为_______.
3．过抛物线24yx焦点的弦AB的中点横坐标为2，则弦AB的长度为_________.
4．已知集合2
tan0,0,_______.x
AxxBxAB
x
则
5．已知随机变量X～B(50，p)，且E[X]＝20，则D[X]=_______.
6．3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为________.
7．已知一个三角形的三边长分别为2,3,4,则这个三角形外接圆的直径为________.
8.已知等比数列{}
na是严格减数列，
其前n
项和为,
nS
12,a若
123,2,3aaa
成等差数列，
则lim
n
nS
=_________.
9．已知平面向量,ab
满足3,4,4,abab
若平面向量c
满足1,cb
则ca
的
最大值为_________.
10．从某个角度观察篮球（如图1）可以得到
一个对称的平面图形（如图2），篮球的外
轮廓为圆O，将篮球的表面粘合线视为坐
标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O
的交点将圆的周长8等分，且||||ABBC
||,CD
则该双曲线的离心率为_________.图1
图2
（第10题图）
高中211．如图，在直四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中，底面ABCD为菱形，
且60.BAD若AB=AA
1=2,点M为棱CC
1的中点，点P
在A
1B上，则线段PA，PM的长度和的最小值为________.
12．已知关于x的不等式2ln340xkxxkx
对任
意
0,x均成立，则实数k的取值范围为________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．欧拉公式eiθ=cos+isin把自然对数的底数e,虚数单位i，三角函数cos和sin联系在一起,被誉为“数学的天桥”.若复数z
满足3
2()2ez
iii，则z（）A.2B.22C.5D.10
14．设()sin23cos2fxxx，将函数()yfx的图像沿x轴向右平移
6
个单位，得到函数
()ygx
的图像，则（）
A.函数y=()gx
是偶函数
B.函数y=()gx
的图像关于直线
2x
对称
C.函数y=()gx
在
42
，
上是严格增函数
D.函数y=()gx
在2
63
，
上的值域为32
，
15．给出下列4个命题：
①若事件A和事件B互斥，则()()();PABPAPB
②数据2,3,6,7，8,10,11,13的第70百分位数为10；
③已知y关于x的回归方程为0.50.7yx，则样本点(2,1)的离差为0.7；
④随机变量X的分布为0123
,
0.20.20.30.3
则其数学期望
EX1.6.
其中正确命题的序号为（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
高中316.已知定义在R上的函数
(),fxgx的导数满足
'()'fxgx，给出两个命题：
①对任意
12,xxR，都有
1212fxfxgxgx；②若
gx的值域为
,mM，
1,1,fmfM则对任意xR都有
fxgx.
则下列判断正确的是（）
A.①②都是假命题B.①②都是真命题
C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知等差数列
na
满足
25a，
9672aa．
（1）求
na
的通项公式；
（2）设数列
nb
前n
项和为,
nS且22
1nnnbaa
，若432
mS，求正整数m
的最小值．
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
如图，在三棱柱
111ABCABC中，,CACBD为
AB的中点，
12,3.CACBCC
（1）求证：
1AC∥
平面
1BCD
；
（2）若
1CC平面,ABC点P在棱
1AA上，且PD
平面
1BCD,求直线CP与平面
1BCD所成角的正弦值．
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量
差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：mg
）5457606366
件数（单位：件）52146253
(1)求样本质量差的平均数x
；假设零件的质量差X～
2,N
，其中216
，用x
作为
的近似值，求
5668PX的值；
高中4
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的3
4来自第1条生产线.
若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.
现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量X～
2,N
，则()0.6827PX
，
(22)0.9545PX
，(33)0.9973PX
.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆22
22:1(0)xy
ab
ab的焦距为23,点P(0,1)在椭圆上，动直线与椭
圆相交于不同的两点A,B,且直线PA,PB的斜率之积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线PA的法向量为(1,2),n
求直线l的方程；
(3)是否存在直线,使得PAB△为直角三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，
请说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若函数()yfx满足：对任意
12,,xxR
120,xx都有12
12()()
0fxfx
xx
，则称函数
()yfx具有性质P.
（1）设()e,xfx3(),gxxx分别判断()yfx与()ygx是否具有性质P？并说明
理由；
（2）设
sin2,fxxax若函数()yfx具有性质P，求实数a的取值范围；
（3）已知函数()yfx具有性质,P且图像是一条连续曲线，若()yfx在R上是严格
增函数，求证：()yfx是奇函数.
高中5参考答案和评分标准
2024年4月
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）
1．7
252．36π3.64．,2
2
5．126.1447.16
15
158．39.17110．4
7
7
11．9+21012.1
,1
e
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13.A14.D15.C16.B
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
解：(1)设等差数列
na
的公差为d
，则由条件，得
1
115
8725ad
adad
，……3
分
解得
13a，2d
，故
1121
naandn
．……6分
（2）由（1）可得
123
nan
，则22(23)(21)8(1).
nbnnn
……8分
所以
18,
nnbb
故数列
nb
是以
116b
为首项、8为公差的等差数列，故
168(1)
4(3).
2mmm
Tmm
……11分
因为432
mT，所以23108mm，所以
1290mm
，
所以9m或12m．因为m
为正整数，所以m
的最小值是10．……14分
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
证：（1）连接B
1C与CB
1底相交于点E，因四边形
11BCCB为平行
四边形，所以点E是B
1C的中点.……2分
又因D为AB的中点，故DE为
1BAC的中位线，从而
1.ACDE∥……4分
故由
111BCDDEBDACC平面,平面，得
