2023届上海徐汇区高三数学一模试卷及答案

2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学试卷

2022．12

考生注意：

1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.

2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等

相关信息.

3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律

不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生

应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知全集UR，集合{|0}Axx，则A．

2．在复平面内，复数z所对应的点的坐标为(1,1)，则zz．

3．不等式x

xx



的解集为．

4．函数tan,yx





在区间上的零点是．

5．已知()fx

是定义域为R的奇函数，且0x

时，()1xfxe，则()fx

的值域是．

6．在92

()x

x的二项展开式中，3x项的系数是．

7．已知圆锥的侧面积为2，且侧面展开图为半圆，则该圆锥底面半径为．

8．在数列

na

中，

12a，且

1lg(2)

1nnn

aan

n

，则

100a=．

9．某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）

进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88

分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两

班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不

低于乙班选取得学生成绩记为事件A，则事件A发生

的概率()PA．10．在△ABC

中，4AC

，且ACAB

在方向上的数量投影是2，

则(R)BCBA

的最小值为．

11．设Rk，函数243yxx的图像与直线1ykx有四个交点，且这些交点的横坐

标分别为

12341234,,,xxxxxxxx，则2222

1234xxxx

k的取值范围为．

12．已知正实数ab、

满足326ab

，则2221babb的最小值为．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每

题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．设0ab

，则ab“”是11

ab“”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件

14．已知圆

1C

的半径为3，圆

2C

的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（）

A．0B．4C．8D．12

15．已知平面、、两两垂直，直线a、b、c满足：,abc，，则直线a、

b、c位置关系不可能是（）

A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面

16．设数列

na

为：1，1

2，1

2，1

4，1

4，1

4，1

4，1

8，1

8，1

8，1

8，1

8，1

8，1

8，1

8，…，

其中第1项为1

1，接下来2项均为1

2，再接下来4项均为1

4，再接下来8项均为1

8，…，以

此类推，记

1n

ni

iSa



，现有如下命题：①存在正整数k，使得1

ka

k；②数列nS

n



是严

格减数列．下列判断正确的是()

A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要

的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在直三棱柱

111ABCABC中，2ABAC，

14AA，

ABAC，

1BEAB交

1AA于点E，D为

1CC的中点．

（1）求证：BE平面

1ABC；

（2）求直线

1BD与平面

1ABC所成角的大小．

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知21

()ln(1)(R)

2fxxaxaxa．

（1）当0a时，求函数()yfx在点(1(1))f，处的切线方程；

（2）当

1a0，时，求函数()yfx的单调区间．

19.（本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分）

近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起

众多“口袋公园”．现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公

园”.如图所示，以EF中点A为圆心，FG为半径的扇形草坪区ABC，点P在弧BC上（不

与端点重合），ABBCCA、弧、

、PQPRRQ、、为步

行道，其中PQ与AB垂直，PR与AC垂直．设PAB

（1）如果点P位于弧BC的中点，求三条步行道

PQPRRQ、、的总长度；

（2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、

便利居民生活”等都有积极作用．为此街道允许在步行道

PQPRRQ、、开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为

每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精

确到1

万元）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知曲线

iC的方程为

221R,1,2,3

iixyi，直线

:1Rlykxk，.

（1）若曲线

1C是焦点在x轴上且离心率为2

2的椭圆，求

1

的值；

（2）若

211k，时，直线l

与曲线

2C相交于两点M，N，且2MN，求曲线

2C

的方程；

（3）若直线l与曲线

iC

在第一象限交于点

,

iiiPxy

，是否存在不全相等

123,,

满足

1322

，且使得2

213xxx成立．若存在，求出

2x

的值；若不存在，请说明理由．

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于数列

nnxy，

，其中

nyZ

，对任意正整数n都有1

2nnxy

，则称数列

ny

为数

列

nx

的“接近数列”.已知

nb

为数列

na

的“接近数列”，且

11,nn

nini

iiAaBb



．

（1）若1

4nan

(n

是正整数)，求

1234,,,bbbb

的值；

（2）若1

39

210n

na







(n

是正整数)，是否存在k(k是正整数)，使得

kkAB

，如果存

在，请求出k的最小值，如果不存在，请说明理由；

（3）若

na

为无穷等差数列，公差为d

，求证：数列

nb

为等差数列的充要条件是dZ

．参考答案及评分标准

2022.12

一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．

02．23．

2,1

4．

5．(1,1)6．6727．18．49．2

9

10．2311．182

,

3





12．29

13

二．选择题：（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

13．C14．C15．B16．D

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的

步骤.

17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）因为三棱柱

111ABCABC为直三棱柱，所以

1AA平面ABC，

所以

1AAAC．

因为ACAB，

1ABAAA，所以AC平面

11AABB．

因为BE平面

11AABB，所以ACBE．

因为

1BEAB，

1ACABA，

因此，BE平面

1ABC．

（2）由（1）知

1,,ABACAA两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axyz

．

则(000)A，，,

1(2,0,4)B,(0,2,2)D,(2,0,0)B，

设(0,0,)Ea，所以

1=(02,2)=(2,0,4)=(20,)ADABBEa

,，，,，

因为

1ABBE

，所以440a，即1a．

所以平面

1ABC的一个法向量为=(20,1)BE

,．

1(2,2,2)BD

又

设直线

1BD

与平面

1ABC所成角的大小为(0)

2

，则

1

115

sincos

215BEBD

BEBD













．

因此，直线

1BD与平面

1ABC所成角的大小为15

arcsin

15．

18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）当0a时，()lnfxxx，1

()1fx

x

，