浅谈正定二次型的判定方法

二次型正负定的判别方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二次型正负定的判别方法，这可有意思啦！
你看啊，二次型就像是一个神秘的盒子，我们得想办法知道它里面到底是正数多还是负数多。

这就好比你去买水果，得判断这堆水果是甜的多还是酸的多呀！
那怎么判别呢？首先呢，我们可以看看它的主子式。

这就像是一个水果堆里的核心部分，如果这些核心部分都是正数，那这二次型大概率就是正定的啦，就像那堆水果大多是甜的一样。

要是主子式一会儿正一会儿负，那可就麻烦啦，就像水果有甜有酸，让人捉摸不透。

再说说正定的情况呀，那简直就是阳光明媚啊！一切都那么清晰明确，让人心里踏实。

就好像你走在一条笔直的大道上，知道自己该往哪儿走，不用担心迷路。

要是负定呢，那就像是走进了一片迷雾森林，感觉处处都不太对劲。

但咱也别怕呀，只要掌握了方法，还是能找到出路的。

还有啊，我们可以通过特征值来判别。

特征值就像是二次型的性格特点，正数特征值多，那就是正定，负数特征值多，自然就是负定咯。

这多形象呀！
你想想看，如果一个二次型的特征值都很大很正，那不就说明它充满了正能量嘛！反之，如果都是负的，那可就充满了负能量啦。

判别二次型正负定真的很重要哦，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究中，就像一把钥匙，能打开很多知识的大门。

在实际应用中，也能帮我们解决很多问题，难道不是吗？
所以呀，大家可得好好掌握这个判别方法，就像掌握一门绝世武功一样。

当你能熟练地判别二次型的正负定，你就会觉得自己超级厉害，仿佛拥有了全世界！别小看它哦，它能给你带来很多惊喜和收获呢！这就是二次型正负定的判别方法，有趣又实用，大家可别错过呀！。

§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。

如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。

正定二次型的判定方法
判定正定二次型的方法有以下几种：
1. 特征值法：计算二次型的矩阵表示的特征值，如果所有特征值都大于0，则说明该二次型为正定二次型。

2. 主元法：将二次型化简为标准形式，观察正元的个数，如果正元的个数等于变量的个数，则说明该二次型为正定二次型。

3. 拉氏判别法：利用拉氏变换，将二次型表示为拉氏标准型，观察拉氏标准型中各项的系数，如果全部大于0，则说明该二
次型为正定二次型。

4. 完全平方展开法：将二次型表示为完全平方的形式，观察其中的平方项的系数，如果全部大于0，则说明该二次型为正定
二次型。

需要注意的是，以上方法都是对二次型的矩阵表示进行推导判断的，每种方法都有其适用的场景和限制条件。

在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的判定方法来判断正定二次型。

浅谈正定二次型的判定方法摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词 二次型 矩阵 正定性 应用1 引 言在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。

它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义设p 是一个数域，ij a ∈p ，n 个文字1x ,2x ,…，n x 的二次齐次多项式22121111212131311(,,,)22nnn nn nij i j i j f x x x a x a x x a x x a x a x x ===++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域上p 的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.定义1 在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性22222121z z z z z p p r ++++---…………,其中正平方项的个数p 称为f 的正惯性指数，负平方项的个数称为的f 负惯性指数.2.2 二次型的矩阵形式二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中12(,,...,)T n x x x x =，()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩.2.3 正定二次型与正定矩阵的概念定义2.3.1 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵.定义2 另一种定义 具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）. (2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.定义3 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式 称为A 的一个k 阶主子式.而子式 称为A 的k 阶顺序主子式.3 实二次型正定的判别方法及其性质定理1 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明 设实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 经线形替换PY X =化为标准形其中.,,2,1,n i R d i =∈由于p 为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21也不全为零,反之亦然.)(⇒如果f 是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f 是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f 的正惯性指数等于n)(⇐如果f 的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i =>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f 是正定型定理2 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明 )(⇒由假设f 是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X =使对,0≠X 因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(⇐设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X =使得由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量 （因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有这与假设矛盾.故p r =.再证n r =.如果,n r <则)2(式应化为 于是取由)3(即得,0='A X X 又与假设矛盾,故,p n r ==即f 是正定二次型 定理3 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++=证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AX X x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成)(⇐f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f 的正惯性指数为,n 由定理1可知f 为正定二次型定理4 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X =其中C 可逆),使得 所以,E AC C ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(⇐矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得E AC C ='，令CY X =则因此,由证明4,可知f 是正定二次型定理5 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以k A 表示A 的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g 从而g 为正定二次型,故.0>k A)(⇐对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n 时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a ai -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i =经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(⇐对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n 时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1,11,11,111n n n n a a a a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n a a ,11 α于是矩阵A 可以分块写成：A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛'nn a A αα1 则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵 则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G 令1C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛100G于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'='-nn n nn a G G E Ga A G AC C αααα1111100100 再令2C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10'1a G E n 则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 0012112令 21C C C = d G G a nn =''-αα就有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='d AC C11 两边取行列式,d A C=2,则由条件,0>A 因此0>d .所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f 是正定二次型定理7 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵T T T A ('=是实可逆矩阵)证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得E AC C =' 则 1111)()(----'='=C C C C A令1-=CT ,则T T A '=)(⇐若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='= 令TX Y =则 2222121),,,(n n y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵)证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,令(1Y X T=-其中T 可逆)则 ATY T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21 又因非退化线性替换不改变正定性,则 是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(⇐AT T '是正定阵,令ATY T Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TY X =则),,,(21n y y y g AX X x x x f n '==),,,(21 是正定二次型 定理9 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A 是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f 为正定二次型相矛盾， 则AT T1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(⇐ A 的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X =则 222221121),,,(n n n y y y ATY T Y AX X x x x f λλλ+++=''='=所以f 为正定二次型定理10 实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明 )(⇒实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型, 则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(⇐ A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f 是正定二次型.性质：若A 为n 阶实正定阵，显然TA ，1A -也是正定阵注 (1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵.(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵A 是半正定（半负定）的;b.A 的所有主子式大于（小于）或等于零；c.A 的全部特征值大于（小于）或等于零.例 1 考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时，f为正定二次型.解 利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 的顺序主子式为 110∆=>；22144λλλ∆==-；23114214484(1)(2)124λλλλλλ-∆=-=--+=--+-.于是，二次型f 正定的充要条件是：230,0∆>∆>，有2240λ∆=->，可知，22λ-<<；由34(1)(2)0λλ∆=--+>, 可得12<<-λ,所以，当12<<-λ时, f 正定.例 2 已知A E -是n 阶正定矩阵，证明1E A --为正定矩阵.分析：只要证明1E A --的特征值全大于零即可 证明 由A E -正定知A 是实对称矩阵，从而即1E A --也是实对称矩阵.设A 的特征值为k λ(1,2,)k n =,则A E -的特征值为1k λ-(1,2,)k n =,而1E A --的特征值为11kλ-(1,2,)k n =,因为A E -是正定矩阵，所以,10k λ->(,从而11kλ<，故，110kλ->(1,2,)k n =即，1E A --的特征值全大于零，故，1E A --为正定矩阵.例 3 设有n 元二次型222121122231(,,)()()()n n n f x x x x a x x a x x a x =++++++其中(1,2,,)i a i n =为实数，试问：当12,,,n a a a 满足何种条件时，二次型1(,,)n f x x 为正定二次型.解 令当121100001000010000001001n na a a a-=1121(1)0n n a a a ++-≠，即当12(1)n n a a a ≠-时，原二次型为正定二次型.例 4 设A ,B 分别是,m n 阶正定阵，试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵解 因为,A B 都是实对称阵，从而C 也是实对称阵.且,0,m nX R X +∀∈≠令则12,m n X R X R ∈∈，且至少一个不为零向量.于是 故C 为正定阵.例 5 若A 是n 阶实对称阵，证明：A 半正定的充要条件是对任何μ>0，B E A μ=+正定.证 A 是实对称阵，从而存在正交阵T ，使1'n A T T λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,其中1,,n λλ为A 的全部实特征值.先证必要性 若A 半正定，则0,(1,2,,).i i n λ≥=又因为所以B 的全部特征值为0(1,2,,)i i n μλ+>=又'm nB B R+=∈，∴B 为正定阵.再证充分性 若A 不是正定阵，则存在0k λ<，此时可令2kλμ=-，则0μ>，但即B 中有一个特征值为02kλ<，这与B 为正定阵的假设矛盾，从而得证A 是半正定的.例 6 设()ij A a =是阶正定阵，证明：（1）对任意i j ≠，都有（2）A 的绝对值最大元素必在主对角线上. 证 （1）A 正定，从而A 的一切2阶主子式均大于0，当i j ≠时移项后，开方即证12()(,,1,2,,)ij ii jj a a a i j i j n <≠=.（2）设的主对角线上最大元素为kk a （由于A 正定，0kk a >).再由第一问结论可知 由此即证即A 中绝对值最大元素必在主对角线上.结束语二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论，二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题，有时会起到意想不到的效果.本文通过研究二次型的性质，借助例子说明二次型在求多元函数的的极值、最值、证明不等式、及判断二次曲线的形状等方面的应用.将多元元函数求极值问题化为一个二次型问题.在三元及三元以上多元函数求极值时，这个方法比一般工科高等数学教材中介绍的求极值方法好用，而且能够确定是极大值还是极小值.参考文献[1] 王萼方，石生明 高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2008. 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正定二次型的判别方法作者：苏妍来源：《现代盐化工》2019年第02期摘; ;要：二次型是高等代数中的主要内容之一，其理论的应用非常广泛，而正定二次型又是实二次型中一类特殊的二次型。

因此，研究正定二次型的判别具有非常重要的意义。

基于正定二次型的定義，总结给出了正定二次型的几种基本判别方法，其中包括定义法、正惯性指数法、顺序主子式法等并结合例题分析判定的具体应用。

关键词：正定二次型;正定矩阵;顺序主子式;特征值二次型理论来源于解析几何中的化二次曲线以及二次曲面方程为标准方程的问题。

二次型是线性代数的主要内容之一，而正定二次型是实二次型中一类特殊的二次型，它具有特殊的地位。

并且正定二次型在数学与物理的理论研究中也具有很大的实用价值。

因此，研究正定二次型的判别对我们研究二次型有着重要意义。

本文基于正定二次型的定义，研究了正定二次型的几种判别方法，如定义法、正惯性指数法、顺序主子式法及相关的证明，并结合例题给出了每种方法的具体运用。

3; ; 结语二次型作为线性代数中的主要内容之一，其理论的应用非常广泛，而正定二次型又是实二次型中一类特殊的二次型，所以，对正定二次型的研究在今后的学习中具有非常重要的意义。

基于正定二次型的定义及性质，总结出正定二次型的几种判别方法，并结合实例给出具体应用，从而更好地解决问题。

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