下载文档原格式
复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。
（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z到2z 各项）. 2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x+当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑ 1z <.3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C ,在C 上 ()1z ϕ<试证 在C 内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z =+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a a z z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。
复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。
第一章复数与复变函数
1. 复数的四则运算，欧拉公式，复数的n次方根
2. 复平面上的曲线方程，参数方程和直角坐标方程以及与复数之间的互化。
3. 映射的概念
4. 复变函数的连续与极限
第二章解析函数
1. 掌握复变函数的导数与微分，解析函数的概念
2. 掌握函数解析的判断（大题）
3. 初等函数，掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数；了解双曲函数（定义）、反三角函数与反双曲函数的定义。
（大题）
第三章复变函数的积分
1. 了解复变函数积分的概念和性质
2. 掌握柯西积分定理及其应用：柯西积分定理，原函数，复合闭路定理（大题）
3. 掌握柯西积分公式，解析函数的高阶导数（大题）
4. 掌握解析函数与调和函数的关系。
（大题）
第四章复级数
1. 掌握复数项级数的审敛法
2. 掌握幂级数的敛散性判断及收敛半径
3. 掌握泰勒级数与洛朗级数的展开（大题）
第五章留数及其应用
1. 函数的零点与极点及其判断
2. 留数及留数定理(大题)
3. 留数在定积分计算中的应用，掌握教材中的1, 2, 3三种类型。
(大题)
第六章拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的概念
2. 拉普拉斯变换的性质
3. 卷积，拉普拉斯逆变换
4. 拉普拉斯变换的应用（大题，求解微分方程）
第七章矢量分析
1. 矢量的微分与积分
2. 矢量的标量积、矢量积以及混和积
第八章场论
1. 方向导数与梯度（大题）
2. 通量与散度（散度定理）（大题）
3. 环量与旋度（斯托克斯定理）（大题）
4. 有势场与调和场。
复习要点一题型1、填空题（每题3分，共18分）2、单项选择题（每题3分，共21分）3、计算题（每题6分，共36分）4、解答题（4小题，共25分）二知识点第一章复数与复变函数1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。
一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。
3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。
4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。
5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
6、理解复变函数的概念。
7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。
例：1.1；1.2习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5第二章解析函数1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。
对于点：解析→可导→连续对于区域：解析↔可导2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。
3、了解柯西—黎曼方程。
4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。
例：1.4；2.1；3.1；3.2习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）第三章复变函数的积分1、熟悉复积分的概念及其基本性质。
2、了解复积分计算的一般方法。
3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。
本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。
（1）牛顿—莱布尼茨公式。
（2）柯西积分定理。
（3）柯西积分公式。
（4）高阶导数公式。
（5）复合闭路定理。
注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。
例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7第四章级数1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。
2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。
复变函数期末考试复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；（当z 落于一、四象限时，不变。
）当0,x = 0,arg 20,arg 2y z y z ππ⎧>=+⎪⎪⎨⎪<=-⎪⎩（z 为纯虚数，落于虚轴） 当0,arg arctan (0,0,arg arctan (yy z xx yy z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩第二象限)第四象限)；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
3.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. z x iy =- 共轭复数的性质：教材P3(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()1122111121212122122222222222222222x iy x iy z x iy z z x x y y y x y x i z x iy z z x iy x iy x y x y +-++-====+++-++。
注意：()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧2）若121122,i i z z e zz e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 例1、设(1)(2)(3)(3)(2)i i i z i i +--=++，则=z解：|1||2||3||1||2||3|i i i z i i i +--==+=++例2、设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （ A ） A 、1-+B 、i +C 、12-+D 、12i + 解：设z x iy =+，则2(2)z x iy +=++，tan 23y x π==+···① 2(2)z x iy -=-+，5tan tan()2663y x ππ==-=-- ···② 联立解得：1,x y =-=，∴1z =-例3、当11iz i+=-时，1002550z z z ++的值等于 （ A ）A 、iB 、-iC 、1D 、-1解：11121112i i i iz i i i i +++====--+，而1234,-11i i i i i i ===-=，， ∴100425254650482(=1,(,1i i i i i i i i i =====-）），∴10025501(1)z z z i i ++=++-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）例4的值11222244(1)sin )]sin]442k k i i i nππππππ-+-+--=-=+=+(0,1)k =0cos()sin()cos()sin()8888771cos()sin()88k i i k i ππππππ⎫⎫==-+-=-⎪⎪⎭⎭⎫==+⎪⎭时时（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.映射的象的求法：如何由z 平面曲线C 求w 平面曲线C’呢？[方法] 已知()(,)(,)w f u x y iv x y ==+z 若C 的直角坐标方程为(,)F x y ，则所求C’例5、对于映射i wz=，圆周22(1)1x y +-=的像曲线为: 1Re[]2w =例6、对于映射1w z=，圆周22(1)1x y -+=的像曲线为: 1Re[]2w =方程由消去x,y 得到.⎪⎩⎪⎨⎧===0),(),(),(y x F y x v v y x u u 2222222222222222,,(),1(1)12Re[]2iw u iv z x iy w zi x iy y ix y xu iv ix iy x iy x y x y x y y xu v x y x y y x y x y y w u x y =+=+=-++===++-+++⇒==+++-=⇒+=⇒===+设则由,:解得：22222222222222221,,1(),1(1)12Re[]2w u iv z x iy w zx iy x iy x yu iv ix iy x iy x y x y x y x yu v x y x y x x y x y x w u x y =+=+=--+===-+-+++⇒==-++-+=⇒+=⇒===+设则由,得:解：2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x yi x yi x e e e e e y i y +===+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z ze e '=。
||,() Arg()2,z xze e k e y k π⎫=⎪⎬=+⎪⎭其中为任何整数 注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
12.()z e z k i k π==的充分必要条件是其中为任何整数例7、方程10ze--=的全部解为 2()z k i k π=-其中为任何整数解：210122()z z k i e e e z k i z k i k πππ---=⇒==⇒-=⇒=-其中为任何整数，例8、34ie+的辐角主值为解：34343434,Arg 42,arg 42;i i i i e e e e k e ππ+++==+=-（注意：主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
）2）对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）；主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z'=； 注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）例9、计算 Ln(512)i +的值解：12Ln(512)ln 512[arg(512)2]ln13arctan2.5i i i i k i k ππ⎫⎛+=++++==++ ⎪⎝⎭3）乘幂与幂函数：(0)b bLna a e a =≠；(0)b bLnzz e z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
例10、设α为任意实数，则1α（ B ）A 、无定义B 、是实数，等于1C 、是复数，其实部等于1D 、是复数，其模等于1. 22z i k z i k z e e e e =⋅=ππ+即)(为任何整数其中k4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）例11、解方程sin cos 4z i zi +=2sin cos 422244ln 4(arg 42)ln 422ln 4(0,1,2,)iz iz iz iz iziz iz e e e e e z i z i ie ii ie iz Ln i k i k z k i k πππ------+-+=+===⇒=⇒-==++=+⇒=-+=±±解： 3） 双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。
,shz chz 在z 平面内解析，且()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：()0f z '=()()000limz f z z f z z∆→+∆-∆；2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu v x yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u vf z i x x∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u v f z i x x∂∂'=+∂∂。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。
