复变函数期末复习摘要

复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。

第一章复数与复变函数
1. 复数的四则运算，欧拉公式，复数的n次方根
2. 复平面上的曲线方程，参数方程和直角坐标方程以及与复数之间的互化。

3. 映射的概念
4. 复变函数的连续与极限
第二章解析函数
1. 掌握复变函数的导数与微分，解析函数的概念
2. 掌握函数解析的判断（大题）
3. 初等函数，掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数；了解双曲函数（定义）、反三角函数与反双曲函数的定义。

（大题）
第三章复变函数的积分
1. 了解复变函数积分的概念和性质
2. 掌握柯西积分定理及其应用：柯西积分定理，原函数，复合闭路定理（大题）
3. 掌握柯西积分公式，解析函数的高阶导数（大题）
4. 掌握解析函数与调和函数的关系。

（大题）
第四章复级数
1. 掌握复数项级数的审敛法
2. 掌握幂级数的敛散性判断及收敛半径
3. 掌握泰勒级数与洛朗级数的展开（大题）
第五章留数及其应用
1. 函数的零点与极点及其判断
2. 留数及留数定理(大题)
3. 留数在定积分计算中的应用，掌握教材中的1, 2, 3三种类型。

(大题)
第六章拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的概念
2. 拉普拉斯变换的性质
3. 卷积，拉普拉斯逆变换
4. 拉普拉斯变换的应用（大题，求解微分方程）
第七章矢量分析
1. 矢量的微分与积分
2. 矢量的标量积、矢量积以及混和积
第八章场论
1. 方向导数与梯度（大题）
2. 通量与散度（散度定理）（大题）
3. 环量与旋度（斯托克斯定理）（大题）
4. 有势场与调和场。

复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。

在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。

一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。

复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。

复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。

二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。

根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。

解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。

三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。

泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。

而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。

四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。

复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。

复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。

五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。

复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。

总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。

复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。

复变函数期末考试复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；（当z 落于一、四象限时，不变。

）当0,x = 0,arg 20,arg 2y z y z ππ⎧>=+⎪⎪⎨⎪<=-⎪⎩（z 为纯虚数，落于虚轴） 当0,arg arctan (0,0,arg arctan (yy z xx yy z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩第二象限)第四象限)；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

3.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. z x iy =- 共轭复数的性质：教材P3(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()1122111121212122122222222222222222x iy x iy z x iy z z x x y y y x y x i z x iy z z x iy x iy x y x y +-++-====+++-++。

复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。

5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。

第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。

复变函数积分变换复习提纲
一、积分变换的定义
1.复变函数积分变换的概念
2.不同积分变换的定义与区别（如拉普拉斯变换、傅立叶变换等）
二、积分变换的性质
1.线性性质：积分变换的线性性质以及相关的证明方法
2.逆变换：如何通过逆变换将变换后的函数还原为原函数
3.平移性质：积分变换中的平移性质以及具体计算方法
三、积分变换的计算方法
1.常用积分变换的计算：如拉普拉斯变换的计算步骤和方法
2.特殊函数的积分变换：如指数函数、正弦、余弦函数等
3.部分分数展开法：利用部分分数展开将复杂的函数进行积分变换
四、积分变换的性质应用
1.微分方程的解析解求解：利用积分变换可以将微分方程转化为代数方程进行求解
2.求极限：通过积分变换可以简化复杂函数的极限计算
3.求解积分：利用积分变换可以求解一些特定的积分问题
五、积分变换的应用举例
1.电路分析中的应用
2.信号与系统中的应用
3.滤波器设计中的应用
六、积分变换的常见问题与解决方法
1.变换域的收敛性与逆变换的存在性问题
2.利用积分变换求解非初值问题时需要注意的问题
3.实际问题的离散化处理：如何将连续问题转化为离散问题进行求解
七、积分变换的进一步研究与拓展
1.多变量复函数的积分变换
2.复杂函数的积分变换
3.积分变换在物理学、工程学等领域的应用
以上为复变函数积分变换的复习提纲，可以根据实际情况进行修改和补充。

希望对你的复习有所帮助！。

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数期末复习一 知识点1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。

2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。

3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。

4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。

5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。

6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。

二 例题选讲1求i3的值。

知识点：利用定义bLna be a=。

解i 3=3iLn e=)23(ln πk i i e+=3ln 2i k e+-π=)3ln sin 3ln (cos 2i e k +-π。

2设1||=z ，试证：1_____=++baz a z b 。

知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。

2__2__||||z z z z ==证明：由1||=z 得，1__=z z ，baz zz a z b b az a z b ++=++____________=baz zz a b ++)(_______=1)()(_______________=++=++baz zaz b b az z z a b3求2sin Arc 的值。

知识点：初等函数的定义，函数值的计算，)1(sin 2z iz iLn z Arc -+-=，)1(cos 2z i z iLn z Arc -+-=解：)32(2s i n i i i L n A r c ±-= =iiLn )32(±-=i k i i ππ22)32[ln(++±-=)32ln(22±--i k ππ，,...2,1,0±±=k4 证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。

复习要点一题型1、填空题（每题3分，共18分）2、单项选择题（每题3分，共21分）3、计算题（每题6分，共36分）4、解答题（4小题，共25分）二知识点第一章复数与复变函数1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。

一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。

3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。

4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。

5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。

6、理解复变函数的概念。

7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。

例：1.1；1.2习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5第二章解析函数1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。

对于点：解析→可导→连续对于区域：解析↔可导2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。

3、了解柯西—黎曼方程。

4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。

例：1.4；2.1；3.1；3.2习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）第三章复变函数的积分1、熟悉复积分的概念及其基本性质。

2、了解复积分计算的一般方法。

3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。

本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。

（1）牛顿—莱布尼茨公式。

（2）柯西积分定理。

（3）柯西积分公式。

（4）高阶导数公式。

（5）复合闭路定理。

注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。

例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7第四章级数1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。

2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。