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随机变量分布函数

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随机变量函数的分布

随机变量函数的分布

此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
变限函数求导公式:
b(x)
f
(t)dt
f b(x)b(x)
f a(x) a(x).
a(x)
例3：设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.
1, 0 x 1, 解：因r.v.X~U(0,1),故X的概率密度为：fX (x) 0, 其它.
如图, fX (x)的非零段将整个 x轴分为三部分:
(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); 从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.
(1) 当y<1时,再分为两种情形:
a) 当y≤0时,
FY (y) PY y P eX y
P() 0;
b) 当0< y<1时,
fY
(
y)
1 y
,
1 y e,
0, 其它.
注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。
方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数)
定理：设连续型随机变量X的概率密度为
f X (x)( x )
函数g(x)处处可导且有恒有 g(x) 0(g(x) 0)
则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为
◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概 率为这些相等值对应的X取值的概率之和.
例如,当 yk g(xi ) g(x j ) g(xm ),
则由基本事件互斥性与概率可加性得：
PY yk P X xi P X xj P X xm
例1:设r.v.X的分布列为:
X
-1
012
P 0.2 0.3 0.1 0.4

概率论-随机变量的分布函数

概率论-随机变量的分布函数
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要 条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件

随机变量的分布函数的定义

随机变量的分布函数的定义

随机变量的分布函数的定义随机变量的分布函数是概率论中一项重要的概念，它描述了随机变量取值的概率分布情况。

本文将会从以下几个方面详细介绍随机变量的分布函数的定义。

1. 随机变量的定义在介绍随机变量的分布函数之前，需要先介绍什么是随机变量。

随机变量是指随机试验得出的结果，它可以是一个离散的数值，也可以是一个连续的数值。

例如，掷一枚骰子得到的数字就是一个随机变量。

随机变量的取值是由概率决定的。

2. 分布函数的定义分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数，一般用大写字母F表示。

设X是一个随机变量，则X的分布函数FX(x)定义为：FX(x) = P(X ≤ x)其中，≤ 表示小于或等于。

3. 分布函数的解释分布函数的解释是将随机变量的概率分布情况用一条连续的曲线来表示，可以很直观地看出随机变量取某个值的概率大小。

例如，在掷一枚骰子时，如果要求得点数小于等于3的概率，那么分布函数FX(x)就可以表示为：FX(x) = P(X ≤ 3) = 3/6 = 1/2这个值意味着当掷出的点数小于等于3时，随机事件发生的概率为1/2。

4. 分布函数的性质分布函数有以下几个基本性质：（1）0 ≤ FX(x) ≤ 1（2）FX(x)单调不降（3）当x → -∞时，FX(x) → 0（4）当x → +∞时，FX(x) → 1这些性质是由于随机变量的取值是由概率决定的，所以分布函数必须满足这些条件。

综上所述，随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率分布的函数。

在实际问题中，掌握随机变量的分布函数可以更准确地建立数学模型，预测事件的概率，更好地解决实际问题。

第三节 随机变量的分布函数

第三节 随机变量的分布函数

x 0, 0, 1 2 F ( x) x , 0 x 2, 4 x 2. 1,
F(x) 1
o
2
x
从而得
1 k . 4
1 2 P{0 X x} x . 4
即 于是
1 2 F ( x) P{ X x} P{ X 0} P{0 X x} x . 4
若 x 2, 则 {X x} 是必然事件，于是
F ( x) P{ X x} 1.
故X的分布函数为
性，为证 lim F ( x) 0, 只要证 lim F (n) 0. 考虑事件：
An X n, n 1,2,, 则 An An 1 , An
n 1
x
n

由概率的连续性，得
（3） 由 F(x) 的单调性，为证此性质，只须证明：
由概率的 连续性得：
例1： 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球, 求取出的三个球中的白球数的分布函数 解： 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能
取值为1，2，3。而且由古典概率可算得
于是，X的分布函数为：
F(x)
1
0.9
0.3
o
的分布律为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
第三节 随机变量的分布函数
定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数 称为随机变量X的分布函数。
分布函数的性质:
（1）F(x) 是一个单调不减函数； （2） （3）F(x) 是右连续的. 即对任意的实数 x , 有
证明：
(2) 由 F(x) 的定义易得 0 F ( x) 1. 利用 F(x) 的单调
例2: 考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它 的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为 X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。 解 ： 由几何概率的计算不难求出X的分布函数 当x<0时

概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数

概率论与数理统计3.3 随机变量的分布函数
F () =P X P 0
F() =P X P 1
3. 记{xn}是严格递减的数列且xn x,
F (x1) F (x)

P{ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X

x1}

P


xn1
X

xn



n1


P xn1 X xn [F (xn ) F (xn1)]
2.3、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量, x 是任意实数, 函数
F( x) P{X x}
称为X的分布函数．
几何定义：将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，分布
函数F ( x)在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(, x]上 的概率。
X
0x
x
FX (x) P( X x), x
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F(x)

F ( x0 )
分布函数性质的证明：
1. x1, x2 R且x1 x2.
则 F (x2 ) F (x1) P{x1 X x2} 0，
F (x1) F (x2 )
2. F (x) P{X x},
F(x) P(X x), （ x ）
分布函数的性质(充要条件）
(1) F x 在 , 上是一个不减函数 ,
即对 x1 , x2 , 且 x1 x2 ,都有 F x1 F x2 ;
(2) F() lim F x 0 F() lim F x 1
P{x1 X x2} F (x2 ) F (x1 )

随机变量的分布函数

随机变量的分布函数
下页
x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
下页 结束
例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
《概率统计》 返回 下页 结束
§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
《概率统计》
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结束
§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.

概率论第六讲--随机变量的分布函数


及
其
y
由 FY ( y) F (x, )
[

f (x, y)dx]dy

知Y是连续型随机变量,其概率密度为
分 布

称为(X,fYY)(关y)于 Y的 f边(x缘, y)概dx率密度.
例3 求例1中二维随机变量（X、Y）关于X
和关于Y的边缘分布律。
例4 设随机变量X和Y具有联合概率密度 求
已知 分布函数F(x)
函 则f(x)在连续点处: f ( x) F `( x)
数
§2.5 多维随机变量及其分布
(一)二维随机变量
1.二维随机变量
引例1 E：火炮射击观察“弹着点”的位置；
例2 E：抽查学龄前儿童，观察身体素质。
定义：
随机试验E,样本空间为S=｛e｝,设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构 成的向量(X,Y),称为二维随机变量。
其 且F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
分 (3)F(x,y)关于x或y右连续.
布
多 • 2.离散型随机变量的联合分布律
维 设二维随机变量(X,Y)所有可能取值为
随 (xi,yj),记P｛X=xi,Y=yj｝=pij,称为二维
机
离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布 律,或称为随机变量X,Y的联合分布律.
机 F(x,y),如存在非负的函数f(x,y),
变 使对于任意x,y，都有：
量 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,
及 函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,
其 或称为X和Y的联合概率密度.
分
布
多 概率密度f(x,y)的性质
维 1 f (x, y) 0;

随机变量的分布函数



1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
Xμ 引理 若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
若 X ~ N ( ,
2)
x ,则 F ( x)
P (a X b) F (b) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
F (b 0 ) F ( a )
P (a X b) F (b 0) F (a 0)
sin x, 0 x 例1.设F ( x) , F ( x)是否为r.v的分布函数. 其他 0,
例2.r.v. X 的分布函数 A Be F ( x) 0, 求A, B.
F ( x ) 1; F () lim F ( x) 0, F ( ) lim x
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(3) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
用分布函数表示概率
7 7 41 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) . 2 2 48
课堂练习: 设r.v. X 的概率密度为f ( x) Ae , x 求 : (1) A; (2) P{0 X 1}; (3) X 的分布函数.
x
二、常见连续型随机变量的分布
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e

1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}

随机变量的分布函数

随机变量的分布函数
分布函数是研究随机变量的概率分布的数学函数。

它可以用来表示一个随机变量的概率分布，即随机变量取某个值的概率。

分布函数在概率论和统计学中非常重要，可以用来描述离散型随机变量以及连续型随机变量的概率分布。

离散型随机变量的分布函数可以用概率质量函数（PMF）表示，而连续型随机变量的分布函数可以用概率密度函数（PDF）表示。

概率质量函数PMF是用来描述离散型随机变量的分布函数，即它可以用来表示离散型随机变量取某个值的概率。

它的定义为：设X 是一个离散型随机变量，其样本空间为S，则X的概率质量函数P （X）定义为：P（X）=P（X=x）,x∈S。

概率密度函数PDF是用来描述连续型随机变量的分布函数，即它可以用来表示连续型随机变量取某个值的概率。

它的定义为：设X 是一个连续型随机变量，其样本空间为S，则X的概率密度函数f （X）定义为：f（X）=f（x）,x∈S。

分布函数有多种，如泊松分布、伽马分布、指数分布、正态分布、均匀分布等等。

这些分布函数不仅可以用来描述不同随机变量的概率分布，还可以用来推断不同随机变量之间的关系，从而获得更多有用的结论。

总之，分布函数是研究随机变量的概率分布的重要数学函数，它可以用来表示离散型和连续型随机变量的概率分布，也可以用来推断不同随机变量之间的关系，从而获得更多有用的结论。

随机变量的分布函数


A
sin
As

x
x
i nxx
2x
2
x
2A
2
2
2
A
2
求得
A
1 2
,于是f概x率 密度12 c函os数x
x
2
2
01
其它
f
x
1 2
cos
x
0
x
2
2
其它
利用分布函数与概率密度函数之间的积分关系,
F x x f t dt ，求分布函数 Fx
当 x 时, F x
x f t dt
=7/30+7/120
例 2.3.4 在一质量均匀的陀螺的圆周上均匀地刻上区间 (0,1]
上诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,其圆周与桌面接触点的刻
度 X 是一个随机变量,求 X 的分布函数。
解 由陀螺刻度的均匀性，对于区间(0,1]内的任一子区间(a,b] 有 P( a<X≤b) =b-a. 因为，X可能取值为区间(0,1]上所有值， 所以，在求X的分布函数时，可将整个数轴分成三个区间来讨论.
x
0dt 0
2
当 x 时，
2
2
F x x f tdt
2 f (t)dt
x
f (t )dt
x
1 2
cos
tdt
1 sinx
2
1 2
2
2
f
第2.3节 随机变量的分布函数
一、分布函数
1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞
为随机变量X的分布函数. 任意a<b, P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);
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随机变量分布函数
在概率论中，随机变量是一个实数值函数，其取值是由试验结果的概率分布所决定的。

随机变量的分布函数描述了随机变量在实数轴上的取值范围及其概率分布情况。

在数学上，随机变量分布函数可以分为离散型和连续型两种。

离散型随机变量分布函数：
离散型随机变量的取值为一系列离散的数值。

随机变量的分布函数
F(x)可以表示为：
F(x)=P(X≤x)，其中X表示随机变量，P(X≤x)表示随机变量小于或等于x的概率。

例如，考虑一个掷硬币的试验，随机变量X表示掷硬币正面朝上的次数。

X的取值范围为0、1和2，掷硬币正面朝上的概率分别为1/4、1/2和1/4、则X的分布函数为：
F(x)=0（x<0）
F(x)=1/4（0≤x<1）
F(x)=3/4（1≤x<2）
F(x)=1（x≥2）。

连续型随机变量分布函数：
连续型随机变量的取值为一个连续的数值区间。

随机变量的分布函数F(x)可以表示为：
F(x)=P(X≤x)，其中X表示随机变量，P(X≤x)表示随机变量小于或
等于x的概率。

例如，考虑一个随机变量X符合标准正态分布（均值为0，方差为1），其分布函数F(x)可以表示为：
F(x) = ∫(−∞，x)f(t)dt，其中f(t)表示X的概率密度函数。

从分布函数可以推导出随机变量的概率密度函数，概率密度函数是分
布函数的导数。

对于离散型随机变量，概率密度函数在取值点上的导数是0，其他点的导数是无穷大；对于连续型随机变量，概率密度函数在所有
点上的导数都存在。

随机变量的分布函数具有以下性质：
1.F(x)是非减函数，即对于任意x1≤x2，有F(x1)≤F(x2)。

2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1
3. F(x)在负无穷处的极限为0，即lim(x→−∞)F(x) = 0。

4. F(x)在正无穷处的极限为1，即lim(x→+∞)F(x) = 1
随机变量分布函数在概率论和统计学中都有广泛应用。

通过分布函数，我们可以计算出随机变量在一些特定取值上的概率，也可以计算出随机变
量的期望值、方差等统计量。

在实际问题中，我们可以根据随机变量的分
布函数来进行概率预测和统计分析，从而得出一些有用的结论。

总结起来，随机变量的分布函数是描述随机变量取值的概率分布情况
的函数，分为离散型和连续型两种。

分布函数可以计算随机变量的概率、
期望值、方差等统计量，并在概率论和统计学中有广泛应用。