2021-2022学年上海市奉贤区九年级(上)期末数学试卷(一模)

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知，则等于（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】A【解析】由题干可得y ＝2x ，代入计算即可求解．【详解】∵，∴y ＝2x ， ∴，故选A ．【点睛】 本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad ＝bc ，比较简单． 2．若函数y ＝(m 2－3m ＋2)x |m|－3是反比例函数，则m 的值是( )A ．1B ．－2C ．±2D ．2 【答案】B【解析】根据反比例函数的定义,列出方程求解即可．【详解】解：由题意得，|m|-3=-1，解得m=±1，当m=1时，m 1-3m+1=11-3×1+1=2，当m=-1时，m 1-3m+1=（-1）1-3×（-1）+1=4+6+1=11，∴m 的值是-1．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=k x（k≠2）是解题的关键，要注意比例系数不等于2． 3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，则sin A 的值为（ ）A 3B ．32C ．12D ．22【解析】在Rt ABC ∆中，先求出A ∠的度数，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案. 【详解】90C ∠=︒，60B ∠=︒∴30A ∠=︒ ∴sin A =12 故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.4．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（ ）A ．95分，95分B ．95分，90分C ．90分，95分D ．95分，85分 【答案】A【详解】这组数据中95出现了3次，次数最多，为众数；中位数为第3和第4两个数的平均数为95， 故选A.5．下列计算中，结果是6a 的是A ．24a a +B ．23a a ⋅C ．122a a ÷D ．23()a 【答案】D【解析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.【详解】解：A 、a 2+a 4≠a 6，不符合；B 、a 2•a 3=a 5，不符合；C 、a 12÷a 2=a 10，不符合；D 、(a 2)3=a 6，符合.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错. 6．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ．已知cos ∠ACD=35，BC=4，则AC 的长为（ ）A ．1B ．203C ．3D ．163【解析】∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°．∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°．∴∠ACD ＝∠B ．在Rt △ABC 中，∵3cos cos 5B ACD =∠=，BC ＝4，∴35BC AB =，解得203AB =．∴163AC ===．故选D ． 7．把抛物线2241y x x =-++的图象绕着其顶点旋转180︒，所得抛物线函数关系式是（ ） A ．2241y x x =-- B ．2245y x x =-+ C ．2241y x x =-+- D ．2245y x x =--+【答案】B【分析】根据图象绕顶点旋转180°，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案．【详解】∵2241y x x =-++ ()222111x x =--+-+22(1)3x =--+，∴该抛物线的顶点坐标是（1，3），∴在旋转之后的抛物线解析式为： 222(1)3245y x x x =-+=-+．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系数符号改变，顶点不变．8．抛物线y ＝2x 2﹣3的顶点坐标是（ ）A ．（0，﹣3）B ．（﹣3，0）C ．（﹣34，0）D ．（0，﹣34） 【答案】A【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】∵抛物线y ＝2x 2﹣3的对称轴是y 轴，∴该抛物线的顶点坐标为(0，﹣3)，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，找到抛物线的对称轴是解题的关键．9．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【详解】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为2，22，10． A 、三角形三边分别是2，10， 32，与给出的三角形的各边不成比例，故A 选项错误；B 、三角形三边2，4，25，与给出的三角形的各边成比例，故B 选项正确；C 、三角形三边2，3，13，与给出的三角形的各边不成比例，故C 选项错误；D 、三角形三边5，13，4，与给出的三角形的各边不成正比例，故D 选项错误．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，注意三边对应成比例的两三角形相似．10．如图，ABC ∆中，70CAB ∠=，在同一平面内，将ABC ∆绕点A 旋转到AED ∆的位置，使得//DC AB ，则旋转角等于（ ）A ．30B ．40C ．50D ．60【答案】B 【分析】由平行线的性质得出DCA CAB ∠=∠,由旋转的性质可知AC AD =,则有DCA ADC ∠=∠,然后利用三角形内角和定理即可求出旋转角CAD ∠的度数．【详解】//DC AB70DCA CAB ∴∠=∠=︒由旋转的性质可知AC AD =70DCA ADC ∴∠=∠=︒180180707040CAD DCA ADC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒所以旋转角等于40°故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质和旋转的性质，掌握旋转角的概念及平行线的性质，等腰三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．11．如图，一斜坡AB 的长为213m ，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC 的高为（ ）A ．3mB ．4mC ．6mD ．16m【答案】B 【分析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC 和AC 之间的倍数关系式，设BC=x ，则AC=1.5x ，再由勾股定理求得AB=132x ，从而求得BC 的值． 【详解】解：∵斜坡AB 的坡度i=BC ：AC=1：1.5，AB=213∴设BC=x ，则AC=1.5x ， ∴由勾股定理得2213(1.5)2x x x +=， 又∵AB=13 ∴132x =13x=4， ∴BC=4m ．故选：B ．【点睛】本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．12．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠AOD=30°，则∠BCD 等于( )A ．75°B ．95°C ．100°D ．105°【答案】D 【解析】试题解析：连接,AD,30,OA OD AOD =∠=()11803075.2OAD ∴∠=-= 18075105.BCD ∴∠=-=故选D.点睛：圆内接四边形的对角互补.二、填空题（本题包括8个小题）13．已知a+b ＝0目a≠0，则20202019a b a +＝_____． 【答案】1【分析】先将分式变形，然后将0a b +=代入即可． 【详解】解：20202019a b a+ 20192019a b b b++= 020192019b b+= 20192019b b= 1=，故答案为1【点睛】本题考查了分式，熟练将式子进行变形是解题的关键．14．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．【答案】1 2【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【详解】列表如下：-2 -1 1 2-2 2 -2 -4-1 2 -1 -21 -2 -1 22 -4 -2 2由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，∴积为大于-4小于2的概率为612=12，故答案为12．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D 都在这些小正方形的格点上，AB、CD 相交于点E，则sin∠AEC的值为_____．25【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF 是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD的长，从而求出CE，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．【详解】过点C作CF⊥AE，垂足为F，在Rt△ACD中，CD221310+=由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC•sin45°＝22，由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，∴13 CE ACDE BD==，∴CE＝14CD＝104，在Rt△ECF中，sin∠AEC＝2252510CFCE=⨯=，故答案为：25．【点睛】考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．16．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB=6，AP=4，则CE的长为_____．【答案】2【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD﹣AP=1．∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴DF DPAP AB=，即246DF=，∴DF=43，∴CF=143．∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴CEDP=CFDF，即143423CE=，∴CE=2．故答案为：2．【点睛】此题考查相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．17．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共30个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在40%，则随机从口袋中摸出一个是红球的概率是_____．【答案】1．【分析】根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．【详解】∵小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在40%，∴口袋中红色球的个数可能是30×40%＝1个．故答案为：1．【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如右图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形的体积为______．【答案】250π【分析】根据三视图可得这个几何体是一个底面直径为10，高为10的圆柱，再根据圆柱的体积公式列式计算即可．【详解】解：根据这个立体图形的三视图可得：这个几何体是一个圆柱，底面直径为10，高为10，则这个立体图形的体积为：π×52×10=250π，故答案为：250π．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△AOB的面积．（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【答案】（1）2yx=，y＝x﹣1；（2）32；（3）x＞2或﹣1＜x＜0【解析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，再讲B坐标代入反比例解析式中求出a的值，确定出B的坐标，将A与B坐标代入一次函数求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）对于一次函数，令y=0求出x的值，确定出C的坐标，即OC的长，三角形AOB面积=三角形AOC 面积+三角形BOC面积，求出即可；（3）在图象上找出一次函数值大于反比例函数值时x的范围即可．【详解】（1）把A（2，1）代入y＝mx，得：m＝2，∴反比例函数的解析式为y＝2x，把B（﹣1，n）代入y＝2x，得：n＝﹣2，即B（﹣1，﹣2），将点A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b，得：212k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得：11 kb=⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；（2）在一次函数y＝x﹣1中，令y＝0，得：x﹣1＝0，解得：x＝1，则S△AOB＝12×1×1+12×1×2＝32；（3）由图象可知，当x＞2或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：（1）求样本中平均每条鱼的质量；（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．【答案】（1）1.78kg；（2）1kg；（3）y＝14x，0≤x≤1．【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为20 1.615 2.015 1.81.78201515⨯+⨯+⨯=++（kg）．（2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg，∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝1（kg）．（3）∵每千克的售价为14元，∴所求函数表达式为y＝14x，∵该种鱼的总质量约为1kg，∴估计自变量x的取值范围为0≤x≤1．【点睛】本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．21．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为；（4）学校将举办体育节，该班将推选5位同学参加乒乓球活动，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．【答案】（1）50；（2）答案见解析；（3）115.2°；（4）35．【分析】（1）根据统计图数据，直接求解，即可；（2）先求出足球项目和其他项目的人数，再补全条形统计图，即可；（3）由“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×“乒乓球”部分所占的百分比，即可求解；（4）先画出树状图，再根据概率公式，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：该班的总人数=15÷30%=50(名)，故答案为：50；（2）足球项目的人数=50×18%=9(名)，其它项目的人数=50﹣15﹣9﹣16=10(名)，补全条形统计图如图所示：（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°1650⨯=115.2°．故答案为：115.2°；（4）画树状图如图：由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，∴P(恰好选出一男一女)123205==． 【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及概率，掌握扇形统计图和条形统计图的特征以及画树状图，是解题的关键．22．下表是某地连续5天的天气情况（单位：C ︒）： 日期1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 最高气温5 76 8 4 最低气温 －2 0 －2 1 3 （1）1月1日当天的日温差为______C ︒（2）利用方差判断该地这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大.【答案】（1）7；（2）日最低气温波动大.【分析】(1)根据温差=最高温度-最低温度，再根据有理数的减法进行计算即可得出答案(2)利用方差公式直接求出最高气温与最低气温的方差，再进行比较即可.【详解】解：(1)5-(-2)=5+2=7所以1月1日当天的日温差为7℃(2)最高气温的平均数：5768465x ++++==高 最高气温的方差为：()()()()()222222567666864625S -+-+-+-+-==高同理得出，最低气温的平均数：0x =低最低气温的方差为：2 3.6S =低∵22S S <低高∴日最低气温波动大.【点睛】本题考查的知识点是求数据的平均数与方差，熟记方差公式是解题的关键.23．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45︒改为30，已知原传送带AB长为42米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．2 1.4≈3 1.7≈．）【答案】（1）新传送带AC的长度为8米；（2）距离B点5米的货物不需要挪走，理由见解析【分析】（1）根据正弦的定义求出AD，根据直角三角形30度角的性质求出AC；（2）根据正切函数的定义求出CD，求出PC的长度，比较大小得到答案．【详解】（1）在Rt△ABD中，∠ADB=90︒，42AB=sin∠ABD=AD AB，∴242sin45424 AD AB sin ABD=⨯∠=︒==，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴AC=2AD=8，答：新传送带AC的长度为8米；（2）距离B点5米的货物不需要挪走，理由如下：在Rt△ABD中，∠ADB=90︒，∠ABD=45°，∴BD=AD=4，在Rt△ACD中，∠ADC=90︒，∠ACD=30°，AC=8，∴3AC cos ACD8cos308 6.8CD∠=⨯=⨯︒=≈(米) ，∴CB=CD-BD≈2.8，PC=PB-CB≈2.2，∵2.2＞2，∴距离B点5米的货物不需要挪走．【点睛】本题实际考查的是解直角三角形的应用，在两个直角三角形拥有公共边的情况下，先求出这条公共边是解答此类题目的关键．24．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．【答案】 (1);(2).【解析】试题分析：（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案.（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为：.（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况， ∴抽取2名，甲在其中的概率为：.考点：概率.25．解方程：（1）x 2﹣2x ﹣3＝1；（2）x （x+1）＝1．【答案】（1）121=3=x x -，；（2）12=0=1- x x ， 【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）根据因式分解的性质，直接得到答案即可．【详解】解：（1）x 2﹣2x ﹣3＝1()()13=0x x +-1=03=0x x +-或121=3=x x -，；（2）1=0x x +（）010x x =+=或12=0=1 - x x ，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．26．如图，AB 为⊙O 的弦，若OA⊥OD,AB、OD 相交于点C,且CD=BD ．(1)判定BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA=3，OC=1时，求线段BD 的长.【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）连接OB ，由BD=CD ，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC ，再由AO 垂直于OD ，得到三角形AOC 为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB 垂直于BD ，即可得证；（2）设BD=x ，则OD=x+1，在RT △OBD 中，根据勾股定理得出32+x 2=（x+1）2，通过解方程即可求得．【详解】解：（1）证明：连接OB ，∵OA=OB ，DC=DB ，∴∠A=∠ABO ，∠DCB=∠DBC ，∵AO ⊥OD ，∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，∵∠ACO=∠DCB=∠DBC ，∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB ⊥BD ，则BD 为圆O 的切线；（2）解：设BD=x ，则OD=x+1，而OB=OA=3，在RT △OBD 中，OB 2+BD 2=OD 2，即32+x 2=（x+1）2，解得x=1，∴线段BD 的长是1．27．若抛物线2:L y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0abc ≠）与直线l 都经过轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系，此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．（1）若直线1y mx =+与抛物线22y x x n =-+具有“一带一路”关系，求m 、n 的值．（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数6y x =的图象上，它的“带线” 的解析式为24y x =-，求此路的解析式．【答案】（1）-1；（2）路线L 的解析式为22(3)23y x =--+或22(1)6y x =+- 【解析】试题分析: (1)令直线y ＝mx ＋1中x ＝0,则y ＝1,所以该直线与y 轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y ＝x 2－2x ＋n 中,得n ＝1,可求出抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,所以抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y ＝mx ＋1中,得0＝m ＋1,解得m ＝－1,(2)将y ＝2x －4和y ＝6x 联立方程可得2x －4＝6x,即2x 2－4x －6＝0,解得x 1＝－1,x 2＝3,所以该“路线”L 的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),令“带线”l ：y ＝2x －4中x ＝0,则y ＝－4,所以 “路线”L 的图象过点(0,－4),设该“路线”L 的解析式为y ＝m(x ＋1)2－6或y ＝n(x －3)2＋2,由题意得:－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m ＝2,n ＝23-,所以此“路线”L 的解析式为y ＝2(x ＋1)2－6或y ＝23- (x －3)2＋2. 试题解析:(1)令直线y ＝mx ＋1中x ＝0,则y ＝1,即该直线与y 轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y ＝x 2－2x ＋n 中,得n ＝1,∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y ＝mx ＋1中,得0＝m ＋1,解得m ＝－1,(2)将y ＝2x －4代入到y ＝6x 中,得2x －4＝6x,即2x 2－4x －6＝0,解得x 1＝－1,x 2＝3, ∴该“路线”L 的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),令“带线”l ：y ＝2x －4中x ＝0,则y ＝－4,∴“路线”L 的图象过点(0,－4),设该“路线”L 的解析式为y ＝m(x ＋1)2－6或y ＝n(x －3)2＋2,由题意得:－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m ＝2,n ＝23-, ∴此“路线”L 的解析式为y ＝2(x ＋1)2－6或y ＝23- (x －3)2＋2.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，ABC ∆是等边三角形，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，且AD BE CF ==若DE BC ⊥，则DEF ∆与ABC ∆的面积比为（ ）A ．12B 2C ．13D 3【答案】C【分析】根据等边三角形的性质先判定DEF ∆是等边三角形，再利用直角三角形中30︒角的性质求得2BD BE =，3DE BE =，进而求得答案.【详解】ABC ∆是等边三角形AB BC AC ∴==，60∠=∠=∠=︒A B C ，AD BE CF ==，BD CE AF ∴==，∴BDE CEF AFD ∆≅∆≅∆，DE EF DF ∴==，DEF ∴∆是等边三角形，DEF ABC ∴∆∆，DE BC ⊥，60B ∠=︒，2BD BE ∴=，3DE BE =，AD BE =，3AB BE ∴=，:3DE AB ∴=，:333BE BE =，21:(31:33DEF ABC S S ∆∆∴===． 故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质．2．如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由几何体的俯视图观察原立体图形中正方体的位置关系【详解】由俯视图可以看出一共3列，右边有前后2排，后排是2个小正方体，前面一排有1个小正方体，其他两列都是1个小正方体，由此可判断出这个几何体的主视图是A ．故选A ．3．如图，正方形ABCD 的边长为2,对角线AC BD 、相交于点O ,将直角三角板的直角顶点放在点O 处,两直角边分别与,OD OC 重叠,当三角板绕点O 顺时针旋转α角(090)α<<时，两直角边与正方形的边, BC CD 交于E F 、两点，则四边形OECF 的周长（ ）A ．先变小再变大B ．先变大再变小C ．始终不变D ．无法确定【答案】A 【分析】由四边形ABCD 是正方形，直角∠FOE,证明△DOF ≌△COE,则可得四边形OECF 的周长与OE 的变化有关.【详解】解：四边形ABCD 是正方形,OC OD ∴=,045ODC CB ∠=∠=，OC OD ⊥即90COD ∠=90EOF COD ∠==∠,又 , 45OC OD ODC OCB =∠=∠=,() OEC OFD ASA ∴∆∆≌, OE OF EC DF ∴==OECF 222C OE EC CF OF OE CD OF OE CD OE =+++=++=+=+四边形 OECF C ∴四边形随OE 的变化而变化。

2021-2022学年人教版九年级数学上册期末考试卷(时间120分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1. 下列图形，可以看作中心对称图形的是( )2. 已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( ) A ．x<1 B ．x>1C ．x<－1D ．x>－13. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＜14B ．k≤14C ．k ＞4D ．k≤14且k≠04. 如图，已知△OAB 是正三角形，OC ⊥OA ，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转，使得OB 与OC 重合，得到△ODC ，则旋转的角度是( )A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，∠BCD ＝54°，则∠A 的度数是( )A ．36°B ．33°C ．30°D ．27°6. 一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是( ) A ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 B ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C ．第一次摸出的球是红球的概率是13D ．两次摸出的球都是红球的概率是197. 已知平面直角坐标系中的三个点O(0，0)，A(－1，1)，B(－1，0)，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转45°，则点A 的对应点A 1的坐标为( ) A ．(2，0) B ．(22，0)C ．(0，22)D ．(0，2)8. 已知a≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( ) A ．6 B ．3 C ．－3 D ．09. 在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1.如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′.则图中阴影部分面积为( )A ．π4 B ．π－32C ．π－34D ．32π10. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac －b 2＜0；②2a －b ＝0；③a ＋b ＋c ＜0；④点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在抛物线上，若x 1＜x 2，则y 1＜y 2.正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 已知抛物线y ＝x 2－3x ＋m 与x 轴只有一个公共点，则m ＝________． 12. 在平面直角坐标系中，点(－3，2)关于原点对称的点的坐标是________．13. 一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球，从中任意摸出一个球恰好是红球的概率是________．14. 如图为一个玉石饰品的示意图，点A ，B 为外圆上的两点，且AB 与内圆相切于点C ，过点C 作CD ⊥AB 交外圆于点D ，测得AB ＝24 cm ，CD ＝6 cm ，则外圆的直径为________cm.15. 如图，在△ABO 中，AB ⊥OB ，OB ＝3，AB ＝1.将△ABO 绕O 点旋转90°后得到△A 1B 1O ，则点A 1的坐标为________．16. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根，则x 12＋4x 1x 2＋x 22的值是__ __． 17. 如图，在Rt △AOB 中，OB ＝2 3 ，∠A ＝30°，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ(其中点Q 为切点)，则线段PQ 长度的最小值为__ __.18. 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与坐标轴相切时，圆心P 的坐标可以是____．三．解答题（共6小题， 66分）19．(8分) 先化简，再求值：x 2－x x ＋1 ·x 2－1x 2－2x ＋1 ，其中x 满足x 2－3x ＋2＝0.20．(8分) 解下列方程：(1)(2x－1)2＝9；(2)7x(5x＋2)＝6(5x＋2)．21．(8分) 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．(1)若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为_______；(2)若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．22．(10分) 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π)．23．(10分) 如图，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．(1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请求出点P的坐标．24. (10分) 如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由．(2)①求证：CF＝OC；②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．25. (12分) 如图①所示，四边形ABCD为正方形，BD为其对角线，在BC边上取点P，作PQ∥BD，则此时PC，QC的数量关系为__ __，△PCQ的形状为__ __，说出你的理由；【拓展延伸】如图②所示，将△PCQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<30°)，请问此时线段BP，DQ的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由；【类比探究】当旋转角为45°时，①PQ与BC的关系是__ __；②若PC＝ 2 ，BC＝3，连接BQ，则△BDQ的面积为__ __．参考答案1-5BABAA 6-10ADABC 11.94 12．(3，－2) 13．1314.3015.(－1，3)或(1，－3) 16．2 17．2 218.(6，2)或(－6，2)或(2，1)或(－2，1)19．解：原式＝x （x －1）x ＋1 ·（x ＋1）（x －1）（x －1）2 ＝x ，∵x 2－3x ＋2＝0，∴(x －2)(x －1)＝0，∴x ＝1或x ＝2，当x ＝1时，(x －1)2＝0，分式x 2－1x 2－2x ＋1无意义，∴x ＝2，此时，原式＝220．(1)解：2x －1＝±3，∴x 1＝2，x 2＝－1.(2)解：7x(5x ＋2)－6(5x ＋2)＝0，(5x ＋2)(7x －6)＝0，∴5x ＋2＝0或7x －6＝0. ∴x 1＝－25，x 2＝67.21．解：(1)共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，因此恰好抽到小艺的概率为14 ，故答案为：14(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：(小志、小晴)＝212 ＝1622．解：(1)如图，点A 1的坐标为(2，－4)． (2)如图所示．(3)∵BC ＝32＋22＝13，∴C 点旋转到C 2点所经过的路径长为90π·13180＝13π2.23.(1)将点A(－4，0)及原点(0，0)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝0.所以此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x. (2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4.设点P 到x 轴的距离为h ，则S △AOP ＝12×4h ＝8，解得h ＝4，当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2.∴点P 的坐标为(－2，4)；当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，解得x 1＝－2＋22，x 2＝－2－2 2.∴点P 的坐标为(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)．综上所述，点P 的坐标是(－2，4)或(－2＋22，－4)或(－2－22，－4)．24．(1)解：结论：直线DE 与半圆O 相切．理由：∵CD ⊥AD ，∴∠D ＝90°.∵四边形OABC 是平行四边形，∴AD ∥OC.∴∠D ＝∠OCE ＝90°.∴CO ⊥DE.又∵CO 为半径，∴直线DE 与半圆O 相切．(2)①证明：如图，连接OB.∵OA ＝OC ，∴四边形OABC 是菱形．∴OA ＝OB ＝AB.∴△AOB 为等边三角形．∴∠BAO ＝60°.∵AD ∥OC ，∴∠COF ＝∠BAO ＝60°.又∵OC ＝OF ，∴△OCF 是等边三角形．∴CF ＝OC.②解：在Rt △OCE 中，∵OC ＝12，∠COE ＝60°，∠OCE ＝90°，∴OE ＝2OC ＝24.∴EC ＝12 3.∵OF ＝12，∴EF ＝12.则 CF ︵的长为12×2π×60360＝4π.∴阴影部分的周长为4π＋12＋12 3.25．解：【问题发现】相等 等腰直角三角形理由：∵四边形ABCD 为正方形，BD 为对角线，∴∠CBD ＝∠CDB ＝45°，∠C ＝90°.∵PQ ∥BD ，∴∠CPQ ＝∠CBD ＝45°，∠CQP ＝∠CDB ＝45°.∴CP ＝CQ.∴△PCQ 为等腰直角三角形【拓展延伸】位置关系是垂直，数量关系是相等．理由如下：如图②所示，延长BP 交DQ 于点F ，交DC 于点E.在△BCP 与△DCQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CD ∠BCP ＝∠DCQ ，CP ＝CQ ∴△BCP ≌△DCQ(SAS).∴BP ＝DQ ，∠CBP ＝∠CDQ.∵∠CBP ＋∠BEC ＝90°，∴∠CDQ ＋∠DEF ＝90°.∴∠DFE ＝90°，即BP ⊥DQ 【类比探究】①平行 ②92【解析】①如图③所示，延长BC ，作QN ⊥BC ，垂足为N ；作PH ⊥BC ，垂足为H.∵△PCQ 为等腰直角三角形，∴∠CPQ ＝45°.∵∠BCP ＝45°，∴PQ ∥BC.②在Rt △PHC 中，∠α＝45°，PC ＝ 2 ，∴PH ＝HC ＝22＝1.∵四边形MCNQ 为矩形，且∠NCQ ＝45°，∴四边形MCNQ 是边长为1的正方形．∵S △BCD ＝3×32 ＝92 ，S 梯形DCNQ ＝（1＋3）×12 ＝2，S △BNQ ＝4×12＝2.∴S △BDQ ＝S △BCD ＋S 梯形DCNQ －S △BQN ＝92 。

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2021年上海市宝山区初三一模数学试卷2021年上海市奉贤区初三一模数学试卷2021年上海市嘉定区初三一模数学试卷2021年上海市虹口区初三一模数学试卷2021年上海市黄浦区初三一模数学试卷2021年上海市静安区初三一模数学试卷2021年上海市崇明区初三一模数学试卷2021年上海市普陀区初三一模数学试卷2021年上海市松江区初三一模数学试卷2021年上海市徐汇区初三一模数学试卷2021年上海市杨浦区初三一模数学试卷2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷
AC=BC，
2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷。

2022学年第一学期初三数学练习卷（202303）（完卷时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而减小的是（ ） (A)2x y =； (B)2x y =-； (C)2y x =； (D)2y x=-． 2．已知抛物线23y x =-，如果点A （1，-2）与点B 关于该抛物线的对称轴对称，那么点B 的坐标是（ ）（A ）（2，1）； （B ）（-2，-1）； （C ）（1，2）； （D ）（-1，-2）. 3．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定DE //BC 的是（ ） （A ）AD AE BD CE =； （B ）AD AE AB AC =； （C ）DE AD BC AB =； （D ）BD CEAB AC=． 4．如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论中正确的是（ ）（A ）AC BC =； （B ）AC //BC ； （C ）0AC BC +=； （D ）2AB BC =． 5．在直角坐标平面内有一点A （3，1），设OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（ ） （A ）1sin 3α=； （B ）1cos 3α=； （C ）1tan 3α=； （D ）1cot 3α=．6．如图1，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以 点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ， 那么AP ∶AB 等于（ ）（A ）1∶2； （B ）1∶3； （C ）2∶3； （D ）2∶3．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段4=a ，16=b ，如果线段c 是b a 、的比例中项，那么c 的值是 ．8．已知()21f x x =-，那么()1f -的值是 ．9．一次函数31y x =+的图像不经过的象限是 ．10．如果两个等边三角形的边长的比是41:，那么它们的周长比是 ．11．如图2，已知EF CD AB ////，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ．如果2=AC ，6=AE ，3=DF ，那么=BD ．12．在△ABC 中，如果AB=AC =7，BC=10，那么osB c 的值是 ．13．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD =6，那么线段DG 的长是 ．图1l 1 l 2 A B C D EF图2xyO 11 14．如图3，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ， 如果DE ∶BC = 2∶5，那么EF ∶AB 的值是 ．15．如图4，在梯形ABCD 中，AD //BC ， AC 与BD 相交于点O ，如果BC ：AD=3：2，那么ABC ADC S S ∆∆:的值为 .16．已知一斜坡的坡度31:i =，高度为20米，那么这一斜坡的坡长 米． 17．如图5，△ABC 中，90ABC ∠=︒，60A ∠=︒，直尺的一边与BC 重合，另一边分别交AB 、AC 于点D 、E ．点B 、C 、D 、E 处的读数分别为15、12、0、1，那么直尺宽BD 为 ． 18．我们知道四边形具有不稳定性，容易变形．如图6，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的内角为α，我们把αsin 的值叫做这个平行四边形的“变形系数”，如果矩形的面积为5，其变形后的平行四边形的面积为4，那么这个平行四边形的“变形系数”是 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：︒-︒+︒⋅︒30cot 45tan 2160sin 304cos ．20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知抛物线223y x x =-++，将这条抛物线向左平移 3个单位，再向下平移2个单位．（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；（2）在如图7所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．α变形图6FE A BC D 图3图4A CBDO图5图9A BCDEE ACBD图821.（本题满分10分，每小题满分5分）如图8，在△ABC 中，D 在边BC 上，AB=BD=12BC ，E 是BD 的中点． （1）求证：∠BAE=∠C ； （2）设a AB =， b AD =，用含向量a 、b 的式子表示向量AC ．22．（本题满分10分）九（1）班同学在学习了解直角三角形知识后，开展了“测量学校教学大楼高度”的活动中，在这个活动中他们设计了以下两种测量的方案： 课题 测量教学大楼的高度方案 方案一方案二测量 示意 图测得 数据甲楼和乙楼之间的距离AC =20米，乙楼顶端D 测得甲楼顶端B 的仰角35α=︒，测得甲楼底端A 的俯角40β=︒甲楼和乙楼之间的距离AC =20米，甲楼顶端B 测得乙楼顶端D 的俯角35FBD ∠=︒，测得乙楼底端C 的俯角，57FBC ∠=︒参考 数据 35057sin .︒≈，40064sin .︒≈，57084sin .︒≈，35082cos .︒≈，40077cos .︒≈，57054cos .︒≈，35070tan .︒≈，40084tan .︒≈，57153tan .︒≈请你选择其中一种方案，求甲楼和乙楼的高度.（结果精确到1米）23．（本题满分12分，每小题满分6分）已知：如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 在边对角线BD 上，∠EAD =∠BDC ． （1）求证：DC AD BD AE ⋅=⋅； （2）如果点F 在边DC 上，且AEADDF DE =， 求证：EF //BC ．O图10 xy24．（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题每小题满分4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线32++=bx ax y 的对称轴为直线x=2，顶点为A ，与x 轴相交于点B 、C （3，0）（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于点D ． （1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为点E ，联结DE ．①如果DE ∥AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上， 当∠DQE=∠CDQ 时，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，第(1) 满分4分，第（2）、(3)小题满分5分）如图11，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，CE 交对角线BD 于点F ，∠DCE=∠ADB ．（1）求证：CE BF BC AB ⋅=⋅； （2）如果63==DE AD ． ①求CF 的长；②如果BD =10，求cos ∠ABC 值．E 图11A BC D F考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．A . 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题（本大题共7题，其中19-22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）19．解：原式=312123234-⨯+⨯⨯ ··········································································· （8分）3213-+==35+． ············································································· （2分）20．（1）解 ()222314y x x x =-++=--+． ···························································· （1分）平移后新抛物线的表达式：()222y x =-++． ················································ （1分）该抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（-2，2），对称轴是直线2x =-，在直线2x =-的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的． ········································ （4分）（2）在平面直角坐标系中画出正确的图像． ···················································· （4分） （顶点、对称轴、大致形状正确） 21．（1）解 ∵AB=BD=12BC ，E 是BD 的中点．∴2121==BDBE BC BD ，． ···················································································· （1分） ∵AB =BD ，∴12ABBE BCAB ． ········································································ （1分）∵∠ABC=∠EBA ，∴△ABC ∽△EBA ． ······························································ （2分） ∴∠BAE=∠C ． ·································································································· （1分）(2) ∵a AB =，b AD =，∴a b BD -=． ··························································· （1分）7. 8； 8. 1； 9. 第四象限；10. 1:4； 11．32； 12. 57； 13．2； 14． 35；15．23；16．17 18．45．∵BC BD =2，∴a b BC 22-=． ································································· （2分） ∴a b a b a BC AB AC -=-+=+=222． ····················································· （2分）22．选择方案一：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ．··························································· （1分）∵∠AED=∠EAC=∠ACD ＝90°．∴四边形ACDE 是矩形．∴DE =AC =20米，AE =CD ． ················································· （2分） 在Rt △ADE 中，∠AED ＝90°，tan AE DE β=，即tan 400.8420AE︒=≈． ∴200.8416.817AE =⨯=≈（米）． ········································································· （3分） 在Rt △BED 中，∠BED ＝90°，tan BE DE α=，即tan350.7020AE︒=≈． ∴200.7014BE =⨯=（米）．···················································································· （3分） ∴16.81430.831AB AE BE =+=+=≈（米）． ······················································· （1分） 答：甲楼和乙楼的高度分别为31米和17米．选择方案二：延长CD ，交水平线BF 于H ． ····································································· （1分）∵∠FBA=∠BAC=∠DCA ＝90°．∴四边形ACHB 是矩形．∴BH =AC =20米，AB =CH ． ················································ （2分） 在Rt △BCH 中，∠BHC ＝90°，tan CHHBC BH∠=，即tan57 1.5320CH ︒=≈．∴20 1.5330.631CH =⨯=≈（米）． ········································································· （3分） 在Rt △BDH 中，∠BHC ＝90°，tan HDHBD BH∠=，即tan350.7020HD ︒=≈．∴200.7014HD =⨯=（米）． ··················································································· （3分） ∴30.61416.617CD HC HD =-=-=≈（米）． ······················································ （1分） 答：甲楼和乙楼的高度分别为31米和17米．23. 解：（1）∵AD //BC ，∴ADE CBD ∠=∠． ································································ （1分）∵∠EAD =∠BDC ，∴△ADE ∽△DBC ． ······································································· （2分） ∴ADAEBD DC． ············································································································ （2分） ∴DC AD BD AE ⋅=⋅． ······························································································ （1分） （2）∵△ADE ∽△DBC ，∴BD BC AD DE ．∴ADBDDE DC ． ················································································· （2分） ∵DE AD DFAE ，∴DEBD DF DC ，即DE DFBD DC． ····················································· （2分） ∴EF //BC ． ···················································································································· （2分）24．解：（1）由题意得，抛物线23y ax bx 对称轴为直线x=2，经过点B (3，0)，代入得2,29330.baa b 解得 1, 4.a b····························································· （3分）∴抛物线的表达式是243y x x =-+． ································································ （1分） (2)① 由题意得：原抛物线的顶点A 的坐标是（2，-1）． ····································· （1分） ∴将抛物线向左或向右平移后，新抛物线的顶点E 的坐标为（x ，-1）． ∵A （2，-1），C （3，0），∴直线AC 的表达式是：y=x -3． ∵DE ∥AC ，D 的坐标为（0，3），∴直线DE 的表达式是：y=x +3．∴点E 的坐标为（-4，-1）．····················································································· （1分） 设直线DE 与x 轴交于点P ，则P 的坐标为（-3，0）． ········································· （1分） ∴16361152CPD ACDE ACPE S S S ∆=+=⨯⨯+⨯=四边形平行四边形． ·································· （1分） ②将抛物线向左或向右平移后，新抛物线的顶点E 的坐标为（x ，-1）． ∵D （0，3），C （3，0），∴直线DC 的表达式是：3y x =-+．∵点E 在直线DC 上，∴点E 的坐标为（4，-1）． ·············································· （1分） ∴平移后新抛物线的对称轴是直线4x =． 当点Q 在x 轴上方的对称轴上时， ∵∠DQE=∠CDQ ，∴ED=EQ ．∵E （4，-1），D （0，3），∴ED EQ == ···················································· （1分） ∴点Q 的坐标为（4，1）． ················································································ （1分） 当点Q在x 轴下方的对称轴上时， 同理ED EQ ==∴点Q 的坐标为（4，1-）． ·············································································· （1分） 综上所述，当∠DQE=∠CDQ时，点Q 的坐标为（4，1）或（4，1-）．25．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ． ∴∠ADB =∠CBD ，∠DEC=∠BCF ． ∵∠DCE=∠ADB ，∴∠DCE=∠CBD ．∴△DCE ∽△FBC ． ····································································································· （2分）∴BCCEBF DC =．··········································································································· （1分） ∵AB =CD ，∴BCCEBF AB =，即CE BF BC AB ⋅=⋅． ················································ （1分） (2) ①∵AD =3DE =6，∴DE=2，AE=4．∵AD //BC ，∴FC EFBC DE =． ∵AD =BC ，∴31==FC EF BC DE ．∴41=EC EF ，即EF EC 4=． ···················································································· （2分） ∵∠EDF=∠ECD ，∠DEF=∠CED ， ∴△EDF ∽△ECD ．∴DEEFEC DE =．∴242EFEF =，解得1=EF (负值舍去) ． ························································· （2分）∴4413CF EF EF =-=-=． ·················································································· （1分）②∵AD //BC ，∴41==EC EF BD DF ． ∵BD =10，∴25=DF ．∵△EDF ∽△ECD ，∴ECDEDC DF =． ∵DE =2，EC =4，∴5=DC ． ··················································································· （2分） 过点D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点H ．在Rt △BDH 与Rt △CDH 中，2222DC CH BD BH -=-， 设CH x =，得2222510(6)x x -=-+，解得134x =． ············································ （1分） 在Rt △DCH 中，13cos 20CH DCH DC ∠==． ····························································· （1分） ∵AB //CD ，∴ABC DCH ∠=∠． ∴13cos 20ABC ∠=． ··································································································· （1分）。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形【答案】B【解析】选项A，正方形的最小旋转角度为90°，绕其中心旋转90°后，能和自身重合；选项B，正五边形的最小旋转角度为72°，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；选项C，正六边形的最小旋转角度为60°，绕其中心旋转60°后，能和自身重合；选项D，正八边形的最小旋转角度为45°，绕其中心旋转45°后，能和自身重合.故选B．2．反比例函数myx=的图象如图所示，以下结论：① 常数m ＜－1；② 在每个象限内，y随x的增大而增大；③ 若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④ 若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，故①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，mk2=，因为m＞0，所以，h＜k，故③正确；函数图象关于原点对称，故④正确．因此，正确的是③④．故选C．3．下列四个结论，①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等；不正确的是（）A．②③B．①③④C．①②④D．①②③④【答案】D【分析】根据确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理逐一判断即可得答案.【详解】过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故①错误，圆的内接四边形对角互补，故②错误，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故④错误，综上所述：不正确的结论有①②③④，故选：D.【点睛】本题考查确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.4．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ） A ．3cmB ．6cmC ．12cmD ．24cm【答案】C【分析】易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径.【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=，∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=.故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.5．下列事件中，是必然事件的是( )A ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B ．明天太阳从西方升起C ．三角形内角和是180D ．购买一张彩票,中奖 【答案】C【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断【详解】解：A ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件;B ．明天太阳从西方升起是不可能事件;C ．任意画一个三角形,其内角和是180是必然事件;D ．购买一张彩票，中奖是随机事件;故选：C【点睛】本题考查的是必然事件，必然事件是一定发生的事件.6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则ADE ABC 的面积的面积＝（ ）A ．13B ．14C ．16D ．19【答案】D【解析】由DE ∥BC 知△ADE ∽△ABC ，然后根据相似比求解．【详解】解：∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC.又因为DE ＝2，BC ＝6，可得相似比为1:3.即ADE ABC 的面积的面积=2213：=19. 故选D.【点睛】本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．7．如图，O 截ABC ∆的三条边所得的弦长相等，若80A ︒∠=，则BOC ∠的度数为( )A ．125︒B ．120︒C ．130︒D ．115︒ 【答案】C【分析】先利用O 截ABC 的三条边所得的弦长相等，得出即O 是ABC 的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出BOC ∠的度数．【详解】解：过点O 分别作OD BC 、OE AC ⊥、OF AB ⊥，垂足分别为D 、E 、F ，连接OB 、OC 、OM 、ON 、OP 、OQ 、OS 、OT ，如图：∵MN PQ ST ==，OM ON OP OQ OS OT =====∴()OMN OPQ OST SAS ≌≌∴OD OE OF ==∴点O 是ABC 三条角平分线的交点，即三角形的内心∴12∠=∠，34∠=∠∵180100ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒ ∴()124502ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒ ∴()18024130BOC ∠=︒-∠+∠=︒．故选：C【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单．8．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，60APB ∠=，⊙O 半径为2，则PA 的长为（ ）A ．3B ．4C ．23D ．22【答案】C 【分析】连接PO 、AO 、BO ，由角平分线的判定定理得，PO 平分∠APB ，则∠APO=30°，得到PO=4，由勾股定理，即可求出PA.【详解】解：连接PO 、AO 、BO ，如图：∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∴PA AO ⊥，PB BO ⊥，AO=BO ，∴PO 平分∠APB ，∴∠APO=116022APB ∠=⨯︒=30°， ∵AO=2，∠PAO=90°，∴PO=2AO=4，由勾股定理，则224223PA =-=；故选：C.【点睛】本题考查了圆的切线的性质，角平分线的判定定理，以及勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理，得到∠APO=30°.9．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D 在AC 弧上，则∠ADB 的大小为A ．46°B ．53°C ．56°D ．71°【答案】C 【解析】试题分析：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC ﹣∠BAC=56°．∵∠ADB 和∠ACB 都是弧AB 对的圆周角，∴∠ADB=∠ACB=56°．故选C ．10．在反比例函数4y x=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】根据反比例函数k y x=中k 的几何意义，过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【详解】解：A、图形面积为|k|=1；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（12|k|）=1．故选B．【点睛】主要考查了反比例函数kyx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．11．在美术字中，有些汉字是中心对称图形，下面的汉字不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是熟知中心图形的定义.12．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5【答案】B【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B ．二、填空题（本题包括8个小题）13．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为_________． 【答案】12 【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可． 【详解】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的， ∴正面向上的概率为12． 故答案为12. 【点睛】本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关． 14．关于x 的方程x 2﹣x ﹣m ＝0有两个不相等实根，则m 的取值范围是__________．【答案】m ＞﹣14【分析】根据根的判别式，令△＞0，即可计算出m 的值．【详解】∵关于x 的方程x 2﹣x ﹣m ＝0有两个不相等实根，∴△＝1﹣4×1×（﹣m ）＝1+4m ＞0，解得m ＞﹣14． 故答案为﹣14． 【点睛】本题考查了一元二次方程系数的问题，掌握根的判别式是解题的关键．15．如图，ABC ∆与DEC ∆关于点C 成中心对称，若2AB =，则DE =______．【答案】2【分析】由题意根据中心对称的定义可得AB=DE ，从而即可求值．【详解】解：ABC ∆与△DEC 关于点C 成中心对称，2AB DE ∴==.【点睛】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义即把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．16．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是_____． 【答案】49【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：列表如下：由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为49， 故答案为49． 【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．17．在平面直角坐标系中，点A （0,1）关于原点对称的点的坐标是_______.【答案】 (0,-1)【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可解得.【详解】∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数∴点A 关于原点对称的点的坐标是(0,-1)故填：(0,-1).【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.18．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）【答案】12y y >【解析】抛物线()2y x 11=-+的对称轴为：x=1，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .故答案为>三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为BC 、AC 上的点.若23CE CD BC AC ==，AB ＝8cm ，求DE 的长.【答案】163cm 【分析】根据两边成比例且夹角相等证△CDE ∽△CAB ，由相似性质得对应边成比例求解.【详解】解：在△CDE 和△CAB 中，∵23CE CD BC AC ==，∠DCE=∠ACB ， ∴△CDE ∽△CAB ，∴23DE CE AB BC , ∴283DE , ∴DE=163 . 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，正确找出相似条件是解答此题的关键.20．某演出队要购买一批演出服，商店给出如下条件：如果一次性购买不超过10件，每件80元；如果一次性购买多于10件，每增加1件，每件服装降低2元，但每件服装不得低于50元，演出队一次性购买这种演出服花费1200元，请问此演出队购买了多少件这种演出服？【答案】购买了20件这种服装【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可；【详解】解：设购买了x 件这种服装．，∵12001080>⨯∴购买的演出服多于10件根据题意得出：()802101200x x ⎡⎤--=⎣⎦，解得：120x =，230x =，当20x 时，802(2010)60--=元50>元，符合题意；当30x =时，802(3010)40--=元50<元，不合题意，舍去；故答案为：20x ．答：购买了20件这种服装．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出方程．21．如图，AC 为O 的直径，B 为O 上一点，30ACB ∠=，延长CB 至点D ，使得CB BD =，过点D 作DE AC ⊥，垂足E 在CA 的延长线上，连接BE .（1）求证：BE 是O 的切线；（2）当3BE =时，求图中阴影部分的面积.【答案】（1）详见解析；（2）33322π. 【分析】（1）连接OB ，欲证BE 是O 的切线，即要证到∠OBE=90°，而根据等腰三角形的性质可得到30OBC OCB ∠=∠=.再根据直角三角形的性质可得到30BEC ∠=，从而得到120EBC ∠=，从而得到90EBO ∠=，然后根据切线的判定方法得出结论即可.（2）先根据已知条件求出圆的半径，再根据扇形的面积计算公式计算出扇形OBC 的面积，再算出三角形OBC 的面积，则阴影部分的面积可求.【详解】（1）证明：如图，连接OB∵OB OC =,30ACB ∠=,∴30OBC OCB ∠=∠=.∵DE AC ⊥,CB BD =,∴在Rt DCE ∆中，12BE CD BC ==. ∴30BEC OCB ∠=∠=∴在BCE ∆中，180120EBC BEC OCB ∠=-∠-∠=.∴1203090EBO EBC OBC ∠=∠-∠=-=，即BE OB ⊥.又∵B 为圆O 上一点，∴BE 是圆O 的切线.（2）解：当3BE =时，3BC =.∵AC 为圆O 的直径，∴90ABC ∠=.又∵30ACB ∠=，∴2AC AB =.在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，即2223(2)AB AB +=， 解得3AB =. ∴223AC AB ==，3AO = ∴22111133(3)333222222ABC S S S AO AB BC πππ∆=-=•-•=⨯-⨯⨯=-阴影半圆【点睛】本题考查了切线的判定方法和弓形面积的计算方法，正确作出辅助线是解题的关键.22．（1）解方程：2210x x --=（2）已知关于x 的方程1011m x x x --=--无解，方程260x kx ++=的一个根是m ． ①求m 和k 的值；②求方程260x kx ++=的另一个根．【答案】（1）112x =-，21x =;（2）①2m =，5k =-，②另一个根是1． 【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）①根据分式方程无解，先求出m 的值 ，然后将m 代入一元二次方程中求出k 的值即可； ②根据根与系数的关系可求出另一个根．【详解】（1）原方程可化为()()2110x x +-=210x +=或10x -=解得：112x =-，21x =（2）①解：将分式方程两边同时(1)x ⨯- ，得到10m x --= ，解得1x m =-∵分式方程无解，11x m ∴=-=2m ∴=，把2m =代入方程260x kx ++=，得22260k ++=求得5k =-②根据一元二次方程根与系数的关系可得126x x =∵2m =∴另外一个根是1【点睛】本题主要考查解一元二次方程及一元二次方程根与系数的关系，分式方程无解问题，掌握分式方程无解问题的方法及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．23．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A 处观测得某建筑物顶点O 时俯角为30°，继续水平前行10米到达B 处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）【答案】40﹣3【分析】过O 点作OC ⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C ，设OC =BC =x ，则AC =10+x ，利用正切值的定义列出x 的方程，求出x 的值，进而求出楼的高度．【详解】过O 点作OC ⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C ，根据题意可知，∠OAC =30°，∠OBC =45°，AB =10米，AD =45米，在Rt △BCO 中，∠OBC =45°，∴BC =OC ，设OC =BC =x ，则AC =10+x ，在Rt △ACO 中，3tan 3010OC x AC x ︒===+， 解得：x =3， 则这栋楼的高度455354053h AD CO ===﹣﹣﹣米)．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角、俯角的问题以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形．24．已知函数y ＝mx 1﹣（1m+1）x+1（m ≠0），请判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）当m ＜0时，函数y ＝mx 1﹣（1m+1）x+1在x ＞1时，y 随x 的增大而减小；（1）当m ＞0时，函数y ＝mx 1﹣（1m+1）x+1图象截x 轴上的线段长度小于1．【答案】（1）详见解析；（1）详见解析．【分析】（1）先确定抛物线的对称轴为直线x ＝1+12m ，利用二次函数的性质得当m ＞1+12m时，y 随x 的增大而减小，从而可对（1）的结论进行判断；（1）设抛物线与x 轴的两交的横坐标为x 1、x 1，则根据根与系数的关系得到x 1+x 1＝21m m +，x 1x 1＝2m ，利用完全平方公式得到|x 1﹣x 1|()212124x x x x +-212m ⎛⎫- ⎪⎝⎭|1﹣1m |，然后m 取15时可对（1）的结论进行判断． 【详解】解：（1）的结论正确．理由如下：抛物线的对称轴为直线(21)1122-+=-=+m x m m， ∵m ＜0，∴当m ＞1+12m 时，y 随x 的增大而减小， 而1＞1+12m， ∴当m ＜0时，函数y ＝mx 1﹣（1m+1）x+1在x ＞1时，y 随x 的增大而减小；（1）的结论错误．理由如下：设抛物线与x 轴的两交的横坐标为x 1、x 1，则x 1+x 1＝21m m +，x 1x 1＝2m ，|x 1﹣x 1|＝|1﹣1m|， 而m ＞0，若m 取15时，|x 1﹣x 1|＝3， ∴当m ＞0时，函数y ＝mx 1﹣(1m+1)x+1图象截x 轴上的线段长度小于1不正确．【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．已知抛物线2234y x mx m =-++（1）抛物线经过原点时，求m 的值；（2）顶点在x 轴上时，求m 的值.【答案】（1）m ＝43-；（2）m ＝4或m ＝﹣1 【分析】（1）抛物线经过原点，则0c ，由此求解；（2）顶点在x 轴上，则240b ac -=，由此可以列出有关m 的方程求解即可；【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣2mx+3m+4经过原点， ∴3m+4＝0，解得：m ＝43- （2）∵抛物线y ＝x 2﹣2mx+3m+4顶点在x 轴上，∴b 2﹣4ac ＝0，∴（﹣2m ）2﹣4×1×（3m+4）＝0，解得：m ＝4或m ＝﹣1【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解决此类题的关键．26．某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元。

2023-2024学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．C．y＝x2+2D．2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2 3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝α，那么BC的长是（）A．5tanαB．5cotαC．5sinαD．5cosα4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AB＝2AD，下列条件中能判定DE∥BC的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，联结CE．下列两个三角形不一定相似的是（）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△DCF与△BEF D．△DBF与△DEB二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果，那么＝．8．（4分）计算：3（2+）﹣4＝．9．（4分）已知抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，那么a的取值范围是．10．（4分）已知抛物线y＝﹣2x2+1在对称轴左侧部分是的．（填“上升”或“下降”）11．（4分）如果P是线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，那么较长线段AP的长是cm．12．（4分）某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了______米．13．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1于点A、B、C，交直线l2于点D、E、F，已知AB：AC＝3：5，DF＝10，那么EF的长为．14．（4分）如图，已知△ABC的周长为15，点E、F是边BC的三等分点，DE∥AB，DF ∥AC，那么△DEF的周长是．15．（4分）如图，已知△ABC在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，（∠B是锐角），，那么AB的长为．17．（4分）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米（即AB＝4米），遮阳篷的宽度AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地面上的阴影宽度BD为米．18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E是AB中点，如果点F在DC上，线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，那么＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|cot30°﹣1|．20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，﹣3）．（1）求抛物线表达式并写出顶点坐标；（2）联结AB，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标．21．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）如果，，那么＝（用向量、表示）；（2）已知AD＝6，AC＝8，点E在边AC上，且∠AGE＝∠C，求AE的长．22．（10分）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．（1）求像A′B′的长度．（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，已知∠AFD＝∠B，边DF交AC于点E．（1）求证：AF•CE＝CD•FE；（2）联结AD，如果，求证：AD2＝AE•AC．24．（12分）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x＝m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线．（1）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x顶点为A．①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线的顶点为B，如果tan∠OBA＝（∠OBA是锐角），求m的值．（2）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为E（2，1）．如果△CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式．25．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，AB＝4，BC＞AD，∠ADC的平分线交边BC于点E，点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交于点G．（1）如图1，如果点G与A重合，当时，求BE的长；（2）如图2，如果点G在边AD上，联结BG，当DG＝4，且△CGB∽△BAG时，求sin ∠BCD的值；（3）当F是DE中点，且AG＝1时，求CD的长．2023-2024学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．C．y＝x2+2D．【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．【解答】解：A．y＝2x+1是一次函数，故不符合题意；B．y＝是反比例函数，故不符合题意；C．y＝x2+2是二次函数，故符合题意；D．y＝不是二次函数，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．2．（4分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2【分析】根据函数图象左加右减，可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线的平移原则：上加下减左加右减是解题的关键．3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝α，那么BC的长是（）A．5tanαB．5cotαC．5sinαD．5cosα【分析】根据题意，画出图形，借助三角函数即可解决问题．【解答】解：由题知，在Rt△ABC中，tanα＝，又因为AC＝5，所以BC＝5tanα．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．4．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知AB＝2AD，下列条件中能判定DE∥BC的是（）A．B．C．D．【分析】利用如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行判断．【解答】解：∵AB＝2AD，∴＝2，当＝时，DE∥BC，∴＝＝2，即＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5．（4分）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出两个向量的模的关系，再根据方向相反可得答案．【解答】解：∵，，∴，∵与的方向相反，∴．故选：B．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握相反向量的概念．6．（4分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，联结CE．下列两个三角形不一定相似的是（）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△DCF与△BEF D．△DBF与△DEB【分析】根据旋转的性质得到AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∠A＝∠BDD，∠ACB＝∠DEB，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【解答】解：如图，根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，∴AB＝DB，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∠A＝∠BDD，∠ACB＝∠DEB，∴∠ABD＝∠CBE，＝，∴△BAD∽△BCE，故A不符合题意；∵∠ABD＝∠CBE，AB＝AD，BC＝BE，∴∠A＝∠BDA＝∠BCE＝∠BEC，∴∠BDF＝∠ECF，又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF，故B不符合题意；∵∠DCF＝∠BEF，∠DFC＝∠BFE，∴△DCF∽△BEF，故C不符合题意；根据题意，无法求解△DBF与△DEB相似，故D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果，那么＝．【分析】先把化成﹣1，再代值计算即可．【解答】解：∵x：y＝5：3，∴＝﹣1＝﹣1＝；故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，是一道基础题．8．（4分）计算：3（2+）﹣4＝2+3．【分析】利用平面向量的定义与运算性质解答即可．【解答】解：原式＝3（2+）﹣4＝6+3﹣4＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算性质是解题的关键．9．（4分）已知抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，那么a的取值范围是a＞2．【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的性质：a＞0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣2）x2﹣x开口向上，∴a﹣2＞0，∴a＞2．∴a的取值范围是：a＞2．故答案为：a＞2．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（4分）已知抛物线y＝﹣2x2+1在对称轴左侧部分是上升的．（填“上升”或“下降”）【分析】利用二次函数的图象与性质解答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+1中，∵﹣2＜0，∴抛物线y＝﹣2x2+1的开口方向向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2+1在对称轴左侧部分是上升的．故答案为：上升．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11．（4分）如果P是线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，那么较长线段AP的长是（﹣1+）cm．【分析】根据黄金分割的定义解答．【解答】解：设AP＝x cm，根据题意列方程得，x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（负值舍去）．故答案为：（﹣1+）．【点评】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．12．（4分）某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了120米，那么高度下降了60米．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵坡度i＝1：，∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2＝1202．解得x＝60（负值舍去），即它距离地面的垂直高度下降了60米．故答案为：60．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．13．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1于点A、B、C，交直线l2于点D、E、F，已知AB：AC＝3：5，DF＝10，那么EF的长为4．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，AB：AC＝3：5，∴＝＝，∵DF＝10，∴＝，∴DE＝6，∴EF＝10﹣6＝4．故答案为：4．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14．（4分）如图，已知△ABC的周长为15，点E、F是边BC的三等分点，DE∥AB，DF ∥AC，那么△DEF的周长是5．【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵点E、F是边BC的三等分点，∴EF＝BC．∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠C，∴△DEF∽△ABC，∴△DEF的周长：△ABC的周长＝，∴△DEF的周长＝×15＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．（4分）如图，已知△ABC在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为．【分析】构建合适的直角三角形即可解决问题．【解答】解：连接CD，如图所示，易得△BCD是直角三角形，由勾股定理得，CD＝，BD＝，在Rt△BCD中，tan∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，（∠B是锐角），，那么AB的长为3．【分析】根据题意，画出图形即可解决问题．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D，在Rt△BCD中，cos∠B＝，又因为BC＝，所以BD＝1．由勾股定理得，CD＝．在Rt△ACD中，tan∠A＝，则，解得AD＝2，所以AB＝AD+BD＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，根据题意作出图形是解题的关键．17．（4分）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米（即AB＝4米），遮阳篷的宽度AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地面上的阴影宽度BD为（2.4﹣）米．【分析】先作CF⊥AB于点F，作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得BE和DE的值，从而可以求得BD的值．【解答】解：作CF⊥AB于点F，作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，如图，由已知可得，AC＝2.6米，cosα＝，∠AFC＝90°，AB＝4米，∴AF＝AC•cosα＝2.6×＝1（米），∴CF＝＝＝2.4（米），BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3（米），∴CE＝BF＝3米，CF＝BE＝2.4米，∵∠CDE＝60°，∠CED＝90°，∴DE＝＝＝（米），∴BD＝BE﹣DE＝（2.4﹣）米，故答案为：（2.4﹣）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E是AB中点，如果点F在DC上，线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，那么＝．【分析】连接AF，BF，过F作MN⊥BC交BC于N，交AD延长线于M，由AD∥BC，得到MN⊥AD，由点E是AB中点，得到△FAE的面积＝△FBE的面积，由线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，得到△ADF的面积＝△BCF的面积，由三角形面积公式得到FM＝3FN，由△FDM∽△FCN，得到＝＝3，即可求出＝．【解答】解：连接AF，BF，过F作MN⊥BC交BC于N，交AD延长线于M，∵AD∥BC，∴MN⊥AD，∵点E是AB中点，∴△FAE的面积＝△FBE的面积，∵线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，∴△ADF的面积＝△BCF的面积，∴AD•FM＝BC•FN，∵BC＝3AD，∴FM＝3FN，∵DM∥CN，∴△FDM∽△FCN，∴＝＝3，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到FM＝3FN，证明△FDM∽△FCN，即可求解．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|cot30°﹣1|．【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣|﹣1|＝﹣+1＝﹣+1＝+﹣+1＝﹣+．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，﹣3）．（1）求抛物线表达式并写出顶点坐标；（2）联结AB，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，令x＝1，求得y值，则结论可得．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，﹣3），∴，∴，∴抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3．∵AB与该抛物线的对称轴交于点P，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2．∴P（1，﹣2）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21．（10分）如图，在△ABC中，G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）如果，，那么＝（用向量、表示）；（2）已知AD＝6，AC＝8，点E在边AC上，且∠AGE＝∠C，求AE的长．【分析】（1）利用平面向量的定义解答即可；（2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：（1）∵，，∴＝﹣，∵G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D，∴AD为△ABC的BC边上的中线，即点D为BC的中点，∴．∴＝＝＝．故答案为：．（2）∵G是△ABC的重心，∴AG＝AD＝×6＝4．∵∠AGE＝∠C，∠GAE＝∠CAD，∴△GAE∽△CAD，∴，∴，∴AE＝3．【点评】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．22．（10分）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．（1）求像A′B′的长度．（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可；（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm，∵AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴．∵AB∥A′B′，∴△OAC∽△OA′D，∴，∴，∴，∴A′B′＝3.2．答：像A′B′的长度3.2厘米．（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图，∵A′E∥OD，MN∥A′B′，∴四边形A′EOD为平行四边形，∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D．同理：四边形ACOP为平行四边形，∴AP＝OC＝32cm，∵AP∥CD，A′E∥OD，∴AP∥A′E，∴△APO∽△A′EO，∴，∴．∵MN∥A′B′，∴△POF∽△A′DF，∴＝，∴OF＝OD＝（厘米）．答：凸透镜焦距OF的长为厘米．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，已知∠AFD＝∠B，边DF交AC于点E．（1）求证：AF•CE＝CD•FE；（2）联结AD，如果，求证：AD2＝AE•AC．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠AFD＝∠B，∴∠AFD＝∠ACB．∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴，∴AF•CE＝CD•FE；（2）∵，∠AFD＝∠B，∴△ABC∽△AFD，∴∠ACB＝∠ADF，∵∠DAC＝∠EAD，∴△ADC∽△AED，∴，∴AD2＝AE•AC．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x＝m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线．（1）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x顶点为A．①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线的顶点为B，如果tan∠OBA＝（∠OBA是锐角），求m的值．（2）已知抛物线y＝x2+bx+c（b＞0）的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为E（2，1）．如果△CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式．【分析】（1）①由镜像抛物线的定义即可求解；②当x＝m在点A的左侧时，通过画图求出点B（﹣4，﹣1），即可求解；当x＝m在点A的右侧时，同理可解；（2）如果△CDE是直角三角形，则△CDE为等腰直角三角形，得到点C（2﹣t，1﹣t），即可求解．【解答】解：（1）①∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴A（1，﹣1）．∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣1，即y＝x2+2x；②当x＝m在点A的左侧时，∵该抛物线关于直线x＝m的镜像抛物线的顶点为B，该抛物线的顶点A（1，﹣1），∴点B的纵坐标为﹣1，连接AB交y轴于点E，如图，则OE＝1，∵tan∠OBA＝，则BE＝4，则点B（﹣4，﹣1）；在x＝m＝（﹣4+1）＝﹣；当x＝m在点A的右侧时，同理可得：m＝；综上，m＝﹣或；（2）如下图，如果△CDE是直角三角形，则△CDE为等腰直角三角形，则EH＝CH＝DH，设EH＝CH＝DH＝t，则点C（2﹣t，1﹣t），则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2+t）2+1﹣t，将点E的坐标代入上式得：1＝（2﹣2+t）2+1﹣t，解得：t＝4或0（舍去），则抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、新定义、图象的对称等，理解新定义和分类求解是解题的关键．25．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，AB＝4，BC＞AD，∠ADC的平分线交边BC于点E，点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交于点G．（1）如图1，如果点G与A重合，当时，求BE的长；（2）如图2，如果点G在边AD上，联结BG，当DG＝4，且△CGB∽△BAG时，求sin ∠BCD的值；（3）当F是DE中点，且AG＝1时，求CD的长．【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得DH，利用直角三角形的边角关系定理求得CH，利用勾股定理求得CD，利用角平分线的定义和平行线的性质得到CD＝CE，则BE＝BC﹣CE；（2）过点D作DM⊥BC于点M，利用（1）的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得BC，CM，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可；（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点G在AD上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点G在AB上时，连接DG，GE，延长DG，CG交于点N，利用勾股定理求得BE，利用相似三角形的判定与性质求得AN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC于点H，如图，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BAD＝90°，∵DH⊥BC，∴四边形ABHD为矩形，∴DH＝AB＝4，BH＝AD＝6．∵，∴，∴CH＝3，∴CD＝＝5．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝5．∴BC＝BH+CH＝9，∴BE＝BC﹣CE＝9﹣5＝4．（2）过点D作DM⊥BC于点M，如图，由（1）知：AD＝BM＝6，DM＝AB＝4，CD＝CE．∵DG＝4，AD＝6，∴AG＝2．∴BG＝＝2．∵△CGB∽△BAG，∴∠BAG＝∠CGB＝90°，，∴，∴BC＝10，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DM＝CM＝4，∴△DMC为等腰直角三角形，∴∠BCD＝∠CDM＝45°，∴sin∠BCD＝sin45°＝；（3）①当点G在AD上时，如图，由（1）知：CD＝CE，∵F是DE中点，∴CF⊥DE，在△DGF和△DCF中，，∴△DGF≌△DCF（ASA），∴DG＝DC．∵AG＝1，AD＝6，∴DG＝5，∴CD＝DG＝5；②当点G在AB上时，连接DG，GE，延长DG，CG交于点N，如图，由（1）知：CD＝CE，∵F是DE中点，∴CF⊥DE，∴CG为DE的垂直平分线，∴GD＝GE．∴GD2＝GE2，∴AG2+AD2＝BG2+BE2，∴12+62＝32+BE2，∴BE＝2．∵AD∥BC，∴△ANG∽△BCG，∴，∴，在△DNF和△DCF中，，∴△DNF≌△DCF（AAS），∴CD＝ND．设CD＝x，则BC＝CE+BE＝x+2，AN＝DN﹣DA＝CD﹣DA＝x﹣6，∴，∴x＝9+，∴CD＝9+综上，CD的长为5或9+．【点评】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线.。

2021−2022学年度九年级数学第一学期期末学业水平测试（含答案）（时间120分钟 满分120分）一、选择题(共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．30°角的正切值为（ ）A B ．12C ．2D 2．如图，D 为△ABC 边BC 上一点，要使△ABD ∽△CBA ，应该具备下列条件中的（ ） A ．AC ABCD CD=B ．AB BCCD AD=C ．AB BDCB AB=D ．AC CBCD AC=3．一元二次方程2304y y +-=，配方后可化为（ ） A ．21()12y += B ．21()12y -=C ．211()22y +=D ．213()24y -=4．将抛物线22y x =-向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．2(2)5y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)5y x =+-D ．2(2)3y x =--第2题图第5题图5．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得AC=BD=12cm ，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60°，则图②中摆盘的面积是（ ） A ．452πcm 2 B ．24πcm 2 C ．36πcm 2 D ．72πcm 26．方程29180x x -+=的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．12B ．15C ．12或15D ．187．下列关于圆的说法中，正确的是（ ） A ．等圆中，相等的弦所对的弧也相等 B ．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦C ．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等 8．如果P （m,y 1）Q （-3, y 2）在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且y 1＞y 2,则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜-3 B.m ＞0或m ＜-3C.-3＜m ＜0D.m ＞-39．某小区2019年屋顶绿化面积为22000m ，计划2021年绿化面积要达到2880m 2．设该小区2019年至2021年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x +=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆的圆心O 在BC 上，半圆与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，则半圆的半径为（ ） A ．127B ．712C ．72D ．111．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数cyx 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．12．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内二、填空题(本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果)13．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为________．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝______．第11题图第12题图15．如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，以BC 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC于点E 、F ，则的度数为________．16．某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若每天要盈利900元，每件应降价 元． 17．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝3cm ，AC ＝cm ，动点M 从点A 出发，沿AB 以1cm/s 的速度向点B 匀速运动，同时动点N 从点D 出发，沿DA 以2cm/s 的速度向点A 匀速运动．若△AMN 与△ACD 相似，则运动的时间t 为_____s ．三、解答题(本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. (本题满分12分，每小题4分)解方程： （1）21202x x +-=（用配方法）； （2）3x (x ﹣1)=2(1﹣x )；（3）2x 2x ﹣5=0；第14题图第15题图 第17题图19. (本题满分6分)如图，在□ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求CE的长．第19题图20．(本题满分6分)如图，用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)围成中间有一道篱笆的长方形花圃，现要围成面积为45m2的花圃，求AB的长是多少？第20题图21．(本题满分8分)如图，在斜坡P A 的坡顶平台处有一座信号塔BC ，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76︒，在坡底的点P 处测得塔顶B 的仰角为45︒，已知斜坡长P A=26m ，坡度为1:2.4，点A 与点C 在同一水平面上，且AC ∥PQ ，BC ⊥AC ．请解答以下问题：（1）求坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）求信号塔BC 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.00︒≈）22．(本题满分7分)关于x 的一元二次方程2(2)420k x x --+=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k 是关于k 的一元二次方程210k mk ++=的根，求m 的值．第21题图23．(本题满分8分)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外一点，AC ⊥PD 于点E ，AD 平分∠BAC ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若DE =3，∠BAC=60°，求⊙O 的半径．24．(本题满分10分)如图，直线y mx n =+与双曲线ky x=相交于()1,2,(2,)A B b -两点，与x 轴交于点E ，与y 轴相交于点C ．（1）求m, n 的值；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）在x 轴上是否存在异于D 点的点P ，使PAB DAB S S ∆∆=若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，说明理由．第23题图第24题图25．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，P点横坐标为m，过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，写出线段PF的长度l关于m的函数关系式；（3）过点P作PD⊥BC于点D，当△PDF的周长最大时，求出△PDF周长的最大值及此时点P的坐标．第25题图参考答案一、选择题 （共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）14. 15. 70°; 16. 2; 17. 1.5或2.4三、解答题（本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. (本题满分12分，每小题4分)（1）x 114-, x 2=144--; （2）x 1=1, x 2=-23;（3）x 1x 2 19. (本题满分6分)证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形//AD BC ∴, …………1分ADE CED =∠∴∠． CDE DAE ∠=∠,∴ADE DEC △∽△． ……………3分 （2）~ADE DEC ∆∆,AD DE DE EC∴=, ……………4分 6AD =，4DE =,83CE ∴=． ……………6分20. (本题满分6分)设花圃的宽AB 为x 米，则BC=(24-3x )米，由题意得：x (24-3x )=45， ……………3分 整理得：28150x x -+=，解得：15=x ，23x =， ……………5分 检验：当5x =时，24-3x =9＜10，符合题意； 当3x =时，24-3x =15＞10，不合题意，舍去，∴AB 的长是5m ． ……………6分 21. (本题满分8分) 解：（1）如图，过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，斜坡AP 的坡度为1:2.4，152.412AH PH ∴==． 设5AH k =，则12PH k =， 在Rt AHP ∆中，由勾股定理，得()()222251213AP AH PH k k k =+=+=．1326k ∴=，解，得2k =．1(0)AH m ∴=．答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10m ． ……………4分 （2）如图，延长BC 交PQ 于点D ， 由题意可知四边形AHDC 是矩形，10CD AH ∴==，AC DH =．45BPD ∠=︒，90BDP ∠=︒，PD BD ∴=．12224PH =⨯=m ，设BC x =，则1024x DH +=+． ()14AC DH x ∴==-m ．在Rt ABC ∆中，tan tan 76BC BAC AC ∠=︒=，即4.0014xx ≈-． 解得19()x m ≈．答：信号塔BC 的高度约为19m ． ……………8分 22. (本题满分7分)（1）方程2(2)420k x x --+=是关于x 的一元二次方程，20k ∴-≠，解得2k ≠，又一元二次方程2(2)420k x x --+=有两个不相等的实数根，∴其根的判别式2(4)42(2)0k ∆=--⨯->，解得4k <， ……………3分 ∴k 的取值范围是4k <且2k ≠； ……………4分 （2）由（1）得：3k =， ……………5分3k =是一元二次方程210k mk ++=的根，23310m +∴+=，解得103m =-． ……………7分 23. (本题满分8分) （1）证明：连接OD ， ……………1分∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠DAE ， ∵OA=OD ，∴∠ODA =∠OAD ， ∴∠ODA =∠DAE ，∴OD ∥AE ， ……………2分 ∴∠ODP=∠AEP ∵AC ⊥PD ，∴∠ODP=∠AEP=90°， ∴OD ⊥PE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线； ……………4分 （2）解：连接BD ，∵AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∵AC ⊥PE ，∴AD=2DE= ……………5分 ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AB=2BD ，设BD=x ，则AB=2x ， ∵AD 2+BD 2=AB 2，∴()222(2x x +=∴BD=2，AB=4， ……………7分 ∴AO=2，∴⊙O 的半径为2． ……………8分 24. (本题满分10分)解：（1）∵点A （-1，2）在双曲线ky x=上，∴12k -=， 解得，2k =-， ……………1分 ∴反比例函数解析式为：2y x=-， (2,)B b = ∴212b =-=-， 则点B 的坐标为（2，－1）， ……………2分 把A (-1，2)，B(2，-1)代入y mx n =+得：122m nm n-=+⎧⎨=-+⎩， 解得11m n =-⎧⎨=⎩； ……………4分（2）对于y =－x +1，当x =0时，y =1， ∴点C 的坐标为（0，1）， ∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（0，－1）， ……………5分 ∴△ABD 的面积=12×2×3=3； ……………7分 （3）P 点坐标为（－1，0）或（3，0）．（写对1个得2分） ………10分 25. (本题满分12分)解：（1）由抛物线的表达式知，OC =3，则OB=tan 30OC︒=33=3OA ，解得OA =3，故点A ，B ，C 的坐标分别为（－3，0）、（33，0）、（0，3） ……………2分 将A （－3，0），B （33，0）代入y=ax 2+bx +3，得： a =－13，b=233∴2123333y x x =-++； ……………4分（2）延长PF 交x 轴于点E ，由B ，C 的坐标得，直线BC 的表达式为y=3-x +3， ……………5分设点P （m ，2123333m m ），则点F （m ，3-m+3），∴l =2133333m m ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+=2123333m m +m -3=213m -+， ……………8分 （3）∵∠DPF=90°－∠DFP=90°－∠EFB=∠ABC=30°，在Rt △PDF 中，PD=cos30︒⋅PF=2PF ，DF=sin30︒⋅PF=12PF ，△PDF 的周长=PD+PF+DF=（2+1+12）PF =32+PF ，则△PDF 的周长PF ……………9分 ∴当l 取到最大值时，△PDF 的周长取到最大值.当m l 最大=94， ……………10分此时，△PDF 的周长，∴点P 的坐标为（2，154），△PDF 的周长最大值为278+．………12分。

上海市奉贤区2022-2023学年九年级上学期9月学业质量绿色指标调研数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）直线y＝﹣x+3的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3．2．（3分）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A．x+3＝0B．x2+3＝0C．＝0D．+3＝03．（3分）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（）A．上海明天将有85%的时间下雨B．上海明天将有85%的地区下雨C．上海明天下雨的可能性很大D．上海明天下雨的可能性很小4．（3分）已知菱形ABCD，下列条件中，不能判定这个菱形为正方形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，下列式子中正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝﹣+D．＝﹣﹣6．（3分）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．（2分）一次函数y＝x﹣2不经过象限．8．（2分）已知一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随自变量x的增大而减小，那么常数k的取值范围是．9．（2分）方程x4﹣16＝0的根是．10．（2分）方程＝1的根是．11．（2分）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集为．12．（2分）某市的绿化面积在三年内从20万亩增加到25万亩，如果这三年中每年的增长率相同为x，那么可列关于x的方程是．13．（2分）在一不透明的盒子中只有红、黄两色的小球（这些小球除颜色外无其他差别），其中红球有4个，如果从盒子中随机取出一个为红球的概率是，那么黄球的个数是．14．（2分）如果一个n边形的内角和等于900°，那么n的值为．15．（2分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，AD＝6，那么△OBC的周长是．16．（2分）如图，P为正方形ABCD外一点，如果AB＝AP，∠ADP＝36°，那么∠BPD的度数是．17．（2分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AC＝CD，CE⊥AD，F是边AB的中点，联结EF．如果AD＝12，CE＝8，BC＝18，那么EF＝．18．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转，点B落在射线DC上的点F处，点A落在点E处，DE与BC交于点P，且PE＝PC，那么PF的长为．三、解答题（本大题共8题，满分54分）19．（6分）解方程：﹣＝1．20．（6分）解方程组：．21．（2分）如图，已知平行四边形ABCD，BC＝2AB，点E在边BC上，AE平分∠BAD．（1）写出与相等的向量是；（2）求作：（要求保留作图痕迹）；（3）联结DE，如果，那么|+|＝．22．（6分）某药店购进一批防护面罩和N95口罩，购进防护面罩花费1500元，N95口罩花费1200元，其中防护面罩的单价比N95口罩的单价多2元，购进N95口罩比防护面罩多100个．那么该药店购进的防护面罩和N95口罩的单价各是多少元？23．（6分）两架无人机A、B准备在120米高空完成“美丽贤城”拍摄任务，无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，无人机B从海拔30米处以m米/秒匀速上升．如果这两架无人机同时出发，经过10秒后都位于同一海拔高度n米．设无人机海拔高度y米与时间x秒的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式；（3）当两架无人机都上升了20秒时，无人机A比无人机B高多少米？24．（8分）如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别联结FD、EC．（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；（2）设AB与EC交于点G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求证：四边形CDFE是矩形．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过菱形OABC的顶点A（2，0）和顶点B．（1）求b的值以及顶点C的坐标；（2）将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是C1．①当点C1恰好落在对角线OB上时，求该菱形平移的距离；②当点C1在x轴上时，原菱形边OC上一点P平移后的对应点是Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．26．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图1，当∠ADO＝∠DCO，求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）如图2，如果DB＝DC，且AB＝3，BC＝2，求AD的长．上海市奉贤区2022-2023学年九年级上学期学业质量绿色指标调研数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）直线y＝﹣x+3的截距是（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3．【分析】令x＝0求出y的值即可．【解答】解：∵当x＝0时，y＝3，∴直线y＝﹣x+3的截距为3．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．（3分）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A．x+3＝0B．x2+3＝0C．＝0D．+3＝0【分析】解一元一次方程判断A，通过x2、的非负性判断B、D，利用除法法则判断C．【解答】解：∵x+3＝0，∴x＝﹣3．故方程A一定有实数根；方程x2+3＝0，移项得x2＝﹣3．∵x2≥0，故方程B没有实数根；方程＝0，∵1除以任何实数都不得0，故方程C没有实数根；方程+3＝0，移项得＝﹣3．∵≥0，故方程D没有实数根．故选：A．【点评】本题考查了方程的解，掌握一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程无解的条件是解决本题的关键．3．（3分）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（）A．上海明天将有85%的时间下雨B．上海明天将有85%的地区下雨C．上海明天下雨的可能性很大D．上海明天下雨的可能性很小【分析】根据概率是反映事件发生机会的大小，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生即可得出答案．【解答】解：上海明天下雨的概率为85%，表示上海明天下雨的可能性很大，但是不是将有85%的地区下雨，不是85%的时间下雨，也不是明天肯定下雨．故选：C．【点评】此题考查了概率的意义，解题的关键是掌握概率反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率大也不一定发生．4．（3分）已知菱形ABCD，下列条件中，不能判定这个菱形为正方形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【分析】根据正方形的判定解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，当AC＝BD时，菱形ABCD是正方形；当∠A＝∠B时，菱形ABCD是正方形；当AB⊥BC时，菱形ABCD是正方形；故选：B．【点评】此题考查正方形的判定，关键是根据先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角解答．5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，下列式子中正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝﹣+D．＝﹣﹣【分析】利用平行四边形的性质与三角形法则求出即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵＝+∴＝＝﹣+，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（3分）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可．【解答】解：A、由作图可知，AC⊥BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；B、由作图可知AB＝BC，AD＝AB，即四边相等的平行四边形是菱形，正确；C、由作图可知AB＝DC，AD＝BC，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；D、由作图可知∠DAC＝∠CAB，∠DCA＝∠ACB，对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；故选：C．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．（2分）一次函数y＝x﹣2不经过二象限．【分析】根据k＞0，b＜0可判断一次函数图象在第一、三、四象限，于是得到它不经过第二象限．【解答】解：∵k＝1＞0，∴一次函数图象经过第一、三象限；∵b＝﹣2＜0，∴一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，∴一从函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：第二．【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在第一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在第一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在第一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y＝kx+b 的图象在第二、三、四象限．8．（2分）已知一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随自变量x的增大而减小，那么常数k的取值范围是k＜2．【分析】根据一次函数y＝（k﹣2）x+1的增减性，列出不等式k﹣2＜0，通过解该不等式即可求得k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随自变量x的值增大而减小，∴k﹣2＜0，解得k＜2．故答案是：k＜2．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．9．（2分）方程x4﹣16＝0的根是±2．【分析】方程的左边因式分解可得（x2+4）（x+2）（x﹣2）＝0，由此即可解决问题．【解答】解：∵x4﹣16＝0，∴（x2+4）（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝±2，∴方程x4﹣16＝0的根是±2，故答案为±2．【点评】本题考查高次方程的解，解题的关键是学会应用因式分解法解方程，把高次方程转化为一次方程，属于中考常考题型．10．（2分）方程＝1的根是x＝2．【分析】方程的两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解检验即可．【解答】解：＝1，方程的两边都平方得，2x﹣3＝1．所以x＝2．经检验，x＝2是原方程的解．故答案为：x＝2．【点评】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的一般步骤是解决本题的关键．11．（2分）如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集为x＞3．【分析】根据函数图象，利用数形结合即可得出结论．【解答】解：根据图象可得，关于x的不等式﹣2x+b＜0的解集为x＞3．故答案为：x＞3．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．12．（2分）某市的绿化面积在三年内从20万亩增加到25万亩，如果这三年中每年的增长率相同为x，那么可列关于x的方程是20（1+x）2＝25．【分析】根据某市的绿化面积在三年内从20万亩增加到25万亩，这三年中每年的增长率相同为x，可知第一年为20万，第三年为25万，从而可以列出相应的方程．【解答】解：∵某市的绿化面积在三年内从20万亩增加到25万亩，这三年中每年的增长率相同为x，∴20（1+x）2＝25，故答案为：20（1+x）2＝25．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程．13．（2分）在一不透明的盒子中只有红、黄两色的小球（这些小球除颜色外无其他差别），其中红球有4个，如果从盒子中随机取出一个为红球的概率是，那么黄球的个数是2．【分析】设黄球的个数是x，根据随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，列方程求出x的值即可得．【解答】解：设黄球的个数是x，根据题意得：＝，解得：x＝2，经检验：x＝2是原分式方程的解，故答案为：2．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A 的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．14．（2分）如果一个n边形的内角和等于900°，那么n的值为7．【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝900°，然后解方程即可求解．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝900°，解得n＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．15．（2分）平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，AD＝6，那么△OBC的周长是13．【分析】利用平行四边形的对角线互相平分，求出OD、OA即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝3，OD＝OB＝BD＝4，AD＝BC＝6，∴△△OBC的周长＝OB+OC+BC＝3+4+6＝13，故答案为：13．【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．（2分）如图，P为正方形ABCD外一点，如果AB＝AP，∠ADP＝36°，那么∠BPD的度数是45°．【分析】由正方形的性质可得AB＝AD＝AP，∠BAD＝90°，由等腰三角形的性质可求∠APD和∠APB的度数，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AB＝AP，∴∠ABP＝∠APB，AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP＝36°，∴∠P AD＝108°，∴∠BAP＝18°，∴∠APB＝∠ABP＝81°，∴∠BPD＝∠APB﹣∠APD＝81°﹣36°＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．17．（2分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AC＝CD，CE⊥AD，F是边AB的中点，联结EF．如果AD＝12，CE＝8，BC＝18，那么EF＝4．【分析】连接CE，根据等腰三角形的性质得出AE＝ED，进而利用勾股定理得出CD，利用三角形中位线定理解答即可．【解答】解：连接CE，∵AC＝CD，CE⊥AD，∴AE＝ED，∵AD＝12，CE＝8，∴DE＝6，∴CD＝，∵BC＝18，∴BD＝BC﹣DC＝18﹣10＝8，∵F是边AB的中点，∴EF＝BD＝4，故答案为：4．【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据等腰三角形的性质得出AE＝ED解答．18．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转，点B落在射线DC上的点F处，点A落在点E处，DE与BC交于点P，且PE＝PC，那么PF的长为．【分析】由“HL”可证Rt△PFE≌Rt△PFC，可得EF＝CF＝5，∠PFE＝∠PFC，可求∠EDF 的度数，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，∵将矩形ABCD绕点D逆时针旋转，∴AB＝EF＝5＝CD，∠E＝∠A＝90°，在Rt△PFE和Rt△PFC中，，∴Rt△PFE≌Rt△PFC（HL），∴EF＝CF＝5，∠PFE＝∠PFC，∴DF＝10，∵sin∠EDF＝＝，∴∠EDF＝30°，∴∠DFE＝60°，∴∠PFE＝∠PFD＝30°，∴PF＝2PE，∵PF2＝PE2+EF2，∴4PE2＝PE2+25，∴PE＝，∴PF＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出∠EDF的度数是解题的关键．三、解答题（本大题共8题，满分54分）19．（6分）解方程：﹣＝1．【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x＝3或﹣1，经检验x＝3是原方程的增根，∴原方程的解为x＝﹣1．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．20．（6分）解方程组：．【分析】由①得出（x﹣y）（x﹣2y）＝0，求出x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组，再求出方程组的解即可．【解答】解：，由①，得（x﹣y）（x﹣2y）＝0，即x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组，，解得：，，即原方程组的解是，．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21．（2分）如图，已知平行四边形ABCD，BC＝2AB，点E在边BC上，AE平分∠BAD．（1）写出与相等的向量是；（2）求作：（要求保留作图痕迹）；（3）联结DE，如果，那么|+|＝8．【分析】（1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，可得∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE，进而可得点E为BC的中点，即可得．（2）由＝＝，画图即可．（3）过点A作AF⊥BE于点F，过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，由题意可得，AB ＝BE＝EC＝5，AD＝FG＝10，AE＝6，设BF＝x，则EF＝5﹣x，由勾股定理得52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，求出x的值，即可求得EF，DG，EG的值，再根据DE＝可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵BC＝2AB，∴BC＝2BE，即点E为BC的中点，∴．故答案为：．（2）如图，即为所求．（3）过点A作AF⊥BE于点F，过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，由题意可得，AF＝DG，AD＝FG，∵＝5，∴AB＝BE＝EC＝5，∴AD＝FG＝10，∵＝6，∴AE＝6，设BF＝x，则EF＝5﹣x，由勾股定理得52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得x＝，∴BF＝，EF＝，AF＝DG＝，∴EG＝FG﹣EF＝10﹣＝，∴DE＝＝8．∴|+|＝＝8．故答案为：8．【点评】本题考查平行四边形的性质、平面向量、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22．（6分）某药店购进一批防护面罩和N95口罩，购进防护面罩花费1500元，N95口罩花费1200元，其中防护面罩的单价比N95口罩的单价多2元，购进N95口罩比防护面罩多100个．那么该药店购进的防护面罩和N95口罩的单价各是多少元？【分析】该药店购进的防护面罩的单价为x元，则购进的N95口罩的单价为（x﹣2）元，由题意：购进N95口罩比防护面罩多100个，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：该药店购进的防护面罩的单价为x元，则购进的N95口罩的单价为（x﹣2）元，依题意得：＝﹣100，解得：x＝5或x＝﹣6，经检验，x＝5或x＝﹣6是原方程的解，但x＝﹣6不符合题意，舍去，∴x＝5，∴x﹣2＝3．答：药店购进的防护面罩的单价为5元，N95口罩的单价为3元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（6分）两架无人机A、B准备在120米高空完成“美丽贤城”拍摄任务，无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，无人机B从海拔30米处以m米/秒匀速上升．如果这两架无人机同时出发，经过10秒后都位于同一海拔高度n米．设无人机海拔高度y米与时间x秒的关系如图所示．（1）m＝3，n＝60；（2）求无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式；（3）当两架无人机都上升了20秒时，无人机A比无人机B高多少米？【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出m、n的值；（2）根据题意和（1）中m的值，可以写出无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式；（3）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可．【解答】解：（1）由题意可得，10+5×10＝30+10m，解得m＝3，n＝10+5×10＝60，故答案为：3，60；（2）由（1）知：无人机B的速度为3米/秒，∴无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式是y＝30+3x；（3）当x＝20时，（10+5×20）﹣（30+3×20）＝（10+100）﹣（30+60）＝110﹣90＝20（米），答：无人机A比无人机B高20米．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（8分）如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别联结FD、EC．（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；（2）设AB与EC交于点G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求证：四边形CDFE是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，AB∥EF，AB＝EF，则CD∥EF，CD ＝EF，即可得出结论；（2）先证AF＝AD，再由平行四边形的性质证出BC＝BE，然后由等腰三角形的性质得AB⊥CE，则EF⊥CE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AB∥EF，AB＝EF，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四边形CDFE是平行四边形；（2）∵∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，∵四边形ABEF是平行四边形，∴AF＝BE，∴BC＝BE，∵EG＝CG，∴AB⊥CE，由（1）得：AB∥EF，∴EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，又∵四边形CDFE是平行四边形，∴平行四边形CDFE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过菱形OABC的顶点A（2，0）和顶点B．（1）求b的值以及顶点C的坐标；（2）将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是C1．①当点C1恰好落在对角线OB上时，求该菱形平移的距离；②当点C1在x轴上时，原菱形边OC上一点P平移后的对应点是Q，如果OP＝OQ，求点Q的坐标．【分析】（1）将A（2，0）代入y＝x+b，可得b的值，根据菱形的性质得OC∥AB，OC＝2，则直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥x轴于M，则CM＝OM，利用勾股定理求出OM，即可得顶点C的坐标；（2）①利用待定系数法求出直线OB的解析式，当点C1恰好落在对角线OB上时，将点C1的横坐标代入可得点C1的坐标，即可求得该菱形平移的距离；②由题意得OP＝OQ＝，该菱形平移的距离为，可得点P的坐标，从而得到点Q的坐标．【解答】解：（1）将点A（2，0）代入直线，得+b＝0，解得b＝﹣，∵四边形OABC是菱形，∴OC∥AB，OC＝2，∴直线OC的解析式为y＝x，过点C作CM⊥x轴于M，∴CM＝OM，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，∴OM2+（OM）2＝22，∴OM＝1（负值舍去），∴C（1，）；（2）①∵四边形OABC是菱形，C（1，），A（2，0），∴B（3，），设直线OB的解析式为y＝kx，∴3k＝，解得k＝，∴直线OB的解析式为y＝x，将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是C1，C（1，），当点C1恰好落在对角线OB上时，点C1的横坐标为1，∴纵坐标为y＝，∴该菱形平移的距离为﹣＝；②∵将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是C1，C（1，），当点C1在x轴上时，点C1（1，0），∴该菱形平移的距离为，∵原菱形边OC上一点P平移后的对应点是Q，∴PQ＝，∵OP＝OQ，∴OP＝OQ＝，∵直线OC的解析式为y＝x，∴x＝，∴x＝，∴P（，），∴点Q的坐标为（，﹣）．【点评】本题是一次函数综合题，考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、图形的平移变换．本题解题的关键是利用勾股定理求出点C的坐标，结合直线OB的解析式求出点C1的坐标．26．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图1，当∠ADO＝∠DCO，求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）如图2，如果DB＝DC，且AB＝3，BC＝2，求AD的长．【分析】（1）分别证明OA＝OD，OB＝OC，可得AC＝BD，从而可得结论；（2）如图2，过点B作BE⊥AD于E，过点D作DF⊥BC于F，设AD＝x，则BD＝x，AE＝x ﹣1，根据勾股定理列等式：BE2＝AB2﹣AE2＝BD2﹣DE2，可得结论．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD，∵∠ADO＝∠DCO，∴∠DAC＝∠ADO，∴AO＝OD，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠OCB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AO+OC＝OD+OB，即AC＝BD，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）解：如图2，过点B作BE⊥AD于E，过点D作DF⊥BC于F，∵BD＝CD，∴BF＝CF＝BC＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠ADF+∠BFD＝180°，∵∠BFD＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠BED＝∠ADF＝∠BFD＝90°，∴四边形DEBF是矩形，∴DE＝BF＝1，设AD＝x，则BD＝x，AE＝x﹣1，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝BD2﹣DE2，∴32﹣（x﹣1）2＝x2﹣12，∴x＝，∵x＞0，∴x＝，∴AD＝．【点评】此题考查了等腰梯形的判定和勾股定理的综合运用，第二问正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键．。

2021-2022学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.4和9的比例中项是( )A. 6B. ±6C. 169D. 8142.如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为( )A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1:√23.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是非零问量，下列条件中不能判定a⃗//b⃗ 的是( )A. a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗B. a⃗=3b⃗C. |a⃗|=|b⃗ |D. a⃗=12c⃗，b⃗ =−2c⃗4.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，那么下列各式中正确的是( )A. sinA=23B. cosA=23C. tanA=23D. cotA=235.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是( )A. ADBD =AECEB. ADAB =AEACC. ADAB =DEBCD. ABBD =ACCE6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么点P(b,ac)在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.计算：如果xy =23，那么x−yy=______.8.如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A，D，F和点B，C，E.如果ADDF =23，BE=20，那么线段BC的长是______.9. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边BA 、CA 延长线上的点，DE//BC ，EA ：AC =1：2，如果ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，那么向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用向量a ⃗ 表示).10. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，如果ACAB =√32，那么∠B =______.11. 已知一条抛物线经过点(0,1)，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物线的表达式可以是______(写出一个即可).12. 如果抛物线y =−x 2+bx −1的对称轴是y 轴，那么顶点坐标为______.13. 已知某小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度i =______. 14. 如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，∠ADE =60∘，如果BD =1，那么CE =______.15. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，CD 是AB 边上的中线，若CD =5，BC =6，则cos∠ACD 的值是______.16. 如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，如果△AOE 的面积是4，那么四边形OECD 的面积是______.17. 如图，在△ABC 中，AB =4，AC =5，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在AC 边上的点D 处，点C 落在点E 处，如果点E 恰好在线段BD 的延长线上，那么边BC 的长等于______.18. 若抛物线y 1=ax 2+b 1x +c 1的顶点为A ，抛物线y 2=−ax 2+b 2x +c 2的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线y 2上，顶点B 在抛物线y 1上，则称抛物线y 1与抛物线y 2互为“关联抛物线”， 已知顶点为M 的抛物线y =(x −2)2+3与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果tan∠MDO =34，那么顶点为N 的抛物线的表达式为______.19. 计算：tan30∘2cos30∘+cot 245∘−sin 245∘.20. 已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过A(2,−3)、B(5,0)两点． (1)求二次函数的解析式；(2)将该二次函数的解析式化为y =a(x +m)2+k 的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．21. 已知：如图，在△ABC 中，DE//BC ，AFDF=AD DB. (1)求证：EF//CD ；(2)如果EFCD =45，AD =15，求DF 的长．22. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，过点D 作DF//CB ，分别交AC 、AB 点E 、F ，且满足AB ⋅AF =DF ⋅BC. (1)求证：∠AEF =∠DAF ；(2)求证：AFAB=DE 2CD 2.23.如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37∘方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN.经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．(1)求AB两地的距离；(结果保留根号)(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．(参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37≈0.75.)24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)与x轴交于A(−1,0)、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E.(1)求抛物线的对称轴及B点的坐标；(2)如果MD=15，求抛物线y=ax2−3ax−4a(a<0)的表达式；8(3)在(2)的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB=∠BCO，求点F的坐标．25.如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠DAB=90∘，AB2=BC⋅BD，AB=3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF.(1)求证：AE=AC；(2)设BC=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；EF(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：两外项之积等于两内项之积，设它们的比例中项是x，则x2=4×9，解得x=±6.故选：B.本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项，求比例中项根据比例的基本性质进行计算．根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．2.【答案】A【解析】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的对应角平分线的比为1：4.故选：A.本题主要考查相似三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．利用相似三角形的性质：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，据此作答即可．3.【答案】C【解析】解：∵a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗，∴a⃗//b⃗ ，故A能；∵a⃗=3b⃗ ，∴a⃗//b⃗ ，故B能；∵|a⃗|=|b⃗ |，不能判断a⃗与b⃗ 方向是否相同或相反，故C不能；∵a⃗=1c⃗，b⃗ =−2c⃗，2b⃗ ，∴a⃗=−14∴a⃗//b⃗ ，故D能.故选：C.本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键． 根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．4.【答案】D【解析】解：如图：由勾股定理得：AB =√AC 2+BC 2=√22+32=√13， 所以sinA =BC AB=3√13=3√1313，cosA =AC AB=2√13=2√1313，tanA =BC AC=32，cotA =AC BC=23，所以只有选项D 正确，选项A 、B 、C 都错误． 故选：D.本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C =90∘，则sin⁡A =∠A 的对边斜边，cos⁡A =∠A 的邻边斜边，tan⁡A =∠A 的对边∠A 的邻边，cot⁡A =∠A 的邻边∠A 的对边.根据勾股定理求出AB ，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．5.【答案】C【解析】解：∵ADBD =AEEC ， ∴DE//BC ，故A 正确； ∵AD AB=AE AC， ∴DE//BC ，故B 正确； 由ADAB =DEBC ，不能得出DE//BC ， 故C 错误； ∵ABDB =AC EC ，∴DE//BC ，故D 正确. 故选：C.本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可．6.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴a >0，∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴−b 2a>0，即b <0，∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方， ∴c <0， ∴a c<0，∴点P 在第三象限． 故选：C.本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置确定a ，b ，c 的符号，进而求解．7.【答案】−13【解析】解：∵x y=23，∴x −y y =x y −1=23−1=−13. 故答案为：−13.本题考查了比例的性质，解题的关键是把x−yy 化成xy −1. 先把x−yy 化成xy −1，再把xy =23代入进行计算即可得出答案．8.【答案】8【解析】解：∵AB//CD//EF ， ∴ADDF =BC CE=23，∴23=BC20−BC， ∴BC =8.故答案为：8.本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理解答即可．9.【答案】2a ⃗【解析】解：∵DE//BC ， ∴△DEA ∽△BCA ， ∴EAAC =EDBC =12，∴ED =12BC ，则BC =2ED ， ∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ .故答案为：2a ⃗ .本题考查了相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质求出BC =2ED 即可求解．10.【答案】60∘【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC AB =√32， 那么sinB =ACAB =√32，∴∠B =60∘.故答案为：60∘.本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键． 根据∠B 的正弦值即可判断．11.【答案】y =−x 2+2x +1(答案不唯一)【解析】解：∵对称轴右侧的部分是下降的， ∴开口向下，∵抛物线经过点(0,1)，∴抛物线的表达式可以是y =−x 2+2x +1(答案不唯一). 故答案为：y =−x 2+2x +1(答案不唯一).本题考查了二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握三个知识点的应用，根据已知得到开口方向及递增情况是解题关键．根据对称轴右侧的部分是下降的，可得开口向下，再根据抛物线经过点(0,1)，可得解析式．12.【答案】(0,−1)【解析】解：∵抛物线y =−x 2+bx −1的对称轴是y 轴， ∴对称轴x =−b2×(−1)=0，解得b =0，∴函数为y =−x 2−1， ∴顶点坐标为(0,−1). 故答案为：(0,−1).本题考查二次函数的性质，掌握对称轴的公式求得b 的值是解决问题的关键．由抛物线的对称轴x=−b−2=0，求得b=0，得到抛物线的顶点式即可．13.【答案】1：√3【解析】解：∵小山坡的坡长为400米，山坡的高度为200米，∴坡角为30∘，∴山坡的坡度i=tan30∘=√3：3=1：√3.故答案为：1：√3.本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的垂直高度h和水平距离l的比是解题的关键．根据题意求出坡角，根据坡度的概念计算即可．14.【答案】23【解析】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，∴CD=BC−BD=3−1=2，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=60∘，即∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∴∠CDE=∠BAD，而∠B=∠C，∴△CDE∽△BAD，∴CE BD =CDAB，即CE1=23，∴CE=23.故答案为：23.本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算，也考查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=60∘，AB=BC=3，再证明∠CDE=∠BAD，然后可判断△CDE∽△BAD，从而利用相似比可求出CE.15.【答案】45【解析】解：∵∠ACB=90∘，CD是AB边上的中线，CD=5，∴CD=AD=12AB，∴AB=10，∴AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∴cosA=ACAB =810=45，∵CD=AD，∴∠A=∠ACD，∴cos∠ACD=4 5.故答案为：45.本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用等边对等角，把cos∠ACD转化为cosA是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证明CD=AD，求出AB的长，从而得∠CAD=∠ACD，然后进行计算即可解答．16.【答案】8【解析】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，∵△AOE的面积是4，∴△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，∴△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，∴△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，∴△ADC的面积=△ABD的面积=12，∴四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=12−4=8.故答案为：8.本题考查了三角形重心的定义及性质，重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了三角形的面积．由重心的定义得出点O是△ABC的重心，根据重心的性质求出AO：OD=2：1，BO：OE=2：1，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△AOB的面积=2×△AOE的面积=8，△BOD的面积=12×△AOB的面积=4，再求出△ABD的面积=△AOB的面积+△BOD的面积=12，△ADC 的面积=△ABD的面积=12，进而得到四边形OECD的面积=△ADC的面积−△AOE的面积=8.17.【答案】√5【解析】解：∵将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在AC 边上的点D 处，点C 落在点E 处，AB =4，AC =5，∴AD =AB =4，AE =AC =5，∠BAC =∠DAE ，∴△BAC ≌△DAE(SAS)，∴∠C =∠E ，DE =BC ，∵∠BDC =∠ADE ，∴△ADE ∽△BDC ， ∴BC AE =CD DE ， ∴BC5=5−4BC， ∴BC =√5.故答案为：√5.本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键．根据旋转的性质得到AD =AB =4，AE =AC =5，∠BAC =∠DAE ，根据全等三角形的性质得到∠C =∠E ，DE =BC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．18.【答案】y =−(x −54)2+5716【解析】解：∵y =(x −2)2+3，∴M(2,3)，如图所示，过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，∴tan∠MDO =MH HD =34，易得MH =3，∴HD =4，则OD =6，∴D(6,0)，设MD 所在直线函数解析式为y =kx +b (k ≠0)，解得：{k =−34b =92， ∴MD 所在直线函数解析式为y =−34x +92，∴设N(n,−34n +92)，∵点N 在抛物线y =(x −2)2+3上，∴(n −2)2+3=−34n +92，解得：n =54或n =2(舍去)，∴N(54,5716)， 由互为“关联抛物线”的定义知，点N 所在抛物线的二次项系数为−1，∴顶点为N 的抛物线的表达式为y =−(x −54)2+5716.故答案为：y =−(x −54)2+5716.本题考查二次函数的性质，掌握“关联抛物线”是解题关键．根据已知抛物线可以得出顶点M 的坐标，过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，根据tan∠MDO =34，可以求出点D 坐标，再用待定系数法求直线MD 的函数解析式，设点N(n,−34n +92)，再把点N 坐标代入y =(x −2)2+3，可解出n ，得出点N 的坐标为(54,5716)，再根据互为“关联抛物线”的定义得出a =−1，然后写出以点N 为顶点的函数解析式．19.【答案】解：tan30∘2cos30∘+cot 245∘−sin 245∘=√332×√321−(√22)2 =13+1−12=56. 【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．20.【答案】解：(1)把x =2，y =−3；x =5，y =0，分别代入y =x 2+bx +c ，得{4+2b +c =−325+5b +c =0，∴二次函数的解析式为：y=x2−6x+5；(2)y=x2−6x+5=x2−6x+9−4=(x−3)2−4，则该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为(3,−4)，对称轴是直线x=3.【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的三种形式，掌握这几个知识点的综合应用，用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题关键．(1)把x=2，y=−3；x=5，y=0，分别代入y=x2+bx+c列出方程组求出解集，写出二次函数的解析式；(2)用配方法把y=x2−6x+5化为顶点式，并写出对应的二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．21.【答案】解：(1)证明：∵DE//BC，∴AD DB =AEEC，∵AF DF =ADDB，∴AE EC =AFDF，∴AE AC =AFAD，∵∠FAE=∠DAC，∴△AEF∽△ACD，∴∠AEF=∠ACD，∴EF//CD；(2)∵△AEF∽△ACD，∴AF AD =EFCD=45，∴AF=45AD=45×15=12，∴DF=AD−AF=15−12=3.【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何运算．(1)先根据平行线分线段成比例定理得到ADDB =AEEC，则AEEC=AFDF，利用比例的性质得到AEAC=AFAD，则可证明△AEF∽△ACD，利用相似三角形的性质得到∠AEF=∠ACD，从而得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到AF AD =EF CD =45，则AF =12，然后计算AD −AF 即可． 22.【答案】(1)证明：∵AB//CD ，DF//CB ，∴四边形FBCD 是平行四边形，∴DC =FB ，DF =CB ，∵AB ⋅AF =DF ⋅BC ，∴AB DF =BC AF ，∵DF//CB ，∴∠B =∠AFD ，∴△ABC ∽△DFA ，∴∠ACB =∠DAF ，∵DF//CB ，∴∠AEF =∠ACB ，∴∠AEF =∠DAF ；(2)证明：∵AB//CD ，∴△DCE ∽△FAE ，∴DC AF =DE EF ，∴DE CD =EF AF ， ∴DE 2CD 2=EF 2AF 2，∵∠AEF =∠DAF ，∠AFE =∠DFA ，∴△AFE ∽△DFA ，∴EF AF =AF DF ，∴AF 2=EF ⋅DF ，∴DE 2CD 2=EF 2AF 2=EF 2EF⋅DF =EF DF =EF BC ， ∵DF//CB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴EF BC =AF AB ， ∴AF AB =DE 2CD 2.【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．(1)根据DF//CB ，可得∠B =∠AFD ，根据AB ⋅AF =DF ⋅BC ，证明△ABC ∽△DFA ，进而可以解决问题；(2)由△DCE ∽△FAE ，可得DE CD =EF AF ，所以DE 2CD 2=EF 2AF 2，再由△AFE ∽△DFA ，可得AF 2=EF ⋅DF ，由△AEF ∽△ACB ，得EF BC =AF AB ，进而可得结论．23.【答案】解：(1)过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意，得OA =60千米，OB =30千米，∠AOC =37∘，∴在Rt △AOC 中，AC =OAsin37∘≈60×0.60=36(千米)，OC =OA ⋅cos∠AOC ≈60×0.8=48(千米)，∴BC =OC −OB =48−30=18(千米)，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√362+182=18√5(千米)，故AB 两地的距离为18√5千米；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN 靠岸，理由：延长AB 交l 于点D ，∵∠ABC =∠OBD ，∠ACB =∠BOD =90∘，∴△ABC ∽△DBO ，∴BC AC =OB OD ， ∴1836=30OD， ∴OD =60(千米)，∵60>58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN 靠岸．【解析】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力，计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．(1)过点A 作AC ⊥OB 于点C.可知△ABC 为直角三角形．根据勾股定理解答；(2)延长AB 交l 于点D ，比较OD 与OM +MN 的大小即可得出结论．24.【答案】解：(1)∵抛物线解析式为y =ax 2−3ax −4a(a <0)，∴抛物线的的对称轴是直线x =−−3a 2a =32，∵抛物线y =ax 2−3ax −4a(a <0)与x 轴交于A(−1,0)、B 两点，∴点B(4,0)；(2)当x =32时，y =94a −92a −4a =−254a ，∴点M(32,−254a)，∵抛物线y =ax 2−3ax −4a(a <0)，与y 轴交于点C ，∴点C(0,−4a)，又∵点B(4,0)，∴直线BC 的解析式为y =ax −4a ，当x =32时，y =32a −4a =−52a ，∴点D(32,−52a)，∵MD =158， ∴158=−254a +52a ，∴a =−12，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2；(3)如图，易得点B(4,0)，点A(−1,0)，点C(0,2)，∴OA =1，OC =2，OB =4，AB =5，∴AO OC =OCOB ，又∵∠AOC =∠BOC =90∘，∴△AOC ∽△COB ，∴∠CAO =∠BCO ，∵∠CFB =∠BCO ，∴∠CAO =∠CFB ，∴点A ，点C ，点B ，点F 四点共圆，∵∠CAO +∠ACO =90∘，∴∠BCO +∠ACO =90∘，∴∠ACB =90∘，∴AB 是直径，∴点E是圆心，∴EF=AE=BE=52，∴点F(32,−52).【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．(1)先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；(2)先求出点M，点D坐标，由MD=158可列等式，可求a的值，即可求解；(3)通过证明△AOC∽△COB，可得∠CAO=∠BCO，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解．25.【答案】解：(1)证明：∵AB2=BC⋅BD，∴AB BD =BCAB，∴AB 2BD2=BC2AB2，∴AB 2BD2−AB2=BC2AB2−BC2，∵∠ACB=∠DAB=90∘，∴AB 2AD2=BC2AC2，∴AB AD =BCAC，∵∠C=∠BAD=90∘，∴△ABC∽△DBA，∴∠ADB=∠BAC，∵∠BAD=90∘，∴∠ADB+∠ABD=90∘，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90∘，∴∠EAB+∠ABD=90∘，∴∠BAE=∠ADB，∴∠BAE=∠BAC，∵∠AEB=∠C=90∘，AB=AB ∴△BAE≌△BAC(AAS)，∴AE=AC；(2)如图1，作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，∴△FBE∽△FGA，∠ABE=∠BAG，∴AF EF =AGBE，由(1)△BAE≌△BAC(AAS)得，∠EAB=∠BAC，BC=BE，∠ABE=∠ABC，∴∠ABC=∠BAG，∴AG=BG，∴△BAG是等腰三角形，∴BH=AH=12AB=32，∵cos∠ABC=BCAB =BHBG，∴x 3=32BG，∴BG=92x，∴AG=92x，∴AF EF =92xx，∴AF EF =92x2，∴AF−EFEF =9−2x22x2，∴AE EF =9−2x22x2，∴y=9−2x22x2(0<x<3√22)；(3)如图2，当△ACB∽△DEF时，∠EDF=∠BAC，由(1)知∠ADB =∠BAC ，∴∠EDF =∠ADE ，∵∠DEF =∠DEA ，DE =DE ， 在△DEF 和△DEA 中，{∠FDE =∠ADE DE =DE ∠DEF =∠DEA，∴△DEF ≌△DEA(ASA)，∴EF =AE ，∴y =1， ∴9−2x 22x 2=1，∴x 1=32，x 2=−32(舍去)，∴BC =32；如图3，当△ACB ∽△FED 时，∠BAC =∠DFE ， ∵∠BAE =∠BAC ，∴∠DFE =∠BAE ，∴DF//AB ，∴AEEF =BE DE， ∵∠AEB =∠DAB =90∘，∠ABE =∠DBA ， ∴△ABE ∽△DBA ，∴AB BD=BE AB ， ∴3BD =x 3，∴BD =9x，∴DE =BD −BE =9x −x ，∴AE EF =9−2x 22x 2=x 9x−x ， ∴x 1=√3，x 2=−√3(舍去)，∴BC=√3.综上所述：BC=32或√3.【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线和正确分类，计算能力也很关键．(1)将AB2=BC⋅BD转化为ABBD =BCAB，进而根据勾股定理和比例性质推出ABAD=BCAC，进而△ABC∽△DBA，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；(2)作AG//BE交BC的延长线于点G，作GH⊥AB交AB于点H，推出△FBE∽△FGA和cos∠ABC=BC AB =BHBG，再根据比例性质求得结果；(3)两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y=1求得结果；当△ACB∽△FED时，推出DF//AB，从而AEEF =BEDE，根据△ABE∽△DBA，推出BD=9x，进而可求得结果．第21页，共21页。