2021年上海市初三数学一模25题汇编

九年级数学 共6页 第1页崇明区2020学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知线段a 、b 、c 、d 的长度满足等式ab cd =，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误．．的是（ ▲ ）(A)a cb d=； (B)a d c b=； (C)b dc a=； (B)b c d a=． 2．已知点G 是△ABC 的重心，如果联结AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误．．的是（ ▲ ）(A)BD CD =；(B)AG GD =；(C)2AG GD =；(D)2BC BD =．3．已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ▲ ）(A)a b =；(B)2a b +=；(C)0a b -=；(D)2a b +=．4．在△ABC 中，90C =︒∠，如果8AC =，6BC =，那么A ∠的正弦值为（ ▲ ）(A)35；(B)45； (C)34； (D)43．5．抛物线2()y a x k k =-+的顶点总在（ ▲ ）(A)第一象限；(B)第二象限；(C)直线y x =上；(D)直线y x =-上．6▲ ）(A)3；(B)4；(C)5；(D)无法确定．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知53x y =，那么x yy-= ▲ ． 8．已知线段6AB =cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么线段AC 的长为 ▲ cm ． 9．如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为 ▲ ． 10．计算：2(2)3(2)a b a b -++= ▲ ．九年级数学 共6页 第2页11．如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度1:3i =，那么这段斜坡的铅垂高度为 ▲ 米． 12．已知锐角△ABC 中，5AB =，7BC =，4sin 5B =，那么C =∠ ▲ 度． 13．函数2245y x x =+-的图像与y 轴的交点的坐标为 ▲ ．14．如果将抛物线2(1)y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ▲ ．15．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为(1,)y ，点A 的坐标为()1,0-，那么点B 的坐标为 ▲ ．16．如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为 ▲ 厘米．17．我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD 中，AB AC AD ==，则2AC AB AD =⋅，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，那么线段AD 的长为 ▲ ．18．在△ABC中，AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC上，连结DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到A DE '△．连结AA '，当A E AC '⊥时，则线段AA '的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：22cos30cot 45tan60sin 452sin30︒+︒︒+-︒︒．第15题图xy第17题图1CDA第17题图2C DAB九年级数学 共6页 第3页20．（本题满分10分，第(1)小题4分，第(2)小题的6分）如图，已知△ABC 中，DE BC ∥，2AD =，4DB =，8AC =． （1）求线段AE 的长； （2）设BA a =，BC b =．①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE = ▲ ； ②联结BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，已知O ⊙O ⊙中，OA 、OB 都是圆的半径，且OA OB ⊥． 点C 在线段AB 的延长线上，且OC AB =． （1）求线段BC 的长； （2）求∠BOC 的正弦值．ACBDE第20题图第21题图22．（本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告：在P处南偏东30︒方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留．海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60︒方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30︒方向上．（1）B、P两处间的距离为▲ 海里；如果联结图中的B、Q两点，那么BPQ△是▲ 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它▲ 【填“能”或“不能”】到达Q处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AED ABC∠=∠，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：ABE ACD∠=∠；（2）如果ED EC=，求证：22DF EFBD EB=．A B QP60°30°30°第22题图第23题图ACEDBF九年级数学共6页第4页九年级数学 共6页 第5页24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(1,0)． （1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使△MOC 与△BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标【不必书写求解过程】.xx九年级数学 共6页 第6页25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点D 为斜边AB 的中点，ED ⊥AB ，交边BC 于点E ．点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：△ADP ∽△EDQ ；（2）设AP x =，BQ y =．求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ ，交线段ED 于点F ．当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．AD BCP EQ第25题图AD BCP EQ 第25题备用图F九年级数学 共6页 第7页崇明区2020学年第一学期教学质量调研测试九年级数学参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. A2. B3. D4. A5. C6. B 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.238. 3 9. 1﹕16 10. 8a b - 11. 4 12. 45 13. (0,5)- 14. 2(1)1y x =++15. (3,0) 16. 3 17. 18.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式222(1222-⨯--------------------5分（每个三角比的值各1分）12-----------------------------3分（后3个数据，每个各1分）=12---------------------------------2分（每个数据各1分）20．（本题满分10分，第(1)小题4分，第(2)小题的6分） 解：（1）∵DE ∥BC ，∴AE ADAC AB=------------------------------2分 ∵AD =2，DB =4，AC =8，∴282+4AE =∴AE =83----------------------------------------------2分 （2）①1133b a --------------------------------------------2分 ②图形正确---------------------------------4分（每个分向量各2分） 21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）解：（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ---------------------------1分 ∵OA ⊥OB ，OA =OB，∴AB =2----------------------1分 ∵OH ⊥AB ，OH 过圆心O ，∴BH =12OB =1----------------1分∴OH=1，∴CH1分∴BC1-------------------------------------------1分（2）过点B作BD⊥OC，垂足为D----------------------------1分∵Rt△OHC中，OH=12OC，∴∠C=30°-------------------1分∴BD=12BC=12------------------------------------1分∴sin∠BOC=BDOB=1分∴sin∠BOC1分22．（本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分）解：（1）14；等边；能-----------------------------------6分（每个答案各2分）（2）过P作PH垂直于直线AB，垂足为H---------------------1分根据题意得：∠BPH=30°，BP=14，∴PH=14×2=1分∵，-------------------1分所以，海监船继续向正东方向航行是安全的.---------------1分23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）证明：（1）∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC----------2分∴AE ADAB AC=----------------------------------------1分∴AE ABAD AC=----------------------------------------1分又∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACD-----------------------1分∴∠ABE=∠ACD-------------------------------------1分（2）∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD---------------------------1分又∵∠ABE=∠ACD，∴∠EDF=∠DBE------------------1分又∵∠DEF=∠BED，∴△DEF∽△BED -----------------1分九年级数学共6页第8页九年级数学 共6页 第9页∴DF EF BD DE =；DF DEBD BE=---------------------2分(两个比例式各1分) ∴22DF EFBD EB=---------------------------------------1分 24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分） 解：（1）∵对称轴为直线1-=x ，A 的坐标为（1，0）∴点B 的坐标为（3-，0）-----------------------------2分把（1，0）、（3-，0）代入32++=bx ax y ，得：0=30933a b a b ++⎧⎨=-+⎩，解方程组得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的表达式为：223y x x =--+------------------2分 （2）∵223y x x =--+=2(1)+4x -+∴点P 的坐标为（1-，4）-----------------------------1分记对称轴与x 轴的交点为H ， 则223QH OC ==， ∴PQ =2-----------------------------------------------1分 过P '作P G '⊥PQ ，垂足为G 则易求得P G '∴点P '1，1）---------------------------1分把1x =代入223y x x =--+，得：1y =∴点P '还在抛物线上------------------------------------1分 （3）点M 的坐标为（1-，0）或（1，0）或（9-，0）或（9，0）-----------------------------4分（每个坐标各1分）25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分） 解：（1）证明：∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠ADP =∠EDQ=90°—∠PDE ------1分 ∵∠ACB= 90°，ED ⊥AB ，∴∠A =∠DEQ=90°—∠B --------------1分∴△ADP ∽△EDQ ----------------------------------------------2分 （2）∵∠ACB= 90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，tan B =34∵点D 为AB 的中点，∴AD = DB= 5九年级数学 共6页 第10页∴DE =154，BE =254----------------------------------2分(每个值个1分) ∵△ADP ∽△EDQ ，∴EQ DEAP AD =，即2515445x = ∴32544y x =-+----------------------------------------------2分定义域：0≤x ≤253--------------------------------------------1分（3）∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠PDE =∠QDB=90°—∠EDQ ∵tan ∠QPD =34DQ DE PD AD ==，∴∠QPD=∠B ∴△ADP ∽△EDQ -----------------------------------------------1分①当PD=PF 时，BD=BQ∴5y =，即325544x -+=，∴53x =-------------------------1分 ②当FP=FD 时，QD=QB ，∴12BQ BE =∴258y =，即32525448x -+=，∴256x =----------------------1分 ③当DP=DF 时，DQ=DB=DC ，即点Q 在点C 处，∴点P 不在射线AC 上，舍去. --------------------------------1分综上所述，AP 的长为53或256------------------------------------1分。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题14 二次函数（解答题24题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点 D ．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果DC BC ⊥，1tan 3DBC ∠=，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果 ACM ∆的面积是258，求点M 的坐标．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过点()3,6A --、()6,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 是抛物线上的点，且位于线段BC 上方，联结CD ．①如果点D 的横坐标为2．求cot∠DCB 的值；②如果∠DCB ＝2∠CBO ，求点D 的坐标．3．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点．（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC 内，求a 的取值范围．4．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式； （3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．5．（2021·上海青浦一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．6．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式：（2）若抛物线2y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）． ①用含b 的代数式表示a ，并写出1b的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC∠AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求∠BAP 的余切值； （3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标．8．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1(0)2y x m m=-+>与x轴、y轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ． （1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式； （3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．9．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．10．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D ．①求点C 、D 的坐标；②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =+-经过点()2,0A 和(1,1)B --与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，23 PDDC=．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果QCA PCB∠=∠，求点Q的坐标．12. （2021崇明一模）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0．（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使MOC △与BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标【不必书写求解过程】．13.（2021奉贤一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，点C 在该抛物线上且在第一象限．()1求该抛物线的表达式；()2将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当13AD BD =时，求m 的值； ()3联结BC ，当2CBA BAO ∠=∠时，求点C 的坐标．14. （2021嘉定一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．15.（2021闵行一模） 在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．连接CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．16.（2021杨浦一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴负半轴相交，求m 的取值范围．。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题04 四边形一、单选题1．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．A ．amnB ．an mC ．amm n+ D ．anm n+ 2．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD DEDB BC= B ．AE BFAC BC= C ．BD BFAD DE= D ．DG BFGF FC= 3．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ∆的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．6．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE=2DG ，那么DG=______厘米．7．（2021·上海嘉定区·九年级一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.8．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．9．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．10．（2021·上海九年级一模）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC 和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，60B ∠=︒，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．11．（2021·上海九年级一模）直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为____________．12．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，12AE EB =，联结DE 交对角线AC 于点O ，那么AOOC的值为_____．13．（2021·上海静安区·九年级一模）在△ABC 中，点G 是重心，△BGC =90°，BC =8，那么AG 的长为____． 14．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．15．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______．三、解答题16．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，8BC =，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE EF FD ==，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．（1）求HD 的长；（2）设BGE △的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示） 2021年上海市16区中考数学一模汇编专题04 四边形一、单选题1．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．A ．amnB ．an mC ．amm n+ D ．anm n+ 【答案】D【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解AF mAB m n=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：//AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形，DF BE ∴=，::AF FB m n =，AF mAB m n∴=+，//DF BC ，ADF ACB ∴∽ ，AF DF ADAB BC AC ∴==, //AB DE ，BE AD mBC AC m n ∴==+，BC a =，ma BE m n ∴=+，.ma na CE a m n m n∴=-=++ 故选：.D【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，比例的基本性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．2．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，DE BC //，DF AC //，联结BE ，BE 与DF 相交于点G ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD DEDB BC= B ．AE BFAC BC= C ．BD BFAD DE= D ．DG BFGF FC= 【答案】C【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可． 【详解】解：△DE△BC ，DF△AC ，△四边形DFCE 是平行四边形，△DE=CF ，DF=CE ，△DE△BC ，DF△AC ，△△ADE△△ABC ，△BFD△△BAC ，△AD DEAB BC=，故A 错误； AE AD AC AB BC CF==，即AE CF AC BC=，故B 错误； △DF△AC ，△BD BF BFAD CF DE==，故C 正确； △DE△BC ，△DG DE CFGF BF BF==，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和平行线分线段成比例是解答的关键．3．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//,3AD BC BC AD =，对角线AC BD 、交于点,O EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD AC 、分别交于点G H 、，如果OGH ∆的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【分析】设AD=2x ，BC=6x ，根据EF 是梯形ABCD 的中位线，求得EG=FH=12AD =x ，GF=12BC =3x ，证得GH=AD ，由此得到1OGH AOD S S ∆∆==，39BOC OGH S S ∆∆==，033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，即可求出答案． 【详解】设AD=2x ，BC=6x ，△EF 是梯形ABCD 的中位线， △点E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BD 、AC 的中点，EF△AD△BC ，△EF=1()24AD BC +=x ， △EG=FH=12AD =x ，GF=12BC =3x ，△GH=2x ，△GH=AD ， △GH△AD,△△OAD△△OHG,△1OD ADOG GH==，△OG=OD ，1OGH AOD S S ∆∆==， △GH△BC,△△OGH△△OBC ，△2163GH x BC x ==，△99BOC OGH S S ∆∆==， △O 是DG 的中点，G 是BD 的中点，△033A B DOC AOD S S S ∆∆∆===，133916ABCD S ∴=+++=， 故选：C ．．【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题． 二、填空题4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【答案】207【分析】作CM△AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF△△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM△AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： △Rt△ABC 中，△C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，△设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB 2＝AC 2＋BC 2，即：102＝（2k ）2＋k 2，解得：k ＝△BC ＝AC ＝△CM ＝AC BC AB ⋅＝10＝4，△正方形DEFG 内接于△ABC ，△GF ＝EF ＝MN ，GF△AB ，△△CGF△△CAB ， △CN GF =CM AB ，即4EF EF 410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．【分析】根据题意，画出图形，如解图所示，连接CO 并延长交AB 于点D ，利用勾股定理求出AB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD ，再利用三角形重心的性质即可求出结论．【详解】解：Rt△ABC 中，△ACB=90°，AC=6，BC=3，点O 为三角形的重心，连接CO 并延长交AB 于点D ，，CD 为△ABC 的中线，△CD=12AB =2△O 为△ABC 的重心，△该三角形的重心到其直角顶点的距离CO=23【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和重心的定义及性质，掌握勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和重心的定义及性质是解题关键．6．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC 的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE=2DG ，那么DG=______厘米．【答案】15【分析】如图，记,AH DG 的交点为M ， 设,DG x = 2,402,DE x AM x ==-再证明：,ADG ABC ∽利用相似三角形的性质可得：,DG AMBC AH=再列方程，解方程可得答案． 【详解】解：如图，记,AH DG 的交点为M ，设,DG x = 2DE DG =， 2,DE x ∴= ,AH BC ⊥ 四边形DEFG 为矩形，40AH =，2,402,MH DE x AM x ∴===- ,AH DG ⊥ //,DG EF ,ADG ABC ∴∽ ,DG AMBC AH∴= 60BC =，402,6040x x -∴= 402400120,x x ∴=- 1602400,x ∴= 15,x ∴= 15.DG ∴=故答案为：15.【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．7．（2021·上海嘉定区·九年级一模）正方形的边长与其对角线长的比为________.【答案】1【分析】设正方形的边长为1，计算即得结果.【详解】解：设正方形的边长为1，所以正方形的边长与其对角线长的比为1【点睛】此题主要考查对正方形的性质和线段比的定义的理解及运用．难度不大，属于基础题型． 8．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，已知ABC 是边长为2的等边三角形，正方形DEFG 的顶点,D E 分别在边,AC AB 上，点,F G 在边BC 上，那么AD 的长是_____．【答案】6【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt△CDG 中运用正弦的定义建立方程求解即可．【详解】根据题可知，△ADE 为等边三角形，即：AD=DE ，根据正方形的性质可知DE=DG ，DG△BC ，△C=60°， 设AD=x ，则DG=x ，DC=AC -AD=2-x ，△在Rt△CDG 中，DG sinC CD=，即：602DG x sinC sin CD x =︒===-6=x ，经检验6=x 是上述分式方程的解，故答案为：6．【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．9．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．【分析】由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ∆≅∆，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ∆≅∆，故可得Rt DAB Rt BED ∆=∆，再证明Rt BCD Rt CDF ∆∆求得CD=2，在Rt AEF ∆中由勾股定理可得解．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△BED 是由△BCD 翻折得到，△Rt BCD Rt BED ∆≅∆，CE BD ⊥，△4AD BC ==，AB CD ED ==，△四边形ABCD 是矩形，△AD=BC ，AB=CD ，又BD=DB△Rt DAB Rt BCD ∆≅∆△Rt DAB Rt BED ∆≅∆△AB ED =，ABD EDB ∠=∠△四边形ABDE 是等腰梯形，△CE BD ⊥，//AE BD △CE AE ⊥，△EAD ADB DBC =∠=∠△△90,90DBC FCB FBC FCD ︒︒+∠=∠+∠=△△DBC FCD =∠△Rt BCD Rt CDF ∆∆△FD CD CD BC =，即14CD CD =△2CD =或-2（舍去） 在Rt DCB ∆中，21tan 42CD DBC BC ∠===，△△EAD DBC =∠△1tan 2EAD ∠= 在Rt AEF ∆中，12EF AE =由勾股定理得，222AE AF EF =- 即2221()()2AE AD FD AE =--△2221(41)4AE AE =--解得：AE =．故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．（2021·上海九年级一模）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC 和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，60B ∠=︒，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．【答案】3+3【分析】过点A 作AE△CD ，交BC 于点E ，可证四边形ADCE 是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD 的长，利用“强相似点”的定义可得△ABQ△△DQC ，则由相似三角形的性质可得AQ DC AB DQ=，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ 的方程，求解后即可求出AQ 的长．【详解】解：如图，过点A 作AE△CD ，交BC 于点E ，△在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，△四边形ADCE 是平行四边形，△AE ＝CD ＝AB ＝2，AD ＝CE ．△60B ∠=︒，△△ABE 是等边三角形．△BE＝AE＝AB＝2．△AD＝BC－BE＝6．△点Q是边AD上的“强相似点”，△△ABQ△△DQC．△AQ DC AB DQ=．设AQ＝x，则DQ＝6－x，即226xx=-．解得135x，235x．故答案为：3+3【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．11．（2021·上海九年级一模）直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为____________．【答案】12【分析】先根据三角形重心的性质求出斜边中线的长，再根据三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得斜边的长．【详解】解：由题意得，GD=2，△点G是△ABC的重心，△CD=3GD=6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，△ACB=90°，CD是△ABC的中线，△AB=2CD=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质和重心的性质，熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解决问题的关键．12．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，12AEEB=，联结DE交对角线AC于点O，那么AOOC的值为_____．【答案】1 3【分析】由题意可以得到△AOE△△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△△OAE=△DCO，△OEA=△ODC，△△AOE△△COD，△AO AE AEOC CD AB==，△122AEEB AEEB=∴=，，△133AE AE AEAB AE EB AE===+，△13AOOC=，故答案为13．【点睛】本题考查平行四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．13．（2021·上海静安区·九年级一模）在△ABC中，点G是重心，△BGC=90°，BC=8，那么AG的长为____．【答案】8【分析】延长AG交BC于D，根据重心的定义，点D为BC的中点，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DG的长，再由重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍进行求解即可．【详解】解：延长AG交BC于D，△点G是重心，△点D为BC的中点，且AG=2DG，△△BGC=90°，BC=8，△DG=12BC=4，△AG=2DG=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握三角形的重心定义和性质是解答的关键．14．（2021·上海宝山区·九年级一模）在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明△AEF△△DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x=，求解即可． 【详解】设正方形铁皮的边长为x ，△90C ∠=︒，△△A+△B=90︒，在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，△EFG=△DGF=90︒,△△AFE=△BGD=90︒，△△A+△AEF=90︒,△△AEF=△B ，△△AEF△△DBG ，△EF AF BG DG =，△49x x =，解得x=6（负值舍去）， 故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF△△DBG 是解题的关键． 15．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______． 【答案】26【分析】作DF△BC 于F ，AE△BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出△AEB△△DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长． 【详解】解：如图示，作DF△BC 于F ，AE△BC 于E ，△四边形ABCD 是等腰梯形，△△B=△C ，AB=CD ，AD△BC ，△△ADF=△DFC=90°，△△AEF=△DFE=△ADF=90°，△四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，在△AEB 和△DFC 中，△△AEB△△DFC （AAS ），△BE=CF ；△35cos E ABB B ， 设3BE x =，则5AB x =，根据勾股定理，有：2222534AEAB BE x x ， 解之得：1x =（取正值），△3BE =，5AB =，△3FCBE ，5DC AB ==，△周长AB BE EF FC CD AD 53535526，故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．三、解答题16．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，8BC =，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE EF FD ==，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．（1）求HD 的长；（2）设BGE △的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）【答案】（1）2HD =；（2）7=2四边形AEFH a S 【分析】（1）由△ADE△△GBE ，可求出BG 的长，再由△HDF△△GBF ，即可求出HD 的长；（2）由△ADE△△GBE ，可求出S △ADE =4S △BGE =4a ，再由△HDF△△GBF ，即可求出S △DHF =14S △BGF ，由三角形的面积公式可求出S △DHF =14S △BGF ，进而可求四边形AEFH 的面积． 【详解】解：（1）△四边形ABCD 是平行四边形，△AD//BC ，AD=BC=8，△△ADE△△GBE ，△AD DE BG BE =． △BE EF FD ==，△BG=12AD=4．△AD//BC ，△△HDF△△GBF ，△HD DF BG BF=． △BE EF FD ==，△HD=12BG=2； （2）△△ADE△△GBE ， BE EF FD ==，△S △ADE =4S △BGE =4a ．△△HDF△△GBF ，△S △DHF =14S △BGF ．△BE EF =，△S △BGF =2S △BGE ， △S △DHF =12S △BGE =12a ，△17=4-=22AEFH a S a a 四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数解答1．（2021•嘉定区三模）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；（2）当x满足﹣2≤x≤3时，函数值y满足﹣4≤y≤5，试求a的值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图象，求a的取值范围．2．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．3．（2021•奉贤区三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向下平移m个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC上，求m的值；（3）如果点P是抛物线位于第一象限上的点，联结PA，交线段BC于点E，当PE：AE＝4：5时，求点P的坐标．4．（2021•上海模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．5．（2021•浦东新区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．6．（2021•上海模拟）已知直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P对应点P′落在y轴上时，求点P的坐标．7．（2021•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A （﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．8．（2021•青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．9．（2021•金山区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y ＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．10．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．11．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y 轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△PAC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．12．（2021•长宁区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．13．（2021•徐汇区二模）如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．14．（2021•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO 的余切值．15．（2021•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB 上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．16．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．17．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；（2）求sin∠BAM的值；（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．18．（2021•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．19．（2021•宝山区三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．参考答案1．【分析】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）根据整点的定义，结合图象中x取0，1，2，时对应y的值即可判断．【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，∵当﹣2≤x≤3时，数值y满足﹣4≤y≤5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上，∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大5，x＝1时，y的值最小﹣4，∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1，∴a＝1；（3）如图：根据（1）、（2）及抛物线对称性可知：∵抛物线与x轴所围成的区域内只有五个整点，即（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（0，﹣1），（2，﹣1），∴x＝﹣1时，﹣2≤a﹣4≤﹣1，解得：2≤a≤3．2．【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；（2）抛物线与y轴的交点，横坐标为0，即A坐标为（0，a﹣1），根据已知条件|a﹣1|＜3，即可求a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）根据已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为直线x＝1开口向上，可以得出f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），根据f（4）＞0，f（3）≤0可以求a的范围，＜a≤，即可以写出符合条件的函数解析式．【解答】解：（1）抛物线的方程为f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；（2）A为抛物线与y轴的交点，∴A点坐标为（0，a﹣1），∵线段OA上的整点个数小于4，且开口向上，则可知|a﹣1|＜3且a＞0，﹣2＜a＜4，故a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为直线x＝1，开口方向向上，故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），∴f（4）＞0，∴得16a﹣8a+a﹣1＞0，得a＞，f（3）≤0，得9a﹣6a+a﹣1≤0，得a≤，取a＝，f（x）＝x2﹣x﹣，∴a的取值范围为＜a≤．3．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；（3）通过证明△AEF∽△APH，可证＝，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，），∵y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，∴0＝﹣x2+x+2，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴点B（4，0），设直线BC解析式为y＝kx+n，，解得：，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，当x＝时，y＝，∴m＝＝；（3）如图，过点E作EF⊥AB于F，过点P作PH⊥AB于H，∴EF∥PH，∴△AEF∽△APH，∴，∵PE：AE＝4：5，∴＝，∴AF＝5x，AH＝9x，∴OF＝5x﹣1，OH＝9x﹣1，∴点E坐标为[5x﹣1，﹣（5x﹣1）+2]，点P坐标为[9x﹣1，﹣（9x﹣1）2+（9x ﹣1）+2]，∴EF＝﹣（5x﹣1）+2，PH＝﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2，∴＝，∴x＝，∴点P（2，3）．4．【分析】（1）直接代入A、B两点坐标求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据P、M两点的坐标即可表示出PM 的长度；②可设点N坐标为，再由MN∥BC可知当MN＝BC时可判定四边形BCMN为平行四边形，分点P在OC上、点P在OC延长线上两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，∴，∴解得：，∴．∴该抛物线表达式为．（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，∴P（m，0），，∴．②由题意可得：，MN∥BC，∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．1°当点P在线段OC上时，，又∵BC＝，∴．得m1＝1，m2＝2．2°当点P在线段OC的延长线上时，．∴，解得（不合题意，舍去），．综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．5．【分析】（1）由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）圆Q与直线AP相切的临界点，进而求解．【解答】解：（1）∵点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），且到点M（﹣3，0）的距离为5，∴点A坐标为（﹣8，0），点B坐标为（2，0），∵点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y）．由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．∵点C在y轴正半轴上，∴点C的坐标为（0，4）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣8，0）、B（2，0）、C（0，4）．∴，解得，∴抛物线的表达式是，∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣3，）；（3）过点A作AQ1⊥AP与抛物线的对称轴相交于点Q1．此时以Q1为圆心，Q1A为半径的圆与线段AP相切于点A．∵∠MPA+∠MAP＝90°，∠MAP+∠MAQ1＝90°．∴∠MPA＝∠MAQ1．∴tan∠MPA＝tan∠MAQ1．∴．∵AM＝5，PM＝，∴Q1M＝4．即点Q1坐标为（0，﹣4）；作AP的中垂线与AP相交于点N，与对称轴x＝﹣3相交于点Q2，则PN＝PA．此时以Q2为圆心，Q2A为半径的圆经过点A、点P．∵AQ1⊥AP，NQ2⊥AP，∴∠Q1AP＝∠Q2NP＝90°．∴AQ1∥NQ2．∴．∵点P的坐标为（﹣3，），点Q1的坐标为（﹣3，﹣4），∴PQ1＝，∴PQ2＝．∴Q2M＝PM﹣PQ2＝﹣＝．即点Q2坐标为（0，），∴当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，点Q纵坐标取值范围是．6．【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，分两种情况进行讨论：①当点P在直线BD上方时，②当点P在直线BD下方时，分别建立方程求解即可；（3）分点P在y轴右侧，△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时或△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，若点P在y轴左侧，分别进行讨论，【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y＝﹣x+n上，∴n＝4，∴y＝﹣x+4，令y＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），∴c＝﹣2，6+3b﹣2＝0，∴b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵P的横坐标为m（m＞0），且点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣m﹣2），∵PD⊥x轴，BD⊥PD，∴点D坐标为（m，﹣2），若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，①当点P在直线BD上方时，PD＝m2﹣m﹣2﹣（﹣2）＝m2﹣m，如图1，BD＝m．∴m2﹣m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；②当点P在直线BD下方时，如图2，m＞0，BD＝m，PD＝﹣m2+m，∴﹣m2+m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；综上所述，m＝或；即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或．（3）∵∠PBP'＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP'＝，cos∠PBP'＝，若点P在y轴右侧，①当△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P′D′＝PD＝m2﹣m，在Rt△P′D′N中，sin∠ND′P′＝＝sin∠PBP′＝，∴P′N＝P′D′＝（m2﹣m），在Rt△BD′M中，BD′＝m，cos∠DBD′＝＝cos∠PBP′＝，∴BM＝BD′＝m，∵P′N＝BM，∴（m2﹣m）＝m，∴m＝，∴P（，）；②当△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图4，过点P作PT⊥y轴于点T，∴PT＝m，BT＝OT﹣OB＝﹣（m2﹣m﹣2）﹣2＝﹣m2+m，∵∠PBP′＝∠OAC，∴tan∠PBP′＝tan∠OAC＝＝，∴＝，∴PT＝BT，∴m＝（﹣m2+m），解得：m＝0（舍去）或m＝，∴P（，﹣）；若点P在y轴左侧，仿照上述方法讨论均不存在满足条件的点P；综上所述，点P的坐标为（，）或（，﹣）．7．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），＝9﹣﹣＝；∴S△ODE（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC＝9，∴P（0，8）．∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．8．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值；（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（2）如图1，由y＝﹣x2+2x+3，得C（0，3），B（3，0）．设直线CD的解析式为y＝kx+3，则k+3＝4，解得k＝1，∴y＝x+3；当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，设直线PB的解析式为y＝x+m，则3+m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由，得，，∴P（﹣2，﹣5）．（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF．由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°+∠FPB；∵tan（∠PBO+∠PEO）＝，∴45°+∠PEO＝45°+∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴＝，BE•BF＝PB2，∵HF＝PH＝×5＝，∴BF＝﹣2﹣3＝，又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52+52＝50，∴BE＝50，解得BE＝，∴OE＝3+＝．9．【分析】（1）直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出PN列方程即可得答案．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；（2）∵b＝2，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴顶点是（2，2﹣4a），∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，∴顶点在第四象限或在x轴上，∴2﹣4a≤0，即a≥；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），∴开口向下，∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，∴D（0，2），∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，∴∠MDO＝30°，Rt△MDO中，tan∠MDO＝，∴tan30°＝，解得OM＝，∵对称轴与x轴交于N，∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，∴，即＝，∴PN＝2+2，而P（2，2﹣4a），∴2﹣4a＝2+2，∴a＝﹣，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．10．【分析】（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴顶点坐标为（2，﹣9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．11．【分析】（1）根据一次函数y＝x﹣3可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c即可求出抛物线的表达式；（2）利用勾股定理分别求出AB、AD、BD的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明△ABD 是直角三角形，从而可以求出∠BAD的正切值；（3）先通过计算得出∠AED＝135°，则P点在x轴上方，然后分或两种情况进行讨论即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，x＝0时，y＝﹣3，y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），又∵A（3，0），B（0，﹣3），∴AD＝，BD＝，AB＝，∵，，∴AB 2+BD 2＝AD 2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°，∴tan ∠BAD ＝；（3）∵OA ＝OB ＝3，∠AOB ＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，又∵DE ∥OB ，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠AED ＝135°，又∵△PAC 与△AED 相似，∠1＝45°，∴点P 在x 轴上方， 且或，在y ＝x ﹣3中，x ＝1时，y ＝﹣2，在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴E （1，﹣2），C （﹣1，0），∴AC ＝3﹣（﹣1）＝4，DE ＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，AE ＝，∴或，解得：AP＝2或，过点P作PQ⊥x轴于点Q，又∵∠4＝∠1＝45°，∴△PAQ是等腰直角三角形，当AP＝2时，AQ＝2，此时P（5，2），当AP＝4时，AQ＝4，此时P（7，4），综上所述，P点坐标为（5，2）或（7，4）．12．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，﹣t+4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，t2﹣t+4），设直线PA的表达式为y＝kx+b，则，解得，故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：y P＝（y C+y E），即t2﹣t+4＝（4﹣t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为（，）．13．【分析】（1）在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y 轴，且DE＝CF，进而求解；（3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y ＝4，故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，连接BC，如下图，∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，故点C的坐标为（0，），则抛物线的表达式为y＝x2+；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠DHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠AHC，则tan∠DCH＝，故直线CD的表达式为y＝x+②，联立①②并解得，故点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝y D＝，则y F＝y C+DE＝+＝，故点F的坐标为（0，）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，联立①③并解得，点D的坐标为（，），而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．14．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），对称轴为直线x＝3，∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（3，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，2），把点E（3，2）和点A（5，0）代入y＝kx+b得，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，如图，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D1坐标为（0，2），连接D1A，∴cot∠D1AO＝＝，②若BD不平行OE，如图D2，则四边形OEBD2为等腰梯形，做BF⊥y轴于F，则D1F＝D2F＝2，∴点D2坐标为（0，6），连接D2A，AO＝＝，∴cot∠D1综上所述，此时∠DAO的余切值为或．15．【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2+bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【解答】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2+bx得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）设直线AB的解析式是y＝mx+n，将A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+2，∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），∴C′（1+m，﹣），∵C′（1+m，﹣）在直线AB上，∴﹣＝﹣（1+m）+2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直线AB′为x＝4，点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：①F在A上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH∥x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝2GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n+1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n+1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C（1，﹣1.5），∴直线GC解析式为：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF∥x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF∥x轴，∴F（4，﹣1.5）．综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．16．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．17．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，求出B（0，3），而AO＝BO求出A（3，0），进而求解；（2）证明∠MBA＝90°，则；（3）证明∠BAM＝∠OAQ，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），∵AO＝BO，∴A（3，0），把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，∴∠MBA＝90°，∴；（3）∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°∵∠MAQ＝45°，∴∠BAM＝∠OAQ，由（2）得，∴，∴，∴，∴OQ＝1，∴Q（0，1）．18．【分析】（1）根据题意得出A（m，m2），将m＝1代入得出其坐标，继而可得答案；（2）根据A（m，m2）知“子抛物线”的解析式为．求出x＝0时y的值可知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，证△AED≌△DFO得AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，知DF＝n，BE＝m+n ＝OF＝ED．结合OB＝EF得m2＝m+2n．再由∠BCA＝∠ADE知，联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）由题得，A（m，m2），当m＝1时，A（1，1），∴这条“子抛物线”的解析式：；（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2．∴“子抛物线”的解析式为．令x＝0，则，∴点C的坐标（0，），，∴．在Rt△ABC中，．（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，∵∠OAC＝135°，∴∠OAD＝45°，又∵OD⊥CA，∴∠OAD＝∠AOD＝45°，∴AD＝OD，∴△AED≌△DFO（AAS），∴AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．又∵OB＝EF，∴m2＝m+2n．又∵∠BCA＝∠ADE，∴，解方程组，得m＝2，（舍去），1∴m的值为2．19．【分析】（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．【解答】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴．∴A（，0）．∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，∴．解得．∴二次函数的解析式为．顶点C的坐标是（，3）．（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB＝2．由DE是二次函数的图象的对称轴，可知DE∥AB，OE＝AE．∴．即得DE＝1．又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．∴．（3）根据题意，可设P（，n）．∵，CE＝3，∴．∴．解得．∴点P的坐标为P1（，）、P2（，）．。

2021年中考数学一模试题(含解析)2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（） A．y=2x B．y=2x ﹣2 C．y=ax D．2．如果向量、、满足+=（﹣A．B．C．22），那么用、表示正确的是（）D．3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（） A． B．2sinα C．D．2cosα4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（） A．B．C．D．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=156．如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（） A．y=x+2二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm． 8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= ． 9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ． 10．如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= ． 11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．22B．y=x﹣2x﹣1 C．y=x﹣2x D．y=x﹣2x+122212．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是．13．如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ． 14．二次函数y=（x﹣1）的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 y2（填“＞”、“=”或“＜”）15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．216．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么= ．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19．计算：2cos30°﹣sin30°+2．20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；（1）求（2）如果的值； =，=，求向量；（用向量、表示）21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8时，求sinB．22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC?CF．24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（） A．y=2x2 B．y=2x ﹣2 C．y=ax2 D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数．【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意； B、是一次函数，故B错误；C、a=0时，不是二次函数，故C错误；D、a≠0时是分式方程，故D错误；故选：A．【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax+bx+c （a≠0）是二次函数． 2．如果向量、、满足+=（﹣A．B．C．），那么用、表示正确的是（）22D．【考点】*平面向量．【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案．【解答】解：∵ +=（﹣∴2（+）=3（﹣∴2+2=3﹣2，∴2=﹣2，解得： =故选D．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此题的关键．﹣．），），3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（） A． B．2sinα C．D．2cosα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，∴sinA=∴AB=故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（） A．B．C．D．，cosA=，tanA=．， =，【考点】平行线分线段成比例；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：只有选项C正确，理由是：∵AD=2，BD=4，∴==，=，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．5．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=15【考点】三角形的重心．【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴AG=AD=6，CG=CE=8，EG=CE=4，∵AD⊥CE，∴AC=AE=∴AB=2AE=4=2=10，A正确；，，B错误；∵AD⊥CE，F是AC的中点，∴GF=AC=5，∴BG=10，C正确； BF=15，D正确，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．6．如果抛物线A：y=x﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（） A．y=x2+2B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+122【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：抛物线A：y=x﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线C：y=x﹣2x+2=（x﹣1）222+1的顶点坐标是（1，1）．则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C．所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2【考点】比例线段．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm，∴线段a、b的比例中项=故答案为：2．=2cm．cm．【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= 【考点】黄金分割．﹣1 ．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，PB＞PA，∴PB=解得，AB= AB， +1， +1﹣2=﹣1．﹣1，∴PA=AB﹣PB=故答案为：【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC 和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 9．已知||=2，||=4，且和反向，用向量表示向量= ﹣2 ．【考点】*平面向量．【分析】根据向量b向量的模是a向量模的2倍，且和反向，即可得出答案．【解答】解：||=2，||=4，且和反向，故可得： =﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了平面向量的知识，关键是得出向量b向量的模是a向量模的2倍．10．如果抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m= 2 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．【解答】解：由抛物线y=mx+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，得﹣m+2=0．解得m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把原点代入函数解析式是解题关键．11．如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是 a＞3 ．【考点】二次函数的最值．【分析】由于原点是抛物线y=（a+3）x2的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以22确定a的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=（a﹣3）x2﹣2的最低点，∴a﹣3＞0，即a＞3．故答案为a＞3．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．12．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【考点】函数关系式．【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y与x 的函数关系式即可．【解答】解：设剩下部分的面积为y，则： y=﹣x+4（0＜x＜2），故答案为：y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．13．如果抛物线y=ax﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= 3 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax﹣2ax+1，∴抛物线的对称轴方程为x=1，∵图象经过点A（﹣1，7）、B（x，7），∴∴x=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出抛物线的对称轴，=1，222此题难度不大．14．二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么y1 ＜ y2（填“＞”、“=”或“＜”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．【解答】解：当x=3时，y1=（3﹣1）2=4，当x=时，y2=（﹣1）2=y1＜y2，故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键．15．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 4 米．，【考点】相似三角形的应用．【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有将相关数据代入计算可得．【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴ =，即=，=，解得：AB=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．【考点】梯形中位线定理．【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG是△ABD 的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．【解答】解：∵EF是梯形ABCD 的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．【点评】本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．17．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 1：4 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，∴AM=AT，∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴=（）=（）=1：4，22故答案为：1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，点B、C分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC边交于点D，那么=．【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形的性质得到BC=AB，根据旋转的性质和平行线的判定得到AB∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AB，由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB∥B′C′，∴∴==，==，∵∠BAC=∠B′AC，∴==，又=，∴=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19．计算：2cos230°﹣sin30°+【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×（=1+ +．）﹣+2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 20．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；（1）求（2）如果的值； =，=，求向量；（用向量、表示）【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；*平面向量．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=5、AB∥EC，证△FEC∽△FAB得=；（2）由△FEC∽△FAB得质及向量可得===，==，从而知FC=BC，EC=AB，再由平行四边形性，最后根据向量的运算得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，DE=2，CE=3，∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，∴△FEC∽△FAB，∴（2）∵△FEC∽△FAB，∴=，==；∴FC=BC，EC=AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，EC∥AB，∴∴则===+=， ==，=．=，【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8时，求sinB．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，从而得，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC；，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE=CD=1，由勾股定理（2）由△ADC∽△BAC得求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得．【解答】解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵===，∴BD=3CD=6，∴CB=CD+BD=8，则∴=，，，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC；（2）∵△ADC∽△BAC，∴，即，∴AD=AC=4，∵AE⊥BC，∴DE=CD=1，∴AE=∴sinB===．，【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度最大高度（米） 1：20 1.50 1：16 1.00 1：12 0.75 （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1：20；（2）作梯形的高BE、CF，由坡度计算AE和DF的长，相加可得AD 的长．【解答】解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，∴最大高度为0.15×10=1.5（米），由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20；（2）如图，过B 作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，∵∴==，，∴AE=DF=30，∴AD=AE+EF+DF=60+2=62，答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为62米．【点评】本题考查了坡度坡角问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，利用三角函数的定义列等式即可．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD=AC?CF．2【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得根据AB=AC即可得证；（2）由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF得CD=AC?CF．【解答】证明：（1）∵BD=DE=EC，∴BE=2CE，∵CF∥AB，∴△ABE∽△FCE，∴=2，即AB=2FC，2=2，即AB=2FC，又∵AB=AC，∴AC=2CF；（2）如图，∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，∴△DAG∽△BAD，∴∠AGD=∠ADB，∴∠B+∠2=∠5+∠6，又∵AB=AC，∠2=∠3，∴∠B=∠5，∴∠3=∠6，∵CF∥AB，∴∠4=∠B，∴∠4=∠5，则△ACD∽△DCF，∴，即CD2=AC?CF．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质得出三角形相似所需要的条件是解题的关键．24．已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD的面积；（3）点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）﹣1，把（0，3）代入可得a=1，即可解决问题．（2）首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题．（3）由△PDB ∽△ADP，推出PD2=BD?AD=3=6，由此即可解决问题．2【解答】解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得a=1，∴抛物线的解析式为y=x﹣4x+3．（2）令y=0，x﹣4x+3=0，解得x=1或3，∴C（1，0），D（3，0），∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A（2，﹣1），D（3，0），∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∵BD=3，AD=，22∴S△ABD=?BD?AD=3．（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BD?AD=3∴PD=∴OP=3+∴点P（3+，，，0）．=6，【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．25．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）首先证明△ABE∽△ADF，推出=，推出=，因为∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD．（2）如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC=x，由此即可解决问题．（3）分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠BAD=∠EAF，∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE∽△ADF，∴∴==，，∵∠BAD=∠EAF，，由△ABE∽△ADF，得=，得DF=∴△AEF∽△ABD．（2）解：如图连接AG．∵△AEF∽△ABD，∴∠ABG=∠AEG，∴A、B、E、G四点共圆，∴∠ABE+∠AGE=180°，∵∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，∴∠AGM=∠MDF，∴∠AMG=∠FMD，∴∠MAG=∠EFC，∴y=tan ∠MAG=tan∠EFC=∵△ABE∽△ADF，∴=，，∴DF=x，∴y=，即y=（0≤x≤4）．（3）解：①如图2中，当点E在线段CB上时，∵△AGM∽ADF，∴tan∠MAG==，∴=，解得x=．②如图3中，当点E在CB的延长线上时，由△MAG∽△AFD∽△EFC，∴=，∴=，解得x=1，∴BE的长为或1．【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．21/ 21。

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数选择与填空一．选择题1．（2021•杨浦区三模）将抛物线y＝x2向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 2．（2021•徐汇区二模）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（﹣3，2）3．（2021•虹口区二模）如果将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣1 4．（2021•松江区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）5．（2021•黄浦区二模）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数y＝，其图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限6．（2021•浦东新区模拟）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）7．（2021•浦东新区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是28．（2021•上海模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）二．填空题9．（2021•浦东新区模拟）已知二次函数y ＝﹣x 2+4x 图象的最高点是 ． 10．（2021•上海模拟）已知点A （1，y 1）、点B （2，y 2）在抛物线y ＝ax 2﹣2上，且y 1＜y 2，那么a 的取值范围是 ．11．（2021•浦东新区二模）将抛物线y ＝x 2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是 ．12．（2021•浦东新区校级二模）如果一抛物线的对称轴为x ＝1，且经过点A （3，3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为 ．13．（2021•宝山区二模）已知点A （﹣3，y 1）和点B （﹣，y 2）都在二次函数y ＝ax 2﹣2ax +m （a ＞0）的图象上，那么y 1﹣y 2 0（结果用＞，＜，＝表示）．14．（2021•青浦区二模）如果将抛物线y ＝﹣x 2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是 ．15．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且OA ＝4，如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a +b +c ＝ ．16．（2021•长宁区二模）如果抛物线y ＝（m +1）x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是 ．17．（2021•普陀区二模）抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是直线 ．18．（2021•奉贤区二模）如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a 的取值范围是 ．19．（2021•浦东新区三模）如果将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为．参考答案1．【分析】先得到抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣2，0），然后利用顶点式写出平移后的新的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，0），所以平移后的新的抛物线的表达式为y＝（x+2）2．故选：C．2．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣（x ﹣3）2﹣2，∴顶点坐标为（3，﹣2），故选：A．3．【分析】根据“左加右减”的法则即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝2x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+1）2，故选：A．4．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得y＝（x﹣2）2+1+3，即y ＝（x﹣2）2+4，顶点坐标为（2，4），故选：A．5．【分析】根据x的取值，判断y的范围，即可求解．【解答】解：根据题意x≠0，当x＜0时，y＞0；此时点在二象限；当x＞0时，y＞0；此时点在一象限；故选：A．6．【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）故选：B．7．【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+2x ﹣3＝﹣（x ﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、C 不正确；∵抛物线顶点到x 轴的距离是|﹣2|＝2，∴D 正确，故选：D ．8．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵y ＝（x ﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x ＝2，故选：D ．二．填空题（共11小题）9．【分析】利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点的坐标；【解答】解：由题意得，y ＝﹣x 2+4x＝﹣（x 2﹣4x +4）+4＝﹣（x ﹣2）2+4，二次函数图象的最高点的坐标为（2，4），故答案为：（2，4）．10．【分析】利用A 、B 坐标且y 1＜y 2和二次函数的性质即可判断．【解答】解：由已知抛物线为y ＝ax 2﹣2，∴对称轴为x ＝0，∵x 1＜x 2，要使y 1＜y 2，则在x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，故a 的取值范围是：a ＞0．11．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，得y＝（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）．12．【分析】利用对称的性质，根据中点坐标公式求出B坐标即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），∴点A关于对称轴的对称点B的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．13．【分析】将点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）代入二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0），进而可得结果．【解答】解：∵点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，∴y1＝9a+6a+m＝15a+m，y2＝a+a+m＝a+m，∴y1﹣y2＝15a+m﹣a﹣m＝a，∵a＞0，∴a＞0，∴y1﹣y2＞0．故答案为：＞．14．【分析】设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入进行求值即可得到b的值．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入，得0﹣b＝﹣2，解得b＝2，则该函数解析式为y＝﹣x2﹣2．故答案是：y＝﹣x2﹣2．15．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c 向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【解答】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c＝﹣2+4＝，故答案为．16．【分析】由点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下，即m+1＜0，据此可得．【解答】解：根据题意知点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下．∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．17．【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，可以得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．即对称轴是直线x＝﹣．故答案为：x＝﹣．18．【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，∴抛物线开口向下，∴a＜0，故答案为a＜0．19．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2，故答案为：y＝2（x+3）2．。

绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。

2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.方程230x -+=根的情况（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根； C. 无实数根D. 有两个相等的实数根2．若m n >，下列不等式不一定成立的是( ) A ．33m n +>+B ．33m n -<-C ．33m n> D ．22m n >3.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限D. 第三、四象限4．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：下列说法正确的是( )A ．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是25.顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形6．已知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，CD⊥AB，且CD＝1．若以点A为圆心，√3为半径作⊙A，以点B为圆心，1为半径作⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．若2a b=+，则代数式222a ab b-+的值为．8.化简：113a a-=______．9．若一个数的平方等于5，则这个数等于．10.0=的解是_____________.11．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．12．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．13.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为__________；14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图(A．小于5天；.5B天；.6C天；.7D天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是．15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______．16．如图，在ABC中，90C∠=︒，30A∠=︒，BD是ABC∠的平分线，如果AC x=，那么CD =（用x表示）．17．如图，在ABC∆中，30B∠=︒，2AC=，3cos5C=．则AB边的长为．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．三．解答题（共7小题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：1327﹣(12)﹣2+|3．20.（本题满分10分）解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21.(本题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x =，且经过点A （2，3），与x 轴交于点B ． （1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C 在y 轴上，当AC ＝BC 时，求点C 的坐标．22．（本题满分10分）两栋居民楼之间的距离30CD m =，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30︒，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？（参考数1.7≈ 1.4)≈23.已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F. （1）求证：BD ＝CD ：（2）如果AB 2＝AO·AD ，求证：四边形ABDC 是菱形.24.如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a a =--<与x 轴交于A B、两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示） （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.25.已知：如图，在菱形ABCD 中，2AC =，60B ∠=︒．点E 为边BC 上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ．设CE x =，EG y =．（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO 时，求x 的值．绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。

上海市中考数学精选真题预测（含答案）（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、2的倒数是（ ） A 、 2 B 、 -2 C 、22 D 、 -222、下列算式的运算为2m 的是（ ）A 、42m m -⋅B 、63m m ÷C 、 21)(-m D 、24m m -3、直线y =（3-π）x 经过的象限是（ ）A 、 一、二象限B 、 一、三象限C 、 二、三象限D 、 二、四象限4、李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步）它将记录的结果绘制成了如图一所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（ ）A 、 1.2与1.3B 、 1.4与1.35C 、 1.4与1.3D 、 1.3与1.35、小明用如图2所示的方法画出了△ABC 全等的△DEF ，他的具体画法是：①画射线DM ，在射线DM 上截取DE =BC ; ②以点D 为圆心，BA 长为半径画弧，以E 为圆心，CA 长为半径画弧，两弧相交于点F ；③联结FD 、FE ; 这样△DEF 就是所要画的三角形，小明这样画的依据是全等三角形判定方法中的（ ）A 、 边角边B 、 角边角C 、 角角边D 、 边边边6、已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ） A 、 1 B 、 3 C 、 5 D 、7二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48） 7、计算：（-1）2017+02-4= ；8、函数y =x +2的定义域是 ；9、方程x =-x 的解是 ；10、如果抛物线y =a 2x -3的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 11、如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 12、如果点P （m -3，1）在反比例函数xy 1=的图像上，那么m 的值是 ； 13、学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“试卷默写”的试题4个.小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是 ；14、为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘制成了如图所示的统计图.由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为 ；15、在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =21BC ，设AB a →→=，DCb →→=，那么BC →等于（结果用a →、b →的线性组合表示）；16、如果正n 边形的内角是它的中心角的2倍，那么边数n 的值是 ；17、在等腰ABC ∆中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也确定了，我们把这个比值记作T （A ），即()ABBCA A A T =∠∠=的邻边（腰）的对边（底边）.例：T （600）=1，那么T （1200）= ；18、如图，矩形ABCD ，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将BEF ∆绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好是边DC 的中点，那么ABAD的值是 。

2020-2021学年上海市金山区九年级第一学期期末数学试卷（一模）一、选择题（共6小题）.1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二、填空题（共12小题）.7．计算：+2（﹣）＝．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于度．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于．三、解答题（共7题，满分78分）19．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．20．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A 和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．21．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y ＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．25．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．参考答案一、选择题（共6小题）.1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，故点（2，8）在抛物线上．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，故选：B．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二、填空题（共12小题）.7．计算：+2（﹣）＝．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．解：原式＝+3﹣2＝．故答案是：．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝﹣2．【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+3x得f（﹣2）＝（﹣2）2+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．10．正十边形的中心角等于36度．解：正十边形的中心角为：＝36°．故答案为：36°．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于1．解：∵⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，∴圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝12．解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝12．故答案为12．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝2．解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tan B＝＝＝2．故答案是：2．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．解：连接DE，∵AE、BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，BE＝EC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，∴△DEG∽△BAG，∴＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，又∵DF∥AE，AD＝DC，∴＝，∴DF＝k，∴＝＝，故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，∴AD＝EC．∵＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．解：如图，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝9，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OA＝＝6．故答案为：6．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于4．解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于2+．解：如图，过点A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝2+，故答案为：2+．三、解答题（共7题，满分78分）19．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴，∴；；；，∴原式＝＝．20．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A 和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT 的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．21．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．22．如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，即∠ADB＝90°，由题意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度为20米；（2）作AE∥BH交GH于点E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四边形ADHE是平行四边形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：铁塔的高度GH为米．23．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y ＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，∴，解得：；∴点A的坐标为（4，﹣1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），∴16a+4b﹣1＝﹣1，即b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，∴﹣2＝a﹣4a+1，解得：a＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴P（2，﹣4a﹣1），∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P＝8a+2，又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，∴，解得：a＝，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．25．定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝BH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E 作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或．。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．8．（20212x -的根为____．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--【答案】D【分析】利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解【详解】A 选项0()a =1-，故错误，B 选项0()a =1-，故错误C 选项01a -=-，故错误，D 选项01a -=-，故正确，故选：D【点睛】熟记任何非零次幂的零次幂等于1是解决本题的关键2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 【答案】A【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．【详解】A 选项214x x -+=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故正确，B 选项21124x x++=213416x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故错误 C 选项21144x x +-=216516256x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故错误，D 选项21144x x -+=216316256x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故错误 故选：A【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 【答案】3-【分析】根据已知得到2y x =，代入所求式子中计算即可． 【详解】解：∵12x y =，∴ 2y x =，∴2332x y x x x x y x x x ++===----：故答案为：-3． 【点睛】本题考查了求分式的值，利用已知得到2y x =后再整体代入是解题的关键．4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 【答案】32- 【分析】只有符号不同的两个数叫互为相反数，根据定义解答． 【详解】32的相反数是32-，故答案为：32-． 【点睛】此题考查互为相反数的定义，掌握定义是解题的关键．5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【详解】1sin 30cot 60=236︒⋅︒=⨯，故答案为：6． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．【答案】1+【分析】设BP x =厘米，得2AB x =+厘米，根据题意得()222x x =⨯+，通过求解方程，即可得到答案． 【详解】设BP x =厘米，根据题意得：2AB AP BP x =+=+厘米∵2BP AP AB =⋅，∴()222x x =⨯+ ，∴1x =±10-，故舍去；∴15x ，即1BP =1+．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式、线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，，84BD CD ∴==，， 8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴= //AN BC ，,ANM DEM ∴∽ 1AN AM DE DM ∴==， 8,AN a ∴=- //AN BC ，,ANF CEF ∴∽ ,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b -=-+- ∴ 10432,b a ab +-= 510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴= 故答案为：2.【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．（20212x =-的根为____．【答案】x 1=【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x 的值，再进行检验即可得出结果．【详解】解：方程两边同时平方得：()2322x x -=-，∴2210x x -+=，即()210x -=，∴x 1=x 2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．【答案】()17324x x -=【分析】垂直于墙的一段篱筐长为x 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为3x ，又因为篱笆总长为17米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为()173x -米，最后根据长方形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意可得：()17324x x -=．故答案为：()17324x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 【答案】()21001y x =+； 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n,即可列方程求解． 【详解】依题意得：()21001y x =+，故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-【答案】2【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．【详解】解：原式14122⨯=⨯1= 2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．． 【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x x y y --=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∵0y ≠，∴22310x x y y --=，∴x y = ∵x 、y表示线段，∴负值不符合题意，∴x y = 【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB S DB AC ∴=⋅=，12ADB S AB DH =⋅，DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒，∴ACD EHD ．∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH =--．∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，∴)44x EB x -==+ ，AB =∴)44x AE x -=+，∵EF AD ⊥，90C ∠=︒，∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠，∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒，∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+．整理得，()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以).x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或-4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y xx x-=+结合y=2x-4，整理，得23160.x-=解得或3-（舍去）如果∠CFD=∠DAB,44x xy x-=+与y=2x-4，整理，得238160.x x-+=此方程无解.综上，CD的值为、8-或3．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．。

崇明23．〔此题总分值12分，每题各6分〕如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ． 〔1〕求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； 〔2〕联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．〔第23题图〕ABDECGF崇明24．〔此题总分值12分，每题各4分〕如图，抛物线24yx bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点〔点、N ． 〔〔〔〔第24题图〕 〔备用图〕崇明25．〔此题总分值14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分〕如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．〔1〕如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；〔2〕如图2，当点E 在AC 边上挪动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，假如变化请说出变化情况；假如保持不变，恳求出DFE ∠的正切值；〔3〕如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．〔第25题图1〕 ABCD FE BD F ECA〔第25题图2〕BDFECA〔第25题图3〕金山23. 〔此题总分值12分，每题6分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．〔1〕求证：DF是BF和CF的比例中项；〔2〕在AB上取一点G，假如AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF．金山24. 〔此题总分值12分，每题4分〕y ax bx与y轴相交于点C，与x轴平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线23x，顶点为正半轴相交于点A，OA OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线1P．〔1〕求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；〔2〕抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；〔3〕点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．金山25. 〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题6分〕如图，在△ABC中，45,cos5AB AC B，P是边AB一点，以P为圆心，PB为半径的P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．〔1〕求△ABC的面积；〔2〕设PB =x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；〔3〕假如△APD是直角三角形，求PB的长．青浦23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题8分〕如图8，点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．〔1〕求证：∠CAE＝∠CBD；〔2〕假设BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．AB CDEF图8青浦24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题4分，第〔3〕小题5分〕如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A 〔-1，0〕和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．〔1〕求点C 的坐标〔用含a 的代数式表示〕；〔2〕联结AC 、BC ，假设△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；〔3〕在第〔2〕小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．图9青浦25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题5分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题4分〕 如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点〔点P 不与点A 、点 D 重合〕，点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． 〔1〕当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； 〔2〕设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；〔3〕联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，假设存在，指出这个角，并求出它的度数；假设不存在，请说明理由．图10QP D C BA 备用图A BCD黄浦23、〔此题总分值12分〕如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，BD 是BA 与BE 的比例中项.〔1〕求证：12CDE ABC ∠=∠〔2〕求证：AD CD AB CE ⋅=⋅ ED CBA黄浦24、〔此题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. 〔1〕求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；〔2〕现将此抛物线沿y 方向平移假设干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，假设AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.黄浦25、〔此题总分值14分〕 如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E 〔不与端点A 、D 重合〕.〔1〕当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积； 〔2〕当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；〔3〕设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.PDBA P EDC BA松江23．〔此题总分值12分，每题6分〕四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2=⋅．BD AD BC〔1〕求证：AD∥BC；〔2〕过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2=⋅．CD BE BC松江24．〔此题总分值12分，每题4分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左侧〕，且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． 〔1〕求点A 的坐标和抛物线的表达式； 〔2〕当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；〔3〕记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．松江25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．〔1〕求线段CD的长；〔2〕当点P在CD的延长线上，且∠P AB=45°时，求CP的长；〔3〕记点M为边AB的中点，联结CM、PM，假设△CMP是等腰三角形，求CP的长．闵行23．〔此题共2小题，每题6分，总分值12分〕如图，在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ，DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且∠E =∠C ．〔1〕求证：2AD AF AB =⋅； 〔2〕求证：AD BE DE AB ⋅=⋅．〔第23题图〕ABDCEFG闵行24．〔此题共3题，每题4分，总分值12分〕抛物线23(0)y ax bx a=++≠经过点A〔1-，0〕，B〔3 2且与y轴相交于点C．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕求∠ACB的度数；〔3〕设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．〔第24题图〕闵行25．〔共3小题，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题4分，总分值14分〕如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，CD 是斜边上中线，点E 在边AC 上，点F 在边BC 上，且∠EDA =∠FDB ，联结EF 、DC 交于点G ． 〔1〕当∠EDF =90°时，求AE 的长；〔2〕CE = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； 〔3〕假如△CFG 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．〔备用图〕ABDC〔第25题图〕ABDCEFG浦东23．〔此题总分值12分，其中第〔1〕小题6分，第〔2〕小题6分〕如图，，在锐角△ABC 中，CE ⊥AB 于点E ，点D 在边AC 上， 联结BD 交CE 于点F ，且DF FB FC EF ⋅=⋅. 〔1〕求证：BD ⊥AC ；〔2〕联结AF ，求证：AF BE BC EF ⋅=⋅.A 〔第23题图〕DEFBC浦东24．〔此题总分值12分，每题4分〕抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；〔3〕在〔2〕的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.假设存在，求出点E〔第24题图〕浦东25．〔此题总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题5分〕如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC =2，AC =4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G ． 〔1〕求证：△EFG ∽△AEG ；〔2〕设FG =x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； 〔3〕联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接．．写出FG 的长度．〔第25题备用图〕ABC〔第25题备用图〕ABC虹口23．〔此题总分值12分，第〔1〕题总分值6分，第〔2〕题总分值6分〕如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅．〔1〕求证AD AB AE AC ⋅=⋅；〔2〕当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADEECFS S 的值．虹口24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值4分，第〔2〕小题总分值4分，第〔3〕小题总分值4分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A〔-2,0〕、B〔4,0〕，与y轴交于点C〔0，-4〕，BC与抛物线的对称轴相交于点D．〔1〕求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；〔2〕过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，点F在射线AE上，假设△ADF∽△ABC，求点F的坐标．虹口25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值5分，第〔2〕小题总分值5分，第〔3〕小题总分值4分〕AB=5，AD=4，AD∥BM，3cos5B=〔如图〕，点C、E分别为射线BM上的动点〔点C、E都不与点B重合〕，联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，AFyAC=．〔1〕如图1，当x=4时，求AF的长；〔2〕当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；〔3〕联结BD交AE于点P，假设△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．普陀23. 〔此题总分值12分〕：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，2,AD DC DC DE DB ==⋅．求证：〔1〕BCE ADE ∽；〔2〕··AB BC BD BE =．图9A Bx普陀24．〔此题总分值12分，每题总分值各4分〕如图10，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c +=+〔其中a c 、为常数，且0a <〕与x 轴交于点A ，它的坐标是()3, 0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的间隔 为4．〔1〕求该抛物线的表达式； 〔2〕求CAB ∠的正切值；〔3〕假如点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．普陀25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题总分值3分，第〔1〕小题总分值5分，第〔1〕小题总分值6分〕如图11，BAC ∠的余切值为2，AB =D 是线段AB 上的一动点〔点D 不与点A B 、重合〕，以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E F 、都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧．联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．〔1〕点D 在运动时，以下的线段和角中，______是始终保持不变的量〔填序号〕；①AF ； ②FP ； ③BP ； ④BDG ∠； ⑤GAC ∠； ⑥BPA ∠； 〔2〕设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；〔3〕假如PFG 与AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．备用图图11BPACCE F嘉定23．〔此题总分值12分，每题6分〕如图6，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠.〔1〕求证：BC DE AE CD ⋅=⋅；〔2〕以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF .求证：CA CE AF ⋅=2.图6嘉定24．〔此题总分值12分，每题4分〕在平面直角坐标系xOy 〔如图7〕中，抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B . 〔1〕求该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，假如 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；〔3〕设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .嘉定25．〔总分值14分，第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题各5分〕在正方形ABCD 中，8=AB ，点P 在边CD 上，43tan =∠PBC ，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M ，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．〔1〕如图8，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长； 〔2〕如图9，试探究：MQRM的比值是否随点Q 的运动而发生变化？假设有变化，请说明你的理由；假设没有变化，恳求出它的比值；〔3〕如图10，假设点Q 在线段BP 上，设x PQ =，y RM =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．图8图9图10静安23. 〔此题总分值12分，其中第1小题6分，第2小题6分〕：如图，梯形ABCD 中，//,,DC AB AD BD AD DB =⊥，点E 是腰AD 上一点，作45EBC ∠=，联结CE ，交DB 于点F ． 〔1〕求证：ABE ∽DBC ；〔2〕假如56BC BD =，求BCE BDAS S 的值．静安24. 〔此题总分值12分，第1小题4分，第2小题8分〕在平面直角坐标系xOy中〔如图〕，抛物线25 3y ax bx=+-经过点(1,0)A-、(5,0)B．〔1〕求此抛物线顶点C的坐标；〔2〕联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH BD⊥，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，求HG的长．静安25. 〔此题总分值14分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题4分〕：如图，四边形ABCD 中，090,,,BAD AD DC AB BC AC <∠≤==平分BAD ∠．〔1〕求证：四边形ABCD 是菱形；〔2〕假如点E 在对角线AC 上，联结BE 并延长，交边DC 于点G ，交线段AD 的延长线于点F 〔点F 可与点D 重合〕，AFB ACB ∠=∠，设AB 长度是a 〔a 实常数，且0a >〕，,AC x AF y ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；〔3〕在第〔2〕小题的条件下，当CGE 是等腰三角形时，求AC 的长．〔计算结果用含a 的代数式表示〕长宁23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题6分〕如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． 〔1〕求证：BFD ∆∽CAD ∆； 〔2〕求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．F EDABC第23题图长宁24．〔此题总分值12分，每题4分〕在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．〔1〕求上述抛物线的表达式；〔2〕联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，假如∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；〔3〕过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 假设∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．备用图第24题图长宁25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题5分〕 在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点〔点P 不与点B 、D 重合〕，过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E . 设PD=x ，EF =y ．〔1〕当点A 、P 、F 在一条直线上时，求 ABF 的面积；〔2〕如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； 〔3〕联结PC ，假设∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．备用图 备用图图1DCBA DCBA F EP D CB A 第25题图徐汇23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值5分，第〔2〕小题总分值7分〕如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．〔1〕求证：AE=AF；〔2〕假设DF CFDE AE,求证：四边形EBDF是平行四边形．徐汇24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题总分值3分，第〔2〕小题总分值4分，第〔3〕小题总分值5分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx 〔k ≠0〕沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B 〔3,0〕，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．〔1〕求直线BC 及该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；〔3〕假如点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．徐汇25．〔此题总分值14分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题7分，第〔3〕小题4分〕，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N〔点N在点M的左侧〕．〔1〕当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；〔2〕如图〔1〕，当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；〔3〕假如△DMN是等腰三角形，求BN的长．杨浦23．〔此题总分值12分，第〔1〕小题5分，第〔2〕小题7分〕：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC.〔2〕当EF//DC时，求证：AE=DE.〔第23题图〕杨浦24．〔此题总分值12分，第〔1〕小题3分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题4分〕在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .〔1〕求顶点D 的坐标〔用含m 的代数式表示〕；〔2〕当抛物线过点〔1，-2〕，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和间隔 ；〔3〕当抛物线顶点D 在第二象限时，假如∠ADH =∠AHO ，求m 的值.〔第24题图〕杨浦25．〔此题总分值14分，第〔1〕、〔2〕小题各6分，第〔3〕小题2分〕：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. 〔1〕如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； 〔2〕如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；〔3〕请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.〔备用图〕〔图1〕A B C D NP ME〔图2〕 A B C D N P M E 〔第25题图〕A B CD奉贤23．〔此题总分值 12 分，每题总分值各 6 分〕：如图 8，四边形90ABCD DCB ∠=︒，，对角线 BD ⊥AD ，点 E 是边 AB 的中点， CE 与 BD 相交于点 F ，2·BD AB BC =． （1） 求证：BD 平分∠ABC ；（2） 求证：··BE CF BC EF ＝．奉贤24. 〔此题总分值 12 分，每题总分值各 4 分〕如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线238y x bx c =++与x 轴相交于点(2,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C -，经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为点F ，且13AE EF =． 〔1〕求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； 〔2〕求FAB ∠的余切值；〔3〕点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点 P 是 y 轴上一点，且AFP DAB ∠=∠，求点 P 的坐标．奉贤25．〔此题总分值 14 分，第〔1〕小题总分值 3 分，第〔1〕小题总分值 5 分，第〔1〕小题总分值 6 分〕：如图10，在梯形ABCD 中，//,90,2AB CD D AD CD ∠===，点E 在边AD 上〔不与点A 、D 重合〕，45,CEB EB ∠=与对角线AC 相交于点F ，设DE x =． 〔1〕用含x 的代数式表示线段CF 的长； 〔2〕假如把CAE 的周长记作CAE C，BAF 的周长记作BAF C，设CAE BAFCy C=，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； 〔3〕当ABE ∠的正切值是35时，求AB 的长．宝山23、〔总分值12分，每题各6分〕如图，ABC 中，AB AC =，过点C 作//CF AB 交ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G . 〔1〕求证：AE EGAC CG=； 〔2〕假设AH 平分BAC ∠，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项.宝山24、〔总分值12分，每题各4分〕设,a b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],a b ，对于一个函数，假如它的自变量x 与函数值y 满足：当m x n ≤≤时，有m y n ≤≤，我们就此称此函数是闭区间[],m n 上的“闭函数〞。

闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（测试时间：100分钟，满分：150分）1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次考试不可以使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中，是二次函数的是（A ）223y x x=−−； （B ）22(1)y x x =−−+； （C ）21129y x x =+； （D ）2y ax bx c =++．2．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，B β∠=，AB = 5，那么AC 的长为（A ）5cos β； （B ）5sin β； （C ）5cos β； （D ）5sin β． 3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y a x b x c =++图像经过点O （0，0），那么根据图像，下列判断中正确的是（A ）0a <； （B ）0b >；（C ）0ab >； （D ）0c =．4．以下说法错误的是（A ）如果0k a =，那么0a =；（B ）如果2a b =−，那么2a b =；（C ）如果23a b =（b 为非零向量），那么a //b ； （D ）如果0a 是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0a a a =．5．已知⊙A 与⊙B 的半径分别是6和8，圆心距AB = 2，那么⊙A 与⊙B 的位置关系是（A ）相交； （B ）内切； （C ）外切； （D ）内含．6．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度 （下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身 高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择 一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高 跟鞋最佳？（A ）4cm ； （B ）6cm ； （C ）8cm ；（D ）10cm ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果230a b b =≠（），那么a b= ▲ ． 8．化简：12(3)33a b b −++= ▲ ．9．抛物线23y x x =−−在对称轴的右侧部分是 ▲ 的（填“上升”或“下降”）．10．将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为▲ ．11．已知两个相似三角形的相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长之比为 ▲ ．12．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ，如果25DE BC =， 那么AE EC= ▲ ． 13．在直角坐标平面内有一点A （12，5），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cos θ= ▲ ．14．在港口A 的南偏东52︒方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向是▲ ．15．正六边形的边心距与半径的比值为 ▲ （结果保留根号）．16．如图，在△ABC 中，AB = 2AC ，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠B ， 那么ACD ABCS S ∆∆= ▲ ． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，5AB =，3BC =，点P 在边AC 上，⊙P 的半径为1．如果⊙P 与边BC 和边AB 都没有公共点，那么线段PC 长的取值范围是 ▲ ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 3，1tan 2B =．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 计算：24sin 452cos60cot 30tan 601︒︒−︒+︒−．B PC A ． （第17题图） A B C （第16题图）D B A C （第18题图）A B C E D F （第23题图）AB C D E Ｏ （第21题图） ． 20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为OC 的中点，联结BE 并延长，交边CD 于点F ．设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE = ▲ ；（2）填空：向量BF = ▲ ，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量．(注：本题结果用含向量a b 、的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 长为4，AB AC =，联结CO 并延长，交边AB 于点D ，交AB 于点E ，且E 为AB的中点．求：（1）边BC 的长； （2）⊙O 的半径．22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分） 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅垂高度PQ 为9米．区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30︒；区间测速的终点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60︒（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）．（1）求路段BQ 的长 (结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:23i =时，求电子眼区间测速路段AB 的长 (结果保留根号）．23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，点E 为△ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．（第22题图） P Q A B v （第20题图） A C E D O B F24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A ′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =−++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =−++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c=−+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．联结CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果∠CFE =∠DEC ，求点F 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分） 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：△ADE ∽△CDF ，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG ．当△BGE 与△DEH 相似时，求x 的值．（第25题图）xyO（第24题图）（备用图）闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：1．C ； 2．B ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．C ．二、填空题：7．32（或3︰2）； 8．a b −+； 9．下降； 10．（0，-1）；11．4︰9（或49）； 12．23（或2︰3）； 13．1213； 14．北偏西52︒； 15； 16．14（或1︰4）； 17．713PC <<； 18．3 三、解答题：19．解：原式24122⨯=⨯−…………………………………………………（8分）11)=………………………………………………………（1分）2=………………………………………………………………………（1分）20．解：（1）3344a b −+．（4分） （2）13a b +．（4分）画图及结论正确．…（2分） 21．解：（1）∵CE 过圆心O ，E 为AB 的中点，∴CE 垂直平分弦AB ． ………（1分）∴AC = BC ．……………………………………………………………（1分） ∵AB AC =，∴AB = AC ．……………………………………………（1分） ∴BC = AB ．……………………………………………………………（1分） ∵AB = 4，∴BC =4．……………………………………………………（1分）（2）联结AO ．∵AB = AC ，AC = BC ，∴AB = AC = BC ．∴△ABC 是等边三角形．∴∠ACB =∠BAC = 60°．………………………………………………（1分） 又∵CD ⊥AB ，∴AD = BD = 2，1302ACD ACB ∠=∠=︒．…………（1分） ∵OA = OC ，∴∠OAC =∠OCA = 30°．又∵∠OAC +∠OAD =∠BAC = 60°，∴∠OAD = 30°．……………（1分） 在Rt △ADO 中，∠ADO = 90°，得cos AD OAD AO ∠=．∴2cos cos30AD AO OAD ===∠︒．…………………………………（2分）22．解：（1）过点P 作PM // BQ ．根据题意可知：∠PQB = 90°，∠MP A = 30°，∠MPB = 60°．∵PM // BQ ，∴∠MPB =∠PBQ ．∵∠MPB = 60°，∴∠PBQ = 60°．（1分）在Rt △PQB 中，∠PQB = 90°，得cot BQ PBQ PQ∠=．∵PQ = 9，∴=cot 9cot 60BQ PQ PBQ ⋅∠=⋅︒=2分）∴路段BQ 的长为……………………………………………（1分）（2）过点A 作AH // BQ 交PQ 于H ，过点A 作AG ⊥BQ 交QB 延长线于点G ．………………………………………………………………………… （1分）设AG =x ，则BG =．根据题意可得：∠PHA = 90°，HQ =AG =x ，PH =9– x ，AH =GQ =．∵AH // BQ ，PM // BQ ，∴PM // AH ．∴∠P AH =∠MP A ，∴∠P AH =30°．在Rt △PHA 中，∠PHA = 90°，得cot AH PAH PH∠=，cot AH PH PAH =⋅∠．∴+=cot 30(9)x ︒⋅−，得+)x −．………（2分）解得x =2．………………………………………………………………（1分）∴AG =2，BG =∵AG ⊥BQ ，∴∠AGB = 90°．在Rt △ABG 中，∠AGB = 90°，AG = 2，BG =利用勾股定理，得AB 1分）∴电子眼区间测速路段AB 的长为…………………………（1分）23．证明：（1）∵AF CD BC AD ⋅=⋅，∴AF AD BC CD=．……………………………（1分） ∵CD ⊥BA ，∴∠ADF =∠ADC = 90°．……………………………（1分）在Rt △ADF 与Rt △CDB 中，AF AD BC CD=． ∴Rt △ADF ∽Rt △CDB ．∴∠F =∠B ．……………………………（2分）又∵∠ADF +∠F +∠F AD =180°，∠AEB +∠B +∠BAE =180°，且∠F AD =∠BAE ．∴∠AEB =∠ADF = 90°．∴AE ⊥BC ．…………………………………………………………（2分）（2）∵AE ⊥BC ，BE = CE ，即AE 是BC 的垂直平分线．∴AB = AC ．∴∠B =∠ACB ．………………………………………………………（1分）又∵AE ⊥BC ，∴90AEC ∠=︒，又∵∠ADC = 90°，∴∠AEC =∠ADC∴△AEC ∽△CDB ．…………………………………………………（1分） ∴CE AC BD BC=．………………………………………………………（1分） ∴BC CE BD AC ⋅=⋅．………………………………………………（1分）∵BE = CE ，∴12CE BC =．………………………………………（1分） ∴12BC BC BD AC ⋅=⋅．即22BC BD AC =⋅．……………………（1分） 24．解：（1）抛物线224y x x =−++是回归抛物线． ……………………………（1分）理由如下，当2x =时，将其代入224y x x =−++中，得222244y =−+⨯+=．∴M （2，4）．……………………………………………………………（1分）∴点M 关于坐标原点O 的对称点M ＇的坐标为（-2，-4）．………（1分）当2x =−时，将其代入224y x x =−++中，得4y =−．……………（1分）∴M ＇（-2，-4）在抛物线224y x x =−++上．∴抛物线224y x x =−++是回归抛物线．（2）由22y x x c =−+，得2(1)1y x c =−+−．∴顶点C 的坐标为(1,1)c −．…………………………………………（1分）∴点C 关于坐标原点O 的对称点C ＇的坐标为(1,1)c −−．………（1分）又∵顶点C 为抛物线22y x x c =−+的回归点，∴点C ＇在抛物线22y x x c =−+上，即21(1)2c c −=−++．………（1分）∴1c =−．∴这条抛物线的表达式为221y x x =−−．……………………………（1分）（3）由（2）中顶点C 为抛物线22y x x c =−+的回归点，可知点E 与点C ′重合， 即点E 的坐标为（-1，2）．………………（1分）∵∠CFE =∠DEC ，∠ECD =∠FCE ，∴△CDE ∽△CEF ．∴CD CE CE CF=．……………………………………（1分）又∵CD = 2，CE ==∴ CF = 10．…………………（1分） ∴点F 的坐标为（1，8）．……………………………………………（1分）25．解：（1）在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =∠BCD = 90°，AB = CD ．又∵∠BCD +∠DCF = 180°，∴∠DCF = 90°，∴∠DCF =∠BAD ． ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF = 90°，∴∠EDF =∠ADC = 90°，∴EDF EDH ADC EDH ∠−∠=∠−∠．∴∠ADE =∠CDF ．……………………………………………………（1分）∴△ADE ∽△CDF ．∴AD DE CD DF=．…………………………………（1分） 又∵AD = 1，CD = AB = 2，∴12DE DF =．……………………………（1分）在Rt △DEF 中，∠EDF = 90°，∴1tan 2DE EFD DF ∠==．…………（1分） （2）∵△ADE ∽△CDF ，∴12AE AD CF CD ==．………………………………（1分） ∵AE = x ，∴2CF x =． ………………………………………………（1分） 在矩形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ．由AB // CD ，得CH CF BE BF=． 又∵21BF x =+，2CH y =−，2BE x =−，∴22221y x x x −=−+．…（1分） ∴ y 关于x 的函数解析式为22221x y x +=+．……………………………（1分） 其定义域为02x <<． …………………………………………………（1分）（3）延长BG ，交射线CD 于点P ．由AB // CD ，得∠BEG =∠DHE ． ……………………………………（1分） ∴当△EDH ∽△BEG 时，可以有以下两种情况：① 当∠DEH =∠BGE 时，ED // BG ，又∵AB // CD ，∴四边形BEDP 是平行 四边形．∴2EB DP x ==−，∴PC x =．∵DH y =，∴2222(2)222121x x x HC y x x +−=−=−=++． ∵AB // CD ，∴HC HG AE GE =，HG PG GE GB =，PG PC GB AB =．∴HC PC AE AB=． 即2(2)212x x x x x −+= 02x <<（），解得x =．∴x =．………………………………………………………（2分） ② 当∠DEH =∠GBE 时， ∵EB // DH ，∴∠DEH =∠GBE =∠BPC ．∴tan 2BC BPC PC ∠==． ∴14HC PC AE AB ==． 即2(2)1214x x x x −+= 02x <<（），解得32x =． ∴32x =．………………………………………………………………（2分）综上所述，x =或32x =．。

一：函数解析式问题（2021年宝山25）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ，点D 、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD. （1）求证：DE BE CE ⋅=2；（2）当AC = 3， AD =2 BD 时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F . 设x BCBD=，y FMD =∠tan ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.解：（1）∵Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC = BC ，∠DCE =45∴ ∠B =∠DCE = 45°. 又∵∠BEC =∠CED ,∴△BEC ∽ △CED . ∴ CEDE BECE =,∴DE BE CE ⋅=2.（2）∵∠ACD = 45°+∠ACE =∠BEC ∠B =∠BAC∴△BEC ∽ △ACD .∴ACBE ADBC =.又AC = BC =3 ，∠ACB =90°， ∴23=AB . ∵ AD =2 BD ，∴2=BD ,22=AD . 可得429=BE ，∴425=DE（3）延长BC 交MA 延长线于点G.∵MA ⊥AB ，∠B = 45°， 可得∠G =∠B= ∠DCE.又∵∠MCB =∠B +∠BCD ，∠MCB =∠G +∠GMC ， ∴∠GMC =∠BCD.∴△BCD ∽△GMC .∴CMCDCG BD =，∴CM CG CD BD =. ∵∠B =∠DCM = 45°，∴△BCD ∽△CMD .∵ MF ⊥FC ，∴CF CM 2=. ∴x CFCD CM CD BC BD ===2， ∴x CFCD2=. ∴tan ∠FMD =x CFFD21-=， ）（22021<<-=x x y .（2021年静安25）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且CE //BD ，sin ∠MAN=35，AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE=BC ·BE ； （2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在∠MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．解：（1）∵ CE //BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∠DBA =∠BCE ．∵∠A=∠DBE ，∴ ∠A =∠BEC ．∴ △ABD ∽△ECB ． ∴AD EBAB EC ＝． ∵AD DFAB BC=， ∴EB DFEC BC =，∴ DF ·CE=BC ·BE ．（2）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ． ∵ CE//BD ，∴∠CEB ＝∠EB D ＝∠A ，又∵∠BCE ＝∠ECA ，∴△CEB ∽△CAE . ∴CE CACB CE =，∴2CE =CB CA ⋅，∵AB =5，AC =9，∴BC =4，∴24936CE ==⨯，∴CE =6. ∵BD ABCE AC=，∴561093AB CE BD ==AC ⋅⨯=. （第25题图）（备用图）BC （图1）FABDC E NM在Rt △ABH 中，3sin 535BH AB A =⋅=⨯=，∴ AH4=． DH=．AD=43±. （3）过点B 作BH ⊥AN ，垂足为H ．BH =4，AH =3，DH =4x -．2222224)3825BD =DH +BH x x x =-+=-+（．∵△ECB ∽△ABD ，∴22EBC ADB S BC S BD△△＝． ∵322ABD S AD BH x =⋅△１＝，∴21638252y x x x =-+， ∴224825x y x x =-+．定义域为44x <<．二：相似三角形问题（2021年闵行25）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：△ADE ∽△CDF ，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结BG ．当△BGE 与△DEH 相似时，求x 的值．解：（1）在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =∠BCD = 90°，AB = CD ．又∵∠BCD +∠DCF = 180°，∴∠DCF = 90°，∴∠DCF =∠BAD ． ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF = 90°，（第25题（备用图）∴∠EDF =∠ADC = 90°，∴EDF EDH ADC EDH ∠-∠=∠-∠． ∴∠ADE =∠CDF ．∴△ADE ∽△CDF ．∴AD DECD DF=． 又∵AD = 1，CD = AB = 2，∴12DE DF =． 在Rt △DEF 中，∠EDF = 90°，∴1tan 2DE EFD DF ∠==． （2）∵△ADE ∽△CDF ，∴12AE AD CF CD ==． ∵AE = x ，∴2CF x =．在矩形ABCD 中，AB // CD ，AD = BC ． 由AB // CD ，得CH CFBE BF=． 又∵21BF x =+，2CH y =-，2BE x =-，∴22221y xx x -=-+． ∴ y 关于x 的函数解析式为22221x y x +=+．其定义域为02x <<． （3）延长BG ，交射线CD 于点P ．由AB // CD ，得∠BEG =∠DHE ．∴当△EDH ∽△BEG 时，可以有以下两种情况：① 当∠DEH =∠BGE 时，ED // BG ，又∵AB // CD ，∴四边形BEDP 是平行 四边形．∴2EB DP x ==-，∴PC x =．∵DH y =，∴2222(2)222121x x x HC y x x +-=-=-=++． ∵AB // CD ，∴HC HG AE GE =，HG PG GE GB =，PG PC GB AB =．∴HC PC AE AB=． 即2(2)212x x x x x -+= 02x <<（），解得x =∴x =． ② 当∠DEH =∠GBE 时，∵EB // DH ，∴∠DEH =∠GBE =∠BPC ．∴tan 2BCBPC PC∠==． ∴14HC PC AE AB ==． 即2(2)1214x x x x -+= 02x <<（），解得32x =．∴32x =．综上所述，x =或32x =． （2021年杨浦25）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，∠EDB =∠ADC ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点G ，交射线AC 于点F .（1）如果点D 为边BC 的中点，求∠DAB 的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD =x ，CF =y ， 求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结DF ，如果△CDF 与△AGE 相似，求线段CD 的长.解：（1）过D 作DH AB ⊥，垂足为点H.在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =BC =4，∴AB ==在Rt △BDH 中，∵BD =2，∴BH DH =在Rt △ADH中，AH =1tan 3DH DAB AH ∠==. （2）过A 作AH //DE 交BC 的延长线于H ，垂足为点M.∵EF ⊥AD ，∴∠AFG+∠CAD =90°. ∵∠ACB =90°，∴∠ADC +∠CAD=90°. ∴∠AFG=∠ADC . 又∵∠EDB =∠ADC ，∴∠AFG=∠EDB. ∵AC =BC =4，∴∠BAC=∠B=45°.∴△AEF ∽△BED .备用图AC第25题图 ABCEDG F∴AE AFBE BD=. ∵AH //DE ，∴AE DHBE BD=. ∴AF =DH .∵AH //DE ，∴∠H =∠EDB. 又∵∠EDB =∠ADC ，∴∠H=∠ADC . ∴AD =AH .∵AC ⊥DH ，∴HC =CD . ∵CD=x ，∴HC =x . ∴AF =DH =2x .42y x =-（02x <≤）.（3）i ）当点F 在边AC 上时，∵∠FCD =∠AGE =90°，∴当△CDF 与△AGE 相似时，∠DFC =∠GAE 或∠FDC =∠GAE . 过D 作DH AB ⊥，垂足为点H.在Rt △ADH中，)4tan 4x DH x GAE AH x --∠===+. ①当∠DFC =∠GAE 时，∴tan tan DFC GAE ∠=∠.∴44x xy x-=+.∴8x =-（1分） ②当∠FDC =∠GAE 时，∴tan tan FDC GAE ∠=∠.∴44y xx x-=+.∴4x = . ii ）当点F 在边AC的延长线上时，同理可得CD . 综上所述：如果△CDF 与△AGE 相似，线段CD的长为84-、（2021年松江25）如图，已知在等腰△ABC 中，AB =AC=，tan ∠ABC =2，BF ⊥AC ，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）. （1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG=4，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，联结DF ，如果△DQF 和△ABC 相似， 求线段BD 的长.解：（1）过点A 作AH ⊥B C ，垂足为H ∵AB =AC ，∴BH=HC在Rt △ABH 中，tan ∠ABC ==2AHBH∴cos ∠ABC==5BH AB ，∵AB= ∴BH=5 ∴BC=10（2）过点A 作AM ∥BG 交GD 的延长线于点M ∴AM AF CG FC =，AM ADBG BD=在Rt △BFC 中，cos ∠ACB =cos ∠ACB=，BC=10 ∴FC=∴AF=CG=4，∴AM=6∴614=，∴AD=2D·BAFC（图1）DBA FC（图2）G BAF（备用图）H（图BA DFCM（图GDFCBA（3）∵BF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠BFC=∠DEB=90°，∴∠BQE=∠ACB ∵∠BQE=∠DQF ，∴∠DQF=∠ACB ∵△DQF 和△ABC 相似，∴DQ QF AC BC =或DQ FQBC AC=2DEBE = ∵tan ∠BQE=tan ∠ACB = tan ∠ABC =2，∴2BEQE=,设BE=x ，QE=2x ，则DE=4x ∴，BD=，DQ=3x ∵BF=2CF=QF= （ⅰ）当DQ QF AC BC =10=，解得x=85 ∴BD==5（ⅱ）当DQ FQ BC AC =时，则，310x ，解得x=2011 ∴BD==11综上所述，BD=5或BD=11三：等腰三角形问题（2021年崇明25）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点D 为斜边AB 的中点，ED ⊥AB ，交边BC 于点E ．点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：△ADP ∽△EDQ ；（2）设AP x =，BQ y =．求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ ，交线段ED 于点F ．当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．解：（1）证明：∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠ADP =∠EDQ=90°—∠PDEAD BCPEQ第25题图AD BCP EQ第25题备用图F（图3）BA DFCQ∵∠ACB= 90°，ED ⊥AB ，∴∠A =∠DEQ=90°—∠B∴△ADP ∽△EDQ（2）∵∠ACB= 90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，tan B =34∵点D 为AB 的中点，∴AD = DB= 5 ∴DE =154，BE =254∵△ADP ∽△EDQ ，∴EQ DEAP AD =，即2515445x = ∴32544y x =-+定义域：0≤x ≤253（3）∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠PDE =∠QDB=90°—∠EDQ ∵tan ∠QPD =34DQ DE PD AD ==，∴∠QPD=∠B ∴△ADP ∽△EDQ①当PD=PF 时，BD=BQ∴5y =，即325544x -+=，∴53x =②当FP=FD 时，QD=QB ，∴12BQ BE = ∴258y =，即32525448x -+=，∴256x = ③当DP=DF 时，DQ=DB=DC ，即点Q 在点C 处，∴点P 不在射线AC 上，舍去.综上所述，AP 的长为53或256（2021年虹口25）如图12，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，过点A 作射线AM //BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），联结BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，∠DBE =∠C ． （1）当AD =1时，求FB 的长；（2）设AD =x ，FG =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果△DBH 是等腰三角形，请直接写出AD 的长．∴BC FB=．∴． （2）∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC=5．∵∠BAD =90°，AB =3，AD x =，∴． ∵AD //BC ，∴4FA FD AD x FCFBBC===． ∴可得 204FC x =+，4FB x =+．∵∠DBE =∠C ，∠BFG =∠CFB ， ∴△FBG ∽△FCB ． ∴2FB FG FC =⋅． ∴220(44y x x =⋅++．即2436520x y x +=+（04x <<）．（3）AD 的长为78或32或94．四：圆为背景问题（2021年奉贤25）已知⊙O 的直径AB =4，点P 为弧AB 上一点，联结PA 、PO ，点C 为劣弧AP 上一点（点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA 、PO 于点D 、E . （1）如图10，当cos ∠CBO =87时，求BC 的长；（2）当点C 为劣弧AP 的中点，且△EDP 与△AOP 相似时，求∠ABC 的度数； （3）当AD =2DP ，且△BEO 为直角三角形时，求四边形AOED 的面积.解（1）过点O 作OF ⊥BC ，垂足为点F ∵OF ⊥BC ，∴BF=CF=21BC 在Rt △BOF 中，cos ∠CBO =OBBF，87=2BF ∴BF=47，BC=27（2）联结OC ，设∠B 的大小为x ∵OB=OC ∴∠B=∠C= x ，∴∠AOC= 2x 又∵点C 为劣弧AP 的中点，CO 为半径，OA=OP ∴OC ⊥AP ，∴∠AOC=∠POC= 2x ∴∠A=∠P=90°-2x ，∠PEC= 3x ∵△EDP ∽△AOP ，∠PDE >∠A∴∠PED =∠A ∴3x=90°-2x ，x=18°，即∠ABC=18° （3）过点O 作OG ∥AP 交BC 于点G备用图备用图BO图10P A B C DE OAB O∵OG ∥AP ∴21==AB OB AD OG , PE OEDP OG =∴ AD =2OG 又∵AD =2DP ∴OG = DP ∴OE = PE =1 ∵△BEO 为直角三角形①当∠BOE=90°时，过点D 作DM ∥AB 交PO 于点M∵DM ∥AB ∴PAPDAO DM =，∠PMD =∠POA=90° ∵AD =2DP ，PO = AO=2 ∴DM=32∴S AOED = S △AOP - S △PDE =DM PE OP AO ××21××21-=312-=35②当∠BEO=90°时，联结OD∵OE =1，OB =2，∴∠B =30°，∠BOP=60°，BE =3 ∴∠P =∠A =30°∴∠A =∠B =30°，∴AD =BD ∴OD ⊥AB ，OD =332=3OB ∴S AOED = S △ABD - S △OBE =BE OE OD AB ××21××21-=23334-=365（2021年金山25）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，O A ∠=∠21. 已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，43tan =∠OAC .(1)求弦AC 的长.(2)当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值. (3)当1=OE 时，.BOBOA解（1）作AC OH ⊥垂足为点H ，OH 过圆心， 由垂径定理得：AC CH AH 21==；∵在OAH R ∆t 中43tan ==∠AH OH OAC ，设x AH x OH 4,3==， ∴在OAH R ∆t 中，可得：222OA AH OH =+，由⊙O 的半径为5可得：()()222543=+x x ， 解得：1±=x ，（1-=x 舍去）∴4,3==AH OH , ∴82==AH AC . (2)∵AEC DEO ∠=∠，∴当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：A DOE ∠=∠或者ACD DOE ∠=∠；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.可知：DOE ACD ∠=∠21，∴DOE ACD ∠≠∠∴当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在ACD DOE ∠=∠情况. ∴当DOE ∆与AEC ∆相似时，A DOE ∠=∠， ∴AC OD //，∴AEOEAC OD =； ∵8,5===AC OA OD ，得AE AE -=585,∴1340=AE ；作AC EG ⊥垂足为G ，可得： 90=∠=∠AHO AGE ,∴OH GE //，∴AH AGOH EG AO AE ==即4351340AG EG ==, ∴1324=EG ，1332=AG ，137213328=-=CG ,∴在CEG R ∆t 中，3113721324tan ===∠CG EG DCA .（3）当1=OE 时，AD 的长是52或1452918. 五：定值问题（2021年黄浦25）如图10，四边形ABCD 中，AB =AD =4，CB =CD =3，∠ABC =∠ADC =90°，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且∠MCN =∠BCD ，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q .（1）求sin ∠MCN 的值；（2）当DN =DC 时，求∠CNM 的度数； （3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相应的位置.解：（1）联结AC ，由AB =AD ，CB =CD ，AC =AC ，得△ABC ≌△ADC ，即∠ACB =∠ACD =12∠BCD =∠MCN . 12PQMNP NMDBAQ（图10）于是在△ABC 中，∠ABC=90°，5AC ==，则sin ∠ACB 45AB AC ==，即sin ∠MCN 45=. （2）在△CDN 中，∠CDN =90°，DN =DC ，可得∠DNC =∠DCN =45°.作∠BCS =∠NCD 交边AB 的延长线于点S .又CB =CD ，∠CBS =∠CDN =90°，得△CBS ≌△CDN . 得CS =CN ，∠CSB =∠CND .于是∠MCS =∠MCB +∠BCS =∠MCB +∠DCN =12∠BCD =∠MCN ， 又CM =CM ，所以△MCS ≌△MCN ，得∠CNM =∠MSC =∠CND =45°. （3）不变.易知∠ADB =∠ACD =∠MCN ，由（2）知∠CNM =∠CND ， 得∠CMN =∠DQN =CQP ，又∠MCN =∠PCQ ，得△CNM ∽△CPQ ，则△CSM ∽△CPQ . 设AC 与BD 的交点为H ，易知CH ⊥PQ ，又CB ⊥MS ，所以PQ CHMN CB=. 在△BCH 中，∠BHC =90°，sin ∠HCB 45=，易知cos ∠HCB 35=， 即35PQ CH MN CB ==. 六：线段长度问题（2021年黄浦25）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF.（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如图12，如果12CF BC =，①求证：∠CFE =∠DAE ；图11DD②求线段EF 的长.解：（1）过点F 作FH ⊥AB ，垂足为H .得FH ∥BC ∥AD ，∠BFH =∠CBF ，∠AFH =∠DAE. ∵1tan 2EAD ∠=，3tan 4CBF ∠=，∴1tan 2AFH ∠=，3tan 4BFH ∠=.在Rt △BFH 中，设BH =3k ，由3tan 4BFH ∠=易得FH =4k .在Rt △AFH 中，由FH =4k ，1tan 2AFH ∠=易得AH =2k，AF = 又∵AB =6，∴2k+3k=6，解得65k =.∴125AH =，AF =（2）如图12-1，延长AE 交BC 的延长线于G .易得AD ∥BG ，DAE G ∠=∠,AD DE CGCE=在Rt ADE △中，∵90D ∠=︒，1tan 2EAD ∠=，8AD =，∴tan 4DE AD EAD =⋅∠=，642CE CD DE =-=-=.备用图H图11D图13-1G图12-∴842CG=.解得4CG =又∵1=42CF BC =，∴CG CF =，∴CFG G ∠=∠.∴∠CFE =∠DAE.（3）如图13-1，联结BD 交AE 于P ，类似（1）可求AP =∵AB CD ∥，∴DP AB BP DE =.将6AB =，4DE =代入，得32DP BP =.又∵10BD =，∴4DP DE ==. ∴DPE DEP ∠=∠.又∵180-180-APD DPE CEF DEP ∠=︒∠∠=︒∠，，∴APD CEF ∠=∠ 又∵∠CFE =∠DAE ，∴△CEF ∽△APD . ∴AP DP EF CE=.将AP ==4DP 、=-=2CE CD DE代入，得EF =（2021年浦东25）四边形ABCD 是菱形，∠B ≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF ⊥AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC =3CF ．（1）如图1，当∠B =90°时，求ABE S △与ECF S △的比值； （2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE =∠B 且CF =2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∠B =90°，∴∠C =90°，∠CFE +∠CEF =90°．∵EF ⊥AE ，∴∠AEB +∠CEF =90°．∴∠CFE =∠BEA ． ∴△ABE ∽△ECF ．FDCBA （第25题图3）（第25题图2）FDCBA（第25题图1）FEDCBA∴AB BE EC CF =．∵EC =3CF ．∴3AB ECBE CF==．∴AB =BC =3BE ．∴32AB EC=．∴2239()()24ABE ECFS ABSEC ===，即94ABE ECFS S =．（2）由（1）中结论可知当E 为BC 中点时，∠B 不为90°．分别过点A 、F 作AG ⊥BC 、 FH ⊥BC ，垂足分别为点G 、H ．∴∠AGE =∠EHF =90°． ∵∠AEG =∠EFH ， ∴△AGE ∽△EHF ．∴AG GE EHHF=．设CF =k ，CH =x ．由题意得 CE =BE =3k ，AB =6k ，EH =3k +x ，HF 由△ABG ∽△FCH ，可得66BG AB k CHFCk===．∴BG =6x．∴AG GE =3k -6x3k x+．化简可得 k =5x ．在Rt △ABG 中，cos B =BG AB =6165x x k k ==．即cos B =15．（3）由于∠B =∠AFE ，所以∠B 不为90°．在DC 的延长线上取点P ，使得EP =EC ． ∴∠P =∠ECP =∠D =∠B =∠AFE ．∵∠AFP =∠EFP +∠AFE =∠D +∠FAD ， ∴∠EFP =∠FAD ．∴△EFP ∽△FAD ．∴cos EP PF EF AFE FDDAFA===∠．∵CF =2，EC =3CF ， ∴EC =EP =6．设菱形ABCD 的边长为m ．∴62cos 2PC AFE m m+==∠-．∴4(1)2m PC m +=-．∴cos P =1123(2)PC m EP m +=-． ∵∠AFE =∠P ，∴cos ∠AFE =cos P．∴6123(2)m m m +=--，解得 m =17．经检验m =17是方程的解． ∴菱形ABCD 的边长是17．（2021年普陀25）如图14，矩形ABCD 中，1AB =，，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =． 设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在△ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当∠FGD =∠AFE 时，求线段BE 的长．解：（1）∵矩形ABCD ，∴90BAD B C CDA ∠=∠=∠=∠=︒，3AD BC ==，1CD AB ==． 由90BAD ∠=︒，可得90BAE EAD ∠+∠=︒． 由AE AF ⊥，可得90DAF EAD ∠+∠=︒． ∴BAE DAF ∠=∠．3BC =F图14CBADE G备用图C BAD由90CDA ∠=︒，可得90ADF ∠=︒． ∴B ADF ∠=∠． ∴△ABE ∽△ADF ． ∴AD DFAB BE=． （2）由AD AB 可得3DF x =． 过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足． 可证GH //EC ，∴GH FH FGEC FC FE==． 由:FG GE =在Rt △DGH 中，3cot 61GH xDGH DH x -∠==-． ∵GH //AD ，3cot cot 61xADG DGH x -∠=∠=-． （3）解法一：过点G 作GH DF ⊥，H 为垂足． 同第（2 ∵FGD AFE ∠=∠，∴GD //AF ． ∴FAD ADG ∠=∠．又∵AD //GH ．∴DGH ADG ∠=∠．∴DGH FAD ∠=∠． ∴tan tan DGH FAD ∠=∠．得 12331313x x x -=-，解得 x =． 即 BE =．AB CD GF HEAB CD GF M E解法二：过点G 作GM //AF ． ∵FGD AFE ∠=∠，∴GD //AF ． 证90AEM ∠=︒，可得 BAE CEM ∠=∠． 得1631x xx -=-，解得x =． （2021年徐汇25）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，12=AC ，5=BC ，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC ∆外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当BE AE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH ∆和ABG ∆相似，求ABE ∠sin 的值； （3）当AE AG =时，求CD 的长．解：（1）∵四边形CDEF 是正方形，∴CF EF DE CD ===，︒=∠90DEF ；∵BE AE ⊥，∴DEF AEB ∠=︒=∠90；∴FEG DEG DEG AED ∠+∠=∠+∠；∴FEG AED ∠=∠； 又︒=∠=∠90F ADE ，∴EFB ADE ∆≅∆；∴BF AD =； 设x CD =，则x EF CF ==，x AD -=12； ∴x x +=-512；解得27=x ∴4492==CD S CDEF 正方形． （2）当BEH ∆和ABG ∆相似时，又EBH ABG ∠=∠，所以分两种情况考虑：︒1 ∵︒+∠=∠+∠=∠90BAG ADH BAG BHE ； ∴BAG BHE ∠≠∠；（备用图）BAC（第25题G FE D BAC︒2 当BAG BEH ∠=∠时，∵BC DE //，∴CBG BEH ∠=∠；∴BAG CBG ∠=∠；∴ACBCBAG BC CG CBG =∠==∠tan tan ； ∴1255=CG ；得1225=CG ；∴12119=AG ； 过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．在AMG Rt ∆中，︒=∠90AMG ；1312sin sin sin =∠=∠==∠ABC BGC AG AM AGM ；可得13119=AM ； 在AMB Rt ∆中，︒=∠90AMB ，169119sin ==∠AB AM ABE ； 综合︒1、︒2，如果BEH ∆和ABG ∆相似，ABE ∠sin 的值是169119． （3）同（2），过点A 作BE AM ⊥，垂足为M ．设x CD =．∵EF CD //，∴BF BC EF CG =；即x x CG +=55；解得xxCG +=55； ∴x x AG ++=5760，x x DG +=52；∵AE AG =，∴GE GM 21=；由AGM EGD ∠=∠，︒=∠=∠90AMG EDG ，∴EDG ∆∽AMG ∆； ∴AGGMGE GD =；得AG GD GE ⋅=22；即AG GD DE DG ⋅=+222； 即x x x x x x x ++⋅+⨯=++576052)5(2224； 化简，得095422=--x x ；解得21942±=x （负值舍去） ∴21942+=CD ． （2021年长宁25）已知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A B 、不重合），联结CM ，作90CMF ︒∠=，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ，点G 为线段MF 的中点，联结DG .（1）如图1，如果4AD AM ==，当点E 与点G 重合时，求MFC ∆的面积； （2）如图2，如果2AM =，4BM =，当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD x =，2DG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果6AM =，8CD =，F EDG ∠=∠，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）解：（1） 四边形ABCD 是矩形，90//.A AB CD ∴∠=︒，//.AG MGAB CD GD GF∴=， 4MG FG AD ==，， 2.AG ∴=在Rt AMG ∆中, 24A AG AM ∠︒===90，，， 1tan .2AG AMG AM ∴∠==MG ==2MG FG MF MG =∴==，//AB CD ，F AMG ∴∠=∠， 1tan tan .2F AMG ∴∠=∠= 在Rt CMF ∆中, 90CMF ︒∠=，tan MC MF F ∴==120.2MFC S MC MF ∆∴=⋅⋅=（2）分别过点G 、点M 作GK CF MH CF ⊥⊥，，垂足分别为点K 、点.H 9090GKF MHF MHC ︒∴∠=︒∠=∠=，，四边形ABCD 是矩形，90ADC A MHF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ADHM 是矩形，2DH AM ∴==， MH AD x ==， 同理可得 4.CH BM ==90CMF ∠=︒ 90F MCF ∴∠+∠=︒ 90MHC ∠=︒90MCF CMH ∴∠+∠=︒F CMH ∴∠=∠， FMH CMH ∴∆∆∽，.MH CH FH MH ∴=2.4x FH ∴=GK CF MH CF ⊥⊥，，//GK MH ∴，.FG GK FK FM MH FH∴== ABCDEF(G ) M图1 CDFM 图2第25题图2FM FG =2x GK ∴=，2.8x KH FK ==22.8x DK DH KH ∴=-=-在Rt GKD ∆中,22290GKD GK DK GK ︒∠=∴=+，，2GK y =424644x x y ∴=-+（4x <<）（3）七：取值范围问题（2021年青浦25）在△ABC 中，∠C= 90°，AC =2，BC=D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ=2BP ，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ ⊥AB ；（2）如果点P 在线段BC 上，当△PQD 是直角三角形时，求BP 的长；（3）将△PQD 沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于△ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．解：（1）∵∠C= 90°，AC =2，BC=∴AB4=．∴=BC AB ． ∵BQ=2BP，∴=BQ BP ∴=BQ BC BP AB． DPABCD Q（第25题图）（备用图）又∵∠B =∠B ，∴△BQP ∽△BCA ． ∴∠BQP =∠BCA ．∵∠C= 90°，∴∠BQP =90°． 即PQ ⊥AB ．（2）（i ）当∠PQD =90°时，∵∠PQD < ∠PQA =90°， ∴此种情况不存在． （ii ）当∠QPD =90°时， ∵∠PQB =∠QPD =90°，∴AB ∥PD ，∴=CP CDBP DA． ∵CD =DA ， ∴BP =CP ．∵BC =BP = （iii ）当∠QDP =90°时，过点Q 作QH ⊥AC ，垂足为点H ．设BP =2x ，则BQ x ，PC =2x ，QA =4．∴AH =22-x ，QH =32-x，HD =12-x ．∵∠QDC =∠CDP +90°，∠QDC =∠DQH +90°， ∴∠CDP =∠DQH ． ∴tan ∠CDP =tan ∠DQH ． ∴=CP HD DC QH ．2=x ．解得1x ，2x∴BP ．综上所述，当△PQD 是直角三角形时，线段BP 的长为．（3）33<<BP ．。

静安区2020学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷 2021.1（完成时间：100分钟 满分：150分 ）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3. 答题时需使用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果0a ≠，那么下列计算正确的是（A ）0()0a =-； （B ）01a =--（）； （C ）01a -=； （D ）01a =--．2．下列多项式中，是完全平方式的为 （A ）214x x -+； （B ）21124x x++； （C ）21144x x +-； （D ）21144x x -+． 3．将抛物线3)1(22-+=x y 平移后与抛物线22x y =重合，那么平移的方法可以是 （A ）向右平移1个单位，再向上平移3个单位； （B ）向右平移1个单位，再向下平移3个单位； （C ）向左平移1个单位，再向上平移3个单位； （D ）向左平移1个单位，再向下平移3个单位．4．在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，下列比例式中能判定DE //BC的为 （A ）BC AB DE AD =； （B ）AC AB AD AE =； （C ）AC AB CE BD =； （D ）AC BD AB CE=．5．如果锐角α，那么下列结论中正确的是 （A ）︒=30α； （B ）︒=60α； （C ）︒<<︒4530α； （D ）︒<<︒6045α．6．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α, 那么CD 的长为 （A ）sin tan m αα⋅⋅； （B ）sin cos m αα⋅⋅； （C ）cos tan m αα⋅⋅； （D ）cos cot m αα⋅⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．32的相反数是 ▲ ． 8．函数()f x 的定义域为 ▲ ．92x =-的根为 ▲ ．10．二次函数223y x x =-图像的开口方向是 ▲ ． 11．抛物线236y x =-的顶点坐标为 ▲ ．12．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为 ▲ ．13．在二次函数223y x x =-+图像的上升部分所对应的自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，∠AED =∠B ，如果AD =2，AE =3，CE =1，那么BD 长为 ▲ . 15．在△ABC 中，点G 是重心，∠BGC =90°，BC =8，那么AG 的长为 ▲ .16. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ， 如果AB =12，BC =9，AC =6，四边形BCED 的周长为21，那么 DE 的长为 ▲ ．17．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设a AB =，AD b =，那么AO = ▲ ． （用向量a 、b 的式子表示）18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，2tan 3B =（如图），将 △ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在 点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么CDA'D 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：cot30cos45sin 60tan 45︒-︒︒-︒．（第17题图）（第18题图）BACED（第14题图）B AC ED （第16题图）20．（本题满分10分）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求xy的值．21．（本题满分10分, 其中每小题5分）如图，点A 、B 在第一象限的反比例函数图像上，AB 的延长线与y 轴交于点C ，已知点A 、B 的横坐标分别为6、2，AB =25．（1）求∠ACO 的余弦值； （2）求这个反比例函数的解析式． 22．（本题满分10分）如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC 、CD 共走7米可到出入口，出入口点D 距离地面的高DA 为0. 8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角(角度精确到1' ，其他近似数取四个有效数字).23．（本题满分12分，其中每小题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，2AD AE AC =⋅．求证：（1）△BCD ∽△CDE ；（2）AB ADBCCD =22．BC AOyx（第21题图）（第22题图） D C DABCD CB A E （第23题图）24．（本题满分12分，其中每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线102y x m m =-+>（）与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠ 0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD=AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）已知∠MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，∠EBD =∠MAN ，且 CE //BD ，sin ∠MAN=35，错误!未找到引用源。

2021年上海市静安区中考一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 下列实数中，有理数是A. B. C. D.2. 计算的结果是A. B. C. D.3. 已知点，分别在的边，的反向延长线上，且，如果，，那么边的长是A. B. C. D.4. 如果锐角的度数是，那么下列结论中正确的是A. B. C. D.5. 下列说法错误的是A. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形6. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得抛物线的顶点坐标是A. C. D.二、填空题（共12小题；共60分）的绝对值是．8. 如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是．9. 已知，那么的值是．10. 如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最点．（填“高”或“低”）11. 已知反比例函数的图象上的三点，，，判断，，的大小关系：．（用“”连接）12. 如果抛物线的顶点在轴上，那么常数的值是．13. 如果在点处观察点的仰角为，那么在点处观察点的俯角为．（用含的式子表示）14. 如图，在中，，，点在边上，，那么的长是．15. 在中，，交边，分别于点，，如果与四边形的面积相等，那么的值为．16. 已知线段，点是的黄金分割点，且，那么的长度是．（结果保留根号）17. 如图，在中，中线，相交于点，如果，那么．（用含向量，的式子表示）18. 如图，正方形中，将边绕着点旋转，当点落在边的垂直平分线上的点处时，的度数为．三、解答题（共7小题；共91分）19. 计算：．20. 如图，在中，，，分别是边上的中线和高，，，求，的长．21. 我们将平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：如果将图形绕点顺时针旋转得到图形，那么图形称为图形关于点的“垂直图形”．已知点的坐标为，点的坐标为，关于原点的“垂直图形”记为，点，的对应点分别为点，（1）请写出：点的坐标为；点的坐标为．（2）请求出经过点，，的二次函数解析式．（3）请直接写出经过点，，的抛物线的表达式为．22. 据说，在距今多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设是大金字塔的高．在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶的影子落在地面上的点处．金字塔底部可看作方正形，测得正方形边长长为米，点在正方形的中心，与金字塔底部一边垂直于点．与此同时，直立地面上的一根标杆留下的影子是．射向地面的太阳光线可看作平行线（）．此时测得标杆长为米，影子长为米，长为米．求金字塔的高度及斜坡的坡度（结果均保留四个有效数字）．23. 如图，边长为的正方形中，对角线，相交于点，点，分别在边，上，交线段于点，，交于点．（1）求证：；（2）当等于时，求的值．24. 如图，四边形中，的平分线交边于点，已知，，，且．（1）求证：；（2）如果，求四边形的面积；（3）如图，延长，交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为点．（1）求直线的表达式；（2）求的值；（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且与相似，求点的坐标．答案第一部分1. C2. B3. C4. A5. B6. D第二部分7.8.10. 低11.12.13.14.15.17.18. 或第三部分19.20. 在中，，是边上的中线，，．，，设，，则，，．在中，，是边上的高，即．面积一定，．，，，的长为，的长为．21. （1）；（2）设抛物线解析式为，经过，，代入可得：经过点，，的二次函数解析式为．（3）22. ，，均垂直于地面．，．，．由题意可知：（米），米，米，代入可得，解得（米）．连接，中，．答：金字塔的高度约为米，斜坡的坡度约为．23. （1）正方形中，对角线，相交于点，，，．又，，中，，，即，．（2）正方形的边长为，．，，中，，，．又中，，，．又，．，．24. （1）四边形中，平分，，，，，，又，即，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，过点作，过点作，垂足分别为，，中，，.面积一定，，，梯形的面积．（3），，，，，，，，，，，，，又，，，，定义域：．25. （1）抛物线经过点和点，将点代入得：．又过点，代入得：，，设直线的表达式为；将，代入得，解得：直线的表达式为；（2）顶点为点，．，，，，是直角三角形，即，；（3）设线段的表达式为，，过，，解得线段的表达式为；线段与轴交点的坐标为．由题意可知是钝角三角形，是钝角．点在轴上，且与相似，①当点在点右侧时，，不合题意，舍去；②当点在点左侧，且与点重合时，点；第11页（共11 页） ③当点 在点 左侧，且与点 不重合时，由 与 相似， 可得 ，， 过点 作 轴，垂足为 ，，． ，，， ．综上所述，点的坐标为，．。