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泰勒展开与函数逼近理论在数学领域中，函数逼近理论是一项重要的研究方向。
它涉及到如何用一些简单的函数来逼近复杂的函数，以便更好地理解和分析它们的性质。
而泰勒展开则是函数逼近理论中的一种常用方法，它可以将一个光滑函数在某一点附近用一个多项式来逼近。
本文将介绍泰勒展开的基本原理和应用，并探讨其在函数逼近理论中的重要性。
一、泰勒展开的基本原理泰勒展开是一种将一个函数在某一点附近进行多项式逼近的方法。
它的基本原理是利用函数在该点的导数值来确定各个阶数的多项式系数，从而得到一个多项式函数，该多项式函数在给定点的附近能够很好地逼近原函数。
泰勒展开的公式如下所示：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots\]其中，\(f(x)\)是待逼近的函数，\(a\)是展开点，\(f'(a)\)表示函数在点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在点\(a\)处的二阶导数，以此类推。
展开式中的每一项都是函数在展开点附近的某一阶导数与自变量与展开点之差的幂次方的乘积。
二、泰勒展开的应用1. 近似计算泰勒展开在近似计算中有着广泛的应用。
由于多项式函数的计算相对简单，通过泰勒展开可以将复杂的函数转化为多项式函数进行计算，从而简化计算过程。
例如，在数值计算中，我们常常需要计算一些复杂函数的值，但是直接计算可能会非常耗时，而通过泰勒展开将函数转化为多项式函数后，我们可以只计算多项式的值，从而提高计算效率。
2. 函数逼近函数逼近是泰勒展开的主要应用之一。
通过泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，从而更好地理解和分析该函数的性质。
例如，在物理学中，我们经常需要对一些复杂的物理现象进行建模和分析，而泰勒展开可以将这些现象逼近为多项式函数，从而使得问题的求解更加简单和直观。
魏尔施特拉斯逼近定理魏尔施特拉斯逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）是数学中的一个重要定理，它说明了任意连续函数在闭区间上都可以被多项式函数逼近。
这个定理在数学分析和近似理论中有着广泛的应用和重要意义。
魏尔施特拉斯逼近定理最早由德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出，并且在20世纪得到了进一步的推广和完善。
该定理的表述为：对于任意给定的连续函数f(x)，以及任意小的正实数ε，存在一个多项式函数P(x)，使得在闭区间[a, b]上，对于任意的x∈[a, b]，都有|f(x) - P(x)| < ε成立。
换句话说，魏尔施特拉斯逼近定理保证了在闭区间上的任意连续函数都可以用多项式函数来无限逼近。
这个定理的证明相对复杂，需要运用泰勒级数展开和三角函数等工具，但其基本思想可以用直观的方式来理解。
我们可以想象一个闭区间上的连续函数f(x)如同一条连续的曲线。
魏尔施特拉斯逼近定理告诉我们，无论这条曲线有多么复杂，我们总可以找到一条多项式函数P(x)，使得它在闭区间上与曲线的误差不超过给定的ε。
换句话说，我们可以用一条平滑的多项式函数来近似表示任意连续函数。
这个定理的直接应用之一就是数值计算中的函数逼近问题。
在实际计算中，我们常常需要用简单的函数来近似复杂的函数，例如在数值积分、数值微分和函数插值等问题中。
魏尔施特拉斯逼近定理保证了我们可以用多项式函数来进行逼近，从而简化计算和分析的复杂度。
除了在数值计算中的应用，魏尔施特拉斯逼近定理还有广泛的数学理论和实际应用价值。
它不仅为函数逼近问题提供了一种有效的方法，也为分析学和拓扑学等领域的研究提供了有力的工具。
在实际应用中，例如信号处理、图像处理和数据拟合等领域，魏尔施特拉斯逼近定理也发挥着重要的作用。
魏尔施特拉斯逼近定理是数学中一个重要而有用的定理，它给出了任意连续函数在闭区间上的多项式逼近解决方案。
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
简单函数逼近定理简介简单函数逼近定理是函数逼近领域的一个重要定理，它在数学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
该定理描述了如何使用简单的函数来近似复杂的函数，并给出了一定的条件和方法。
本文将对简单函数逼近定理进行全面、详细、完整和深入的探讨。
定理表述简单函数逼近定理可以表述为：对于一个连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，可以用一组简单的函数（例如多项式函数）来逼近f(x)，即存在一组系数ai，使得对于任意给定的ε>0，存在一个简单函数g(x)，满足以下条件：1.g(x)在闭区间[a,b]上连续；2.|f(x) - g(x)| < ε，对于所有的x∈[a,b]成立。
条件与方法1.选取逼近函数的类型：根据简单函数逼近定理的表述，我们可以选择多项式函数作为空间的一组基函数，也可以选择其他的简单函数作为逼近函数的类型。
多项式函数在实际应用中广泛使用，因为它们具有较好的可计算性和逼近性能。
2.构造逼近函数：根据选取的逼近函数类型，可以通过线性组合的方式构造逼近函数。
即通过调整系数ai，使得逼近函数g(x)能够与原函数f(x)在闭区间[a,b]上尽可能接近。
3.选取逼近误差：在构造逼近函数时，我们需要给定一个逼近误差ε，表示逼近函数与原函数之间的差距。
逼近误差越小，逼近函数与原函数的接近程度就越高。
4.确定逼近函数的收敛性：为了保证逼近函数的收敛性，我们需要对逼近函数的系数ai进行适当的调整。
通过调整系数的方法，可以使得逼近函数在闭区间[a,b]上逐渐接近原函数，即收敛于原函数。
5.选择逼近函数的阶次：逼近函数的阶次决定了逼近函数的复杂度和逼近性能。
一般而言，逼近函数的阶次越高，逼近函数就可以在更多的情况下逼近原函数。
但是，高阶逼近函数也会带来更复杂的计算和更大的计算量。
应用场景简单函数逼近定理在实际应用中有着广泛的应用场景。
下面列举了一些常见的应用场景：1.数据分析与拟合：在数据分析中，我们经常需要对观测数据进行拟合，以找到与观测数据最接近的函数模型。
数学专业文献综述范文文章一：数学专业文献综述——函数逼近理论函数逼近理论是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是利用已知的函数近似地求解未知函数。
本篇文章将从函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近三个方面探讨函数逼近理论的研究进展。
一、函数逼近基础函数逼近基础是函数逼近理论的重要组成部分，主要研究的是通过一定的逼近方法，构造近似函数，从而近似地求得未知函数。
在函数逼近基础领域，研究者主要关注的是逼近过程中的误差估计和收敛性质。
二、线性逼近线性逼近是函数逼近中的一种常见方法，它是指使用一组线性函数去近似未知函数。
在线性逼近领域，研究者主要关注的是基函数的选取和线性组合的系数计算方法。
近年来，深度学习技术的发展使得线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
三、非线性逼近非线性逼近是函数逼近中的另一种常见方法，它是指使用一组非线性函数去近似未知函数。
在非线性逼近领域，研究者主要关注的是选取的非线性函数的充分性和逼近精度等问题。
近年来，机器学习技术的发展使得非线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。
综上所述，函数逼近理论的研究涵盖了函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近等多个方面。
未来，基于机器学习技术的函数逼近方法将得到更加广泛的应用。
文章二：数学专业文献综述——微分几何微分几何是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是空间上的曲面和流形的性质。
本篇文章将从微分流形、黎曼度量和微分流形上的微积分三个方面探讨微分几何的研究进展。
一、微分流形微分流形是微分几何中的关键概念，它是指一个可以被局部地看做与欧几里得空间同构的空间。
在微分流形领域，研究者主要关注的是流形的切空间、切丛和余切丛等基本概念，以及它们的光滑性质。
二、黎曼度量黎曼度量是微分几何中的重要工具，它是指在微分流形上定义的一个内积和长度的概念。
在黎曼度量领域，研究者主要关注的是黎曼度量的充分性和唯一性、范数和距离的定义，以及它们在诸如广义相对论等领域的应用。
函数逼近理论在数据拟合中的应用在当今数字化的时代，数据成为了我们理解和解决各种问题的重要依据。
从科学研究到商业决策，从工程设计到日常生活，我们都在不断地收集和分析数据。
而数据拟合作为处理数据的一种重要手段，其背后的函数逼近理论发挥着至关重要的作用。
首先，让我们来了解一下什么是函数逼近理论。
简单来说，函数逼近理论就是研究如何用一个相对简单的函数去尽可能地接近一个复杂的函数。
这个“接近”的程度可以通过各种度量方式来衡量，比如常见的误差指标。
那么为什么我们需要对函数进行逼近呢？想象一下，我们通过实验或者观测得到了一组数据，这些数据可能呈现出某种潜在的规律，但又不是那么清晰明确。
这时候，如果我们能够找到一个合适的函数来拟合这些数据，就能够更好地理解数据所蕴含的信息，并且可以对未来的数据进行预测。
在数据拟合中，函数逼近理论提供了多种方法和工具。
其中，多项式逼近是一种常见且直观的方法。
多项式函数形式简单，计算方便，而且在一定的区间内可以很好地逼近其他函数。
例如，我们可以用一个二次多项式来拟合一条抛物线形状的数据。
通过确定多项式的系数，使得拟合函数与实际数据之间的误差最小。
除了多项式逼近，还有三角函数逼近、有理函数逼近等方法。
三角函数逼近常用于处理具有周期性特征的数据，比如气温的季节性变化或者电信号的周期波动。
有理函数逼近则在某些情况下能够提供比多项式逼近更高的精度。
函数逼近理论在实际应用中的例子比比皆是。
在物理学中，通过对实验数据的拟合，我们可以得到描述物理现象的数学模型。
比如，通过对物体自由落体运动的时间和位置数据进行拟合，能够得出重力加速度的数值。
在经济学领域，数据拟合可以帮助我们分析市场趋势和预测经济指标。
例如，通过对历史股票价格数据的拟合，可以尝试预测未来股票的走势，为投资决策提供参考。
在工程领域，函数逼近用于设计和优化系统。
比如在航空航天工程中，对飞行器的空气动力学性能数据进行拟合，有助于改进飞行器的外形设计，提高飞行效率和稳定性。
插值法与逼近论
插值法和逼近论都是数学中研究函数逼近和求解近似解的方法。
插值法是一种通过已知的数据点来确定未知函数的方法。
它的主要思想是使用已知数据点之间的函数来拟合未知函数，并在已知数据点上得到相同的函数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
逼近论是研究函数逼近的数学分支。
它的主要目标是通过一系列简单函数来近似复杂函数，从而精确计算或解决一些难题。
逼近论研究的问题包括：在某个函数空间中寻找最佳逼近函数、逼近函数的最优性、逼近函数的收敛性等。
插值法和逼近论之间存在一定的联系和区别。
插值法是在已知数据点上进行插值，通过插值函数来逼近未知函数；而逼近论是通过一系列简单函数来逼近复杂函数，有时并不需要已知的数据点。
插值法更加注重通过已知参数得到未知函数的精确解，而逼近论更注重通过简单函数近似复杂函数来解决实际问题。
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数 n的一切多项式中如何来选择一个与ƒ(x)的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。
所以可以说切比雪夫和外尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者。
20世纪初在一批杰出的数学家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．杰克森、瓦莱－普桑、H.L.勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。
这一理论主要在以下几个方面取得了很大进展：①最佳逼近的定量理论在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值En(ƒ)（借助于代数多项式来逼近，或者对2π周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等）的数列当n→∞时的性态和函数ƒ（x）的构造性质（可微性、光滑性、解析性等等）之间内在联系的理论统称为定量理论。
函数的构造性质与其最佳逼近值之间的深刻联系这一问题，是在50年代由苏联数学家Α.Ф.季曼、Β.К.贾德克解决的。
杰克森、伯恩斯坦等人的工作对逼近论的发展所产生的影响是深远的。
沿着他们开辟的方向继续深入，到20世纪30年代中期出现了J.A.法瓦尔、Α.Η.柯尔莫哥洛夫关于周期可微函数类借助于三角多项式的最佳逼近的精确估计以及借助于傅里叶级数部分和的一致逼近的渐近精确估计的工作。
这两个工作把从杰克森开始的逼近论的定量研究提高到一个新的水平。
从那时起，直到60年代，以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶泽尔等人为代表的很多逼近论学者在定量研究方面继续有许多精深的研究工作。
[2]②逼近论的定性理论切比雪夫发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出了以切比雪夫交错点组著称的特征定理。
最佳逼近多项式是唯一存在的。
最佳逼近多项式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼近论定性研究的基本内容。
匈牙利数学家A.哈尔在1918年首先研究了用广义多项式在[α，b]上对任意连续函数ƒ的最佳逼近多项式的唯一性问题。
在[α，b]上给定n+1个线性无关的连续函数作为逼近函数类，如下式式中α0,α1,…,αn是任意参数。
这样的P(x)称为广义多项式。
在20世纪20～30年代，伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人对满足哈尔条件的函做过很多深入的研究。
它在逼近论、插值论、样条分析、矩量论、数理统计中有着比较广泛的应用。
关于最佳逼近多项式的切比雪夫特征定理也有很多进一步的研究和推广。
其中最重要的一个推广是柯尔莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函数借助于复值广义多项式的一致逼近问题（见复变函数逼近）。
到50～60年代，经过一些学者的努力，抽象逼近的定性理论建立起来。
[2]③线性算子的逼近理论最佳逼近多项式和被逼近函数间的关系除了平方逼近的情形外一般都不是线性关系。
线性关系比较简单，线性算子比较容易构造。
所以在逼近论发展中人们一直非常重视对线性逼近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支──线性算子的逼近理论。
针对特定的函数类、特定的逼近问题设计出构造简便、逼近性能良好的线性逼近方法与研究各种类型的线性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是线性算子逼近理论的中心研究课题。
在这一方面，几十年来取得了十分丰富的成果。
比较著名的经典结果有E.B.沃罗诺夫斯卡娅、G.G.洛伦茨等对经典的伯恩斯坦多项式的研究；柯尔莫哥洛夫、尼科利斯基等对周期可微函数的傅里叶级数部分和的逼近阶的渐近精确估计；40～60年代许多逼近论学者对作为逼近方法的傅里叶级数的线性求和过程逼近性能的研究（包括对傅里叶级数的费耶尔平均、泊松平均、瓦莱·普桑平均等经典的线性平均方法的研究）。
50年代初期科罗夫金深入研究了线性正算子作为逼近方法的特征，开辟了单调算子逼近理论的新方向（见线性正算子逼近）。
40年代中期法瓦尔在概括前人对线性算子逼近的研究成果的基础上，提出了线性算子的饱和性概念做为刻画算子的逼近性能的一个基本概念，开辟了算子饱和理论研究的新方向。
[2]④函数逼近的数值方法从实际应用的角度来看，要解决一个函数的最佳逼近问题，需要构造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。
一般说要精确解决这两个问题十分困难。
这种情况促使人们为寻求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估计而设计出各种数值方法。
一个数值方法中包含着有限个确定的步骤，借助它对每一个函数ƒ可以在它的逼近函数类P(x，α0,α1,…,αn)中求出一个函数作为最佳逼近元的近似解，并且可以估计出误差。
数值方法自然不限于函数的最佳逼近问题。
在插值、求积（计算积分的近似值）、函数的展开理论中也都建立了相应的数值方法。
近20年来由于快速电子计算机的广泛应用，数值逼近理论和方法的研究发展很快，成为计算数学和应用数学的重要分支。
除了以上列举的几个方向外，还发展了插值逼近、借助于非线性集（如有理函数）的逼近、联合逼近、在抽象空间内的逼近等等。
[2]⑤多元函数的逼近多元函数的逼近问题具有很重要的理论和实践意义。
由于在多元函数的逼近问题中包含了很多为单变元情形所没有的新的困难，所以多元函数的逼近论比单变元情形的发展要慢得多和晚得多。
在多元逼近的情形下已经研究得比较充分的一个基本问题是函数借助于三角多项式或指数型整函数的最佳逼近阶和函数（在一定意义下的）光滑性之间的关系。
这一工作主要是由苏联学者尼柯利斯基和他的学生们于50～60年代完成的。
它除了对函数逼近论本身有重要意义之外，还有很多重要应用。
例如，对研究多元函数在低维子流形上的性质，多元函数在一定要求下的开拓问题等都有重要作用。
后一类问题的研究属于泛函分析中的嵌入定理。
近年来，在多元函数的线性算子逼近、插值逼近、样条逼近和用单变元函数的复合近似表示多元函数等方面都有所进展。
函数逼近论已成为函数理论中最活跃的分支之一。
科学技术的蓬勃发展和快速电子计算机的广泛使用给它的发展以强大的刺激。
现代数学的许多分支，包括基础数学中象拓扑、泛函分析、代数这样的抽象学科以及计算数学、数理方程、概率统计、应用数学中的一些分支都和逼近论有着这样那样的联系。
函数逼近论正在从过去基本上属于古典分析的一个分支发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系实际的、带有一定综合特色的分支学科。
[2] 逼近函数类编辑播报给定函数ƒ(x)，用来逼近ƒ(x)的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。
逼近函数类可以有多种选择。
n次代数多项式，亦即一切形如（其中α0,α1,…,αn是实数，k=0，1，…）的函数的集合；n阶三角多项式，亦即一切形如(其中α0,α1,…,αn,b1,b2,…,bn是实数，k=1,2,…）的函数的集合，这些是最常用的逼近函数类。
其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。
在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。
[1]逼近方法编辑播报给定ƒ并且选定了逼近函数类之后，如何在逼近函数类中确定作为ƒ的近似表示函数g的方法是多种多样的。
例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。
所谓插值就是要在逼近函数类中找一个g(x)，使它在一些预先指定的点上和ƒ(x)有相同的值，或者更一般地要求g(x)和ƒ(x)在这些指定点上某阶导数都有相同的值。
利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史。
微积分中著名的泰勒多项式便是一种插值多项式。
此外，在各种逼近问题中，线性算子也是广泛应用的一大类逼近工具。
所谓线性算子是指某种逼近方法l，对于被逼近函数ƒ、g，在逼近函数类中有l(ƒ)、l(g)近似表示它们，并且对于任意实数α、β都有l(αƒ+βg)=αl(ƒ)+βl(g)。
线性算子逼近方法构造方便。
一个典型的例子是2π周期的连续函数ƒ(x)的n 阶傅里叶部分和Sn(ƒ,x)，它定义了一个由2π周期的连续函数集到n阶三角多项式集内的线性算子Sn。
Sn(ƒ,x)可以用来近似表示ƒ(x)。
除了线性算子，在逼近问题中还发展了非线性的逼近方法。
这方面最基本的工作是上世纪中叶由俄国数学家∏.Л.切比雪夫提出的最佳逼近。
1859年切比雪夫结合机械设计问题的研究提出并讨论了下述类型的极值问题：已知[α，b]区间上的连续函数ƒ(x)，P(x,α0,α1,…,αn)是依赖于参数α0,α1,…,αn的初等函数(如多项式，有理分式)，用P(x, α0,α1,…,αn)来近似表示ƒ(x)，如果产生的误差用来衡量，要求选择一组参数使误差最小。
