人教版高中数学总复习[重点题型巩固练习]_空间点线面的位置关系(基础)

8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。

D CBA α ca b c b a //////⇒⎭⎬⎫第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。

推论2：两条平行直线确定一个平面。

推论3：两条相交直线确定一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补4 异面直线：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

高中数学高考总复习----空间点线面的位置关系知识讲解及巩固考点梳理【考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识网络】【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、平面的基本性质的应用（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。

2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。

3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；空间点线面位置关系三个公理、三个推论平面平行直异面直相交直公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直概念垂斜空间直线与平面空间两个平面两个平面平行两个平面相交三垂线定理直线与平面所成的角（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。

4、点共线、线共点、点线共面（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。

（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。

要点诠释：证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

考点二、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类（2）异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.②范围：要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。

【巩固练习】1、教室内有一把尺子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．异面2、设有平面α、β和直线m 、n,则m ∥α的一个充分条件是（ ） A ．α⊥β且m ⊥β B ．α∩β=n 且m ∥n C ．m ∥n 且n ∥α D ．α∥β且m β3、已知两条直线,两个平面．给出下面四个命题： ①,; ②,,; ③,; ④,,．其中正确命题的序号是（ ）A ．①、③B ．②、④C ．①、④D ．②、③ 4、若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是（ ）A ．若,则B ．若,,则C ．若,,则D ．若,,则5、设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是（ ）A ．若与所成的角相等,则B ．若,,则C ．若,则D ．若,,则6、如图,在正四棱柱中,分别是,的中点,则以下结论中不成立的是（ ） A ．与垂直 B ．与垂直 C ．与异面 D ．与异面7、已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（ ）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 8．判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合（ ）ED B D 1（3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面,那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）9．如右图,点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点,则过点E 与直线AB 和11B C 都相交的直线的条数是： 条10．右图是正方体平面展开图,在这个正方体中①BM 与ED 平行;②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成60º角; ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是 。

复习课(一)空间几何体及点、线、面的位置关系空间几何体的三视图、表面积与体积(1)空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合．要充分掌握柱、锥、台、球的结构特征，解题时要注意识别几何体的性质．(2)空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，属低档题．[考点精要]1．三视图的画法规则(1)正、俯视图都反映了物体的长度——“长对正”；(2)正、侧视图都反映了物体的高度——“高平齐”；(3)侧、俯视图都反映了物体的宽度——“宽相等”．2．表面积(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和．(2)旋转体的表面积：①S圆柱＝2πrl＋2πr2；②S圆锥＝πrl＋πr2；③S圆台＝π(R＋r)l＋πr2＋πR2.3．体积(1)柱体：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．(2)锥体：V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)．(3)台体：V台体＝13(S＋SS′＋S′)h.其中S，S′分别表示台体的上、下底面面积．[典例](1)给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②球的直径是连接球面上两点的线段；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．(2)(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π(3)(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.[解析] (1)①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的四面体A -CB 1D 1；②错误，因为球的直径必过球心；③错误，必须是相邻的两个侧面．(2)由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.(3)由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.[答案] (1)① (2)C (3)83π[类题通法](1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．[题组训练]1．下列说法正确的是()A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D．圆台的母线可能平行解析：选C对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面．对于B，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线．对于D，圆台的母线不可能平行．2．某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体的正视图和侧视图的画法正确的是()解析：选A该几何体是由圆柱切割得到的，由俯视图可知正视方向和侧视方向，可进一步画出正视图和侧视图，如图所示，故选A.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积S为________．解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个长方体挖去一个圆柱得到的，所以S＝2×(4×1＋3×1＋4×3)＋2π－2π＝38.答案：38与球有关的问题与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法，属于低档题．[考点精要]球的表面积与体积(1)球的表面积公式S球＝4πR2.(2)球的体积公式V球＝43πR3.[典例](1)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π B．3πC.23π D．2π(2)(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20π D．28π[解析](1)如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，所以AE＝22，EO＝12，所以OA＝32.在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝12BC＝32，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R，则43πR3－18×43πR3＝283π，解得R＝2.因此它的表面积为78×4πR2＋34πR2＝17π.故选A.[答案](1)A(2)A[类题通法]解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的.[题组训练]1.如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A．2 B．1C. 2D.2 2解析：选C连接BC1，B1C，交于点O，则O为面BCC1B1的中心．由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中点，同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝x2，MC1＝x2，OC1＝R＝1(R为球的半径)，所以⎝⎛⎭⎫x22＋⎝⎛⎭⎫x22＝1，即x＝2，即AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为2×1＝2，选C.2．设A，B，C，D是球面上的四点，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝3，AC＝4，AD＝11，则球的表面积为()A．36π B．64πC．100π D．144π解析：选A三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥A-BCD的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R，则2R＝32＋42＋(11)2＝6，故R＝3，∴外接球的表面积S＝4πR2＝36π，故选A.空间点、线、面位置关系的判断与证明空间线、面平行与垂直关系的判断与证明是常考热点，多以空间几何体为载体进行考查．常以选择、解答题形式出现，难度中档．[考点精要]1．判定线线平行的方法(1)利用定义：证明线线共面且无公共点．(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(4)利用面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(5)利用线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.2．判定线面平行的方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)利用面面平行的性质的推广：α∥β，a⊂β⇒a∥α.3．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．(2)利用面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.(4)平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.4．证明直线与平面垂直的方法(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面．符号表示：∀a⊂α，l⊥a⇔l⊥α.(其中“∀”表示“任意的”)(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝P⇒l⊥α.(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l⇒m⊥β.5．证明平面与平面垂直的方法(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直．符号表示：α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB＝90°⇒α⊥β.(2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直．符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.[典例]如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．[解] (1)证明：由已知得DE ⊥AE ，AE ⊥EC . ∵DE ∩EC ＝E ，DE ，EC ⊂平面DCE ， ∴AE ⊥平面CDE .(2)证明：取AB 中点H ，连接GH ，FH ， ∴GH ∥BD ，FH ∥BC ，∵GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴GH ∥平面BCD . 同理：FH ∥平面BCD ， 又GH ∩FH ＝H ， ∴平面FHG ∥平面BCD ， ∵GF ⊂平面FHG ， ∴GF ∥平面BCD .(3)取线段AE 的中点R ，则平面BDR ⊥平面DCB .取线段DC 的中点M ，取线段DB 中点S ，连接MS ，RS ，BR ，DR ，EM . 则MS 綊12BC ，又RE 綊12BC ，∴MS 綊RE ，∴四边形MERS 是平行四边形， ∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点， ∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ， ∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS⊂平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.[类题通法]1．平行、垂直关系的相互转化2．证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求证想判定．(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．[题组训练]1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：选D平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，所以A错；垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，所以B错；平行于同一直线的两平面可以平行也可以相交，所以C错；垂直于同一平面的两条直线一定平行，所以答案选D.2.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)解析：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，∴BC⊥AC.∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC.又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.答案：AF3．(江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.空间角求法度中档以上．主要考查转化思想与空间想象能力．[考点精要]1．异面直线所成角的求法(1)一作：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所成的角，常用直接平移法、中位线平移法和补形平移法；(2)二证：证明作出的角就是所要求的角；(3)三计算：一般通过构造三角形来求角．2．求直线与平面所成角的方法(1)确定点在平面内的射影的位置是解题的关键．只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．(2)求斜线与平面所成角的一般步骤：①寻找(或作出)过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定所求角；③把该角放在三角形中计算．(3)当直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是90°；当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角是0°.3．二面角的平面角的确定(1)用定义法来确定二面角的平面角：在二面角的棱上找一个特殊点，过这个点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角(取“特殊”点，是为了方便计算平面角的大小)．(2)垂面法：过二面角棱上一点，作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面分别相交得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线，可找到二面角的平面角或其补角．此种方法通用于求二面角的所有题目．4．求二面角的大小一作，作二面角的平面角；二证，证明该角是所求二面角的平面角；三计算，解三角形，确定平面角的大小．[典例]如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成的角为30°. (2)如图，作OE ⊥BC 于E ，连接AE .由题知OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)由(1)知OC ⊥平面AOB . 又∵OC ⊂平面AOC ， ∴平面AOB ⊥平面AOC .即平面AOB 与平面AOC 所成的角为90°.[类题通法]求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．但要注意角的范围．[题组训练]1．(浙江高考)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值．解：(1)证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示． 因为平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCFE ，又因为BF ⊂平面BCFE ， 因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .又AC ∩CK ＝C ，所以BF ⊥平面ACFD .(2)过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ .因为BF ⊥平面ACFD ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK .所以∠BQF 是二面角B -AD -F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2， 得AK ＝13，FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34.所以二面角B -AD -F 的平面角的余弦值为34. 2．已知几何体A -BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形．(1)求此几何体的体积V 的大小；(2)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； (3)求二面角A -ED -B 的正弦值．解：(1)由三视图画出几何体A -BCED 的直观图如图所示． ∵AC ⊥平面BCDE ， 则V ＝13·S 四边形BCED ·AC＝13×(2＋4)×4×12×4＝16， ∴几何体的体积V 为16.(2)取EC 的中点是F ，连接BF ，则BF ∥DE ， ∴∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角． 在△BAF 中，AB ＝42，BF ＝AF ＝25， ∴cos ∠ABF ＝105. ∴异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为105. (3)AC ⊥平面BCE ，过C 作CG ⊥DE 交DE 于G ，连接AG .可得DE ⊥平面ACG ， 从而AG ⊥DE ，∴∠AGC 为二面角A -ED -B 的平面角． 在△ACG 中，∠ACG ＝90°，AC ＝4，CG ＝855，∴tan ∠AGC ＝52.∴sin ∠AGC ＝53. ∴二面角A -ED -B 的正弦值为53.1．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：选C 作出三棱锥的示意图如图，在△ABC 中，作AB 边上的高CD ，连接SD .在三棱锥S -ABC 中，SC ⊥底面ABC ，SC ＝1，底面三角形ABC 是等腰三角形，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝2，AD ＝BD＝1，斜高SD ＝5，AC ＝BC ＝ 5.∴S 表＝S △ABC ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △SAB ＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5.2．下列命题中假命题是()A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行解析：选A垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A错误；选A.3．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β.其中真命题是()A．①③B．①②C．③④D．①④解析：选D对于①垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于②不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于③平面α，β可能相交，错误；对于④满足平面α与平面β平行，正确．4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是()解析：选D该三棱锥是由三条交于一点且两两垂直，长度分别为1,2,3的棱构成的．由于不同的放置方式其三视图可为A，B，C中的情况．D选项中侧视图错误，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2π3 B ．π C.4π3D ．2π解析：选A 由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V ＝V 柱－2V 半球＝π×12×2－2×12×4π3×13＝2π3，选A.6.如图，三棱锥V -ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中不一定成立的是( )A ．AC ＝BCB ．VC ⊥VD C ．AB ⊥VCD ．S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO解析：选B 因为VA ＝VB ，AD ＝BD ，所以VD ⊥AB . 因为VO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VO ⊥AB . 又VO ∩VD ＝V ，所以AB ⊥平面VCD . 又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ， 所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD .又AD ＝BD ，所以AC ＝BC (线段垂直平分线的性质)． 因为VO ⊥平面ABC ，所以V V -ABC ＝13S △ABC ·VO . 因为AB ⊥平面VCD ，所以V V -ABC ＝V B -VCD ＋V A -VCD ＝13S △VCD ·BD ＋13S △VCD ·AD ＝13S △VCD ·(BD ＋AD )＝13S △VCD·AB ， 所以13S △ABC ·VO ＝13S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO .综上知，A ，C ，D 正确．7．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出平面ABC ∥平面MNP 的图形序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析：由面面平行的判定定理可得． 答案：①②8．已知四面体A -BCD 的棱都相等，G 为△ABC 的重心，则异面直线AG 与CD 所成角的余弦值为________．解析：设四面体A -BCD 的棱长为a ，延长AG 交BC 于E ，取BD 的中点F ，连接EF ，AF .由题意知E 为BC 的中点，所以CD ∥EF ，所以∠AEF 即异面直线AG 与CD 所成的角．由题意知AE ＝AF ＝32a ，EF ＝12a ，则在△AEF 中，cos ∠AEF ＝12EF AE ＝36.答案：369.如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为________．解析：由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·OV ＝12×3a ×h ＝32×23＝33.答案：3 310.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.证明：(1)取AB的中点M，连接FM，MC.∵F，M分别是BE，BA的中点，∴FM∥EA，FM＝12EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC.∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵CM⊥AE，AB∩AE＝A，∴CM⊥平面EAB，∴CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，∴AF⊥平面EDB.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C-BDB1的体积．解：(1)证明：如图，∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D. ∵B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.(2)VC-BDB1＝VB1-BDC.∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B是三棱锥B1-BDC的高．∵VB1-BDC＝13S△BDC ·BB1＝13×12×2×2×2＝43.∴三棱锥C-BDB1的体积为43.12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．(1)求证：BE∥平面PDF；(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．解：(1)证明：取PD中点为M，连接ME，MF.∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME綊12CD.∵F是AB中点且ABCD是菱形，AB綊CD，∴ME綊12AB.∴ME綊FB.∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF.(2)由(1)得BE∥MF，∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．取AD的中点G，连接BD，BG.- 21 - ∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊥AD ，∴BG ⊥平面PAD ，过F 作FH ∥BG ，交AD 于H ，则FH ⊥平面PAD ，连接MH ，则∠FMH 就是MF 与平面PAD 所成的角．又F 是AB 的中点，∴H 是AG 的中点．连接MG ，又M 是PD 的中点，∴MG 綊12PA . 在Rt △MGH 中，MG ＝12PA ＝12，GH ＝14AD ＝12，∴MH ＝22. 在正三角形ABD 中，BG ＝3，∴FH ＝12BG ＝32. 在Rt △MHF 中，MF ＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＝52 ∴sin ∠FMH ＝FH FM ＝3252＝155， ∴直线BE 与平面PAD 所成角的正弦值为155. 答案：155。

专题47 立体几何之根本--空间点线面的位置关系考纲要求:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关系的简单命题.基础知识回顾:1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类相交(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).②范围：.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.异面直线的判定方法：（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．应用举例:类型一、几何体中点线面的位置关系【例1】【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三数学期中质量检测】如图所示，在正方体中，、分别是棱、的中点，的顶点在棱与棱上运动.有以下四个命题：①平面；②平面平面；③在底面上的射影图形的面积为定值；④在侧面上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是______【答案】②③【例2】【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是__________（将符合题意的选项序号填到横线上）.①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.【答案】①③④【例3】如图，在棱长均相等的正四棱锥最终，为底面正方形的重心，分别为侧棱的中点，有下列结论：①平面；②平面平面；③；④直线与直线所成角的大小为.其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）解析：如图，连接，易得，所以平面，结论①正确.同理，所以平面平面，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，又，所以，结论③正确.由于分别为侧棱的中点，所以，又四边形为正方形，所以，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为，知三角形为等边三角形，所以，故④错误，故答案为①②③ .类型二、点线面位置关系的判定【例4】【2017届内蒙古包头市高三下学期第一次模拟考试】已知直线，平面，满足，且，有下列四个命题: ①对任意直线，有；②存在直线，使且；③对满足的任意平面，有；④存在平面，使.其中正确的命题有__________．(填写所有正确命题的编号)【答案】①②③④【例5】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】已知直线、和平面、，下列命题中假命题的是____________（只填序号）．①若，则平行于经过的任何平面；②若，，则；③若，，且，则；④若，且，则．【答案】①②③④【解析】①错误，因为有可能相交；②错误，两直线位置关系不确定；③错误，因为两直线可以同时平行于两个平面的交线；④错误，因为两直线可以异面.方法、规律归纳:1．点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．3. 用平移法求异面直线所成的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．实战演练:1．【福建省莆田市第二十四中学2018届高三上学期第二次月考】已知是平面的一条斜线，点，为过点的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，A. ，，则m⊥α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A答案的情况不可能出现。

2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β②若m//α，m//β，则α//β③若m//α，n//α，则m//n④若m⊥α.n⊥α，则m//n上述命题中，所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.（5分）直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，下列命题正确的是：A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交3.（5分）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB. 若m//α，α∩β=n，，则m//nC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β4.（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n①m//n，m//α⇒n//α①α//β，m//n，m⊥α，⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α．A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.（5分）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.（5分）若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是()A. 若m⊂α，l∩α=A，且A∉m，则l与m不共面B. 若m，l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥αC. 若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//βD. 若l//α，m//β，α//β，则l//m8.（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l//n，则l//β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α．A. 0B. 1C. 2D. 39.（5分）已知a，b为两条不同直线，α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α，b//α，则a与b共面B. 若a⊥α，α//β，则a⊥βC. 若a⊥α，α⊥β，则a//βD. 若α//b，β//b，则α//β10.（5分）若直线l平行于平面α，则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.（5分）在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面．下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l//α，α//β，则l//βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β12.（5分）直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m//n，则l与n异面；②若l//α，α//β，则l//β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m//α，m//n，则n//α．其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.（5分）作直线a、b和平面α，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组：“a//b”和“a⊥b”；B组：“a、b为异面直线”和“a⊥b”；C组：“a//α或a⊂α”和“a与α相交”．15.（5分）已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m//α且n//α，则m//n；②若m⊥β且m⊥n，则n//β；③若m⊥α且m//β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______．16.（5分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．17.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=1AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC2与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP//平面BEF；(2)求证：GH//平面PAD.19.（12分）用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.（12分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点．判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由．22.（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF。