点线面之间的位置关系基础练习练习题复习.doc

点、直线、平面之间的位置关系1.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.2.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.4．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．5．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.答案1.证明：(1)∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.2. (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.3. 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.4. 因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ， 因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 5. (1)转化为证明GF 平行于平面ABC 内的直线AC ；(2)转化为证明AC 垂直于平面EBC 内的两条相交直线BC 和BE ；(3)几何体ADEBC 是四棱锥C －ABED .[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示． ∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC . 又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴G H ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。

C BAl 3l 2l 1立体几何之点线面之间的位置关系1、公理（1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A 、B ∈a , A 、B ∈α，则（2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P ，则α、β有且只有一条过点P 的公共直线 a（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900练习1、已知直线1l 、2l和3l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线1l、2l和3l 在同一平面上.3、如图所示，O 1是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的上底面的中心，G 是对角线A 1C 和截面B 1D 1A 的交点，求证：O 1、G 、A 三点共线。

4、已知棱长为a 的正方体中，M 、N 分别为CD 、AD 中点。

求证：四边形是梯形。

5、如图，A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心， 求证：//GH BD ．D B6、如图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，,M P 是直线a 上的两点，,N Q 分别是,b c 求证：MN 和PQ7、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则棱A 1B 1所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是立体几何之点线面之间的位置关系（二）直线与平面平行、平面与平面平行1、 直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内2、 直线和平面平行的判定及性质（1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（简述为线线平行线面平行）（2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

点、直线、平面之间的位置关系基础卷姓名：___________班级：___________一、单选题1．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【答案】A【解析】【分析】逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.【详解】 对于命题①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若，，则，命题②正确； 对于命题③，若，，则与相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若，，则或，命题④错误.故选：A.【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．，， B ．，， C ．，， D ．，，【答案】A【解析】【分析】对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【详解】m n αβm α⊥//n αm n ⊥//αβm α⊥m β⊥//m α//n α//m n m α⊥αβ⊥//m β//n αn βa αβ⋂=//a n m α⊥Q a α⊂m a ∴⊥m n ∴⊥//αβm α⊥m β⊥//m α//n αm n m α⊥αβ⊥m β⊂//m βm n αβn αβ=I m α⊂//m β//m n ⇒αβ⊥m αβ=I m n ⊥n β⇒⊥m n ⊥m α⊂n β⊂αβ⇒⊥//m αn ⊂α//m n ⇒对于A ，根据线面平行性质定理即可得A 选项正确；对于B ，当，时，若，，则，但题目中无条件，故B 不一定成立；对于C ，若，，，则与相交或平行，故C 错误；对于D ，若，，则与平行或异面，则D 错误，故选A.【点睛】本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键． 3．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a 、b 、c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c共面；④若直线l 上有一点在平面外，则l 在平面外，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 不一定共面；若直线l 上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l 在平面α外．【详解】在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 不一定共面，如四面体S ﹣ABC 中，SA 与AB 共面，AB 与BC 共面，但SA 与BC 异面，故③错误； 在④中，若直线l 上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l 在平面α外，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．αβ⊥m αβ⋂=n m ⊥n α⊂n β⊥n α⊂m n ⊥m α⊂n β⊂αβ//m αn α⊂m n αα4．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为ABC ． D【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.5．下列命题中为假命题的是A ．垂直于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一平面的两条直线平行C ．平行于同一直线的两条直线平行D ．平行于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】【分析】αα41111ABCD A B C D -11AB D 11111,,AA A B A D 11AB D 1C BD 11AB D 1C BD 226S ==由面面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的性质定理，可判断B ； 由平行公理可判断C ；由线面平行的性质可判断D ．【详解】由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A 正确； 由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B 正确； 由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C 正确；由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空想象能力和推理能力，熟练掌握线面、面面关系是解决本题的关键.6．如图，在单位正方体中，点P 在线段上运动，给出以下四个命题：异面直线与间的距离为定值；三棱锥的体积为定值； 异面直线与直线所成的角为定值；二面角的大小为定值．其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于，而为定值，又P ∈AD 1，AD 1∥平面BDC 1，所以点P 到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值．故②正确．对于③，由题意得在正方体中，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，而C 1P ⊂平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥C 1P ，故这两条异面直线所成的角为．故③正确；对于④，因为二面角P −BC 1−D 的大小，即为平面ABC 1D 1与平面BDC 1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确． 综上①②③④正确．选D ．1111ABCD A B C D -1AD ①1A P 1BC ②1D BPC -③1C P 1CB ④1P BC D --1A P 1BC 11ADD A 11BCC B 11D BPC P DBC V V --=1DBC S ∆1D BPC -1111ABCD A B C D -90︒1P BC D --7．三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心 【答案】C【解析】【分析】先画出图形，过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接，可推出，结合，根据线面垂直定理，得证，同理可证，从而可得出结论．【详解】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.又，平面又平面，同理是三角形的垂心.故选C.【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.8．已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． S ABC -,,SA BC SC AB ⊥⊥S ABC ABC S SO ⊥ABC O AO BC H CO SO BC ⊥SA BC ⊥A BC O ⊥AB CO ⊥S SO ⊥ABC O AO BC HCO SO BC ∴⊥SA BC ⊥SO SA S =I BC ∴⊥SAO AO ⊂SAO BC AO ∴⊥AB CO ⊥O ∴ABC S ABC -O ABC ∆1SC O 2SC=6632【答案】A【解析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=， ∴， ∴高SD=2OO 1=，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =， ∴．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．二、解答题9．如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上异于点P ，，平面ABE 与棱PD 交于点F23=13OO ==34136S ABC V -==三棱锥()C求证：；若，求证：平面平面ABCD ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）推导出AB ∥CD ，从而AB ∥平面PDC ，由此能证明AB ∥EF ．（2）结合（1）可证AB ⊥AF ，AB ⊥平面PAD ，从而得平面PAD ⊥平面ABCD ．证明：（1） 因为四边形ABCD 是矩形，所以AB//CD ． 又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以AB//平面PDC ， 又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE∩平面PDC ＝EF ，所以AB//EF ． （2） 因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ． 因为AF ⊥EF ，（1）中已证AB//EF ，所以AB ⊥AF ， 又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上（异于点C ），所以F 点异于点D ，所以AF∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ， 又AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．()1//AB EF ()2AF EF ⊥PAD ⊥10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求证：平面.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面平面；（3）取中点，连接，证明，则平面.【详解】（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴；（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴.又，，、平面，平面， ∵平面，∴平面平面；（Ⅲ）如图，取中点，连接.P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =E F ADPB PE BC ⊥PAB ⊥PCD //EF PCD PE BC ⊥PE AD ⊥PD ⊥PAB PAB ⊥PCD PC G ,FG DG //EF DG //EF PCD PA PD =E AD PE AD ⊥ABCD //BC AD PE BC ⊥ABCD AB AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD I ABCD AD =AB ÌABCD AB ⊥PAD PD ⊂PAD AB PD ⊥PA PD ⊥PA AB A =I PA AB ÌPAB PD ∴⊥PAB PD ⊂PCD PAB ⊥PCD PC G ,FGGD∵分别为和的中点，∴，且. ∵四边形为矩形，且为的中点，∴， ∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.11．如图，在四棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得平面?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）存在.理由见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（Ⅲ）取PB 中点F ，连结EF ，则，根据线面平行的判定定理证明平面.【详解】（Ⅰ）因为平面，所以．又因为，所以平面．（Ⅱ）因为，，,F G PB PC //FG BC 12FG BC =ABCD E AD 1//,2ED BC DE BC =//ED FG ED FG =EFGD //EF GD EF ⊄PCD GD ⊂PCD //EF PCD ,AB DC DC AC P⊥DC PAC ⊥平面PAB PAC ⊥平面平面//PA C F E F//E PA //PA C ΕF C DC P ⊥DC C ⊥A DC ⊥ΡΑC //DC AB DC C ⊥A所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得平面．证明如下：取PB 中点F ，连结EF ，，．又因为E 为的中点，所以．又因为平面，所以平面．12．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．【答案】（1）见解析；（2）1:1.【解析】试题分析：（1）取的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质得，，再根据线面垂直的判定定理得平面，即得AC ⊥BD ；（2）先由AE ⊥EC ，结合平面几何知识确定，再根据锥C AB ⊥A C P ⊥AB AB ⊥ΡΑC ΡΑΒ⊥ΡΑC //PA C ΕF C E CF AB F//E PA ΡΑ⊄C ΕF //PA C ΕF AC O AC OD ⊥AC OB ⊥AC ⊥OBD 12EO AC =体的体积公式得所求体积之比为1:1.试题解析：（1）取AC 的中点O ，连结DO ，BO . 因为AD =CD ，所以AC ⊥DO .又由于是正三角形，所以AC ⊥BO . 从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . （2）连结EO .由（1）及题设知∠ADC =90°，所以DO =AO . 在中，. 又AB =BD ，所以，故∠DOB =90°. 由题设知为直角三角形，所以. 又是正三角形，且AB =BD ，所以.故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1.【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.ABC △Rt AOB V 222BO AO AB +=222222BO DO BO AO AB BD +=+==AEC V 12EO AC =ABC △12EO BD =1212P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2PA AD ==E PD（1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】分析：（1）要证：平面，需证，为线段的中点，为中点，用综合法书写即可。

点线面的位置关系练习题计算与判断在几何学中，点、线、面是基本的几何概念，它们之间的位置关系是我们学习几何学的基础。

本文将通过一系列的练习题，来帮助我们更好地理解和计算点线面之间的位置关系，并进行判断。

练习题一：点与线的位置关系计算1. 以点A(2, 3)和线段AB为例，线段AB的两个端点分别是A(2, 3)和B(4, 5)。

现在需要计算点A与线段AB的位置关系。

解答：首先，我们可以计算线段AB的斜率k，公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 3) / (4 - 2) = 1。

然后，计算点A到线段AB的垂直距离h，公式为h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |1 * 2 - 3 + 1 * 2 - 3| / √(1^2 + 1^2) = 0。

当垂直距离h等于0时，表示点A在线段AB上。

2. 现在考虑点A(2, 3)与直线y = 2x的位置关系。

解答：首先，直线y = 2x的斜率为2。

然后，计算点A到直线的垂直距离h，h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |2 * 2 - 3 + 2 * 0 - 3| / √(2^2 + 1^2) = 1。

当垂直距离h不等于0时，表示点A不在直线y = 2x上。

练习题二：点与面的位置关系判断3. 现有一个平面P：2x + 3y + 5z = 10和点A(2, 1, 0)，判断点A是否在平面P上。

解答：将点A(2, 1, 0)的坐标代入平面P的方程，判断是否满足2 * 2 +3 * 1 + 5 * 0 =4 + 3 + 0 = 7 ≠ 10。

当点A的坐标代入平面P的方程不满足等式时，表示点A不在平面P上。

4. 考虑平面Q：x + 2y + 3z = 6和点A(1, 2, 0)，判断点A是否在平面Q上。

解答：将点A(1, 2, 0)的坐标代入平面Q的方程，判断是否满足1 +2 * 2 +3 * 0 = 1 +4 + 0 =5 ≠ 6。

点、线、面之间的位置关系练习2一、选择题1．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有（ ） Ａ．2个或3个 Ｂ．4个或3个 Ｃ．1个或3个 Ｄ．1个或4个 D2．直线m n ，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则m 与n 的位置关系是（ ）Ａ．相交 Ｂ．平行 Ｃ．异面 Ｄ．相交或异面 D3．下列四个命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；④如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线一定和此平面垂直． 其中正确命题的个数为（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 B4．对于三条不同的直线a b c ，，和平面α，给出四个命题：①若a c ⊥，b c ⊥，则a b ∥；②若a α∥，b α∥，则a b ∥；③若a α⊥，b α⊥，则a b ∥；④若b α⊂，c α⊂，且a b ⊥，a c ⊥，则a α⊥．其中正确的命题有（ ）Ａ．3个Ｂ．2个 Ｃ．1个 Ｄ．0个C 5．如果直线l m ，和平面αβγ，，满足l βγ=I ，l α∥，m α⊂，且m γ⊥，则必有（ ） Ａ．αγ⊥且l m ⊥Ｂ．αγ⊥且m β∥ Ｃ．m β∥且l m ⊥ Ｄ．αβ∥且αγ⊥A6．在正四面体P ABC -（四个面都是正三角形）中，D E F ，，分别是AB BC CA ，，的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）Ａ．BC ∥平面PDF Ｂ．DF ⊥平面PAEＣ．平面PDE ⊥平面ABC Ｄ．平面PAE ⊥平面ABCC二、填空题7．空间四边形ABCD 中，若1AB BC CD DA BD =====，且AB C D ，，，不在同一平面内，则AC 的取值范围是 ．(08．过Rt ABC △的直角顶点A 作PA ⊥平面ABC ，已知PA a AC bAB c ===，，，则PBC △的面积为 ．22222212a b b c a c ++ 9．如图1，下列四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点，M N P ，，分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）．①③10．空间四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，且长度都是10cm ，则以四边形ABCD 各边中点为顶点的四边形的面积为 ．25cm 211．在一个斜坡上，沿着与坡脚水平线成45o 角的直道上坡，如果行走40米后实际升高102米，则坡面与水平面的夹角的度数为 ．30o12．ABC △中，90ACB ∠=o ，860AB BAC PC =∠=o，，⊥平面4ABC PC M =，，是AB 边上的一个动点，则PM 的最小值为为 ．27三、解答题13．如图2，在三棱锥S ABC -中，已知90ABC SA ∠=o，⊥平面ABC AN SB AM SC ，，⊥⊥，证明：SC ⊥平面AMN ．证明略14．如图3，已知有公共边AB 的两个全等的矩形 ABCD 和ABEF 不在一个平面内，P Q ，分别是对角线AE BD ，上的点，且AP DQ =，求证：PQ ∥平面CBE ．证明略15．如图4，正三棱柱ABC A B C '''-中，底面边长为a D E ，，分别是BB CC ''，上的点，12BD a EC a ==，． （1）求证：平面ADE ⊥平面AA C C ''；（2）求截面ADE △的面积． （1）略；（2）264ADE S a =△．。

一选择题1．α,β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判断α∥β的是（）A α,β都垂直于同一个平面B α平面内又不共线三点到β平面距离相等C l,m是α内的直线，且l∥β,m∥βD l,m是两异面直线且l∥β,m∥β，l∥α,m∥α2．三棱柱ABC-A1B1C1的各个侧棱和底面都垂直，∠BAC=90°点Ｄ１Ｆ１分别为Ａ１Ｂ1，Ａ１Ｃ１中点ＢＣ＝ＣＡ＝ＣＣ１，则ＢＤ１与ＡＦ１所称角的余弦值（）123．如图,α⊥β, α∩β=L,A∈α,B∈β,A,B到L的距离分别是a,b；AB与α, β所成的角分别是θ,φ,在αβ内的射影分别是m,n若a＞b则( )A θ>φ，m>nB θ>φ，m<nC θ<φ，m<nD θ<φ，m>n4． P为△ABC所在平面外一点，且PA,PB,PC两两垂直，PH垂直平面于H，则H为△ABC的( )A重心 B垂心 C内心 D外心5． ABCD-A1B1C1D1为正方体，那么二面角A1-BC1-D1的正切值为( )A 12B26．△ABC,AB=9,AC=15,∠BAC=120°平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=14,7．则P到平面ABC的距离是( ）A 7B 9C 11D 137．如图，正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,PA=AB则PB与AC所成的角是( ) A 90° B 60° C 45° D 30°8三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面的射影为△ABC的中心,则AB1与底面 ABC所成的角的正弦值等于( )A 13B3C3D239．如图，三棱锥A-BCD的棱长都相等，E为AC的中点,F在AD上,且AFAD=12,则△BEF在△ABD面上的射影是( )ABCD10.直线及平面，下列命题正确的是()A.若则B.若则C.若则D.若则11.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中不正确的是( )A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β12.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()二填空题13. 如图，一个正方体的展开图，图中四条线段在原正方体中相互异面的有____________对14. 等腰Rt△ABC的斜边AB在平面内，若AC与该平面成30°角，则Rt△ABC所在平面与该平面所成的锐二面角的大小为____________.15.四棱锥S-ABCDSA=SB=SC=SD,高为2，P,Q两点分别在线段BD,SC和上，则P,Q两点间的最短距离为____________.16. 三棱锥A-BCD中，M,N分别是BC,AD的中点，且AB=8,CD=6,MN=5,则AB和CD所成的角是( )第Ⅱ卷一、选择题（每小题5分，共60分）113、 14、 15、 16、 三 解答题（16，17,18,19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）17.如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA .18.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M,N,P 分别为CC 1,B 1C 1,C 1D 1的中点. 求证：（1）AP ⊥MN; (2)MNP ∥A 1BD.19. PA ⊥矩形ABCD 所在平面，E,F 分别为AB,PD 的中点.(1)求证：AF ⊥平面PCE （2）若二面角P-CD-B 为45°，AD=2,CD=3,求点F 到平面PCE 的距离.20. 如图，AF 是圆O 的直径，AD 与圆所在平面垂直，AD=8,BC 也是圆的直径，AB=AC=6,OE=AD 且OE ∥AD 。

点，线，面的位置关系复习一．知识梳理1、四个公理和等角定理公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

（这是判断直线在平面内的常用方法。

）公理2、经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。

推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，它们有且只有一条过该点的公共直线。

（这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；等角定理：空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补。

2．直线与直线的位置关系： ， ， ；3．异面直线所成角（1）范围：(0,]2πθ∈； （2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移两条异面直线，转化为相交两直线的夹角。

4．直线与平面的位置关系： ， ， ；5．平面和平面的位置关系 ， ；二、单选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．相交直线上的三个点可以确定一个平面B ．空间两两相交的三条直线确定一个平面C ．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D ．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 2．下列命题中正确的个数有（ ）个①不共面的四点中，其中任意三点不共线 ②依次首位相接的四条线段必共面③点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则,,,,A B C D E 共面 ④直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．若直线//l 平面α，直线a α⊂，则（ ）A ．//l aB ．l 与a 异面C ．l 与a 相交D ．l 与a 没有公共点4．若a ，b 是异面直线，则与a ，b 都平行的平面A ．不存在B ．有无穷多个C ．有且仅有一个D ．不一定存在5．三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）A ．１条B ．２条C ．３条D ．1或２条6．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题是真命题的是( )A ．若m ，n 与α所成的角相等，则//m nB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊂，//n α，则//m n7．已知,a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线8．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面9．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上10．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．垂直11．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面12．,,,,,l A B AB l D C C l αβααβ=∈∈=∈∉，则平面ABC 与平面β的交线是（ ）A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC 13．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．12B ．3010C 30D 1514．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥底面，1AB BC AA ==，90ABC ∠=︒，点E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒15．如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE 与AC 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．12C 2D ．34 16．已知在长方体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离是( ) A ． B ． C ． D ．17．当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ） A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题18．给出下列命题：①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段；③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．其中正确命题的序号为________．19．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α； ③若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，则直线a ∥b .20．以下结论中，正确结论的序号为_________.①过平面α外一点P ，有且仅有一条直线与α平行； ②过平面α外一点P ，有且仅有一个平面与α平行； ③过直线l 外一点P ，有且只有一条直线与l 平行； ④过直线l 外一点P ，有且只有一个平面与l 平行； ⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行； ⑥l α，A α∈，过A 与l 平行的直线1l 必在α内.21．已知点,A B 是平面α外的两点,则过点,A B 与α平行的平面有______个22．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．以上四个命题中，正确命题的序号是 _________23．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，有下列四个结论：①1A E DC ⊥；②1A E AC ⊥；③1A E BD ⊥；④11A E BC ⊥.其中正确的结论序号是_______（写出所有正确结论的序号）24．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 成角的大小为_______．三、解答题25．如图，梯形ABDC 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线.26. 如图，已知ABC 的各顶点都在平面α外，且直线AB ，BC ，AC 分别与平面α交于点M ，N ，R ， 求证：M ，N ，R 三点共线.27．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点.求证：（1）1,,,E C D F 四点共面； （2）1,,CE D F DA 三线共点.28．如图，已知平面α平面β=直线a ，直线b α⊂，直线c β⊂，b a A ⋂=，//c a . 求证：b 与c 是异面直线.。

点直线平⾯之间的位置关系练习题含答案直线平置关系强化练⼀、选择题 1 ?已知平⾯外不共线的三点 A, B,C 到的距离都相等，则正确的结论是（ A.平⾯ABC 必平⾏于 C.平⾯ABC 必不垂直于2?给出下列关于互不相同的直线 B. D. l 、m 、 n 平⾯ABC 必与相交存在和平⾯ ABC 的⼀条中位线平⾏于 B Y 的三个命题：或在内 a 、①若l 与m 为异⾯直线,l a ,m ②若 all B ,l a ,m B 则 I ll m; ③若 aQ=B l, BA m, Y Q 菇 n,l ll Y 则 m ll n. 其中真命题的个数为（） B; A.3 B.2 3?如果⼀条直线与⼀个平⾯垂直，那么，称此直线与平⾯构成⼀个“正交线⾯对”。

在⼀个正⽅体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平⾯构成的“正交线⾯对”的个数是（）（A ） 484. 已知⼆⾯⾓ C.1 D.O(B ) 18 ( C ) 24 (D ) 36 l 的⼤⼩为600，m 、n 为异⾯直线，且 m (B ) 600 (C ) 90° (D 1200 ，则m 、n 所成的⾓为（（A ）300 5.如图，点P 在正⽅形ABCD 所在的平⾯外，PD 丄平⾯ABCD,PD = AD,则PA 与BD 所成⾓的度数为 A.30 ° B.45 ° C.60° D.90 ° )7.设m 、n 是两条不同的直线, 是两个不同的平⾯.考查下列命题, 其中正确的命题是 A. m ,n ,m B . // ,m ,n // C. 8 设 A 、B ,m , n // C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ D. m, n m )A. AC 与 BD 共⾯，_则 C.若 AB=AC D&DC AD 与 BC 共⾯ B ?若AC 与 BD 是异⾯直线，贝U AD=BC D . 若 ABAC D&DC 贝U AD BCAD 与 BC 是异⾯直线9.若I 为⼀条直线,为三个互不重合的平⾯，给出下⾯三个命题: :② ll:③ l ll ，l 其中正确的命题有（ .1个 C . 2个 P — ABC 中,E 、F 分别是PA 、 A. 0 个 B 10.如图，在正三棱锥 AB .3个的中点，/ CEF = 90°,若AB = a 则该三棱锥的全⾯积为（） A.』a 2 2B. C. 3a 24 D.6 43 2--------- a 411 .如图，正三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各棱长都为BE 、F 分别为ABAC 的中点，贝U EF 的长是（）(A ) 2(B) 73 (C ) 75 (D ) 7712 ?若P 是平⾯外⼀点，则下列命题正确的是( (A )过P 只能作⼀条直线与平⾯ (C )过P 只能作⼀条直线与平⾯ 13 ?对于任意则 mil 15 .关于直线m 、 n 与平⾯①若 m// ，n // // ③若m ，n// // 其中真命题的序号式( A.①② B .③④ P 可作⽆数条直线与平⾯P 可作⽆数条直线与平⾯ ) 相交平⾏内必有直线m ，使m 与I ( (C )垂直 (B ) (D ) (B )若 m// (D )右 m 、，有下列四个命题: 互为异⾯直线 ( ) ,n // ,则 m// n n 与所成的⾓相等, ，则m// n ;②若m ，则m n ；④若m // ，n ①④ D .②③ 16.给出下列四个命题：①垂直于同⼀直线的两条直线互相平⾏②垂直于同⼀平⾯的两个平⾯互相平⾏③若直线与同⼀平⾯所成的⾓相等，则l 1,l 2互相平⾏④若直线l 1,l 2是异⾯直线，则与 11 ,12都相交的两条直线是异⾯直线其中假命题的个数是( (A ) 1 (B ) 2(C ) 3 (D ) 4 17 .如图平⾯平⾯ ,B ,AB 与两平⾯所成的⾓分别为垂直平⾏m// n，则 m n ;，则 m//n 。

点、线、面的位置关系●知识梳理（一） .平面公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理 2：不共线的三点确定一个平面.．．．推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；异面直线所成的角：（ 1）范围：0 ,90；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.a //b a //②判定定理： a a// ③性质定理： a a // bb I b2.线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：0 ,903.面面平行：①定义：I // ；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：a,b , a I b O ,a // ,b // //判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： a , a // .////③面面平行的性质：（ 1） a //；（2）I a a // baI b（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意 a , 都有 l a ，且 l ，则 l .a,ba Ib O②判定： l l ③性质：（ 1）l , a l a ；（ 2 ）l al ba ,b a // b ；面面斜交①二面角：（ 1）定义：【如图】 OB l ,OA l AOB 是二面角－ l 的平面角范围：AOB [0 ,180 ]②作二面角的平面角的方法：（ 1）定义法；（ 2）三垂线法（常用）；（ 3）垂面法 .面面垂直（ 1）定义：若二面角l的平面角为90 ，则；a（ 2）判定定理：a（ 3）性质：①若a I ABa ，二面角的一个平面角为MON ，则 MON 90 ；②aa AB● 热点例析【例 1】热点一有关线面位置关系的组合判断若 a， b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面， a? α， b? β，α∩β＝ l，则 ( )．A．l 与 a， b 分别相交B． l 与 a， b 都不相交C． l 至多与 a，b 中一条相交D． l 至少与 a， b 中的一条相交解析：假设 l 与 a，b 均不相交，则l∥ a，l∥ b，从而 a∥ b 与 a， b 是异面直线矛盾，故l 至少与 a，b 中的一条相交．选 D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例 2】如图，在四棱台 ABCD－A1 1 1 1 1B C D 中，D D⊥平面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形， AB＝ 2AD，AD＝ A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明： AA1⊥BD；(2)证明： CC1∥平面 A1 BD．(1)方法一：因为D1 D⊥平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD，所以 D1D⊥ BD.又因为 AB＝ 2AD，∠BAD＝60°，在△ ABD 中，由余弦定理得BD2＝ AD2＋ AB2－2AD·ABcos 60 °＝3AD2，所以 AD2＋ BD2＝ AB2.所以 AD⊥ BD.又 AD∩D1D＝D，所以 BD⊥平面 ADD1A1 .又AA1 ? 平面 ADD1 A1，故 AA1⊥ BD.方法二：因为D1D⊥平面 ABCD，且 BD? 平面 ABCD(如图 )，所以 BD⊥ D1D.取 AB 的中点 G，连接 DG(如图 )．在△ ABD 中，由 AB＝ 2AD 得 AG＝ AD.又∠ BAD＝ 60°，所以△ ADG为等边三角形，因此GD＝ GB，故∠ DBG＝∠ GDB.又∠ AGD＝ 60°，所以∠GDB＝30°，故∠ ADB＝∠ ADG＋∠ GDB＝ 60°＋ 30°＝ 90°，所以 BD⊥ AD.又AD∩D1D＝ D，所以 BD⊥平面 ADD1A1.又AA1 ? 平面 ADD1 A1，故 AA1⊥ BD.(2)如图，连接 AC，A1C1.设AC∩BD＝ E，连接 EA1.1因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝2AC.由棱台定义及 AB＝2AD＝ 2A1B1知 A1C1∥ EC且 A1C1＝EC，所以四边形 A1 ECC1为平行四边形．因此 CC1∥EA1.又因为 EA1 ? 平面 A1BD，CC1平面A1BD，所以 CC1∥平面 A1BD.热点三面面平行与垂直的证明【例 3】在直角梯形ABCD中， AD∥ BC， AB⊥BC， AD＝ 2，BC＝ 4， P 为平面 ABCD外一点，且PA ＝PB， PD＝ PC， N 为 CD的中点．(1)求证：平面 PCD⊥平面 ABCD；(2)在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP 若存在，说明理由并确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明：取AB 中点 M ，连接 PM，PN，MN ，则PM⊥ AB， PN⊥ CD.又ABCD为直角梯形， AB⊥ BC，∴ MN ⊥AB.∵ PM∩MN ＝M ，∴ AB⊥平面 PMN.又PN? 平面 PMN，∴ AB⊥PN.∵AB 与 CD相交，∴ PN⊥平面 ABCD.又 PN? 平面PCD，∴平面PCD⊥平面 ABCD.1 1(2) 解：假设存在．在PC， PB 上分别取点E， F，使 BF＝4BP， CE＝4CP，连接 EF， MF， NE，3则 EF∥ BC 且可求得EF＝4BC＝ 3.∵MN ＝3 且 MN ∥ BC，∴ EF∥ MN 且 EF＝ MN .∴四边形 MNEF 为平行四边形，∴ EN∥ FM.又∵ FM? 平面 PAB，1∴在线段PC上存在一点 E 使得 NE∥平面 ABP，此时 CE＝4PC.热点四折叠问题例 4 如 图 所 示 ， 在 直 角 梯 形 ABCP 中 ，PPA DFPPFEBGECHFEADEOBG C DA BDCG CGFOKBAAP1AP 2PCD PDG EF 1 1 EF GOEOEO2D EFCD GOCD22EF1CD GE 1PB CDEF1AB EGEF E, PB AB B,PA // DA, DC , DP2 22P 0,0,2 , C 0,2,0 , G 1,2,0 , E 0,1,1 , F 0,0,1 , A2,00 . D xyzAP2,0,2 , EF0, 1,0 , EG1,1, 1 nx, y, zn EF 0y 0x z.n EG0 x y z 0y 0 n1,0,1 n AP 12 0 0 1 2 0, nAP APADDC PDAD PD PD CD DADDA DA2,0,0 n 1,0,1cos DA, nDA n 2 22 .DA n22G EFD 450. PABCD PA ABCD6 PAD ABCD PADAC, BD O PA ABCD6 322 2PFO PAD ABCDPFO tan PFOPO 3PFO3PAD ABCD3 EO //1PDFO2EOD PDO PDOD 2PO25EO5 AO BD AO PO AOPBD AOEO24AOE tan AEOAO 2 10 2 10 FO BC G PG H PG EH ,GHPABCD F AD G BC EO55BCPG BCFG BC 面 PFG PBC 面 PFG PFPGPFO 3 PFG FHPGFH 面 PBC HE // FK HE FK HEKF KE // FH KE 面 PBC m, n , , mn / / m n / // /mmm/ /n / /m / /n//a,b,ca 2b 2c 2 1 a 2 b 2 c 22 a 2 b 2 c 23 a 2 b 2 c 2 A BCDAC222BCD , BDDC , BD DC , AC a, ABC300CABD5 a 15 a 3 a 15 a5553ABCD A 1B 1C 1D 1 E A 1C 1CE AC BD A 1 D A 1D 1 P ABC PH H ABC ABCD AC 2 1A CDB 1 1 3 2 S ABC a E, F SC AB EF SA 900 600 450 300 A, B 4cm 6cm AB M2 3 3 3600 12 2 6 P ABC AB 4, PA 8A PB, PC D E ADE1C(1)求证：BE＝B1E；(2)若 AA1＝ A1B1，求平面 A1EC与平面 A1B1C1所成二面角的大小．3如图，在四棱锥 P－ ABCD 中， PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， PD＝DC＝ 4， AD＝2， E 为 PC 的中点．(1)求证： AD⊥ PC；(2)求三棱锥 A－ PDE 的体积；(3)在 AC 上是否存在一点 M，使得 PA∥平面 EDM 若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1． A ③若 m/ / ， n / / ，则 m / / n ，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系④若，，则// ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2． C 设同一顶点的三条棱分别为x, y, z ，则x2 y2 a2 , y2 z2 b2 , x2 z2 c2得 x2 y2 z2 1 (a2 b2 c2 ) ，则对角线长为 1 ( a2 b2 c2 ) 2 a2 b2 c22 2 23． B 作等积变换 V A BCD V C ABD4． B BD 垂直于 CE 在平面 ABCD 上的射影5． C BC PA BC AH6． C 取 AC 的中点 E ，取 CD 的中点 F ，EF 1, BE2, BF3cos EF 3 2 2 2 BF 37． C 取 SB 的中点 G ，则 GE GF a，在△ SFC 中，EF2a ，EFG 4502 2二、填空题1. 5cm或1cm 分 A, B 在平面的同侧和异侧两种情况2. 48 每个表面有 4 个，共 6 4 个；每个对角面有 4 个，共 6 4 个3.900垂直时最大4.60 度5. 11沿着PA将正三棱锥P ABC 侧面展开，则A, D , E, A'共线，且 AA' // BC三、解答题：略1．证明： (1)连接 BD，MO .在平行四边形ABCD中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点．又 M 为 PD 的中点，所以 PB ∥ MO.因为 PB 平面 ACM ， MO? 平面 ACM ，所以 PB ∥平面 ACM.(2) 因为 ∠ADC ＝ 45°，且 AD ＝ AC ＝ 1， 所以 ∠ DAC ＝ 90°，即 AD ⊥ AC.又 PO ⊥平面 ABCD ， AD? 平面 ABCD ，所以 PO ⊥ AD. 而 AC ∩PO ＝O ，所以 AD ⊥平面 PAC.2[解析 ] (1)取 A 1C 1 中点 F ，作 EG ⊥ 面 AC 1 于 G ，B 1F ∥ EG? B 1EGF 为平行四边形 ? FG ⊥ A 1C 1? G 为 A 1C 之中点．B 1E ∥ 面 AC 1? BE ∥ FG从而 E 为 BB 1 之中点． ∴BE ＝B 1E.(2) 由 (1)知 G 为矩形 ACC 1A 1 的中心， 过 G 作直线平行于 A 1 C 1，交 AA 1 于点 P ，交 CC 1 于 Q 点，连结 EP ，EQ ，则平面 A B C ∥ 平面 PEQ ，即求平面 AEC 与平面 PEQ 所成的角，11 1∵ 交线为 EG ， ∴其平面角为 ∠ A 1GP ，因 AA 1＝ A 1 B 1，则 ACC 1A 1 为正方形，则 ∠ A 1GP ＝ 45°.3． (1) 证明：因为 PD ⊥平面 ABCD ，所以 PD ⊥ AD ． 又因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD ⊥ CD ． 因为 PD ∩CD ＝ D ，所以 AD ⊥ 平面 PCD ． 又因为 PC? 平面 PCD ，所以 AD ⊥ PC ．(2) 解： 由(1)知 AD ⊥ 平面 PCD ，所以 AD 是三棱锥 A － PDE 的高．因为 E 为 PC 的中点，且 PD ＝ DC ＝ 4，所以 S △PDE1△ PDC 1 1＝ 2S ＝ 2×2× 4×4＝4.1 1 8 又 AD ＝ 2，所以 V A －PDE ＝ AD ·S △PDE ＝ × 2×4＝ .3 33(3) 解： 取 AC 的中点 M ，连接 EM ， DM ，因为 E 为 PC的中点， M 是 AC 的中点，所以 EM∥ PA．又因为 EM? 平面 DEM， PA?平面 EDM，所以 PA∥平面 DEM.1 1AD2＋ DC2＝122＋ 42＝ 5，此时 AM ＝ AC＝2 22即在 AC 上存在一点M，使得 PA∥平面 EDM，且 AM 的长为 5.。

点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习1、 平面L =⋂βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =⋂，过A 、B 、C 三点确定的平面记作γ，则γβ⋂是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．空间四边形5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为6、下列命题正确的是（ ）A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C ． 若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ）A ．必相交B ．有可能平行C ．相交或平行D ．相交或在平面内10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．任意一条直线不相交D ．无数条直线不相交11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．相交B ．α//bC ．α⊂bD ．α//b 或α⊂b12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．α⊂bC ．b 与平面α相交D ．以上都有可能13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定14、已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面15、平面⋂α平面a =β，平面⋂β平面b =γ，平面⋂γ平面c =α，若b a //，则c 与b a ,的位置关系是（ ）A ．c 与b a ,异面B ．c 与b a ,相交C ．c 至少与b a ,中的一条相交D ．c 与b a ,都平行16、b a ,是异面直线，则过a 且与b 平行的平面有____个17、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，求异面直线1BD 和11C B 所成的角的余弦值18、已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //面EFG19、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点，求证：1BD ∥面AEC20、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为BC 、11D C 的中点，求证：EF//平面11B BDD21、已知在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点，求证：平面//BDF 平面E D B 1122、过正方体1111D C B A ABCD -的棱1BB 作一平面交平面11C CDD 于1EE ，求证：1BB //1EE23、如图，四边形ABCD 是矩形，∉P 面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ， 交DP 于F ，求证：四边形BCFE 是梯形点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案1、C2、C3、34、B5、正方形6、D7、①8、D （提示：当α⊂L 时，就为 0个）9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、1 17、33 18、提示：连结MD 交GF 于H ，则点H 为MD 的中点19、提示：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，则EO//1BD ，又⊂EO 面AEC ， 故1BD //面AEC20、提示：取11D B 的中点为1O ，连接11,BO FO ，则BE FO //1且BE FO =1，则 四边形1BEFB 是平行四边形，故EF BO //121、提示：11//D B BD ，取1BB 的中点H ，连接EH ，H C 1，有EH D C EH D C =1111,// 所以四边形11D EHC 是平行四边形，所以E D H C 11//，又BF H C //1， 所以BF E D //122、分析：因为1BB //⊄11,BB CC 面11C CDD ，所以1BB //面11C CDD23、分析：因为AD BC //，所以BC//面ADP ，所以BC//EF ，所以EF//AD ，但EF 的长度 小于AD 的长度，而AD BC =，所以EF 的长度小于BC 的长度。

点线面位置关系知识点总结【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

（线线平行→线面平行）②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行→线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行）③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

最新整理//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。

（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。

（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b最新整理//a b ② 判定定理:a b a cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P PA A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。

●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

［基础训练A组］一、选择题1.下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，贝U这两条育线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条育线平行。

⑶两条宜线都和第三条肓线垂貞，则这两条肓线平行。

⑷一条肓线和一个平面内无数条肓线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其屮正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32.下面列举的图形一定是平面图形的是（）A.有一个角是肓角的四边形B.有两个角是育角的四边形C.有三个角是肓角的四边形D.有四个角是肓角的四边形3.垂直于同一条直线的两条直线一定（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能4.如右图所示，正三棱锥V-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中,D,E,F分别是VC9VA9AC的中点,P为VB上任意一点,则直线DE与PF所成的角的大小是（）A. 30°B. 90°C. 60°D.随P点的变化而变化。

C5.互不重合的三个平面最多可以把空问分成（）个部分A. 4B. 5C. 7D. 86.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A.B.C.D四点为顶点的三梭锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A. 90 B. 60 C. 45 D・ 30二、填空题1.已知。

,方是两条异面貞线，ell a,那么c、与方的位置关系________________ 。

2.直线/与平面a所成角为30°，/ D a = A,加u a, A E m ,则加与/所成角的取值范围是3.棱长为1的正四面体内有一点P,由点P向各血引垂线，垂线段长度分别为£,〃6,仏'〃4，贝U £ +乩+心+ £的值为_________ o4.直二面角a — I— 0的棱/上有一点A,在平面a,0内各有一条射线AB ,AC 与/成45°, ABua、ACu/3,则ABAC =_____________________ 。