点线面位置关系练习题

点、线、面的位置关系●知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

公理2：不共线．．．的三点确定一个平面.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。

范围：[]0,90θ∈︒︒3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。

高一数学点线面的位置关系试题1.在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为。

（1）证明：直线∥平面;（2）求棱的长;（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）4 （3）【解析】（1）根据长方体的性质推断出平面平面平面．进而根据线面平行的判定定理推断出∥平面．设，进而根据几何体的体积关系求得棱柱的体积，进而利用体积公式求得．（3）在平面中作交于，过作交于点，根据线面垂直的性质推断出，进而根据，推断出，利用线面垂直的性质证明出．通过∽.利用比例关系求得，最后利用平方关系求得．试题解析：（1）∵是长方体，∴平面平面．∵平面，平面，∴平面．（2）解：设，∵几何体的体积为，∴，即，即，解得．∴的长为4．（3）在平面中作交于，过作交于点，则．因为，而，又，且．∽.为直角梯形，且高.【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．2.在正方体ABCD—A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线异面的有__________条【答案】.【解析】如图可知：与直线异面的面对角线总共有，.，，，，，∴总共有条【考点】空间中直线与直线的位置关系.3.教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 ()．A．平行B．异面C．垂直D．相交但不垂直【答案】C【解析】由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直；若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直；综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直，故选B．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．4.以下四个命题中，正确的有几个（）①直线a，b与平面a所成角相等，则a∥b；②两直线a∥b，直线a∥平面a，则必有b∥平面a；③一直线与平面的一斜线在平面a内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④两点A，B与平面a的距离相等，则直线AB∥平面aA0个 B1个 C2个 D3个【答案】A【解析】本题考查点线面位置关系①直线a，b与平面a所成角相等，则a∥b或相交或异面三种情况②两直线a∥b，直线a∥平面a，则b∥平面a或；③不正确,必须是平面内的一条直线与平面的一斜线在平面a内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④两点A，B与平面a的距离相等，则直线AB∥平面a或AB与相交.【考点】点线面位置关系5.已知不同直线、和不同平面、，给出下列命题：①②③异面④其中错误的命题有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①，正确；②，当时不成立，故②错误；③异面，，故③错误；④，有可能，故④错误【考点】直线与平面（平行）垂直的判定和性质定理，平面与平面（平行）垂直的判定和性质定理6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）通过借助中间量——直线，易得，，可得直线，从而证得平面；（2）通过证明平面，即可征得平面平面．试题解析：（1）连结．在长方体中，对角线，又∵、为棱、的中点，∴，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）在长方体中，平面，而平面，∴．又在正方形中，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．【考点】1.直线与平面平行的证明；2.面面垂直的证明．7.正方体-中，与平面ABCD所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为平面所以与平面所成角为求线面角关键找垂线，找出垂线就能在直角三角形中研究线面角大小.另外需熟悉正方体中面对角线与体对角线量的关系.【考点】直线与平面所成角.8.下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①若直线a不在α内，则a∥α或a与α相交，故此命题错误；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或a与α相交，故此命题错误；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线平行或异面，故此命题错误；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，正确；⑤平行于同一平面的两直线可以相交，正确．故选B【考点】本题考查了空间中的线面关系点评：熟练运用线面平行的概念、判定及性质是解决此类问题的关键，属基础题9.如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且∥，则下列结论中不正确的是（）A．∥B．四边形是矩形C．是棱台D．是棱柱【答案】C【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、D正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选C．【考点】长方体的几何特征，直线与平面平行、垂直的判定与性质。

点线面之间的位置关系练习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习1、 平面L =⋂βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =⋂，过A 、B 、C 三点确定的平面记作γ，则γβ⋂是（ ）A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上都不对2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．空间四边形5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ，且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为6、下列命题正确的是（ ）A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C ．若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ）A ．必相交B ．有可能平行C ．相交或平行D ．相交或在平面内10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．任意一条直线不相交D ．无数条直线不相交11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．相交B ．α//bC ．α⊂bD ．α//b 或α⊂b12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．α⊂bC ．b 与平面α相交D ．以上都有可能13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定14、已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面15、平面⋂α平面a =β，平面⋂β平面b =γ，平面⋂γ平面c =α，若b a //，则c 与b a ,的位置关系是（ ）A ．c 与b a ,异面B ．c 与b a ,相交C ．c 至少与b a ,中的一条相交D ．c 与b a ,都平行16、b a ,是异面直线，则过a 且与b 平行的平面有____个17、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，求异面直线1BD 和11C B 所成的角的余弦值18、已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //面EFG19、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点，求证：1BD ∥面AEC20、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为BC 、11D C 的中点，求证：EF//平面11B BDD21、已知在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点，求证：平面//BDF 平面E D B 1122、过正方体1111D C B A ABCD -的棱1BB 作一平面交平面11C CDD 于1EE ，求证：1BB //1EE23、如图，四边形ABCD是矩形，P面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F，求证：四边形BCFE点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案1、C2、C3、34、B5、正方形6、D7、①8、D （提示：当α⊂L 时，就为0个） 9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、1 17、33 18、提示：连结MD 交GF 于H ，则点H 为MD 的中点19、提示：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，则EO//1BD ，又⊂EO 面AEC ， 故1BD //面AEC20、提示：取11D B 的中点为1O ，连接11,BO FO ，则BE FO //1且BE FO =1，则 四边形1BEFB 是平行四边形，故EF BO //121、提示：11//D B BD ，取1BB 的中点H ，连接EH ，H C 1，有EH D C EH D C =1111,// 所以四边形11D EHC 是平行四边形，所以E D H C 11//，又BF H C //1， 所以BF E D //122、分析：因为1BB //⊄11,BB CC 面11C CDD ，所以1BB //面11C CDD23、分析：因为AD BC //，所以BC//面ADP ，所以BC//EF ，所以EF//AD ，但EF 的长度小于AD 的长度，而AD BC =，所以EF 的长度小于BC 的长度。

第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。

点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：α⊂b 或A b =α ；（2）由图（2）可知：α//b 或α⊂b ．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ∆的中位线，∴OQ PC //．∵PC 在平面BDQ 外，∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论．分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论．解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面；（2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α⊄b ．求证：α//b ．证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β．设c =βα ，∵α//a ，∴c a //．又∵b a //，∴c b //．∵α⊄b ，α⊂c ，∴α//b ．说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：（1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长；（2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．由已知，得SAB ∆≌CAB ∆．∴CF SF =，E 是SC 的中点，∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段．在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=． ∴22SE SF EF -=a a a 22414322=-． （2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角．连结FG ，在EFG Rt ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=． 由余弦定理，得 22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠a a a a a EF EG GF EF EG GEF ． ∴45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为 45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线α//a ，α∈B ，b B ∈，a b //．求证：α⊂b ．分析：由于过点B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面α外，不存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．证明：如图所示，设α⊄b ，过直线a 和点B 作平面β，且'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ．这样过B 点就有两条直线b 和'b 同时平行于直线a ，与平行公理矛盾．∴b 必在α内．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据．(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．如上图，过直线a 及点B 作平面β，设'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ． 这样，'b 与b 都是过B 点平行于a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， ∴b 与'b 重合．∵α⊂'b ，∴α⊂b ．典型例题七例7 下列命题正确的个数是（ ）．(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；(2)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；(3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线平行；(4)若直线l 在平面α外，则α//l ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线l 上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所在点都不在平面α内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l 虽与α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内，所以直线l 不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当α//l 时，若α⊂m 且l m //，则在平面α内，除了与m 平行的直线以外的每一条直线与l 都是异面直线．(4)直线l 在平面α外，应包括两种情况：α//l 和l 与α相交，所以l 与α不一定平行．故选A ．说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l 、m 都平行于α，则l 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线m l //、α//l ，则m 与α的位置关系可能是平行，可能是m 在α内．典型例题八例8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线b a //，P a =α平面 ．求证：直线b 与平面α相交．分析：利用b a //转化为平面问题来解决，由b a //可确定一辅助平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用． 解：∵b a //，∴a 和b 可确定平面β．∵P a =α ，∴平面α和平面β相交于过点P 的直线l ．∵在平面β内l 与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交，∴l 必定与直线b 也相交，不妨设Q l b = ，又因为b 不在平面α内（若b 在平面α内，则α和β都过相交直线b 和l ，因此α与β重合，a 在α内，和已知矛盾）．所以直线b 和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．典型例题九例9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知：a 与b 是异面直线．求证：过b 且与a 平行的平面有且只有一个．分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线b 存在一个平面α，且α//a ，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论． 证明：(1)在直线b 上任取一点A ，由点A 和直线a 可确定平面β．在平面β内过点A 作直线'a ，使a a //'，则'a 和b 为两相交直线， 所以过'a 和b 可确定一平面α．∵α⊂b ，a 与b 为异面直线，∴α⊄a ．又∵'//a a ，α⊂'a ， ∴α//a ．故经过b 存在一个平面α与a 平行．(2)如果平面γ也是经过b 且与a 平行的另一个平面，由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b 和'a 的． 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合，即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a 和b ，过b 存在一平面α且与a 平行，同样过a 也存在一平面β且与b 平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线a 和b 的距离，也可转化为直线a 到平面α的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法．典型例题十例10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：l =βα ，α//a ，β//a ，求证：l a //．分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a 与l 平行．证明：在平面α内取点P ，使l P ∉，过P 和直线a 作平面γ交α于b ．∵α//a ，γ⊂a ，b =αγ ，∴b a //．同理过a 作平面δ交β于c ．∵β//a ，δ⊂a ，c =βδ ，∴c a //．∴c b //．∵β⊄b ，β⊂c ，∴β//b ．又∵α⊂b ，l =βα ，∴l b //．又∵b a //，∴l a //．另证：如图，在直线l 上取点M ，过M 点和直线a 作平面和α相交于直线1l ，和β相交于直线2l ．∵α//a ，∴1//l a ，∵β//a ，∴2//l a ，但过一点只能作一条直线与另一直线平行．∴直线1l 和2l 重合．又∵α⊂1l ，β⊂2l ，∴直线1l 、2l 都重合于直线l ，∴l a //．说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．典型例题十一例11 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各取一点P 、Q ，且DQ AP =．求证：//PQ 面BCE ．分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE 中如何找一直线与PQ 平行．可考察过PQ 的平面与平面BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF 内过P 作AB PM //交BE 于M ，在平面ABCD 内过Q 作AB QN //交BC 于N ，连结MN ．∵AB PM //，∴AE PE AB PM =． 又∵CD AB QN ////，∴BD BQ DC QN =，即BD BQ AB QN =．∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =．∵DQ AP =，∴BQ PE =．∴QN PM =．又∵AB PM //，AB QN //，∴QN PM //．∴四边形PQNM 为平行四边形．∴MN PQ //．又∵⊂MN 面BCE ，∴//PQ 面BCE ．证明二：如图，连结AQ 并延长交BC 于S ，连结ES ．∵AD BS //，∴QB DQ QS AQ =． 又∵正方形ABEF 与正方形ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =，∵DQ AP =，∴QB PE =．∴QS AQ QBDQ PE AP ==． ∴ES PQ //，又∵⊂ES 面BEC ，∴//PQ 面BEC ．说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点．已知：a =βα ，b =γβ ，c =αγ ．求证：a 、b 、c 互相平行或相交于一点．分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵a =βα ，b =γβ ，∴β⊂b a 、．∴a 与b 平行或相交．①若b a //，如图∵γ⊂b ，γ⊄a ，∴γ//a ．又∵c =αγ ，α⊂a ，∴c a //．∴c b a ////．②若a 与b 相交，如图，设O b a = ，∴a O ∈，b O ∈．又∵βα =a ，γβ =b ．∴α∈O ，γ∈O又∵c =γα ，∴c O ∈．∴直线a 、b 、c 交于同一点O ．说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD 中， M 、N 分别是1CC 、11B A 的中点，画出点D 、M 、N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ∆的BC 边上的高，DF 是BCD ∆的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ∆所在平面α．∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DF E E A DF αααAE 和DF 是异面直线． 证法二：（反证法）若AE 和DF 不是异面直线，则AE 和DF 共面，设过AE 、DF 的平面为β．(1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相矛盾．(2)若E 、F 不重合，∵EF B ∈，EF C ∈，β⊂EF ，∴β⊂BC ．∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾．综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14 已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：平面EFG 和AC 平行，也和BD 平行．分析：欲证明AC //平面EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC 平行平面EFG 内的一条直线，由图可知，只须证明EF AC //．证明：如图，连结AE 、EG 、EF 、GF ．在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．∴EF AC //．于是AC //平面EFG ．同理可证，BD //平面EFG ．说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理．典型例题十五例15 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：ACD PQ 平面//．分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ 与平面ACD 中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD ，如图．证明：取BC 的中点E ．∵P 是ABC ∆的重心，连结AE ，则1∶3=PE AE∶，连结DE ， ∵Q 为BCD ∆的重心，∴1∶3=QE DE∶， ∴在AED ∆中，AD PQ //．又ACD AD 平面⊂，ACD PQ 平面⊄，∴ACD PQ 平面//．说明：(1)本例中构造直线AD 与PQ 平行，是充分借助于题目的条件：P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，借助于比例的性质证明AD PQ //，该种方法经常使用，望注意把握．(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题具体情况要熟练运用．典型例题十六例16 正方体1111D C B A ABCD -中，E 、G 分别是BC 、11D C 的中点如下图．求证：D D BB EG 11//平面．分析：要证明D D BB EG 11//平面，根据线面平等的判定定理，需要在平面D D BB 11内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．证明：取BD 的中点F ，连结EF 、F D 1．∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，则DC EF //，且CD EF 21=．∵G 为11D C 的中点，∴CD G D //1且CD G D 211=，∴G D EF 1//且G D EF 1=，∴四边形G EFD 1为平行四边形，∴EG F D //1，而111B BDD F D 平面⊂，11B BDD EG 平面⊄，∴11//B BDD EG 平面．典型例题十七例17 如果直线α平面//a ，那么直线a 与平面α内的（ ）．A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A 、B ．对于C ，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，∴C 也不正确，应排除C ．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确．∴应选D ．说明：本题主要考查直线与平面平行的定义．典型例题十八例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）．A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面解：如图中的甲图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系．综上，可知应选D ．说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力．典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）．A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 都平行D ．过a 可以并且只可以作一平面与b 平行解：A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与α平行了．B 错，若点与a 所确定的平面与b 平等时，就不能作一条直线与a ，b 相交．C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有b a //，这与a ，b 异面矛盾．D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点做直线b c //，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是惟一的．∴应选Ｄ．说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念．典型例题二十例20 (1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________．(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 解：(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α内时，α⊂b ．∴应填：α//b 或α⊂b ．(2)因为过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，（分别称'a ，'b ）经过'a ，'b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a 或b 时，这个平面就不满足条件了．∴应填：1．说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键．典型例题二十一例21 如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，a D C B ∈,,，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若4=BD ，4=CF ，5=AF ，则EG =___________．解：∵α//a ，ABD EG 平面 α=．∴EG a //，即EG BD //， ∴FC AF AF BD EG CD BC FG EF AC AF CD FG BC EF +==++===．则9204545=+⨯=+⋅=FC AF BD AF EG ．∴应填：920．说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．二，面面平行的性质与判定典型例题一例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ．求证：平面//11D AB 平面BD C 1．证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，∴B C A D 11//，又 ⊂B C 1平面BD C 1，故 //1A D 平面BD C 1．同理 //11B D 平面BD C 1．又 1111D B D A D = ，∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．典型例题二例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．求证：α⊂a ．证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγ ，b =γβ ．∵βα//∴b a //1又β//a∴b a //在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行∴a 与1a 重合，即α⊂a ．说明：本题也可以用反证法进行证明．典型例题三例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．已知：如图，βα//，A l =α ．求证：l 与β相交．证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ． ∴γ与α、β都相交．设a =αγ ，b =γβ ．∵βα//∴b a //又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ．∵l 与b 相交．所以l 与β相交．典型例题四例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证： α//EF ，β//EF ．证明：连接AF 并延长交β于G ．∵F CD AG =∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγ ，DG =βγ ．∵βα//，所以 DG AC //，∴ GDF ACF ∠=∠，又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =，∴ △ACF ≌△DFG ．∴ FG AF =．又 BE AE =，∴ BG EF //，β⊂BG ．故 β//EF ．同理α//EF说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．典型例题六例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．求证：四边形1111D C B A 是平行四边形．证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD∴11//DD AA不妨设1AA 和1DD 确定平面β．同理1BB 和1CC 确定平面γ．又11//BB AA ，且γ⊂1BB∴γ//1AA同理γ//AD又A AD AA = 1∴γβ//又11D A =βα ，11C B =γα∴1111//C B D A ．同理1111//D C B A ．∴四边形1111D C B A 是平行四边形．典型例题七例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．典型例题八例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ = ，N b MN = ，∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．典型例题九例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ；(2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ．∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //．∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN = ，∴平面β//PMN ．∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ．(2)分别连结MC 、MD ．∵b BD AC ==，a BM AM 21==，又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ，∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =，∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．典型例题十例10 如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可． 证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β． ∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//． 所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知： m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．典型例题十二例12 已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ∆上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．证法1：连结CG 交DE 于点H ，∵DE 是ABC ∆的中位线，∴AB DE //．在ACG ∆中，D 是AC 的中点，且AG DH //，∴H 为CG 的中点．∵FH 是SCG ∆的中位线，∴SG FH //．又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴//SG 平面DEF ．分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出． 证法2：∵EF 为SBC ∆的中位线，∴SB EF //．∵⊄EF 平面SAB ，⊂SB 平面SAB ，∴//EF 平面SAB ．同理：//DF 平面SAB ，F DF EF = ，∴平面SAB //平面DEF ，又∵⊂SG 平面SAB ，∴//SG 平面DEF ．典型例题十三例13 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9=PA ，12=AB ，12=BQ ，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．分析：求BDE ∆的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．解：∵平面AF QAF =α ，平面BE QAF =β ，又∵βα//，∴BE AF //．同理可证：BD AC //，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即EBD FAC ∠=∠sin sin ．由BE FA //，得212412∶∶∶∶===QA QB AF BE， ∴AF BE 21=由AC BD //，得：73219∶∶∶∶===PB PA BD AC ，∴AC BD 37=． 又∵ACF ∆的面积为72，即72sin 21=∠⋅⋅FAC AC AF ． ∴EBD BD BE S DBE ∠⋅⋅=∆sin 21FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 372121 FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 2167847267=⨯=．∴BDE ∆的面积为84平方单位．说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．典型例题十四例14 在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和b 是两条异面直线，则过a 且平行于b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和C B 1找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．解：如图，根据正方体的性质，易证：1111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面⇒⎭⎬⎫连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB。

点线面之间位置关系填空题训练30题1．一个平面把空间分成_________部分，两个平面把空间最多分成_________部分，三个平面把空间最多分成_________部分．2．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是_________．3．正方体各面所在的平面将空间分成 _________部分．4．过两条直线中的一条，可以作 _________个平面平行于另一条直线．5．用立体几何中的符号表示“点A在直线m上，m在平面α内”是_________．6．平面α、β相交，α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 _________个平面．7．给出以下五种图形：①两条线段组成的折线；②三条线段组成的折线；③三条线段组成的封闭图形；④对边相等的四边形；⑤梯形．其中是平面图形的有 _________．（将序号填入横线上）8．三条直线两两平行，则此三条直线可确定_________个平面．9．垂直于同一个平面的两条直线平行．_________（填写对号或错号）．10．如果直线a平行于直线b，则a平行于经过b的任何平面．_________（填写对号或错号）．11．以下四个命题中，正确命题的个数是 _________．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．12．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为 _________．13．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角_________．14．（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为_________．15．（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN 所成的角的大小是_________．16．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切是_____17．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B和DC1所成角的大小为_________．19．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_________对．20．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM所成的角为60°；④DM⊥BN．其中正确命题的序号是___21．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与CC1之间的距离是_________．22．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是_________．23．若直线a不平行于平面α，则下列结论不成立的是 _________．①α内的所有直线均与直线a异面；②α内不存在与a平行的直线；③直线a与平面α有公共点；④α内的直线均与a相交．24．如图所示，空间中有两个正方形ABCD和ADEF，设M、N分别是BD和AE的中点，那么以下四个命题中正确的个数是_________．①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是异面直线．25．（2014•浙江三模）已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系中正确的序号是_________．①平面PAB⊥平面PBC ②平面PAB⊥平面PAD ③平面PAB⊥平面PCD．26．下列命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题为_________．27．已知α⊥γ，α⊥β，则γ与β的位置关系为_________．28．过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直．29．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为_________．30．已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是_________．（把你认为正确命题的序号都填上）点线面之间位置关系填空题训练30题参考答案与试题解析1．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E12．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l；111111所成角的大小为60°．111111所成的角的大小是90°．===0，所以⊥，即16．如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切是，B的有3对．①BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM所成的角为60°；④DM⊥BN．其中正确命题的序号是③④．．在棱长为1的正方体ABCD﹣A．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是根据题意可得当点D与点23．若直线a不平行于平面α，则下列结论不成立的是 ①②④．①α内的所有直线均与直线a异面；②α内不存在与a平行的直线；③直线a与平面α有公共点；确的个数是3．①AD⊥MN，②MN∥面CDE，③MN∥CE，④MN、CE是异面直线．正确的序号是①②．①平面PAB⊥平面PBC ②平面PAB⊥平面PAD③平面PAB⊥平面PCD．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．。

点线面位置关系典型例题一，直线与平面平行的判定与性质典型例题一例1 简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？分析：（1）由图（1）可知：α⊂b 或A b =α ；（2）由图（2）可知：α//b 或α⊂b ．说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ∆的中位线，∴OQ PC //．∵PC 在平面BDQ 外，∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．典型例题三例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论．分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论．解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面；（2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面．说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．典型例题四例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线b a //，//a 平面α，α⊄b ．求证：α//b ．证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β．设c =βα ，∵α//a ，∴c a //．又∵b a //，∴c b //．∵α⊄b ，α⊂c ，∴α//b ．说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：（1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长；（2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．由已知，得SAB ∆≌CAB ∆．∴CF SF =，E 是SC 的中点，∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段．在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=． ∴22SE SF EF -= a a a 22414322=-．（2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角．连结FG ，在EFG Rt ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=． 由余弦定理，得 22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠a a a a a EF EG GF EF EG GEF ． ∴45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为 45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．已知：直线α//a ，α∈B ，b B ∈，a b //．求证：α⊂b ．分析：由于过点B 与a 平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面α外，不存在过B 与a 平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．证明：如图所示，设α⊄b ，过直线a 和点B 作平面β，且'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ．这样过B 点就有两条直线b 和'b 同时平行于直线a ，与平行公理矛盾．∴b 必在α内．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据．(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．如上图，过直线a 及点B 作平面β，设'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ． 这样，'b 与b 都是过B 点平行于a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，∴b 与'b 重合．∵α⊂'b ，∴α⊂b ．典型例题七例7 下列命题正确的个数是（ ）．(1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；(2)若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；(3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线平行；(4)若直线l 在平面α外，则α//l ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线l 上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所在点都不在平面α内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l 虽与α内无数条直线平行，但l 有可能在平面α内，所以直线l 不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当α//l 时，若α⊂m 且l m //，则在平面α内，除了与m 平行的直线以外的每一条直线与l 都是异面直线．(4)直线l 在平面α外，应包括两种情况：α//l 和l 与α相交，所以l 与α不一定平行．故选A ．说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l 、m 都平行于α，则l 与m 的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线m l //、α//l ，则m 与α的位置关系可能是平行，可能是m 在α内．典型例题八例8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交． 已知：直线b a //，P a =α平面 ．求证：直线b 与平面α相交．分析：利用b a //转化为平面问题来解决，由b a //可确定一辅助平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用． 解：∵b a //，∴a 和b 可确定平面β．∵P a =α ，∴平面α和平面β相交于过点P 的直线l ．∵在平面β内l 与两条平行直线a 、b 中一条直线a 相交，∴l 必定与直线b 也相交，不妨设Q l b = ，又因为b 不在平面α内（若b 在平面α内，则α和β都过相交直线b 和l ，因此α与β重合，a 在α内，和已知矛盾）．所以直线b 和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．典型例题九例9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知：a 与b 是异面直线．求证：过b 且与a 平行的平面有且只有一个．分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线b 存在一个平面α，且α//a ，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论． 证明：(1)在直线b 上任取一点A ，由点A 和直线a 可确定平面β．在平面β内过点A 作直线'a ，使a a //'，则'a 和b 为两相交直线， 所以过'a 和b 可确定一平面α．∵α⊂b ，a 与b 为异面直线，∴α⊄a ．又∵'//a a ，α⊂'a ， ∴α//a ．故经过b 存在一个平面α与a 平行．(2)如果平面γ也是经过b 且与a 平行的另一个平面，由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b 和'a 的． 由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合，即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a 和b ，过b 存在一平面α且与a 平行，同样过a 也存在一平面β且与b 平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线a 和b 的距离，也可转化为直线a 到平面α的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法．典型例题十例10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 已知：l =βα ，α//a ，β//a ，求证：l a //．分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a 与l 平行．证明：在平面α内取点P ，使l P ∉，过P 和直线a 作平面γ交α于b ．∵α//a ，γ⊂a ，b =αγ ，∴b a //．同理过a 作平面δ交β于c ．∵β//a ，δ⊂a ，c =βδ ，∴c a //．∴c b //．∵β⊄b ，β⊂c ，∴β//b ．又∵α⊂b ，l =βα ，∴l b //．又∵b a //，∴l a //．另证：如图，在直线l 上取点M ，过M 点和直线a 作平面和α相交于直线1l ，和β相交于直线2l ．∵α//a ，∴1//l a ，∵β//a ，∴2//l a ，但过一点只能作一条直线与另一直线平行．∴直线1l 和2l 重合．又∵α⊂1l ，β⊂2l ，∴直线1l 、2l 都重合于直线l ，∴l a //．说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．典型例题十一例11 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各取一点P 、Q ，且DQ AP =．求证：//PQ 面BCE ．分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE 中如何找一直线与PQ 平行．可考察过PQ 的平面与平面BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF 内过P 作AB PM //交BE 于M ，在平面ABCD 内过Q 作AB QN //交BC 于N ，连结MN ．∵AB PM //，∴AE PE AB PM =． 又∵CD AB QN ////， ∴BD BQ DC QN =，即BD BQ AB QN =．∵正方形ABEF 与ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =．∵DQ AP =，∴BQ PE =．∴QN PM =．又∵AB PM //，AB QN //，∴QN PM //．∴四边形PQNM 为平行四边形．∴MN PQ //．又∵⊂MN 面BCE ，∴//PQ 面BCE ．证明二：如图，连结AQ 并延长交BC 于S ，连结ES ．∵AD BS //，∴QB DQ QS AQ =． 又∵正方形ABEF 与正方形ABCD 有公共边AB ，∴DB AE =，∵DQ AP =，∴QB PE =． ∴QS AQ QBDQ PE AP ==． ∴ES PQ //，又∵⊂ES 面BEC ，∴//PQ 面BEC ．说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点．已知：a =βα ，b =γβ ，c =αγ ．求证：a 、b 、c 互相平行或相交于一点．分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵a =βα ，b =γβ ，∴β⊂b a 、．∴a 与b 平行或相交．①若b a //，如图∵γ⊂b ，γ⊄a ，∴γ//a ．又∵c =αγ ，α⊂a ，∴c a //．∴c b a ////．②若a 与b 相交，如图，设O b a = ，∴a O ∈，b O ∈．又∵βα =a ，γβ =b ．∴α∈O ，γ∈O又∵c =γα ，∴c O ∈．∴直线a 、b 、c 交于同一点O ．说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD 中， M 、N 分别是1CC 、11B A 的中点，画出点D 、M 、N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ∆的BC 边上的高，DF 是BCD ∆的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ∆所在平面α．∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DF E E A DF αααAE 和DF 是异面直线． 证法二：（反证法）若AE 和DF 不是异面直线，则AE 和DF 共面，设过AE 、DF 的平面为β．(1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相矛盾．(2)若E 、F 不重合，∵EF B ∈，EF C ∈，β⊂EF ，∴β⊂BC ．∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾．综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14 已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：平面EFG 和AC 平行，也和BD 平行．分析：欲证明AC //平面EFG ，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC 平行平面EFG 内的一条直线，由图可知，只须证明EF AC //．证明：如图，连结AE 、EG 、EF 、GF ．在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．∴EF AC //．于是AC //平面EFG ．同理可证，BD //平面EFG ．说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理．典型例题十五例15 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：ACD PQ 平面//．分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ 与平面ACD 中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD ，如图．证明：取BC 的中点E ．∵P 是ABC ∆的重心，连结AE ，则1∶3=PE AE∶，连结DE ， ∵Q 为BCD ∆的重心，∴1∶3=QE DE∶， ∴在AED ∆中，AD PQ //．又ACD AD 平面⊂，ACD PQ 平面⊄，∴ACD PQ 平面//．说明：(1)本例中构造直线AD 与PQ 平行，是充分借助于题目的条件：P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，借助于比例的性质证明AD PQ //，该种方法经常使用，望注意把握．(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题具体情况要熟练运用．典型例题十六例16 正方体1111D C B A ABCD -中，E 、G 分别是BC 、11D C 的中点如下图．求证：D D BB EG 11//平面．分析：要证明D D BB EG 11//平面，根据线面平等的判定定理，需要在平面D D BB 11内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．证明：取BD 的中点F ，连结EF 、F D 1．∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，则DC EF //，且CD EF 21=．∵G 为11D C 的中点，∴CD G D //1且CD G D 211=，∴G D EF 1//且G D EF 1=，∴四边形G EFD 1为平行四边形，∴EG F D //1，而111B BDD F D 平面⊂，11B BDD EG 平面⊄，∴11//B BDD EG 平面．典型例题十七例17 如果直线α平面//a ，那么直线a 与平面α内的（ ）．A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A 、B ．对于C ，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，∴C 也不正确，应排除C ．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确．∴应选D ．说明：本题主要考查直线与平面平行的定义．典型例题十八例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）．A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面解：如图中的甲图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系；如图中的乙图，分别与异面直线a 、b 平行的两条直线c 、d 是相交关系．综上，可知应选D ．说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力．典型例题十九例19 a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）．A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个直线与a 、b 都平行D ．过a 可以并且只可以作一平面与b 平行解：A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与α平行了．B 错，若点与a 所确定的平面与b 平等时，就不能作一条直线与a ，b 相交．C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有b a //，这与a ，b 异面矛盾．D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点做直线b c //，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是惟一的．∴应选Ｄ．说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念．典型例题二十例20 (1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________．(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 解：(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α内时，α⊂b ．∴应填：α//b 或α⊂b ．(2)因为过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，（分别称'a ，'b ）经过'a ，'b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a 或b 时，这个平面就不满足条件了．∴应填：1．说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键．典型例题二十一例21 如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，a D C B ∈,,，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，若4=BD ，4=CF ，5=AF ，则EG =___________．解：∵α//a ，ABD EG 平面 α=．∴EG a //，即EG BD //， ∴FC AF AF BD EG CD BC FG EF AC AF CD FG BC EF +==++===． 则9204545=+⨯=+⋅=FC AF BD AF EG ． ∴应填：920．说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．二，面面平行的性质与判定典型例题一例1：已知正方体1111-D C B A ABCD ．求证：平面//11D AB 平面BD C 1．证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体，∴B C A D 11//，又 ⊂B C 1平面BD C 1，故 //1A D 平面BD C 1．同理 //11B D 平面BD C 1．又 1111D B D A D = ，∴ 平面//11D AB 平面BD C 1．说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．典型例题二例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ．求证：α⊂a ．证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγ ，b =γβ ．∵βα//∴b a //1又β//a∴b a //在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行∴a 与1a 重合，即α⊂a ．说明：本题也可以用反证法进行证明．典型例题三例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．已知：如图，βα//，A l =α ．求证：l 与β相交．证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ．∴γ与α、β都相交．设a =αγ ，b =γβ ．∵βα//∴b a //又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ．∵l 与b 相交．所以l 与β相交．典型例题四例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证： α//EF ，β//EF ．证明：连接AF 并延长交β于G ．∵F CD AG =∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC =αγ ，DG =βγ ．∵βα//，所以 DG AC //，∴ GDF ACF ∠=∠，又 DFG AFC ∠=∠，DF CF =，∴ △ACF ≌△DFG ．∴ FG AF =．又 BE AE =，∴ BG EF //，β⊂BG ．故 β//EF ．同理α//EF说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．典型例题六例6 如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为1A 、1B 、1C 、1D ，且1A 、1B 、1C 、1D 互不重合，也无三点共线．求证：四边形1111D C B A 是平行四边形．证明：∵α⊥1AA ， α⊥1DD∴11//DD AA不妨设1AA 和1DD 确定平面β．同理1BB 和1CC 确定平面γ．又11//BB AA ，且γ⊂1BB∴γ//1AA同理γ//AD又A AD AA = 1∴γβ//又11D A =βα ，11C B =γα∴1111//C B D A ．同理1111//D C B A ．∴四边形1111D C B A 是平行四边形．典型例题七例7 设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．典型例题八例8 设平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，且α、β分别与γ相交于a 、b ，b a //．求证：平面α//平面β．分析：要证明两平面平行，只要设法在平面α上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与β平行（如图）．证明：在平面α内作直线PQ ⊥直线a ，在平面β内作直线MN ⊥直线b ．∵平面α⊥平面γ，∴PQ ⊥平面γ，MN ⊥平面γ，∴MN PQ //．又∵p a //，Q a PQ = ，N b MN = ，∴平面α//平面β．说明：如果在α、β内分别作γ⊥PQ ，γ⊥MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ 、MN 在α、β内，如果直接在α、β内作a 、b 的垂线，就可推出MN PQ //．由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．典型例题九例9 如图所示，平面α//平面β，点A 、C α∈，点β∈D B 、，a AB =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若b BD AC ==，c CD =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，(1)求证：β//MN ；(2)求MN 的长．分析：（1）要证β//MN ，取AD 的中点P ，只要证明MN 所在的平面β//PMN ．为此证明β//PM ，β//PN 即可．(2)要求MN 之长，在CMA ∆中，CM 、CN 的长度易知，关键在于证明CD MN ⊥，从而由勾股定理可以求解．证明：(1)连结AD ，设P 是AD 的中点，分别连结PM 、PN ．∵M 是AB 的中点，∴BD PM //．又β⊂BD ，∴β//PM ．同理∵N 是CD 的中点，∴AC PN //．∵α⊂AC ，∴α//PN ．∵βα//，P PM PN = ，∴平面β//PMN ．∵MN ⊂平面PMN ，∴β//MN ．(2)分别连结MC 、MD ．∵b BD AC ==，a BM AM 21==，又∵AB 是α、β的公垂线，∴︒=∠=∠90DBM CAM ，∴ACM Rt ∆≌BDM Rt ∆，∴DM CM =，∴DMC ∆是等腰三角形．又N 是CD 的中点，∴CD MN ⊥．在CMN Rt ∆中，22222421c a b CN CM MN -+=-=．说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．典型例题十例10 如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可． 证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ．在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β． ∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//． 所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．典型例题十二例12 已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SC SB SA ==，SG 为SAB ∆上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 内的位置关系，并给予证明分析1：如图，观察图形，即可判定//SG 平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG 与DE 相交于H ，连结FH ，FH 就是适合题意的直线． 怎样证明FH SG //？只需证明H 是CG 的中点．证法1：连结CG 交DE 于点H ，∵DE 是ABC ∆的中位线，∴AB DE //．在ACG ∆中，D 是AC 的中点，且AG DH //，∴H 为CG 的中点．∵FH 是SCG ∆的中位线，∴SG FH //．又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴//SG 平面DEF ．分析2：要证明//SG 平面DEF ，只需证明平面SAB //平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明DF SA //，EF SB //而DF SA //，EF SB //可由题设直接推出． 证法2：∵EF 为SBC ∆的中位线，∴SB EF //．∵⊄EF 平面SAB ，⊂SB 平面SAB ，∴//EF 平面SAB ．同理：//DF 平面SAB ，F DF EF = ，∴平面SAB //平面DEF ，又∵⊂SG 平面SAB ，∴//SG 平面DEF ．典型例题十三例13 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9=PA ，12=AB ，12=BQ ，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．分析：求BDE ∆的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．解：∵平面AF QAF =α ，平面BE QAF =β ，又∵βα//，∴BE AF //．同理可证：BD AC //，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即EBD FAC ∠=∠sin sin ．由BE FA //，得212412∶∶∶∶===QA QB AF BE， ∴AF BE 21=由AC BD //，得：73219∶∶∶∶===PB PA BD AC ，∴AC BD 37=． 又∵ACF ∆的面积为72，即72sin 21=∠⋅⋅FAC AC AF ． ∴EBD BD BE S DBE ∠⋅⋅=∆sin 21FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 372121 FAC AC AF ∠⋅⋅⋅=sin 2167847267=⨯=．∴BDE ∆的面积为84平方单位．说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．典型例题十四例14 在棱长为a 的正方体中，求异面直线BD 和C B 1之间的距离．分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a 和b 是两条异面直线，则过a 且平行于b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD 和C B 1找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．解：如图，根据正方体的性质，易证：1111111//////D CB BD A C D B A D B BD 平面平面⇒⎭⎬⎫连结1AC ，分别交平面BD A 1和平面11D CB 于M 和N因为1CC 和1AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线，AC 在平面ABCD 内，BD AC ⊥ 由三垂线定理：BD AC ⊥1，同理：D A AC 11⊥∴⊥1AC 平面BD A 1，同理可证：⊥1AC 平面11D CB。

点线面的位置关系练习题计算与判断在几何学中，点、线、面是基本的几何概念，它们之间的位置关系是我们学习几何学的基础。

本文将通过一系列的练习题，来帮助我们更好地理解和计算点线面之间的位置关系，并进行判断。

练习题一：点与线的位置关系计算1. 以点A(2, 3)和线段AB为例，线段AB的两个端点分别是A(2, 3)和B(4, 5)。

现在需要计算点A与线段AB的位置关系。

解答：首先，我们可以计算线段AB的斜率k，公式为k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 3) / (4 - 2) = 1。

然后，计算点A到线段AB的垂直距离h，公式为h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |1 * 2 - 3 + 1 * 2 - 3| / √(1^2 + 1^2) = 0。

当垂直距离h等于0时，表示点A在线段AB上。

2. 现在考虑点A(2, 3)与直线y = 2x的位置关系。

解答：首先，直线y = 2x的斜率为2。

然后，计算点A到直线的垂直距离h，h = |k * x - y + kx1 - y1| / √(k^2 + 1) = |2 * 2 - 3 + 2 * 0 - 3| / √(2^2 + 1^2) = 1。

当垂直距离h不等于0时，表示点A不在直线y = 2x上。

练习题二：点与面的位置关系判断3. 现有一个平面P：2x + 3y + 5z = 10和点A(2, 1, 0)，判断点A是否在平面P上。

解答：将点A(2, 1, 0)的坐标代入平面P的方程，判断是否满足2 * 2 +3 * 1 + 5 * 0 =4 + 3 + 0 = 7 ≠ 10。

当点A的坐标代入平面P的方程不满足等式时，表示点A不在平面P上。

4. 考虑平面Q：x + 2y + 3z = 6和点A(1, 2, 0)，判断点A是否在平面Q上。

解答：将点A(1, 2, 0)的坐标代入平面Q的方程，判断是否满足1 +2 * 2 +3 * 0 = 1 +4 + 0 =5 ≠ 6。

高中数学必修2 第二章点线面位置关系（A卷）试卷一、选择题（共20题；共88分）1.若三个平面两两相交，则它们的交线条数是()A.1B.2C.1或3D.3【答案】C【考点】平面的公理及应用,点线面关系【解析】三个平面两两相交，类似于三条直线两两相交，它们的交线有1条或3条.2.如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【答案】D【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.3.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能【答案】D【考点】异面直线,点线面关系【解析】如图所示，三种情况都有可能，故选D.4.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是()A.DD1B.A1D1C.C1D1D.A1D【答案】D【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质【解析】∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D.5.下列命题中正确的是()A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行【答案】B【考点】线线平行的判定与性质,面面平行的判定与性质【解析】如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，所以B正确.6.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，mα，mβ，nα，nβ，则αβ；②若mα，mβ，则αβ；③若mα，nβ，m n，则αβ.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【考点】面面平行的判定与性质【解析】设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γα，γβ，则αβ.故①正确.②、③均错误.7.在空间中，a，b是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a b的是()A.a⊂α，b⊂β，αβB.aα，b⊂αC.a⊥α，b⊥αD.a⊥α，b⊂α【答案】C【考点】垂直关系综合【解析】对于A，若a⊂α，b⊂β，αβ，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于B，若aα，b⊂α，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于C，若a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理，可得a b；对于D，若a⊥α，b⊂α，则由线面垂直的定义可得a⊥b，故选C.8.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交【答案】C【考点】线面垂直的判定与性质【解析】取BD的中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，又BD，AC异面，故选C.9.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上.故选A.10.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的条件是()A.α⊥γ，β⊥γB.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.aβ，aαD.a⊥β，aα【答案】D【考点】面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；∵α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，∴b不一定垂直于α，∴α不一定垂直于β，故B不正确；aβ，aα⇒α与β相交或平行，故C不正确；∵a⊥β，aα，∴α中一定有一条直线垂直于β，∴α⊥β，故D正确．11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有()A.AP⊥平面PEFB.AG⊥平面PEFC.EP⊥平面AEFD.PG⊥平面AEF【答案】A【考点】线面垂直的判定与性质【解析】如图所示，∵AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P.∴AP⊥平面PEF.故选A.12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E【答案】C【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】由已知AC＝AB，E为BC的中点，得AE⊥BC.又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.13.若两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是()A.0°＜θ＜90°B.0°＜θ≤90°C.0°≤θ＜90°D.0°≤θ≤90°【答案】B【考点】异面直线所成的角【解析】异面直线是空间中不在任一平面内的直线．设a，b是空间中两条异面直线，在空间任取一点O，过点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角或直角θ即为异面直线a，b所成的角，其范围为0°＜θ≤90°.14.有下列四个命题：①过三点确定一个平面；②矩形是平面图形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中错误命题的序号是()A.①和②B.①和③C.②和④D.②和③【答案】B【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用【解析】由于过不共面的三点才能确定一个平面，故①不对；矩形的两对边平行可以确定一个平面，故矩形是平面图形，②正确；由于三条直线两两相交包括三线过一点，故三条直线两两相交则确定一个平面不正确，③不对；两个相交平面把空间分为四个区域是正确的命题，故④正确．综上，错误命题的序号是①③．故选B.15.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是()①②③④⑤⑥.A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③【答案】C【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质,面面平行的判定与性质,平行关系综合【解析】由公理4及平行平面的传递性知①④正确，举反例知②③⑤⑥不正确；②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．16.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，，求AD与BC 所成角的大小( )A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】异面直线所成的角【解析】如图，取BD的中点G,连接GE，GF.∵BE=EA，BG=GD，∴GE AD，，∵DF=FC，DG=GB，∴GF BC，∴∠EGF(或其补交)是异面直线AD与BC所成的角.在△GEF中，GE=1，GF=1，(如图)，取EF的中点O，连接GO，则，∴∴∴，∴异面直线AD与BC所成的角是.17.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA ＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】二面角【解析】∵E为SC的中点，且SB＝BC.∴BE⊥SC，又DE⊥SC，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE.∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE.∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，AB⊥BC，∴SB＝BC＝，AC＝，∴SC＝2.∵在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.18.已知四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，则CQ与平面DBC所成的角的正弦值是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．∵QP∥AO，∴QP⊥平面BCD.连接CP，则∠QCP即为所求的角．设四面体的棱长为a，∵在正△ACD中，Q是AD的中点，∴，∵QP∥AO，Q是AD的中点，∴，即.19.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC平面MEF，试求PM∶MA的值（）A.B.C.D.【答案】B【考点】线面平行的判定与性质【解析】如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.∵PC平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC OM，∴.在菱形ABCD中，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴，又，∴，∴.20.如果二面角α－l－β的平面角是锐角，点P到α，β和棱l的距离分别为、4和，则二面角α－l－β的大小是（）A.15°B.75°C.45°D.75°或15°【答案】D【考点】空间距离,二面角【解析】如图1是点P在二面角α－l－β的内部，图2是点P在二面角α－l－β的外部．∵PA⊥α，∴PA⊥l.∵AC⊥l，∴l⊥平面PAC.同理，l⊥平面PBC.而平面PAC∩平面PBC＝PC，∴平面PAC与平面PBC应重合，即A、C、B、P在同一平面内，则∠ACB是二面角α－l－β的平面角．在Rt△APC中，，∴∠ACP＝30°.在Rt△BPC中，，∴∠BCP＝45°.故∠ACB＝30°＋45°＝75°或∠ACB＝45°－30°＝15°.即二面角α－l－β的大小为75°或15°.二、解答题（共1题；共12分）21.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD ＝2，PA＝2.求：(1).三角形PCD的面积( )A.B.C.D.【答案】A【考点】垂直关系综合【解析】因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为，CD＝2，所以三角形PCD的面积为.(2).异面直线BC与AE所成的角的大小（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】A【考点】异面直线所成的角【解析】如图，取PB中点F，连接EF，AF，则EF BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝45°.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.。

题组层级快练7.2空间点线面的位置关系一、单项选择题1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是()A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α2．下列各图是正方体和正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()3．将下面的平面图形(图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是()A ．①②B ．②④C ．①④D ．①③4．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A ．1B ．4C ．7D ．85.如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.456．(2020·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是()A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7．(2020·广西钦州质检)在四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，AD ＝6，BC ＝4，EF ＝2，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为()A.34B.56C.910D.11128.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是()A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行9．(2021·吉林长春模拟)已知直线a 和平面α，β有如下关系：①α⊥β；②α∥β；③a ⊥β；④a ∥α.则下列命题为真命题的是()A ．①③⇒④B ．①④⇒③C ．③④⇒①D ．②③⇒④10．(2021·福建三明质检)已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，PA ＝2，E 为BC 的中点，则异面直线AE 与PD 所成的角为()A.π6B.π4C.π3D ．π11．(2021·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是()A.0，π2B.0，π2C.0，π3D.0，π312．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，PA ＝23，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是()A.18B.16C.14D.13二、多项选择题13．(2021·山东烟台二模)已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，则()A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β14.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确是()A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 不共面15．(2021·广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结论，其中正确的是()A ．AF ⊥GCB ．BD 与GC 为异面直线且夹角为60°C ．BD ∥MND ．BG 与平面ABCD 所成的角为45°16.(2021·江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．17.如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？7.2空间点线面的位置关系参考答案1．答案D解析b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．2．答案D解析在A 中，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在B 中，P ，Q ，R ，S 四点共面，如图所示，证明如下：取BC 中点N ，可证PS ，NR 交于直线B 1C 1上一点E ，∴P ，N ，R ，S 四点共面，设为α.可证PS ∥QN ，∴P ，Q ，N ，S 四点共面，设为β.∵α，β都经过P ，N ，S 三点，∴α与β重合，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 中，易证PQ ∥SR ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．在D 中，∵QR ⊂平面ABC ，PS ∩平面ABC ＝P 且P ∉QR ，∴直线PS 与QR 为异面直线．∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．3．答案C解析图②翻折后点N 与点Q 重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行．故选C.4．答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个．5.答案D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角(或其补角)．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.6．答案C解析在题图①中，AD ⊥BC ，故在题图②中，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，又因为BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，D 不在BC 上，所以AD ⊥BC ，且AD 与BC 异面，故选C.7．答案D解析本题考查异面直线所成角的余弦值．取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，EG ∥AD ，则∠EGF 为异面直线AD 与BC 所成的角(或补角)．因为FG ＝12BC ＝2，EG ＝12AD ＝3，所以cos ∠EGF ＝4＋9－22×2×3＝1112，故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为1112.8.答案D解析如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．9．答案C解析本题考查空间中有关线面位置关系的命题真假的判断．由①③可知，a ∥α或a ⊂α，A 错误；由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错误；过直线a 作平面γ，使得γ∩α＝b ，∵a ∥α，∴a ∥b.∵a ⊥β，∴b ⊥β.∵b ⊂α，∴α⊥β，C 正确；由②③可知，a ⊥α，D 错误．10．答案C解析本题考查异面直线所成角的大小．分别取AD ，PA 的中点F ，G ，连接CF ，AC ，FG ，CG.∵四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴AF 綊EC ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴CF ∥AE.∵F ，G 分别为AD ，PA 的中点，∴FG ∥PD.∴异面直线PD 与AE 所成角即为∠CFG(或其补角)．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC.∴CG ＝AG 2＋AC 2＝1＋1＋4＝ 6.又CF ＝1＋1＝2，FG ＝1＋1＝2，∴cos ∠CFG ＝CF 2＋FG 2－CG 22CF ·FG ＝2＋2－62×2×2＝－12，∴∠CFG ＝2π3，即异面直线AE 与PD 所成的角为π3，故选C.11．答案D解析当点P 与点D 1重合时，CP ∥BA 1，所成角为0；当点P 与A 点重合时，CA ∥A 1C 1，连接BC 1，△A 1BC 1为正三角形，所成角为π3，又由于异面直线所成角为，π2，所以选D.12．答案A解析分别取PA ，PB ，BC 的中点E ，F ，G ，连接EF ，EG ，FG ，GA ，PG ，如图所示，由PB ＝PC ＝AB＝AC ＝BC ＝4可得PG ＝AG ＝32BC ＝23，所以EG ⊥PA ，在△GPA 中，PG ＝AG ＝PA ＝23，可得EG ＝3，由中位线的性质可得EF ∥AB 且EF ＝12AB ＝2，FG ∥PC 且FG ＝12PC ＝2，所以∠GFE 或其补角即为异面直线PC 与AB 所成角，在△GFE 中，cos ∠GFE ＝GF 2＋EF 2－GE 22GF ·EF ＝4＋4－92×2×2＝－18，所以异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为18.故选A.13．答案BC解析本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 和n 平行、相交或异面，故A 错误；若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，由线面、面面垂直的性质可知m ⊥n ，故B 正确；若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，又n ⊥β，所以α∥β，故C 正确；若m ∥n ，n ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故D 错误．故选BC.14.答案AD解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．又BB1与平面AB1D1仅有B1一个交点，所以B与B1，O，M不共面．15．答案AB解析将平面展开图还原成正方体，如图所示．对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD 与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得A、B正确．16.答案62解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为12AC1·PF＝12×3×2＝62.17.答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊12AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F，E四点共面．。

点线面之间的关系一．选择题（共8小题）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是．10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为边CC1、B1C1的中点，点G、H分别在AA1、D1A1上，且满足AA1=3AG，D1H=2HA1，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．三．解答题（共6小题）13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．求证：（1）CD⊥PD；（2）平面EFG∥平面PAD．14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，M是AA1上一点，且AM=tAA1．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若3AB=2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD？17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C （Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．点线面之间的关系参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E⊥BC1．故选：C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，1，﹣2），=（0，2，2），=（﹣2，﹣2，0），=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，0），∵•=﹣2，=2，=0，=6，∴A1E⊥BC1．故选：C．2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角【解答】解：由题意画出如下图形：A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1=45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA=60°，所以D正确．故选：D．3．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【解答】解：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交（不垂直）；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β．故选：D．4．已知互不相等的直线l，m，n和平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；C．若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则m∥n；D．若α⊥β，β⊥γ，则α∥β．【解答】解：在A中，若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l与m平行或异面，故B错误；在C中，若α∩β=l，β∩γ=m，α∩γ=n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n，故C正确；在D中，若α⊥β，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．二．填空题（共4小题）9．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=2，则直线PC与AB所成角的大小是60°．【解答】解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF∥AB，FG∥PC，因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△ACG中，AG==，EG==，又∵AB=PC=2，∴EF=FG=．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG==﹣结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为边CC1、B1C1的中点，点G、H分别在AA1、D1A1上，且满足AA1=3AG，D1H=2HA1，则异面直线EF、GH所成角的余弦值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意E（0，2，1），F（1，2，2），G（2，0，），H（，0，2），=（1，0，1），=（﹣，0，），设异面直线EF、GH所成角的为θ，则cosθ===．∴异面直线EF、GH所成角的余弦值为．故答案为：．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°12．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．【解答】解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．三．解答题（共6小题）13．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F，G分别是AB，PC，CD的中点．求证：（1）CD⊥PD；（2）平面EFG∥平面PAD．【解答】证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）∵矩形ABCD中，E、G分别是AB、CD中点，∴EG∥AD，∵EG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EG∥平面PAD，∵F是PC中点，∴FG∥PD，∵FG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴FG∥平面PAD，∵EG∩FG=G，EG、FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PAD．14．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）又∵ADEB为正方形∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC∴GF∥平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴（2分）又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分）∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC（5分）（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE（9分）（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，（12分）∵C﹣ABED是四棱锥，==（14分）∴V C﹣ABED15．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，连接NO，MO，则NO∥PA．∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD，∴NO⊥AB，∵MO⊥AB，∴AB⊥面MNO∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD…（6分）（2）∵∠PDA=45°∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，得PM=CM，又∵N为PC的中点，∴MN⊥PC又MN⊥CD，PC∩CD=C∴MN⊥平面PCD…（12分）16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，M是AA1上一点，且AM=tAA1．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若3AB=2AA1，当t为何值时，B1M⊥平面A1CD？【解答】解：（1）如图1，取A1B1的中点E，连接BE，C1E．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD∥C1E又因为DB∥EA1，DB=EA1⇒BE∥DA1．且CD∩DA1=D，BE∩C1E=E，面EBC1∥平面A1CD；∵BC1⊂面EBC1，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD（2）由在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是AB中点，可得CD⊥面AA1B1B．⇒CD⊥B1M，∴要使B1M⊥平面A1CD，只需DA1⊥MB即可，如下图，当DA1⊥MB时，△ADA1∽△A1MB1，⇒，又∵3AB=2AA1，DAB为中点∴⇒∴即当t=时，B1M⊥平面A1CD．17．如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．【解答】（本小题满分10分）证明：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA．因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．因为OM∥AC，又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC．…（5分）（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．…（10分）18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，AB=4，AA1=5，点M是BB1中点（Ⅰ）求证：平面A1MC⊥平面AA1C1C（Ⅱ）求点A到平面A1MC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：记AC1与A1C的交点为E．连结ME．如图∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M是BB1中点，∴MA1=MA=MC1=MC=．因为点E是AC1，A1C的中点，所以ME⊥AC1且ME⊥A1C，…（4分）从而ME⊥平面AA1C1C．因为ME⊂平面A1MC，所以平面A1MC⊥平面AA1C1C．…（6分）（Ⅱ）解：过点A作AH⊥A1C于点H，如图，由（Ⅰ）知平面A1MC⊥平面AA1C1C，平面A1MC∩平面AA1C1C=A1C，而AH⊥平面AA1C1C∴AH即为点A到平面A1MC的距离．…（9分）在△A1AC中，∠A1AC=90°，A 1A=5，AC=4∴∴AH=即点A到平面A1MC的距离为．…（12分）。

点点练27空间点、线、面的位置关系一基础小题练透篇1.以下命题(其中a ，b 表示直线，α表示平面)：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b .其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2.如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M3．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1D 1，AB ，C 1D 1的中点，则直线A 1G ，EF 所成角的余弦值为( )A ．3010B ．3015C ．3030D ．1554．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M 、N 、F 分别是B 1C 1、CC 1、AB 的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面5．已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( )A ．①③B．①④C．②③D．①②③④6．已知直线l 和平面α，若l ∥α，P ∈α，则过点P 且平行于l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．只有一条，且在平面α内 C ．有无数条，一定在平面α内 D ．有无数条，不一定在平面α内7．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线． 上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号).8．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，O 为CD 上的动点，V P ­OAB 恒为定值，且△PDC 是正三角形，则直线PD 与直线AB 所成角的大小是________．二能力小题提升篇1.[2022·辽宁省实验中学高三模拟]如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是( )A.AB 与CF 成45°角B ．BD 与EF 成45°角C ．AB 与EF 成60°角D ．AB 与CD 成60°角2．[2022·广西柳州市高三摸底]三棱锥P ­ABC 中，若PA ＝PB ＝PC ，则P 在底面ABC 上的投影O 为△ABC 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心 3.[2022·浙江省金华高三模拟]已知四面体A ­BCD ，AB ＝2，BC ＝BD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BE ⊥AC 于E ，BF ⊥AD 于F ，则( )A ．AC 可能与EF 垂直，△BEF 的面积有最大值B ．AC 不可能与EF 垂直，△BEF 的面积有最大值 C ．AC 可能与EF 垂直，△BEF 的面积没有最大值D ．AC 不可能与EF 垂直，△BEF 的面积没有最大值4．[2022·山西省大同市高三摸底]如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 为线段A 1C 1上的动点(点P 与A 1，C 1不重合)，则下列说法不正确的是( )A ．BD ⊥CPB ．三棱锥C ­BPD 的体积为定值C ．过P ，C ，D 1三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值最大为135.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．6．[2022·西安模拟]如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直，以上四个命题中，正确命题的序号是____________．三高考小题重现篇1.[2019·全国卷Ⅲ]如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线2．[全国卷Ⅱ]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A．22B．32C．52D．723．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p44．[2019·北京卷]已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．(答案不唯一)四经典大题强化篇1.已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．2．[2022·福建厦门质检]如图，在多面体ABCDEF中，AD，BE，CF均垂直于平面ABC，AC＝BC，AD＝2，BE＝4，CF＝3.(1)过CF的平面α与平面ABED垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；(2)若∠ACB＝120°，AB＝43，求多面体ABCDEF的体积．点点练27 空间点、线、面的位置关系一基础小题练透篇1．答案：A解析：如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．2．答案：D解析：∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上．同理可知，点C 也在γ与β的交线上．3．答案：C解析：如图所示，易知A 1G ∥CF ，则∠EFC 为直线A 1G 与EF 所成角．不妨设AB ＝2，则CF ＝5，EF ＝6，EC ＝3，由余弦定理得cos∠EFC ＝5＋6－925×6＝3030，即直线A 1G 与EF 所成的角的余弦值为3030. 4．答案：D解析：设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连结EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋（2a ）2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误； 连结DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心，所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ，且DE ∩EF ＝E ， 所以MN 与EF 异面，故选项B 错误． 5．答案：A解析：因为l ⊥α，α∥β，根据面面平行的性质知l ⊥β，又m ⊂β，则l ⊥m ，故①正确；若α⊥β，l ⊥α，则l 可能在β内或与β平行，则l 可能与m 相交、平行或异面，故②错误；由l ∥m ，l ⊥α可推出m ⊥α，又m ⊂β，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；若α，β的交线为m，则l⊥m，推不出α∥β，故④错误．6．答案：B解析：假设过点P且平行于l的直线有两条分别为m与n，则m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条．又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．7．答案：②③④解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．8．答案：60°解析：因为V P­OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD 上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.二能力小题提升篇1．答案：D解析：由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF和BD平行，AB垂直于BD，所以AB与CF成90°角，故A错误；BD与CF平行，CF垂直于EF，所以BD与EF成90°角，故B错误；EF与CG平行，AB与CG成90°角，所以AB与EF成90°角，故C错误；CD与AE平行，在三角形AEB中，AE＝EB＝AB，所以∠EAB＝60°，所以AB与CD成60°角，故D正确．2.答案：B解析：由题意可得，∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°，因为PA ＝PB ＝PC ，PO 为公共边，所以△POA ≌△POB ≌△POC ，所以OA ＝OB ＝OC ，所以O 为△ABC 的外心．3．答案：D解析：由AB ⊥平面BCD 知，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，则AC ＝AD ＝22＋（2）2＝6， 利用等面积法求得斜边上的高BE ＝BF ＝226＝233，从而有AE ＝AF ＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝63，则△AEF 为等腰三角形，AE 不可能与EF 垂直，即AC 不可能与EF 垂直，故AC 错误；由上知，EF CD ＝AE AC ＝13，设CD ＝x ，则EF ＝13x ，x ∈（0，4），由余弦定理知，cos∠FBE ＝BF 2＋BE 2－EF 22BF ·BE ＝43＋43－x 2983＝1－124x 2，则由x ∈（0，4）知，cos∠FBE ＝1－124x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，故∠FBE 为锐角，且sin∠FBE ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，223，△BEF 的面积S ＝12BE ·BF ·sin∠FBE ＝23sin∠FBE ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，429，当取得右侧边界点时，B ，C ，D 三点共线，不能构成三角形，故无最大值，故B 错误，D 正确．4．答案：D解析：由题可知BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥CP ，故A 正确；由等体积法得V C ­BPD ＝V P ­BCD＝13·S △BCD ·AA 1为定值，故B 正确；设A 1C 1的中点为M ，当P ∈MC 1时，如图1所示：图1图2此时截面是三角形D 1QC ，当P ∈MA 1时，如图2所示：此时截面是梯形D 1QRC ，故C 正确；在正方体中，连接D 1P ，则D 1P 为DP 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，则∠D 1PD 为DP 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，设正方体的棱长为1，PD 1＝x ，则PD ＝1＋x 2，sin ∠D 1PD ＝11＋x2，当x 取得最小值时，sin ∠D 1PD 的值最大，即D 1P ⊥A 1C 1时，x 的值最小为22，所以sin ∠D 1PD 的值最大为63，故D 不正确． 5．答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使平行四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .6．答案：②③④解析：还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合． 易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面． 又△GMH 为等边三角形， ∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，MN ∥AF ，∴MN ⊥DE . 因此正确的序号是②③④.三高考小题重现篇1．答案：B解析：过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上，∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，则EN＝EQ2＋QN2＝3＋1＝2，BE＝BC2＋CE2＝4＋4＝22，又在正方形ABCD中，BD＝22＋22＝22＝BE，∴△EBD 是等腰三角形，故在等腰△EBD中，M为DE的中点，∴BM＝BE2－EM2＝8－1＝7，∴BM ＝7>2＝EN，即BM≠EN.又∵点M、N、B、E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线．2．答案：C解析：因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，则BE＝ 5.因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAB ＝52.3．答案：①③④解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬p2是真命题；对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而¬p3是真命题；对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬p4是假命题．综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，¬p2∨p3是真命题，¬p3∨¬p4是真命题．4．答案：①③⇒②或②③⇒①解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②作为结论和②③作为条件，①作为结论时，容易证明命题成立．四经典大题强化篇1．证明：（1）如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．（2）在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R 三点共线．（3）∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.2．解析：（1）取AB，DE的中点G，H，连接CG，FH，HG，则四边形CFHG即为所求截面．理由如下：∵AD ，BE ，CF 均垂直于平面ABC ，∴AD ∥BE ∥CF .∵AD ＝2，BE ＝4，∴四边形ABED 为梯形．又G ，H 分别为AB ，DE 的中点，∴HG ∥BE ，HG ＝3.∴HG ∥CF ，HG ＝CF ，则四边形CFHG 为平行四边形．∵AC ＝BC ，G 为AB 的中点，∴CG ⊥AB .又AD ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CG .又AB ∩AD ＝A ，∴CG ⊥平面ABED .又CG ⊂平面CFHG ，∴平面CFHG ⊥平面ABED .∴平行四边形CFHG 为所作的截面．（2）过点A 作AM ⊥BC ，交直线BC 于点M .∵BE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，∴BE ⊥AM . 又BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCFE ，∴AM ⊥平面BCFE .在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，AB ＝43，∴AC ＝BC ＝4，则AM ＝2 3.∴S △ABC ＝12×4×4×sin120°＝4 3. ∴V D －BCFE ＝13·S 四边形BCFE ·AM ＝13×[12×（3＋4）×4]×23＝2833， V D －ABC ＝13·S △ABC ·AD ＝13×43×2＝833.∴V 多面体ABCDEF ＝V D －ABC ＋V D －BCFE ＝833＋2833＝12 3.。

【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质①线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

（线线平行→线面平行）②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行→线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行） ②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行） ③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行） ②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 ②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

空间点线面位置关系练习题1、已知/、777是不同的两条直线，a、〃是不重合的两个平而，则下列正确的是（）A若/丄a, a丄〃，贝〃//肌若///a, a丄0,贝〃// 0C 若/ 丄777, a// B, m u 0,则/ 丄aD 若/ 丄a, a// B, m u 0,则/ 丄力2、设a表示平而，日,6表示直线，给立下列四个命题：（1） a // a, a lb d b丄a：（2）a //b, a丄an 6 丄a；（3）a丄a, a丄b 弓b 11 a •、（4）a丄a, b丄 anm // b .其中正确命题的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个3、若m . n为两条不重合的直线，a、〃为两个不重合的平面，则下列正确的个数是（）（1）若777、77都平行于平面a,则/77、H一定不是相交直线：（2）若777、n都垂直于平而a,则/77、H一定是平行直线：（3）已知a、0互相垂直，m、n互相垂直，若777丄a ,则77丄0；（4）777、77在平而a内的射影互相垂直，则777、/7互相垂直.A 1B 2C 3D 44、给出下列四个命题：（1）垂直于同一直线的两条直线互相平行（2）垂直于同一平而的两个平面互相平行（3）若直线1 2 /, /与同一平面所成的角相等，则1：/,/互相平行（4）若直线1 2 /, /是异而直线，则与2 /, /都相交的两条直线是异面直线其中假.命题的个数是（）A 1B 2C 3D 45、已知两个不同的平而。

尸和两条不重合的直线777, 77,在下列四个命题中错.误.的是（）A 若/77 〃a , a C\ B= n ,则777 〃/7B 若m丄a, Z77 丄0,则a 〃尸C 若m // n ,力丄a,则/7 丄aD 若m丄a, 777 〃/7 , 77 u 0,则a丄06、已知777、/7是两条不同的直线，a、 0是两个不同的平面，有下列命题：（1）若777 u a, /7〃a,则m //n；（2）若/77〃a, m // 0,则a// 〃：（3）若m丄a, /77 丄/7 ,贝加a : （4）若777 丄a, /77 丄0,则a//0；其中真命题的个数是（）A 1个B 2个C 3个D 4个7、已知a, 0、丫是三个互不重合的平而，/是一条宜线，给出下列命题中正确命题是（）A.若a丄0,/丄伏贝〃//aB.若/丄a,/// B,则a丄0C.若/上有两个点到“的距离相等，贝9///aD.若a丄0, a丄丫，则/丄08、设/77,/7是两条不同的直线，a, 0是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若/77 丄77, m丄a, /7 / /〃，则a/ / 0B.若777 / / a, 77 / /0, a/ /0,则m / /nC.若H7丄a,/7//0, a//0,则力丄"D.若777 / gm I / a,/7 / /0,则a/ /09、已知相异直线a, b和不重合平而a, 0,则a〃b的一个充分条件是（）A. a〃a, b〃aB. a〃a, b〃0, a〃0C.a』a,b』0, a〃0D. a 丄0,a 丄a,b〃〃10、已知777, 77是两条不同直线，a, 0,厂是三个不同平而，下列命题中正确的是（）A.若/77|| a, /7| a,则力|| /7B.若。

谦姐套路秘笈之点线面位置关系与四大公理套路一、点线面位置关系（利用长方体/正方体模型）1．已知m，n是空间中两条异面直线，则过m与n平行的平面（ ）A．不存在 B．至少有两个C．有无数个 D．有且只有一个2．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是（ ）A．l 至少与 l1，l2中的一条相交B．l 与 l1，l2都不相交C．l 与 l1，l2都相交D．l 至多与 l1，l2中的一条相交3．已知点A∈直线l，又A∈α，则（ ）A．l∥α B．l∩α=AC．l⊂α D．l∩α=A或l⊂α套路二、四大公理之确定平面（公理二及推论）1．下列命题一定正确的是（ ）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面2．下列说法正确的是（ ）（1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）3．已知P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A．B．C．D．4．棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BB1的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面的面积是（ ）A．6B．3C．6D．35．（综合）已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图，（1）若E、F为AA1、CC1的中点，画出过D1、E、F的截面；（2）若M、N、P为A1B1、BB1、B1C1上的点（均不与B1重合），求证：△MNP是锐角三角形．套路三、四大公理之多点共线（公理三）1．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD 于点M，则下列结论错误的是（ ）A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A1，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面2．如图，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M3．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF：FC=DG：GA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点．套路四、异面直线所成的角（平移）1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，A1C1中点，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．2．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体的四条面对角线中是异面直线且垂直有（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=1，AD=2，AA1=3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．4．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．0 C．D．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD 为菱形，若BD=2，PC=4，则异面直线DE与PC所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6．如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．参考答案套路一、点线面位置关系（利用长方体/正方体模型）1．【解答】解：过m上一点P作n的平行直线l，则m与l确定一平面α，由l⊂α，n⊄α，∴n∥α；这样的平面有且只有1个．故选：D．2．【解答】解：在B中，．l与l1，l2可以相交，如图：∴B选项错误；在C中，l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴C选项错误；在D中，l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴C选项错误；在A中，“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交； ∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴A选项正确．故选：A．3．【解答】解：∵点A∈直线l，又A∈α，∴直线l与平面α有公共点A，∴l∩α=A或l⊂α．故选：D．套路二、四大公理之确定平面（公理二及推论）1．【解答】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．2.【解答】解：在（1）中，不共线的三点才能确定一个平面，故（1）错误．在（2）中，圆上三点不共线，可以确定一个平面，故（2）正确．在（3）中，当四个点共线时能确定无数个平面，当四个点不共线时，能确定一个或三个平面，故（3）错误．在（4）中，两条平行线确定一个平面，故（4）正确．故选：C．3． 【解答】解：在A中，∵P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点， ∴PS∥QR，∴P，Q，R，S共面，故A错误；在B中，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面，故B错误；在C中，分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面，故C错误； 在D中，PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面，故D正确． 故选：D．4． 【解答】解：如图所示：取棱AD，AB，BB1的中点E，F，G，则该截面是一个边长为的正六边形，其面积为6××（）2=3．故选：D．5．【解答】解：（1）连结D1E、BE、BF、D1F，则平面D1EBF是过D1、E、F的截面，如下图：证明：（2）设MB1=a，NB1=b，PB1=c，则MN2=a2+b2，NP2=b2+c2，MP2=c2+a2，则△MNP中，同理可得cosN＞0，cosP＞0，则∠M、∠N、∠P均为锐角，即△MNP是锐角三角形．套路三、四大公理之多点共线（公理三）1．【解答】解：连结A1C1，AC，则AC∩BD=O，A1C∩平面C1BD=M，∴三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上， ∴C1，M，O三点共线，∴选项A、B、C均正确，选项D错误．故选：D．2．【解答】解：∵直线AB∩l=M，过A，B，C三点的平面记作γ，∴β∩γ=MC，∴γ与β的交线必通过点C和点M，故选：D．3．【解答】证明：连接AC，∵E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF：FC=DG：GA=2：3，∴HE∥AC，GF∥AC，∴HE∥GF，则E，F，G，H四点共面，而HG与EF不平行，不妨设EF，HG交于点P，∴P∈面BCD，且P∈面ABD，而面BCD∩面ABD=BD，∴P∈BD，∴EF、GH、BD交于一点．套路四、异面直线所成的角（平移）1．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B（2，2，0），M（2，1，2），A（2，0，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），=（0，﹣1，2），=（﹣1，1，2），设BM与AN所成角为θ，则cosθ===．∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：C．2．【解答】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD﹣EFMN，如右图： 在这个正方体的四条面对角线中是异面直线且垂直有AF，CN是异面直线且垂直；BM，DE是异面直线且垂直．故选：B．3．【解答】解：如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得，则．∴cos∠C1AB=．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：A．4．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=60°，AB=2，BC=CC1=1， AC==，∴BC2+AC2=AB2，∴BC⊥AC，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，，0），B 1（1，0，1），B（1，0，0），C1（0，0，1），=（1，﹣，1），=（﹣1，0，1），设异面直线AB1与BC1所成角的平面角为θ，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为：cosθ==0．故选：B．5．【解答】解：由题意，连接EO，O是底面ABCD为菱形的中点， 又E为线段AP的中点，∴EO∥PC，则异面直线DE与PC所成角的平面角为∠DEO，∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AC⊥BD，POC是直角三角形，∴PC⊥BD，则EO⊥BD，∴△DEO是直角三角形，∵BD=2，PC=4，∴OD=1，EO=2，则ED=．∴cos∠DEO=．故选：A．6．【解答】解：连接BF、EF，∵正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点， ∴BF⊥AD，CF⊥AD，又BF∩CF=F，∴AD⊥面BCF，∴AE在平面BCF上的射影为EF，设异面直线AE和CF所成的角为θ，正四面体棱长为1， 则，．∵cosθ=cos∠AEF•cos∠EFC，∴cosθ==．故直线AE和CF所成的角的余弦值为．故选：B．。

高一数学点线面的位置关系试题1.若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（）A．相交B．异面C．异面或相交D．平行【答案】C【解析】空间中直线与直线有三种位置关系：相交，平行，异面；当直线与直线在同一个平面内，则相交，不在任何一个平面内，则是异面直线；要是，由平行公理得，这与为异面直线相矛盾，故位置关系是相交或异面.【考点】空间中直线和直线的位置关系.2.若、、是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若∥，，，则∥B．若，则C．若，∥，则D．若，则∥【答案】C【解析】对于，直线可能平行，可能异面；对于没有说明直线垂直交线；对于由平面与平面垂直的性质得正确；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、异面.【考点】空间中点、线、面的位置关系.3.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱中，，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，；（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面；(3).【解析】（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算.试题解析：（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即．又面，，，面，.（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面．（3）在中过作垂足为，由面⊥面知，面，．而，，.【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．4.已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m,n，则m n B．若C．若D．若【答案】D【解析】A选项中m,n可以相交；B选项中可能相交，不同于平面中的垂直于同一直线的两直线平行；C选项中m有可能与的相交线平行，同时也与平行，但平面不平行；综合选D.【考点】直线与平面的位置关系.5.已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF AB，则EF与CD所成的角为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】设为的中点，连接，由三角形中位线定理可得，则即为与所成的角，结合，在中，利用三角函数即可得到答案．【考点】异面直线及其所成的角．三角形中位线定理.6.下列命题中正确的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合.D．四条边都相等的四边形是平面图形【答案】B【解析】对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；对于B，三角形三条直线两两相交，有不共线的三点，因此一定是平面图形，故B正确；对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，故选B．【考点】平面的基本性质．7.已知△中，，，平面，，、分别是、上的动点，且．（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）当为何值时，平面平面？【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）通过证明⊥平面，说明平面平面；（2）将平面平面作为条件，利用三角形关系求解．试题解析：（1）∵⊥平面，∴⊥．∵⊥且，∴⊥平面，又∵，∴不论为何值，恒有，∴⊥平面．又平面，∴不论为何值，总有平面⊥平面．（2）由（1）知，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，∴⊥．∵，，，∴，，∴，由，得，∴，故当时，平面平面．【考点】两平面的位置关系的证明．8.下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行.⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面的位置关系.所以（1）不正确；两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行，或异面，所以（2）不正确；两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，所以（3）不正确；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行或直线在平面内，所以（4）不正确.故选A.【考点】1.直线与平面的位置关系.2.直线与直线的位置关系.3.相关的判断定理.9.在正四面体（所有棱长都相等）中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．平面平面B．平面C．平面平面D．平面平面【答案】C【解析】由AF⊥BC，PE⊥BC，可得BC⊥平面PAE，而DF//BC，所以，DF⊥平面PAE,故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【考点】正四面体的几何特征，平行、垂直关系。