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关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下： 一 代入求值法：这种方法只适用于在0x 点连续的函数求极限。
例1、计算3121lim 1x x x x →-+-解：321()11x x F x x x -+==+在处有定义且连续, 331212111lim 1111x x x x →-+⨯-+∴==++ 例2、计算：22ln lim sin x x x x → 2222ln 2ln 24ln :lim sin sin 2sin 2x x x x →==解二 倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的。
例3、2232lim 531n n n n n →∞-++-解：因为分子分母的极限均不存在，故不能运用商的极限运算法则，可先将分子分母分别除以2n ，然后取极限。
于是2222123323lim lim 3153155n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==+-+- 例4、求2143lim 54x x x x →--+解：因为分母极限为零，分子极限不为零，故先考虑1()f x 的极限。
因为 21540lim0431x x x x →-+==- 所以 2143lim54x x x x →-=∞-+（无穷小量的倒数是无穷大量。
）例5、计算111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+解：由于极限的运算法则不适用于无限和的情形，故本题宜先求和，再求极限。
因为1111()(21)(21)22121k k k k =--+-+所以 111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+111111111lim[()()()]21323522121111lim[]22(21)2n n n n n →∞→∞=-+-++--+=-=+利用倒数法可得如下结论：0111001011()lim 0()(,,00)()m m m n n x n n a m n b a x a x a x a m n m n a b b x b x b x b m n ---→∞-⎧=⎪⎪+++⎪=<≠≠⎨++++⎪∞>⎪⎪⎩m 0为自然数 三 化积约分法：有些函数()f x 在0x x =处无定义，这时不能用代入求值法求极限，但当0x x =时,()f x 的极限存在与否与()f x 在点0x 处是否有定义无关，所以常将()f x 先作适当变形，如分解因式约去极限为零的分母等，转化为在0x x =处有定义的新函数()g x ，再用代入求值法。
高中数学极限中几种常见的求法及应用作者：兰金凤来源：《读写算》2013年第04期“极限”是高中数学中的重要概念，也是高考必考的内容之一。
在高中数学中深受广大师生的重视。
其实很多题都有一些特点，能够抓住这个特点，对解题会带来方便、快捷。
下面是根据自己在教学实践中的体会，介绍求极限的几种方法和应用，并附有习题与读者切磋。
数列极限：一、∞∞型：应遵循三条规律（1）分子次数高，分母次数低，则极限不存在；（2）分子次数低，分母次数高，则极限值为0；（3）分子、分母的次数相同，则极限值是分子、分母中最高次项前的系数的比值。
例1：填空①limn∞5n2-12n2+n-5=52解法1：limn∞5n2-12n2+n-5=limn∞5-1n22+1n-5n2=limn∞5-limn∞1n2limn∞2+limn∞1n-limn∞5n2=5-02+0-0=52解法2：观察分子、分母就知道此式符合规律（3），又分子次数为5，分母次数为2，所以极限为52。
②limn∞n-12n4+2n-5=（0）解：此式符合规律（2），所以极限为0.③limn∞4n5-1n4+n（不存在）解：此式符合规律（1），所以极限不存在。
例2：填空①若limn∞n-1an3+bn-c=2，则a=（0），b=12，c=（任意实数）解：此题符合规律（3），又分子次数为1，所以分母的次数也为1，即a=0。
又由题意知1b=2，所以b=12。
因为C对极限无影响，所以C值为任意实数。
②若limn∞n2+1n+1-an-b=0，则a=（1），b=（-1）解：∵n2+1n+1-an-b=n2+1-an2-an-bn-bn+1=（1-a）n2-（a+b）n+（1-b）n+1，由已知limn∞n2+1n+1-an-b=0，得：∵1-a=0，a+b=0，即a=1，b=-1二、00，∞±∞等类型要注意分子分母有理化策略例3：求下列极限：（1）limn∞n+2-n；（2）limn∞4n2+3n-n2+1.解：（1）原式=∵limn∞n+2-nn+2+nn+2+n=limn∞2n+2+n=0（2）原式=limn∞4n2+3n+n2+13n-1=limn∞41+3n+1+1n23-3n=83三、对于分子分母是分数指数幂形式的一般分子分母同除以底数较大的幂值例4：（1）求limn∞2n-1-3n2n-3n-1，（2）已知a>0，b>0求limn∞anan+bn+1解：（1）原式=limn∞2n-13n-1-32g2n-13n-1-1=3（2）∵a>0，b>0，∴limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban若ba>1，n∞时，ban∞，limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban=0若ba=1时，ban=1，limn∞anan+bn+1=limn∞11+bban=11+b若0注：含字母常数时要有分类讨论思想四、对于无限项的数列的和或积，应先求其n项的和或积，然后再求极限例5：求limn∞1n2+4n2+7n2+L+3n2-nn2解：limn∞1n2+4n2+7n2+L+3n2-nn2=limn∞3n2-nn2=limn∞3-1n2=32五、用“四则运算”法则求极限及逆向思维求参数的值例6：已知limn∞（3an+4bn）=8，limn∞（6an-bn）=1，求limn∞（3an+4bn）解：数列{3an+4bn}，{6an-bn}的极限存在，但{an}，{bn}的极限不一定存在，所以不能列出方程组求{an}，{bn}的极限，而应该把3an+4bn，6an-bn看成整体，再求解。
几类特殊形式的极限求法探讨极限是微积分的重要概念之一，是描述函数在某一点附近的变化规律的数学工具。
在实际问题中，我们常常会遇到一些特殊形式的极限，它们的求法也比较特殊。
本文将对几类特殊形式的极限求法进行探讨，希望能够帮助读者更好地理解和掌握极限的求法。
一、无穷小量与无穷大量的极限我们来看一类特殊形式的极限，即当自变量趋于某一值时，函数值趋于零的情况。
这种情况我们称之为无穷小量的极限。
一般来说，对于一个函数f(x)来说，如果当x趋于a 时，f(x)的值趋于零，我们可以表示为：lim[x→a]f(x) = 0这种极限的求法需要我们对函数在x趋于a时的变化趋势有比较深入的了解，一般需要利用函数的极限定义或者泰勒级数展开等方法进行求解。
二、0/0型的极限求法这种情况下，我们可以利用洛必达法则来求解极限。
洛必达法则是求解极限的一个非常有用的方法，它的基本思想是将原极限转化成一个不定形的形式，然后对这个不定形式进行求导，得到的导数极限即原极限的值。
这个方法对于解决0/0型的极限问题非常有效。
除了0/0型的极限外，还有一类特殊形式的极限叫做∞/∞型的极限。
对于函数f(x)和g(x)来说，如果当x趋于a时，f(x)和g(x)的值都趋于无穷大，我们可以表示为：我们来看一些无穷小量与无穷大量的比较。
在实际问题中，我们常常会碰到一些复杂的极限表达式，这些表达式可能包含无穷小量和无穷大量，或者无穷小量之间的比较。
对于这种情况，我们需要借助一些特殊的方法来进行求解。
对于无穷小量与无穷大量的比较问题，我们可以利用夹逼定理、比较定理和等价无穷小量等方法进行求解。
夹逼定理是指如果存在另外两个函数h(x)和k(x)，满足h(x)≤f(x)≤k(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]k(x)=L，那么lim[x→a]f(x)=L。
比较定理是指如果lim[x→a]f(x)=A，lim[x→a]g(x)=B，且当x足够靠近a时有f(x)≤g(x)，那么A≤B。
无限趋近与极限高中数学极限问题的解题方法高中数学中极限问题是一种比较常见的问题类型，也是比较基础的数学概念之一。
在解决极限问题时，可以采用无限趋近的方法，即通过取近似值的方法来得到更加精确的结果。
下面将介绍几种常见的无限趋近的解题方法。
一、夹逼准则夹逼定理也叫夹逼准则，是指如果一个函数f(x)处处满足$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$且$$\lim_{x \to a}g(x)=\lim_{x \to a}h(x)=L$$(L为常数)，那么$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$。
这个定理可以用来解决一些复杂的极限问题，利用其夹逼的形式，我们可以通过弱化问题的难度，从而分解一个比较难的极限问题。
例如，求$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$$我们可以构造一个函数$f(x)=\cos x$，并且显然有$$f(x)=\cos x \leq\frac{\sin x}{x} \leq 1$$然后我们再分别计算$$\lim_{x \to 0} \cosx=1$$和$$\lim_{x \to 0} 1=1$$通过夹逼准则，我们可以得到$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$二、分子有理化在一些复杂的极限问题中，分子分母不方便直接计算，这时我们可以采用分子有理化的方法来简化问题。
分子有理化是指将极限式子分子或分母有理分解，并消去分子或分母中的无理项，将有理项进行合并化简，从而得到较为简单的极限式。
例如，求$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$我们可以采用分子有理化的方法，将式子变形为$$\lim_{x \to\infty}\frac{(x+1)^x}{x^x}$$再将它化简为$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}$$然后我们再将这个式子做一下变形，得到$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)=e$$从而得到了最终的结果。
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略【摘要】微积分中函数极限是微积分学习中的重要内容，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。
本文将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，包括数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法以及利用导数的方法。
通过多种方法的结合运用，可以更准确地求解函数的极限。
我们也要注意极限存在的条件，确保计算的准确性。
提高极限求解的技巧和效率，可以帮助我们更好地掌握函数极限的求解过程，提高学习效果。
深入理解和掌握这些方法，将有助于我们更好地应用和推广到实际问题中，从而更好地理解和应用微积分知识。
【关键词】微积分、函数极限、数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法、利用导数的方法、多种方法结合运用、注意极限存在的条件、提高极限求解的技巧和效率1. 引言1.1 微积分中函数极限的重要性微积分中函数极限是微积分学习中的重要概念之一，它能够帮助我们理解函数在某一点的变化趋势和极限取值。
函数极限的研究不仅有助于我们解决数学问题，还可以应用于物理、经济、工程等各个领域。
函数极限的重要性体现在以下几个方面：函数极限是微积分的基础，它是导数、积分等概念的前提。
只有对函数极限有深入的理解，才能更好地理解微积分中的其他内容。
函数极限在研究函数在某一点的性质时起到至关重要的作用，能够帮助我们确定函数在该点的连续性、可导性等特性。
函数极限也可以应用于求解极限值、证明极限存在等问题，是数学分析中的重要工具之一。
微积分中函数极限的重要性不言而喻。
只有深入理解函数极限的概念，掌握各种求解方法和技巧，才能在微积分学习中取得更好的成绩，并将其运用到实际问题中取得更好的效果。
强调函数极限的重要性，也有助于引起我们对微积分学习的重视和兴趣。
对函数极限的研究具有极其重要的意义。
2. 正文2.1 数列极限法数总结和统计等。
以下是关于数列极限法的内容：数列极限法是微积分中函数极限求解的一种常用方法，通过研究数列的性质和极限，可以推导出函数的极限值。
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限，本例中当 时， ，表明 与1无限接近，但 ,所以 这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
?三、 分子(母)有理化求极限例:求极限 ??分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例：求极限30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。
五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。
此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例：例：求极限?七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。
如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。
也就说，极限号与可以互换顺序。
例：求令因为在点处连续所以八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。
洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。
如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。
几类极限问题中的方法与技巧摘要:本文主要研究极限中比较重要的两大类极限：数列极限和一元函数极限，介绍它们所涉及的方法和技巧。
首先简略介绍了它们各自的定义，其次重点介绍它们各自求解的方法和技巧，例如：数列极限有单调有界准则求法、级数收敛必要性求法、Stolte公式求法以及归结原则求法；一元函数极限有洛必达法则求法、两个重要极限求法以及泰勒公式求法。
不仅如此，在某些具体求解方法就其中要注意的细节、容易出错的地方以及求解技巧都做了说明。
最后本文还涉及了它们各自在现实生活中的应用，以便我们更深入的了解它们，并对它们的重要性理解更透彻。
关键字：一元函数极限；极限；数列极限；技巧Abstract:This paper mainly studies the limit is important in two major types of limit: a sequence limit and a unary function limit, introduce their involves the methods and skills.The author briefly introduced the first of their respective definition, secondly introduced their own solution of the methods and skills, such as the criterion of monotone bounded solution, the series converges necessity method, Stolte formula method and Heine theorem; A unary function limit has L’Hospital method, two important limit method and Taylor formula is also given. Not only that, in some specific solution of should pay attention to detail, easy to make a mistake of the place and solution techniques are illustrated. Finally, this paper also involved in their respective application in real life, so that we more in-depth understanding of them, and of their importance to understand more thoroughly .Key Words: a unary function limit; limit; a sequence limit; skills目录引言 (3)第一章极限的概念 (4)1.1 数列极限的定义 (4)1.2 函数极限的定义 (4)第二章数列极限问题的方法和技巧 (5)2.1单调有界准则 (5)2.2级数收敛的必要条件法 (6)2.3Stoltz公式法 (7)2.4归结原则法 (8)第三章函数极限的问题方法和技巧 (9)3.1洛必达法则 (9)3.2两个重要极限 (11)3.3泰勒公式法 (12)第四章极限的应用 (14)一、数列极限的应用 (14)4.1市场经营中的稳定性问题 (14)4.2购房按揭贷款分期偿还 (15)二、函数极限的应用 (16)第五章结论 (17)第六章谢辞 (18)参考文献 (19)引言众所周知，极限的概念和思想在整个基础数学中都非常重要。
研究变量在无限变化中的变化趋势，从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变，都要用到极限。
在高等数学中，极限是研究微积分的重要工具，也是研究导数的基础，对于极限的计算，除常规方法外，还有许多方法与技巧。
对于求解一些复杂数列或函数的极限，按照极限的定义解十分困难，不仅计算量大，而且不易求出结果，利用这些特殊方法可以达到巧妙求解的目的。
极限是微积分中最基本、最主要的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，而在无限变化过程中考察变量的变化趋势，从以上可以看出研究极限是具有一定的理论意义和现实意义。
掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。
但极限定义并未直接提供如何去求极限。
求极限的方法因题而异,变化多端,有时甚至感到变幻莫测无从下手,本文总结几种常用的求极限的方法以供参考。
解题时要针对不同的数列极限和一元函数极限的特点采用相应的方法和技巧，同时注意每种解决问题方法的适用范围，当然，除常规方法外还有许多技巧，这些技巧隐含在一元函数论和数列的相关理论中，对于这些技巧进行归纳总结，不仅有教材建设现实意义，而且还有深刻的理解意义。
第一章 极限的概念首先，在研究极限问题时，我们要时刻明确其中心问题就两个：一是证明极限存在性二是求极限的值。
当然如果我们求出极限值，其自然极限的存在性也就被证明了。
反之，证明极限的存在性，就是为了求极限铺平道路，两者相辅相成；其次，在讨论和研究各类极限方法和技巧时，我们还要弄清楚极限的概念，这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础。
1.1数列极限的定义定义（N ε-语言）：对一数列{}n x ，若存在常数a ，对于任意0ε>，总存在正整数N ，使得当n>N 时，-a n x ε<成立，那么就称a 是数列{}n x 的极限，或称{}n x 收敛于a ，记作n lim n x a →+∞=1.2函数极限的定义定义（N ε-语言）：设函数()f x ，x 大于某一正数时有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正整数X ，使得当x X >时，()-f x A ε<成立，那么就称A是函数()f x 在无穷大处的极限。
设函数()f x 在0x 处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，，总存在正数δ，使得当0x x ε-<时，()-f x A ε<成立，那么就称A 是函数()f x 在0x 处的极限。
第二章 数列极限问题的方法和技巧2.1 单调有界准则知识储备：单调有界数列必有极限。
我们在使用单调有界准则时需要证明两个问题：一是数列的单调性，而是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
在使用单调有界准则的时候，往往为了证明其有界性，常常使用缩放的方法来寻找其上界或下界，当然，这个缩放要掌握一个度，缩放的好坏对问题的求解非常重要。
因此，在求极限的有关问题中，这个技巧我们必须掌握。
例2.1.1：设数列{}n x 满足11()2n n na x x x +=+，且0a >，10x >，求证lim n n x →∞存在并求之。
证明：（1）存在性112n n n a x x x +⎛⎫=+≥=⎪⎝⎭所以0n x ≥>，即{}n x 有下界； 21122n n n n n n na x a x x x x x x +⎛⎫--=+-=⎪⎝⎭因为n x ≥，即有2n x a ≥，所以10n n x x +-≤，即1n n x x +≤，于是数列{}n x 单调递减。
故数列{}n x 为单调有界数列，必有极限。
（2）求极限设lim n x x x →∞=（由极限性质知0x >）在等式112n n n a x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取极限可得： 12a x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解这个方程可得x =故lim n x x →∞=2.2级数收敛的必要条件法知识储备：级数收敛的必要条件：若级数n n u ∞∑收敛lim 0n n u →∞=，利用该条件，可以求极限，而且利用此条件可以判断级数敛散性。
对于级数收敛性有这样的一个推广定理：设数列{}n x ，对n=1,2,3,…，及某一自然数p,满足：12n n n p y c x c x +=+，12c c <，则：lim n n y A →∞=的必要充分条件是：12lim n n A x c c →∞=+例2.2.1：求lim(0)!nn cc n →∞>解：考虑级数!ncn ∑，因为0c >，故由正项级数的比式判别法可得1lim/lim01(1)!!1n nn n cccn n n +→∞→∞==<++，，从而我们知道级数!ncn ∑收敛，则其通项趋于0（n →∞），即lim0!nn cn →∞=例2.2.2：求极限212lim ...(1)n n n a aaa →∞⎛⎫+++>⎪⎝⎭.解：令1x a=，所以01x <<，考虑正项级数n nx ∑，因为11(1)1limlimlimn n n n n x nu n xn x xu nxn++→∞→∞→∞++===，且01x <<，所以此级数收敛。
所求极限存在，现在问题转换为求正项级数的和函数故令1()nn s x nx ∞==∑，则11()n n s x x nx∞-==∑，又令1()n nf x nx∞-=∑，11111()1x xx n n nn n n x f t dt ntdt ntdt x x∞∞∞--=======-∑∑∑⎰⎰⎰所以'21()1(1)x f x x x ⎛⎫== ⎪--⎝⎭ 而1212()()(1)(1)x as x xf x x a --===--故所求极限121212lim ...()(1)n n n a s x a aa a --→∞⎛⎫+++== ⎪-⎝⎭2.3 Stoltz 公式法知识储备：Stoltz 定理1：设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →∞=+∞。
如果11lim n n n n n y y ax x -→∞--=-，则11limlimn n n n n nn n y y y a x x x -→∞→∞--==-Stoltz 定理2：设数列{}n x 严格减，且lim 0n n x →∞=，lim 0n n y →∞=，如果11limn n n n n y y a x x -→∞--=-，则11limlimn n n n n nn n y y y a x x x -→∞→∞--==-例2.3.1：求112 (i)k k kk n nn+→∞+++.解：112 (i)kkk k n nn+→∞+++=11lim(1)kk k n n nn ++→∞-- （Stoltz 公式）=121111lim (1)kkk k n k k nC n C n-+→∞++-+--=111k C+ =11k +2.4 归结原则法知识储备：海涅定理：设f 在00(,)U x δ内有定义。
