下载文档原格式
抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ 结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
探究性学习抛物线焦点弦探究性学习是一种以发展探究思维为目标，以学科的核心知识为内容，以探究发现为主的学习方式。
在中学数学教学中，引导学生开展探究性学习，对我们每一个数学教师来说，是一个谁也不可回避的新课题。
本节以现行高中新教材P.61的“例3：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于A、B，求线段AB的长”的教学过程设计为例，谈一谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习，现将教学过程的设计介绍如下：1 分步推进，引导学生探究多解本节课一开始，教师就让学生认真阅读例3，并思考如何解决以下3个问题：①求出直线AB的方程。
②求出交点A、B的坐标。
③如何求线段AB的长？计算AB长是否一定要具体计算A、B的坐标？由于创设了一题多解的情境，对于问题③，学生中出现了3种解题思路：思路1 ：先求交点坐标，然后直接运用两点间的距离公式求线段AB的长。
思路2 ：根据抛物线定义，把线段AF与BF转化为线段AA/和BB/（图见教材P61上的图，也是下文提到的“题图”）。
思路3：利用圆锥曲线的弦长公式。
那么，哪种解法最好呢？教师请学生用三种解法分别解之，并加以比较。
经过演算，大家一致认为，思路1虽然想起来很顺，但运算量较大；思路2从焦点弦的特殊性入手，是数形结合思想的典型应用，是解本题的最佳解法；思路3利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，也不失为一种好方法。
以上过程通过创设问题情境，激发了学生的探究欲望，使他们主动地参与到课堂教学中，做学习的主人，并自主整和了知识结构，对3种解题方法有了一定的认识。
2 辨析深化，探究解法的选择标准在完成了上述任务的基础上，教师接着提出了下列问题：问题1：斜率为1的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线相交于A、B两点，且线段AB=8，求p的值.问题1是例3的逆向问题，由于有了例3的解题体验，学生们不约而同地选择了思路2的解法，得p=2。
《抛物线y 2=2px(p>0)焦点弦性质初探》教学设计教学背景：在圆锥曲线基本知识已讲解完的前提下，利用抛物线其中一种标准形式为载体，课后习题变式为突破口，指导学生展开探究式学习。
让学生掌握自主学习的方法，即通过做一些题总结提炼出一些有用的解题小结论。
同时亦可指导学生对椭圆、双曲线相关性质自主展开类似的研究。
教学目标：掌握抛物线焦点弦的一些重要性质，并能自主研究出一些有用的小结论。
教学难点：学生探究式学习方法使用教学模式：合作探究式教学过程：例：已知抛物线22y px =上两点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：若直线AB 过焦点F ，则212y y p =-。
析：从要证的结论212y y p =-你能联想到什么？从12y y 联想到根与系数的关系从而想到联立方程组消x ，故首先设直线方程再联立求解。
（解答过程略）第一次探索：上述例题的逆命题是什么？它是真命题吗？逆命题：已知殷物线22y px =上两点1122(,),(,)A x y B x y ，若212y y p =-，则直线AB 过焦点F 。
容易验证上述例题的逆命题亦是真命题。
所以我们实际上得到了一个充要条件，亦可说得到一个“定理”：已知抛物线22y px =上两点1122(,),(,)A x y B x y ，若直线AB 过焦点F ⇔212y y p =-。
第二次探索：在弦AB 过焦点的条件下，我们还能够获得什么结论呢？（自我发现+合作探究）提示：弦AB 过焦点F 的充要条件是否只有一种表达形式呢？在弦AB 过焦点F 的条件下，我们还能够获得什么结论？联想我们以前做过的相关习题，看看是否能有所收获。
成果1：抛物线22y px =上两点1122(,),(,)A x y B x y ，则AB 过焦点F 的充要条件是2124p x x =。
析：A 、B 在抛物线上222112222,2,y px y px y p ⇒===-⇒1又y 两式相乘，化简即得2124p x x =。
抛物线的几何性质（第一课时）
---------抛物线的焦半径和焦点弦
一、教学目标
1.知识与技能
掌握抛物线焦点弦的有关性质。
2.过程与方法
在进一步培养数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法的过程中，提高学生的研究性学习能力。
3.情感态度与价值观
培养学生科学探索精神，体验合作与分享的快乐。
二、教材分析
教学重点：抛物线焦点弦有关性质的探究。
教学难点：梳理探究问题的方法，培养解决问题的能力。
教学方法：探究讨论式。
三、课堂设计
提问、探究、讲解、练习、总结．
四、教学过程
y2 = 4x 的焦点。
抛物线的焦点弦教学设计一、教学目标通过本节课的教学，学生将达到以下几点目标：1. 理解抛物线的定义和性质；2. 掌握抛物线的焦点弦的概念及相关公式；3. 能够运用所学知识，解决与焦点弦相关的问题。
二、教学重难点1. 理解抛物线的焦点弦的定义和性质；2. 掌握抛物线的焦点弦的相关公式；3. 运用所学知识解决与焦点弦相关的问题。
三、教学准备1. 教学课件或黑板；2. 教学参考书或资料；3. 相关练习题和解答。
四、教学过程1. 导入（5分钟）引发学生对抛物线的兴趣，可以通过展示一些与抛物线相关的实例，如喷泉、太阳能反射器等，激发学生对抛物线的好奇心和探索欲望。
2. 理论讲解（20分钟）2.1 抛物线的定义和性质- 引导学生复习抛物线的定义，即平面上一点到定点F的距离与该点到直线l的距离相等。
- 引导学生探讨抛物线的几何形状和对称性质，并给出相关例题进行演示和讲解。
2.2 焦点弦的定义和性质- 引导学生理解焦点弦的概念，即经过焦点的直线，与抛物线相交于两个点，并且这两个交点相互关于焦点对称。
- 引导学生推导并记忆焦点弦的相关公式，包括焦点弦长、焦点弦的中点坐标和焦点弦的斜率等。
2.3 相关例题分析- 结合具体的例题，引导学生运用所学知识解决与焦点弦相关的问题，包括求焦点弦的长度、确定焦点弦的中点坐标等。
3. 讲解练习题（20分钟）通过展示和讲解一些相关的练习题，引导学生进一步理解和巩固所学知识点，并激发他们的思考和解题能力。
4. 小组讨论与分享（15分钟）将学生分成小组讨论，并让他们就所学知识点进行讨论和解题。
鼓励学生互相交流和分享各自的解题思路，并辅导他们在思考中发现和纠正自己的错误。
5. 总结与展望（5分钟）对本节课的内容进行总结，确保学生能够掌握和理解抛物线的焦点弦的概念和相关公式。
同时，展望下节课将要学习的内容，以激发学生的学习兴趣和预习能力。
五、板书设计为了简洁明了，可以在黑板或教学课件上进行板书设计：- 抛物线的定义- 抛物线的性质- 焦点弦的定义- 焦点弦的性质- 焦点弦的相关公式六、课堂作业布置一些与焦点弦相关的练习题，让学生独立完成，并要求他们写出解题过程和答案。
标题：抛物线的性质——焦点弦的常用结论说明：本教学设计是提炼了抛物线的一些常用结论在具体解题中的应用与深入，配有中学生比较喜爱的来自网络的数学歌曲——小苹果之《圆锥曲线》及用几何画板给出图像的运动变化来帮助学生直观的理解知识，对得到的结论又用学生看得见的图像运动的变化数据进行验证。
培养学生用运动的观点来学习数学，提高学生的学习兴趣！同时也用简便的方法解决了抛物线中比较难的知识点，符合现在提倡结合多媒体进行教学的要求。
体现了数形结合思想！课堂设计简洁、明了，思路清晰！抛物线的性质——焦点弦的常用结论教学目的：帮学生去探讨抛物线焦点弦的一些性质，并能应用于以后的解题中.教学重点：抛物线焦点弦长度的简便计算，两端点坐标的定值关系，及角的关系.教学难点：抛物线焦点弦的一些性质的推导与证明.教学过程： 一、复习引入1、如图，若_______|PA |),,(=则y x P . 焦半径_____.__________|PF |=2、已知直线3-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长.分析：①设建方程组：⎩⎨⎧-==342x y x y ；②消元得一元二次方程：01242=--y y ；③得出韦达定理：⎩⎨⎧-==+1242121y y y y ④画图求结论：28||212=-=y y d .设计意图：提醒学生牢固抛物线概念，它是解题之本.二、讲解新课1、将上面例题改为：已知直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 要求：①发现了什么？它告诉我们在以后的解题中要注重于观察！ ②已知直线经过焦点，属于特殊直线，求解方法有没有特殊性？ ③如果直线是过焦点的任意直线，有没有其他不变的结论？ 分析：①抛物线的焦点坐标为)0,1(，发现直线经过抛物线的焦点.②由复习1知，p x x ++=21|AB |.8||,6.016212=∴=+=+-∴AB x x x x . 结论1、抛物线的焦点弦长：p x x ++=21|AB |推论：当抛物线的焦点弦与对称轴垂直时，焦点弦长最短，此时的焦点弦称为抛物线的通经,其长为p 2.2、将问题一般化：已知直线）（0)2(≠-=k px k y 与抛物线px y 22=交于B A ,两点，求弦AB 的长. 分析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=+⇒=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=2212212221222222-4)2(04)2(2)2(p y y p x x k pk x x k p px k x k px y p x k y结论2、抛物线的焦点弦长：pkk21|AB|22⋅+=，特别的有⎪⎩⎪⎨⎧-==2212214pyypxx(其中2121,,,yyxx分别是BA,的横纵坐标。
《抛物线的焦点弦的性质探究》学案【学习目标】(1)掌握抛物线焦点弦的有关性质。
(2)在进一步培养数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法的过稈屮, 提高研究性学习能力。
(3)培养科学探索精神，体验合作与分享的快乐。
【学习重点】抛物线焦点弦有关性质的探究。
【学习导引】一、复习回顾1、抛物线的焦点弦：/ \设抛物线的方程为r =2px(p>0),过焦点F £,0作直线，交抛物线于12丿B(x2,y2)两点，则线段AB称抛物线的焦点弦。
2、结论：AF =x x BF2 - 2二、探究新知探究1：己知抛物线=2/u(p >0),过焦点F作一直线1交抛物线于人(站，)1)、B (x2,『2),则弦长I AB = ___________ 。
(提示：用A、B坐标表示)结论1：探究2：若肓线1的倾斜角为&,贝IJ弦长|AB|二_________(提示：表示为&的函数)结论2：探究3：过焦点的所有弦屮，何时最短？结论3：探究4：从刚才的解题过稈屮我们能占发现了A、B两点的坐标关系?(提示:寻找A、B坐标兀1，兀2，x，y2之间的量化关系) 结论4：探究5：是定值吗?FA FB结论5：探究6：若直线1的倾斜角为&,则____________________ o（提示：表示为&的函数）结论6：探究7：以AB为直径的関与抛物线的准线的位置关系？（提不：肓线与圆的位置关系是如何判定的？）结论7：探究&连接AFB'F （A\B'分别是A、B在准线上的射影）则AFB审有什么关系？（提示：两肓线的位置关系有哪些？该如何判定？）结论8：探究9：点的位置关系?结论9：【归纳小结】1、_________________________________________________________________ 数学知识：________________________________________________________________2、_________________________________________________________________ 数学思想方法：____________________________________________________________【学习拓展】【拓展1:性质的继续研究】如:1. A'F与AM'的交点是否在y轴上?2.BM\AM\A'F y B'F构成的四边形是什么四边形?3.线段EF平分角ZAEB;AF AEBF BE5-K AE +K BE = 0；6.当& =兰时AE丄BE,当& H兰时AE不垂宜于BE。
抛物线焦点弦的两个性质的教学设计最近我在教学中遇到这样一节课。
这节课虽不是事先准备好的研究课，但它却给我留下了深刻的印象。
这节课的最大特点是在学生探索的过程中，当学生产生了错误之后，教师不是简单地否定，再换一个同学说出正确的答案，而是抓住矛盾，深入分析，寻找错误的原因，研究正确的解决办法。
《平面解析几何》（抛物线焦点弦的两个性质）。
教学目标：1、认知目标：通过对抛物线焦点弦有关性质的探究，进一步改善对“抛物线”的认知结构。
2、能力目标：提高猜想、合情推理的能力，培养发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力。
3、情感目标：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辩证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，初步形成正确的数学观、创新意识和科学精神。
教学重点：形成主动参与和积极探索的人生态度，强化发现问题、提出问题的意识，倡导相互协作、成果共享的精神。
教学难点：直觉发现与逻辑证明（证实或证伪）。
教学过程：师：圆锥曲线的焦点弦问题是解析几何中一类非常重要的问题。
今天，我们就来共同研究抛物线焦点弦的有关性质。
当抛物线的焦点弦垂直于它的对称轴时，该焦点弦叫做抛物线的通径。
如图1，点F 是抛物线)0(22>=p px y的焦点，线段AB 是它的生众：（1）221px x ==；（2）221p y y -=；（3）4212p x x =；（4）p AB 2||=。
（这些结论相当简单，容易发现，详细过程略）师：能证明这些结论吗？生1：由通径的定义可知A 、B两点的坐标分别为)(),(22p ，、p p p -，所以，上述结论都成立。
生2：也可以由抛物线的焦半径公式2221||||p p x BF ，x AF +=+=，得到p x x AB p p 2||2221=+++=。
前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说：“人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈。
”因此，教师顺势提出：师：非常好！那么，对于通径中的这些结论，在抛物线的一般的焦点弦中会怎样呢？请看图2。
生3：p x x AB p p 2||2221=+++=，就是说，抛物线的焦点弦的长恒等于定值p 2。
此时，其他同学议论纷纷，反对者有之，质问者亦有之。
师：你是如何得到这个结论的？生3：类比通径的长猜想到的。
师：很好！没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现。
但是，猜想到的结论一定是正确的吗？生3与其他同学：不一定正确。
师：那么，能说明你的上述猜想是正确的还是错误的吗？始于猜想而不止于猜想。
上面的问句能激发学生的思维向深入发展，并促使学生将问题“数学化”。
生3在黑板前，借助图形连说带比画，想说明他的猜想是正确的。
这当然不会成功，但却给了他充分表达自己想法的机会和探索的时间。
师：哪位同学能伸出友谊之手，拉“兄弟”一把？生4：生3的猜想是错误的。
可以通过特例来检验。
生5：如图2，当抛物线的焦点弦。
AB的倾斜角小于90°时，焦半径AF的长大于图1中焦半径AF的长。
所以，图2中的||AB 大于图1中的||AB。
生众：可是，图2中的||BF。
|BF小于图1中的|生5：大于的那一部分要比小于的那一部分还要大。
生6：当抛物线的焦点弦AB的倾斜角由90°逐渐减小到0°时，抛物线的焦点弦就逐渐变成抛物线的对称轴，它的长度将由p2趋向无穷大。
英国心理学家贝恩布里说：“差错人皆有之，作为教师，对学生的错误不加以利用是不可原谅的。
”教师的责任就是帮助学生，认识错误并吸取其中的合理成分走向成功；当学生陷入困境时，教师要重新点燃学生思维的火花，使他们树立探索发现的勇气和信心。
师：太棒了！你们由图形的直观性否定了生3的猜想，特别是生6同学能用“极限思想”分析问题，更值得大家学习。
当然，我们也绝不能否定生3同学的这种做法，相反，我们应该非常感谢他给我们提出了一个极富挑战性的问题，从而锻炼了我们的思维，提高了我们分析问题、判断问题的能力。
在科学发现中，错误和失败不仅是在所难免的，也是我们所需要的，很多情况下，真理来自错误，成功源自失败。
那么，生3的猜想中有合理的地方吗？生7：由抛物线的焦半径公式知p x x x x AB p p ++=+++=212221||是正确的。
而且，由上面的讨论可知||AB ≥p 2。
怎样证明，我还没有想好。
生8：利用“均值不等式”得p x x AB ++=21||≥p x x +212，又因为，4212p x x =，所以，p x x AB ++=21||≥p p x x 2221=+。
生众：不对！在一般的焦点弦中，4212p x x =成立与否还不知道。
师：能证明或否定它吗？生9：设直线AB 的方程为)0)((2≠-=k x k y p ，与抛物线方程)0(22p ＞px y =联立就可以了。
师：感谢你为我们提供了一条解题思路。
请同学们都试一试。
一分钟后。
生10：联立两方程，消去y 得0)2(2241222=++-k p x p pk x k ，由根与系数的关系得4212p x x =。
师：研究解析几何问题一般离不开代数运算，一方面，要求我们要有一定的运算能力，敢于“硬碰硬”；另一方面，我们也应该牢记“见繁即变，见简即用，不效一法，乃为通术”的原则。
生11（数学课代表）：还可以设直线AB 的方程为2p my x +=，与抛物线方程)0(22>=p px y 联立，消去x 得0222=--p pmy y ，由根与系数的关系得221p y y -=，所以，44)(2122221p p y y x x ==。
师：妙极了！真是得来全不费功夫！有了上述结论，生8的猜想p x x AB +=21||≥p p x x 2221=+，就是一个真命题了。
这样我们就可以知道，抛物线的通径的长是焦点弦中最短的，那么，通径是否是抛物线的焦点弦中惟一最短的呢？生众：是的。
师：为什么？生12：由“均值不等式”中等号成立的充要条件可知，当且仅当221px x ==时，p AB 2||=，而此时抛物线的焦点弦AB 就是它的通径，所以，抛物线的通径是焦点弦中惟一最短的。
师：逻辑的严谨性是数学的主要特征。
由观察、猜想获得的结论，必须通过严谨的数学演绎论证，才能上升为数学定理。
请同学们小结一下上面的探索研究的结果。
生11：设AB 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，若)()(2221，y x ，B ，y x A ，则：p p x x p x x AB x x p y y p 22||)3(;)2(;)1(21214212212=+≥++==-=。
师：这是一些多么美妙的关系啊！我们还能发现什么结论吗？ 生3：由4212212,p x x p y y =-=得42121-=x x y y ，即，.4·-=OB OA k k …… 师：通过本节课的学习，我们还有哪些收获呢？生4：从特殊到一般及由直觉猜想到理性证明的研究问题的方法。
生6：焦点弦AB 绕焦点F 旋转时，有一些关系是固定不变的，这让我们体会到了“变”与“不变”的辩证关系。
生3：开始我想错了，但后来通过大家的讨论，我明白了错误的原因，我觉得我这节课收获最大。
师：真了不起！同学们能以哲学家的眼光来认识探索问题的过程，使老师又一次认识到你们身上蕴藏着巨大的潜能！同学们，数学的发生与发展充满着探索精神，从数学的发展来看，观察、实验、猜想、证实是发现问题和解决问题的重要途径。
“探索是数学的生命线。
”人类文明的每一点进步都是勇敢者不断探索的结晶。
那么，关于抛物线的焦点弦还有哪些性质呢？如果愿意继续探索，你们将会挖掘出更加丰富多彩、美妙绝伦的性质。
反思这节课得到启示：课堂教学中，学生的研究性学习过程是学生自主分析、研究、探索、发现的思维过程，是学生利用已有的知识和方法认识新事物、解决新问题的过程。
它与人类认识世界的过程没有本质上的差异，都要经历探索、实践、猜想、发现、失败、碰壁，再探索再实践，寻找失败的原因，不断总结经验，经多次反复，最终由失败走向成功的过程。
课堂教学中由于时间的限制，不可能让学生经历多次的反复，但学生的探索过程也不会一次成功。
研究性教学要展现学生的思维过程，应重点展示学生发生错误、产生障碍、克服困难、由失败走向成功的经历。
在学生探索实践的过程中，发生错误，产生障碍是正常的现象，没有失败，哪有成功？没有矛盾和冲突就没有研究和讨论的必要。
对于那种一问就会，一答就对的研究课，如果不是作假的话，那么就没有上的必要。
因此，我们特别希望在课堂教学中，在学生自己研究的过程中，看到学生是怎样产生错误的，又是如何解决的，我们把展现学生由失败走向成功的过程，视为研究性课堂教学的重要标志。
作业：1、将你们继续探索的结果，以命题的形式表达出来，并给出证明；2、根据探索中的体验与感受写一篇小作文。
