第8章杆系结构的有限元法

3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。

其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。

本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。

有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。

它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。

有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。

杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。

在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。

杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。

线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。

线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。

非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。

这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。

非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。

杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。

力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。

力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。

其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。

位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。

位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。

杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。

§3 平面杆系结构的线弹性有限元法§3.1 概论在有限元法中，可以采用位移法，也可以采用力法或混合法。

其中提出最早并且应用最广的是位移法。

对于平面杆系结构来说，位移法实际上就是结构力学中的矩阵位移法（也称刚度法），在计算时以结点位移作为基本未知量。

杆系结构的矩阵分析实际上就是有限元法。

其基本思路是：先把结构离散成有限个数目的单元，然后再考虑某些条件，将这些离散的单元重新组合在一起进行分析计算。

这样使一个复杂的计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。

根据这个思路，杆系结构的有限元法可分为两大步骤：（1）单元分析。

研究单元的受力与变形之间的关系；（2）整体分析。

研究如何将这些离散的单元重新组合得到与实际问题相符合的（如边界条件、外界荷载等等）的计算模型—整体刚度方程。

在有限元中，一般采用矩阵形式进行分析求解，因为矩阵运算不仅使公式非常紧骤，而且形式统一，易于编程，适合在电子计算机上进行自动求解。

因此，在有限元法的一般格式中，应尽量采用矩阵形式进行运算。

§3.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 单元的划分。

在杆系结构的有限元法中，一般将由相同材料、具有相同横截面的一根杆件（即等截面直杆）当成一个单元，整个结构就是由有限个杆件单元组成的集合体。

杆件单元具有2个结点，即首结点和末结点，但一般是先确定结点的位置，结点一旦确定，则结点之间的单元也就确定了。

在进行杆系结构的单元划分时，应注意如下事项：○1结点位置的确定。

结点一般选在杆件的如下位置：杆件的转折点、杆件汇交点、支承点、截面或材料的突变点，这些点都是结构的构造点，有时为了使结构只承受结点荷载，在集中荷载的作用处也设置一个结点。

○2结点的编号。

为了使集合以后的总刚的带宽最小，一般应遵循尽量使相关结点（有单元相连的结点）编号差值的最大值最小的原则进行。

2 单元刚度矩阵考虑一等截面的平面梁单元，单元首末结点分别为j i ,，单元长为l ，单元抗弯刚度为EI ，E 为材料的弹性模量，I 是截面的抗弯惯矩，取x 轴为沿梁单元中心轴，y 轴与x 轴成90o，如图1所示。

杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。

杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。

利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。

下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。

首先，进行前期准备工作。

这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。

这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。

接下来，建立有限元模型。

将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。

常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。

然后，确定单元刚度矩阵。

对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。

对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。

接着，组装全局刚度矩阵。

将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。

在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。

然后，应用边界条件。

根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。

这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。

接下来，求解结构的位移和应力。

通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。

位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。

最后，进行后处理。

在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。

通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。

综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。