连接体专题
1.如图7所示，在光滑水平地面上，水平外力F 拉动小车和木块一起做无相对滑动的加速运动．小车质量为M ，木块质量为m ，加速度大小为a ，木块和小车之间的动摩擦因数为μ，则在这个过程中，木块受到的摩擦力大小是( )
图7
A ．μmg B.mF M ＋m C ．μ(M ＋m )g
D ．ma
解析：选BD.m 与M 无相对滑动，故a 相同．对m 、M 整体：F ＝(M ＋m )·a ，故a ＝F
M ＋m
，
m 与整体加速度相同也为a ，即F f ＝mF
M ＋m
，又由牛顿第二定律，隔离m ：F f ＝ma ，故B 、D
正确．
2．如图9所示，一轻质弹簧上端固定，下端挂有一质量为m 0的托盘，盘中放有质量为m 的物体，当盘和物体静止时，弹簧伸长了l ，现向下拉盘使弹簧再伸长Δl 后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于( )
图9
A.????1＋Δl l (m ＋m 0)g
B.????1＋Δl l mg
C.Δl l mg
D.Δl l
(m ＋m 0)g 解析：选B.托盘和物体静止时，弹簧伸长了l ，对整体有 kl ＝(m ＋m 0)g
当刚松手时，盘处于向上加速状态，对整体有： k (l ＋Δl )－(m ＋m 0)g ＝(m ＋m 0)a
对物体m 由牛顿第二定律有F N －mg ＝ma
由以上各式解得F N ＝?
???1＋Δl
l mg ，故选B. 3. (2011·高考福建卷)如图10，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 和B .若滑轮有一定大小，质量为m 且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦．设细绳对A 和B 的拉力大小分别为F 1和F 2，已知下列四个关于F 1的表达式中有一个是正确的．请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是( )
图10
A ．F 1＝(m ＋2m 2)m 1g m ＋2(m 1＋m 2)
B ．F 1＝(m ＋2m 1)m 2g
m ＋4(m 1＋m 2)
C ．F 1＝(m ＋4m 2)m 1g m ＋2(m 1＋m 2)
D ．F 1＝(m ＋4m 1)m 2g
m －4(m 1＋m 2)
解析：选C.若将滑轮视为轻质，即m ＝0，而绳为轻质，故F 1＝F 2，由牛顿第二定律m 2g
－F 1＝m 2a ，F 1－m 1g ＝m 1a ，得F 1＝2m 2m 1g
m 1＋m 2
；当m ＝0时对各选项逐一进行验证，只有C 正
确；当m 1＝m 2时则F 1＝F 2＝m 1g ，同时对各选项逐一验证，只有C 正确．
4.如图所示，质量为M 的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m 的小球。小球上下振动时，框架始终 没有跳起，当框架对地面压力为零瞬间，小球的加 速度大小为（ d ） A.g B.
g m m M - C.0 D.g m
m
M + 5、（2012南京四校联考）如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 和3m 的三个木块，其中质量为2m 和3m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T 。现用水平拉力F 拉其中一个质量为3m 的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是 ( )
A ．质量为2m 的木块受到四个力的作用
B ．当F 逐渐增大到T 时，轻绳刚好被拉断
C ．当F
逐渐增大到
时，轻绳还不会被拉断
D ．轻绳刚要被拉断时，质量为m 和2m
的木块间的摩擦力为
6．如图所示，滑块A 、B 的质量均为m ，A 套在固定竖直杆上，A 、B 通过转轴用长度为L 的
刚性轻杆连接，B 放在水平面上并靠着竖直杆，A 、B 均静止。由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动。不计一切摩擦，滑块A 、B 视为质点。在A 下滑的过程中，下列说法中正确的是ac A ．A 、B 组成的系统机械能守恒
B ．在A 落地之前轻杆对B 一直做正功
C ．A 运动到最低点时的速度为gL 2
D ．当A 的机械能最小时，B 对水平面的压力大小为2mg
7、（2012湖北孝感一模）如图4所示，弹簧一端固定在天花板上，另一端连一质量m=2kg的秤盘，盘内放一个质量M =1kg 的物体，秤盘在竖直向下的拉力F作用下保持静止，F =30N，当突然撤去外力F的瞬时，物体对秤盘的压力为(g=10m/s2)
A. . 1ON
B. 15N
C. 20N
D.40N
答案：C
解析：当突然撤去外力F的瞬时，物体和秤盘所受向上合外力为30N，由牛顿第二定律可知，向上的加速度为10m/s
2
。根据题述，秤盘在竖直向下的拉力F作用
下保持静止，弹簧对秤盘向上拉力为60N。突然撤
去外力F的瞬时，对秤盘，由
牛顿第二定律，60N-mg-F N=ma，解得F N=20N，选
项 C 正确。
8、（2012年3月四川乐山市二模）如图所示,A、B两球完全相同，质量均为m，用两根等长的细线，悬挂在升降机的天花板上的O点，两球之间连着一根劲度系数为k的轻质弹簧，当升降机以加速度a竖直向上加速运动时，两根细线之间的夹角为θ。.则弹簧
的长度与原长相比缩短了（）
A．tanθ. B．tanθ
C．2tan. D．tan.、
9、 (2012·南京模拟)如图所示，两块粘连在一起的物块a和b的质量分别为m a和m b，把它放在水平的光滑桌面上．现同时给它们施加方向如图所示的推力F a和拉力F b.已知F a>F b，则a对b 的作用力( )
A．必为推力 B．必为拉力
C ．可能为推力，也可能为拉力
D ．不可能为零
10、 (2012·阳江一中模拟)如图3－3－21所示，竖直放置在水平面上的轻质弹簧上叠放着两物块A 、B ，A 、B 的质量均为2 kg ，它们处于静止状态，若突然将一个大小为10 N 、方向竖直向下的力施加在物块A 上，则此瞬间，A 对B 的压力大小为(g 取10 m/s 2
)( ) A ．10 N B ．20 N C ．25 N D ．30 N
11、如图所示，粗糙水平面上放置质量分别为m 、2m 和3m 的三个木块，木块与水平面间动摩擦因数相同，其间均用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T .现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是( ) A ．绳断前，a 、b 两轻绳的拉力比总为4∶1 B ．当F 逐渐增大到T 时，轻绳a 刚好被拉断 C ．当F 逐渐增大到1.5T 时，轻绳a 刚好被拉断
D ．若水平面是光滑的，则绳断前，a 、b 两轻绳的拉力比大于4∶1
12、如图所示，质量为m 1＝2 kg 的物体A 经跨过定滑轮的轻绳与质量为M ＝5 kg 的箱子B 相连，箱子底板上放一质量为m 2＝1 kg 的物体C ，不计定滑轮的质量和一切阻力，在箱子加速下落的过程中，g 取10 m/s 2
，下列正确的是( ) A ．物体A 处于失重状态，加速度大小为10 m/s 2
B ．物体A 处于超重状态，加速度大小为5 m/s 2
C ．物体C 处于失重状态，对箱子的压力大小为5 N
D ．轻绳对定滑轮的作用力大小为80 N
13、（2012年3月山东威海一模）如图所示，在光滑水平面上以水平恒力F 拉动小车和木块，让它们一起做无相对滑动的加速运动，若小车质量为M ，木块质量为m ，加速度大小为a ，木块
和小车间的动摩擦因数为
.对于这个过程，某同学用了以下4个式子来表达木块受到的摩擦力
的大小，下述表达式一定正确的是 A. F-Ma B.(M+m )a C.μmg D. Ma
答案： A 解析： 它们一起做加速度大小为 a 的加速运动， 隔离木块， 由牛顿第二
定律，木块受到的摩擦力的大小为 f=ma ；对小车和木块整体，应用牛顿运动定
律， F=( M+m ) a ，解得 ma= F ‐ Ma ，选项 A 正确 BCD 错误。
14．(2010淮阴中学卷)如图，在光滑水平面上，放着两块长度相同，质量分别为M 1和M 2的
木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块。开始时，各物均静止，今在两物体上各作用一水平恒力F 1、F 2，当物块和木板分离时，两木板的速度分别为v 1和
v 2，物体和木板间的动摩擦因数相同，下列说法正确的是 ( BD )
A ．若F 1＝F 2，M 1＞M 2，则v 1＞v 2
B ．若F 1＝F 2，M 1＜M 2，则v 1＞v 2
C ．若F 1＞F 2，M 1＝M 2，则v 1＞v 2
D．若F1＜F2，M1＝M2，则v1＞v2
15、（2012年3月陕西宝鸡第二次质检）如图所示，一辆小车静止在水平面上，在小车上放一个质量为m=8kg的物体，它被一根水平方向上拉伸了的弹簧拉住而静止在小车上，这时弹簧的弹力为6N．现沿水平向右的方向对小车施以作用力，使小车由静止开始运动起来，运动中加速度由零逐渐增大到1m/s2，随即以1m/s2的加速度做匀加速直线运动．以下说法正确的是
A．物体受到的摩擦力一直减小
B．当小车加速度大小为0.75 m/s2时，物体不受摩擦力作用
C．物体与小车始终保持相对静止，弹簧对物体的作用力始终没有发生变化
D．小车以l m/s2的加速度做匀加速直线运动时，物体受到的摩擦力为8N
16．物体M放在光滑水平桌面上，桌面一端附有轻质光滑定滑轮，若用一根跨过滑轮的轻绳系住M，另一端挂一质量为m的物体，M的加速度为a1，若另一端改为施加一竖直向下F＝mg的恒力，M的加速度为a2，则()
图8
A．a1＞a2B．a1＝a2
C．a1＜a2D．无法确定
解析：选C.对M和m组成的整体，由牛顿第二定律F＝(M＋m)a1，a1＝F
M＋m
，另一端改
为施加一竖直向下的恒力F＝Ma2，a2＝F
M，所以a1＜a2，C正确．
17.两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图11所示，滑块A、B的质量分别为M、m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度沿斜面滑下，滑块B受到的摩擦力()
图11
A．等于零B．方向沿斜面向上
C．大小等于μ1mg cosθD．大小等于μ2mg cosθ
解析：选BC.对A、B整体，设其下滑加速度为a，由牛顿第二定律
(M ＋m )g sin θ－μ1(M ＋m )g cos θ＝(M ＋m )a ，可得a ＝g (sin θ－μ1cos θ)．由于a ＜g sin θ，故B 受力如图．由牛顿第二定律mg sin θ－F f B ＝ma ，解得F f B ＝μ1mg cos θ，故B 、C 正确． 18.如图(a)所示,光滑水平面上停放着一辆上表面粗糙的平板车,质量为M,一质量为m 的铁块以水平初速度v 0滑到小车上,两物体开始运动,它们的速度随时间变化的图象如图（b ）所示（t 0是滑块在车上运动的时间）,则可以断定 （ ）
A.铁块与小车最终滑离
B.铁块与小车的质量之比m:M=1：1
C.铁块与小车表面的动摩擦因数μ=
3gt v 0
D.平板车上表面的长度为6
50o
t v 答案 ABC
19.如图所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块 A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至 少以加速度a ＝ 向左运动时，小球对滑块的压力等 于零。当滑块以a ＝2g 的加速度向左运动时，线的拉力大小 F ＝ 。
g 、mg 5
20.如图所示，质量为M 的木板可沿倾角为θ的光滑斜面下滑， 木板上站着一个质量为m 的人，问（1）为了保持木板与斜面相 对静止，计算人运动的加速度？（2）为了保持人与斜面相对静止， 木板运动的加速度是多少？
（1）为了使木板与斜面保持相对静止，必须满足木板在斜面上的合力为零，所以人施于木板的摩擦力F 应沿斜面向上，故人应加速下跑。现分别对人和木板应用牛顿第二定律得：
对木板：Mgsin θ＝F 。
对人：mgsin θ+F ＝ma 人（a 人为人对斜面的加速度）。 解得：a 人＝
θsin g m
m
M +，方向沿斜面向下。 （2）为了使人与斜面保持静止，必须满足人在木板上所受合力为零，所以木板施于人的摩擦力应沿斜面向上，故人相对木板向上跑，木板相对斜面向下滑，但人对斜面静止不动。现分别对人和木板应用牛顿第二定律，设木板对斜面的加速度为a 木，则：
对人：mgsin θ＝F 。 对木板：Mgsin θ+F=Ma 木。
解得：a 木＝
θsin g M
m
M +，方向沿斜面向下。即人相对木板向上加速跑动，而木板沿斜面向下滑动，所以人相对斜面静止不动。
答案：（1）（M+m ）gsin θ/m ，（2）（M+m ）gsin θ/M 。
21．(14分)如图所示，质量m A =1.Okg 的物块A 放在水平固定桌面
上，由跨过光滑小定滑轮的轻绳与质量m B =1.5kg 的物块B 相连。轻绳拉直时用手托住物块B ，使其静止在距地面h =0.6m 的高度处，此时物块A 与定滑轮相距L 。已知物块A 与桌面间的动摩擦因数
μ=0.25，g 取1Om/s 2
。现释放物块B ，物块B 向下运动。 (1)求物块B 着地前加速度的大小及轻绳对它拉力的大小。
(2股物块B 着地后立即停止运动，要求物块A 不撞到定滑轮，则L 至少多长?
解：(1)设加速度大小为a ，轻绳对B 拉力的大小为F ，根据牛顿运动定律 有
对A ：a m g m F A A =-μ （2分） 对B ：a m F g m B B =- （2分）
2/5s m m m g
m g m a B
A A
B =+-=
μ （1分）
N a g m F B 5.7)(=-= （1分）
（2）设物块B 着地前的速率为v ，根据牛顿运动定律、运动学公式 有
对A ：ah v 202
=- （1分）
1a m g m A A =μ （2分）
112)(20x a v -=- （2分）
解得m a ah
x 2.11
1==
（1分） 由题意知：1x h L +≥ （1分）
所以，L 至少m 8.1 （1分）
22.如图13所示，质量分别为m A 、m B 的两个物体A 、B ，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A 置于倾角为θ的斜面上，B 悬空．设A 与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A 在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力的大小．
图13
解析：设绳中张力为F T ，A 、B 运动的加速度的大小为a ，对A 在沿斜面方向由牛顿第二定律有：m A g sin θ－F T ＝m A a ，
对B 在竖直方向由牛顿第二定律得：F T －m B g ＝m B a ， 联立以上两式得： a ＝(m A sin θ－m B )g m A ＋m B ，F T ＝m A m B (1＋sin θ)g m A ＋m B
.
此时A 对斜面的压力为F N1＝m A g cos θ，斜面体的受力如图所示，在水平方向有：F ＋F T cos θ＝F N1sin θ，
得：F ＝m A (m A sin θ－m B )g cos θ
m A ＋m B
.
[说明：本题后半部分的求解也可以利用整体结合正交分解法求解斜面受到的竖直挡壁的作用力．
将A 、B 和斜面组成一个系统，系统在水平方向上受到的外力只有竖直挡壁的弹力F ，三个物体中只有A 有水平方向的加速度a Ax ＝a cos θ，故对系统由牛顿第二定律有F ＝m A a Ax ，
解得F ＝m A (m A sin θ－m B )g
m A ＋m B
cos θ]
答案：m A (m A sin θ－m B )g m A ＋m B
cos θ
23、（2010北京海淀模拟）如图所示，一质量M ＝4.0kg 、长度L=2.0m 的长方形木板B 静止在光滑的水平地面上，在其右端放一质量m ＝1.0kg 的小滑块A （可视为质点）。现对A 、B 同时施以适当的瞬时冲量，使A 向左运动，B 向右运动，二者的初速度大小均为2.0m/s ，最后A 并没有滑
离B 板。已知A 、B 之间的动摩擦因数μ=0.50，取重力加速度g =10m/s 2
。求：（1）经历多长时间A 相对地面速度减为零；
（2）站在地面上观察，B 板从开始运动，到A 相对地面速度减为零的过程中，B 板向右运动的距
离；
24、（2012年2月陕西师大附中第四次模拟）如图所示，长12m 、质量为50kg 的木板右端有一立柱，木板置于水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数为0.1，质量为50kg 的人立于木板的左端。木板与人都静止。当人以4m/s 2
的加速度向右奔跑至板的右端时，立即抱住立柱。取g=10m/s 2
。试求：
（1）人在奔跑过程中受到的摩擦力的大小？ （2）人在奔跑的过程中木板的加速度.
（3）人从开始奔跑至到达木板的右端时，人和木板对地各运动了多大距离？
25．长为1.5m 的长木板B 静止放在水平冰面上，小物块A 以某一初速度从木板B 的左端滑
上长木板B ，直到A 、B 的速度达到相同，此时A 、B 的速度为0.4m/s ，然后A 、B 又一起在水平冰面上滑行了8.0cm 后停下．若小物块A 可视为质点，它与长木板B 的质量相同，A 、B 间的动摩擦因数μ1=0.25．求：（取g =10m/s 2） （1）木块与冰面的动摩擦因数． （2）小物块相对于长木板滑行的距离．
（3）为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上长木板的初速度应为多大？ 解析：（1）A 、B 一起运动时，受冰面对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度
222 1.0m/s 2v a g s
μ=== 解得木板与冰面的动摩擦因数μ2=0.10
（2）小物块A 在长木板上受木板对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度 a 1=μ1g =2.5m/s 2
小物块A 在木板上滑动，木块B 受小物块A 的滑动摩擦力和冰面的滑动摩擦力，做匀加速运动，有μ1mg －μ2(2m )g =ma 2 解得加速度a 2=0.50m/s 2
设小物块滑上木板时的初速度为v 10，经时间t 后A 、B 的速度相同为v
由长木板的运动得v =a 2t ，解得滑行时间2
0.8s v
t a =
= 小物块滑上木板的初速度 v 10=v ＋a 1t =2.4m/s
小物块A 在长木板B 上滑动的距离为22120112110.96m 22
s s s v t a t a t ?=-=--= （3）小物块A 滑上长木板的初速度越大，它在长木板B 上相对木板滑动的距离越大，当滑动距离等于木板长时，物块A 达到木板B 的最右端，两者的速度相等（设为v ′)，这种情况下A 的初速度为保证不从木板上滑落的最大初速度，设为v 0． 有220121122
v t a t a t L --=
012v v a t v a t ''-==
v
由以上三式解得，为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上长木板的初速度不
大于最大初速度0 3.0m/s v =
26如图所示，一长木板质量为M ＝4kg ，木板与地面的动摩擦因数μ1＝0.2，质量为m ＝2kg 的小滑块放在木板的右端，小滑块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.4。开始时木板与滑块都处于静止状态，木板的右端与右侧竖直墙壁的距离L =2.7m 。现给木板以水平向右的初速度v 0
＝6m/s 使木板向右运动，设木板与墙壁碰撞时间极短，且碰后以原速率弹回，取g=10m/s 2
，求：
（1）木板与墙壁碰撞时，木板和滑块的瞬时速度各是多大？ （2）木板与墙壁碰撞后，经过多长时间小滑块停在木板上？
9. （ 14 分）解析：
（ 1 ）木板获得初速度后，与小滑块发生相对滑动，木板向右做匀减速运动， 小滑块向右做匀加速运动，加速度大小分别为：
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a m =
m f
m
= μ 2 g ＝ 4m/s
2
① （ 2 分）
a M =
M
1
1
1分
27．（15分）如图所示，质量M = 4.0kg 的长木板B 静止在光滑的水平地面上，在其右端放
一质量m = 1.0kg 的小滑块A （可视为质点）。初始时刻，A 、B 分别以v 0 = 2.0m/s 向左、向右运动，最后A 恰好没有滑离B 板。已知A 、B 之间的动摩擦因数μ = 0.40，取g =10m/s 2。求：
⑴ A 、B 相对运动时的加速度a A 和a B 的大小与方向； ⑵ A 相对地面速度为零时，B 相对地面 运动已发生的位移x ； ⑶ 木板B 的长度l 。
⑴ A 、B 分别受到大小为μmg 的作用，根据牛顿第二定律
对A 物体：μmg = ma A ……………………………………………………………… 1分
则a A = μg = 4.0m/s 2 ……………………………………………………1分 方向水平向右 ………………………………………………………… 1分
对B 物体：μmg = Ma B ………………………………………………………………1分
则a B =μmg /M = 1.0m/s 2 …………………………………………… 1分 方向水平向左 ………………………………………………………… 1分
⑵ 开始阶段A 相对地面向左做匀减速运动，速度为0的过程中所用时间为t 1，则
v 0 = a A t 1，则t 1 = v 0/a A = 0.50s ……………………………………………………1分 B 相对地面向右做减速运动x = v 0t -
2
1a B t 2
= 0.875m …………………………1分 ⑶ A 向左匀减速运动至速度为零后，相对地面向右做匀加速运动， 加速度大小仍为a A = 4.0m/s 2； B 板向右仍做匀减速运动，
加速度大小仍a B = 1.0m/s 2；…………………………………………………1分 当A 、B 速度相等时，A 相对B 滑到最左端，恰好不滑出木板，
故木板B 的长度为这个全过程中A 、B 间的相对位移；……………………1分 在A 相对地面速度为零时，B 的速度v B = v 0 – a B t 1 = 1.5m/s ………………1分 设由A 速度为零至A 、B 相等所用时间为t 2，则 a A t 2 = v B – a B t 2， 解得t 2 = v B /(a A + a B ) = 0.3s ；
共同速度v = a A t 2 = 1.2m/s ………………………………………………………1分 A 向左运动位移x A = (v 0－ v )(t 1 + t 2)/2 = (2 – 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m = 0.32m………1分 B 向右运动位移x B = (v 0+ v ) (t 1 + t 2)/2 = (2 + 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m 1.28m………1分 B 板的长度l = x A + x B = 1.6m……………………………………………………1分
其他：能量守恒定律μmgl =
21(M + m )v 02 – 2
1
(M + m )v 2，代入数据解得l = 1.6m 图像解法l =
2
)
(2210t t v = 1.6m 或其他解法正确皆可
28．（2010长沙市一中卷）如图所示，质量M = 1kg 的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1，在木板的左端放置一个质量m =1kg 、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ2=0.4，取g =10m/s 2
，试求：
（1）若木板长L =1m ，在铁块上加一个水平向右的恒力
F =8N ，经过多长时间铁块运动到木板的右端？
（2）若在铁块上的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向左的力F ，通过分析和计算后，请在图中画出铁块受到木板的摩擦力f 2随拉力F 大小变化的图像。（设木板足够长）
解析：（1）木块的加速度大小 21F mg a m
μ-=
=4m/s 2
铁块的加速度大小 2
12()mg M m g
a M
μμ-+==2m/s 2 设经过时间t 铁块运动到木板的右端，则有
22
1
21122
a t a t L -=
解得：t =1s
（2）①当F ≤ μ1（mg +Mg ）=2N 时，A 、B 相对静止且对地静止，f 2=F ②设F =F 1时，A 、B 恰保持相对静止，此时系统的加速度 2a a ==2m/s 2
以系统为研究对象，根据牛顿第二定律有
11()()F M m g M m a μ-+=+
解得：F 1=6N
所以，当2N 相对静止，系统向右做匀加 速运动，其加速度 1()12 F M m g F a M m μ-+= =-+, 以M 为研究对象，根据牛顿第二定律有 21()f M m g Ma μ-+=, 解得：212 F f = + ③当F >6N ，A 、B 发生相对运动，22f mg μ==4N 画出f 2随拉力F 大小变化的图像如右 29.如图所示，一长为L =4m ，质量M =0.5㎏的木板AB ，正以v =4m/s 的速度（相对地）在光滑水平面上向右运动，此时在木板AB 上表面B 端处，小物块m =2㎏受水平向左的拉力F =6N 作用，从初速为零（相对地）开始运动，已知m 与M 间的动摩擦因数μ=0.1，g =10m/s 2 .试求： ⑴ 小从物块m 开始运动, 经过多长的时间木板速度减小为零? ⑵ 小物块m 从木板B 端运动到A 端的过程中，木板在地面上的位移大小是多少？ 解1：⑴ 设m 和的加速度分别为a 1和a 2,根据牛顿第二定律有： 2 1021.061??-= -=m mg F a μ m/s 2=2.0m/s 2 方向向左 5 .01021.02??= = M mg a μ m/s 2=4.0m/s 2 方向向左 《M 》 v = a 2t 1 t 1 = 1s ⑵ 设小物块m 从木板B 端运动到A 端的过程中所用时间为t 2,取向左为正方向 小物块m 的位移：s 1=21a 2t 2 2 木板M 的位移：s 2=-vt 2 +21a 1t 2 2 由几何关系可得： s 1-s 2 = 21a 2t 2 2-（-vt 2 +2 1a 1t 2 2）= 4t 2-t 2 2= L ? t 2= 2.0s 木板在地面上的位移： s 2 =-4t 2 +2 t 2 2= 0 解2:过程1：对m ： a 1 = m mg F μ-=2.0m/s 2 向左加速 对M ： a 2 = μm g/M = 4m/s 2 向左减速 当M 速度减为零时，经过时间 t = v /a 2 = 1s 此时 对m ： v 1 = a 1t = 2m/s 向左 s 1 = 212 1 t a = 1m 向左 对M ： s 2 = t v ?2 = 2m 向右 此后（过程2） a 1 ′= a 1 = 2m/s 2 向左加速 s 1 ′= v 1t ′+21'2 1t a 向左 a 2′= a 2 = 4m/s 2 向左加速 222'2 1't a s = 向左 位移关系 s 1′- s 2′=L –(s 1 + s 2) ? t ′= 1s 则 s 2′= 2m 向左 ∴ 木板在地面上的总位移 s = s 2′–s 2 = 0 30．如图所示，在水平长直的轨道上，有一长度为L 的平板车在外力控制下始终保持速度0v 做匀速直线运动。某时刻将一质量为m 的小滑块轻放到车面的中点，滑块与车面间动摩擦因数为μ。 （1）已知滑块与车面间动摩擦因数μ＝0.2，滑块质量m=1kg ，车长L=2m ，车速 s m v /40=，取g=10m/s 2，当滑块放到车面中点的同时对该滑块施加一个与车运动方 向相同的恒力F ，要保证滑块不能从车的左端掉下，恒力F 大小应该满足什么条件？ （2）在（1）的情况下，力F 取最小值，要保证滑块不从车上掉下，力F 的作用时间应该在什么范围内？ （1）2+=+= F m mg F a μ 2 2200L a V t V =- a V t 0= 2 /8s m a = N F 6= N F 6≥ s a V t 5.00' == （2）21/41 10 2.06s m m mg F a =?-=-= μ 1144t V += 2 2/2s m g a ==μ 2214t a v =- 122t t = 2 11112 4t a t x + = 121212842 4 )44(t t t t x +=?++= 234121=?-+t x x s t 3 31= s t t t 3 3 5.0(' 11+=+＝总 s t S )3 35.0(5.0+≤≤ 【典型例题】 【针对训练】 例1.两个物体A 和B ，质量分别为 m 1和m 2，互相接触放在光滑水平面上，如图所示, A B 对物体A 施以水平的推力 F ,则物体A 对物体 B 的作用力等于( m 1 F ---- ? m 1 m 2 A. —F m 1 m 2 m 2 B. —F m 1 m 2 D.巴F m 2 2.如图A 、B 、C 为三个完全相同的物体，当水平力 于B 上，三物体可一起匀速运动。撤去力 F 后， F 作用 三物体仍 用力为f 2，贝U f l 和f 2的大小为( A.f i = f 2 = 0 B.f i = 0, f 2= F F C.f1 =— 3 3.如图所示，在前进的车厢的竖直后壁上放一个物体，物体与壁间 的静摩擦因数卩=0.8,要使物体不致下滑，车厢至少应以多大的 加速度前进？ ( g = 10m/s 2 ) 4.如图所示，箱子的质量 M = 5.0kg ，与水平地面的动摩擦因 数卩=0.22。在箱子顶板处系一细线，悬挂一个质量 m = 1.0kg 的小球，箱子受到水平恒力 F 的作用，使小球的悬线偏离竖直 方向0= 30°角，贝U F 应为多少？ ( g = 10m/s 2 ) 【能力训练】 1.如图所示，质量分别为 M 、m 的滑块A 、B 叠放在固定的、 倾角为0的斜面上， A 与斜面间、A 与B 之间的动摩擦因数 分别为卩1,卩2,当A 、B 从静止开始以相同的加速度下滑时, B 受到摩擦力( A.等于零 B.方向平行于斜面向上 C.大小为卩1mgcos 0 D.大小为卩2mgcos0 ^TTTTTTTTTTTJTTl C.F TTTTTTTTTTiil 1. 利用平抛运动的推论求解 推论1：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。 证明：设平抛运动的初速度为，经时间后的水平位移为，如图10所示，D为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有 水平方向位移 竖直方向和 由图可知，与相似，则 联立以上各式可得 该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。 图10 [例1] 如图11所示，与水平面的夹角为的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度从三角形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。 图11 解析：当质点做平抛运动的末速度方向平行于斜面时，质点距斜面的距离最远，此时末速度的方向与初速度方向成角。如图12所示，图中A为末速度的反向延长线与水平位移的交点，AB即为所求的最远距离。根据平抛运动规律有 ，和 由上述推论3知 据图9中几何关系得 由以上各式解得 即质点距斜面的最远距离为 图12 推论2：平抛运动的物体经时间后，其速度与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则有 证明：如图13，设平抛运动的初速度为，经时间后到达A点的水平位移为、速度为，如图所示，根据平抛运动规律和几何关系： 在速度三角形中 在位移三角形中 由上面两式可得 图13 [例2] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过的壕沟，沟面对面比A处低，摩托车的速度至少要有多大？ 图1 解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间 在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为 2. 从分解速度的角度进行解题 对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。 高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。 52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O 抛体运动的规律 学习目标: 1．知道平抛运动及其运动轨迹。 2．理解平抛物体运动的性质，理解平抛运动的特点：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。 3．掌握平抛物体运动的规律。 4．会用运动的合成和分解求解平抛运动问题。 学习重点: 平抛物体运动的规律。 学习难点: 平抛物体运动的性质。 主要内容: 一、平抛运动 1．平抛运动是一种典型的曲线运动，是运动的合成与分解的实际应用。 2．平抛运动的定义：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动。 二、平抛运动的性质：是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动。 (1)因平抛运动只受竖直向下的重力G=mg，故由牛顿第二定律可知，实际加速度就是重力加速度g(方向竖直向下)，因为速度方向与合力G(或加速度g)的方向不在同一直线上(开始运动时初速度方向与加速度方向垂直，以后速度方向与加速度方向的夹角越来越小，但是永远不重合)，所以做曲线运动。 (2)平抛物体的初速度不太大，发生在离地不太高的范围内，地面可以看作是水平面，重力G和重力加速度g是恒量，方向竖直向下，始终垂直于水平面，所以平抛运动是匀变速曲线运动。 (3)可以证明，平抛运动轨迹是抛物线。 (4)平抛运动发生在同一个竖直平面内。 三、平抛运动的常规处理方法 平抛运动是比较复杂的曲线运动，利用运动的合成和分解的观点，把它看做是水平方向(沿初速度方向向前)的匀速直线运动与竖直向下方向的自由落体运动的合运动。把曲线运动转换成两个简单的直线运动，就可以用直线运动的规律来处理，研究起来简单方便。这是一种重要的思想方法。 四、平抛运动的规律 (1)以抛出点O为坐标原点，水平初速度v0的方向为x轴正方向， 竖直向下的方向为y轴正方向，建立直角坐标系如图所示。 (2)任一时刻t的速度v 水平分速度： 竖直分速度： 实际(合)速度v的大小： 方向： 平抛运动瞬时速度v的大小和方向都是时刻改变着的。 (3)任一时刻t的位移s 水平分位移： 竖直分位移： 实际(合)位移s的大小： 方向： 平抛运动相对抛出点的位移s的大小和方向都是时刻改变着的。 （4）平抛运动的轨迹方程： 连接体问题 一、连接体与隔离体 两个或两个以上物体相连接组成的物体系统，称为连接体。如果把其中某个物体隔离出来，该物体即为隔离体。 二、外力和力如果以物体系为研究对象，受到系统之外的作用力，这些力是系统受到的外力，而系统各 物体间的相互作用力为力。应用牛顿第二定律列方程不考虑力。如果把物体隔离出来作为研究对象，则这些力将转换为隔离体的外力。 三、连接体问题的分析方法 1．整体法连接体中的各物体如果加速度相同，求加速度时可以把连接体作为一个整体。运用牛顿第二定律列方程求解。 2．隔离法如果要求连接体间的相互作用力，必须隔离其中一个物体，对该物体应用牛顿第二定律求解，此法称为隔离法。 3．整体法与隔离法是相对统一，相辅相成的。本来单用隔离法就可以解决的连接体问题，但如果这两种方法交叉使用，则处理问题就更加方便。如当系统中各物体有相同的加速度，求系统中某两物体间的相互作用力时，往往是先用整体法法求出加速度，再用隔离法法求物体受力。 简单连接体问题的分析方法 1．连接体：两个（或两个以上）有相互作用的物体组成的具有相同大小加速度的整体。 2．“整体法”：把整个系统作为一个研究对象来分析（即当做一个质点来考虑）。 注意：此方法适用于系统中各部分物体的加速度大小方向相同情况。 3．“隔离法”：把系统中各个部分（或某一部分）隔离作为一个单独的研究对象来分析。 注意：此方法对于系统中各部分物体的加速度大小、方向相同或不相同情况均适用。 4．“整体法”和“隔离法”的选择 求各部分加速度相同的连结体的加速度或合外力时，优选考虑“整体法”；如果还要求物体之间的作用力，再用“隔离法”，且一定是从要求作用力的那个作用面将物体进行隔离；如果连结体中各部分加速度不同，一般都是选用“隔离法”。 5．若题中给出的物体运动状态（或过程）有多个，应对不同状态（或过程）用“整体法”或“隔离法”进行受力分析，再列方程求解。 平抛运动典型例题 专题一：平抛运动轨迹问题——认准参考系 1、从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是（ C ）A．从飞机上看，物体静止 B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方 C．从地面上看，物体做平抛运动 D．从地面上看，物体做自由落体运动 专题二：平抛运动运动性质的理解——匀变速曲线运动（a→） 2、把物体以一定速度水平抛出。不计空气阻力，g取10，那么在落地前的任意一秒内（ BD ） A．物体的末速度大小一定等于初速度大小的10倍 B．物质的末速度大小一定比初速度大10 C．物体的位移比前一秒多10m D．物体下落的高度一定比前一秒多10m 专题三：平抛运动“撞球”问题——判断两球运动的时间是否相同（h是否相同）；类比追击问题，利用撞上时水平位移、竖直位移相等的关系进行解决 3、在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出小两小球和，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力.要使两球在空中相遇，则必须（ C ） A．甲先抛出球B．先抛出球 C．同时抛出两球D．使两球质量相等 4、如图所示，甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，将甲乙两球分别以v1．v2的速度沿同一水平方 向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ D ） A．同时抛出，且v1< v2B．甲后抛出，且v1> v2 C．甲先抛出，且v1> v2D．甲先抛出，且v1< v2 专题四：平抛运动的基本计算题类型——关键在于对公式、结论的熟练掌握程度；建立等量关系 ①基本公式、结论的掌握 5、一个物体从某一确定的高度以v0 的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为v1，那么它的运动时间是（ D ） A ． B ． C ． D ． 6、作平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于( C ) A.物体所受的重力和抛出点的高度 B.物体所受的重力和初速度 C.物体的初速度和抛出点的高度 D.物体所受的重力、高度和初速度 7、如图所示，一物体自倾角为的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角 满足 （ D ） A.tan φ=sin θ B. tan φ=cos θ C. tan φ=tan θ D. tan φ=2tan θ 8、将物体在h =20m 高处以初速度v 0=10m/s 水平抛出，不计空气阻力（g 取10m/s 2 ），求： （1）物体的水平射程——————————————————20m （2）物体落地时速度大小————————————————m 510 ②建立等量关系解题 高中空间立体几何典型 例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F. 求证：EF ∥平面ABCD. 证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN. 又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ， 故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ?平面ABCD ，EF ?平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD. 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则B B G B A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴B B G B B C E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ?平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD . 2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △3 21G G G ∶S △ABC . （1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ， 连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3， PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . （2）解 由（1）知PE PG PD PG 21 =32，∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ，∴G 1G 2=31 AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=3 1BC . ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △3 21G G G ∶S △ABC =1∶9. 3如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、 E 、 F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断S G 与平面DEF 的位置关系，并给予证明. 解 SG ∥平面DEF ，证明如下： 方法一 连接CG 交DE 于点H ， 如图所示. 平抛运动典型例题 1、平抛运动中，（除时间以外）所有物理量均由高度与初速度两方面决定。 v水平抛出，抛出点离地面的高度为h，阻力不计，求：（1）小球在例1、一小球以初速度 o 空中飞行的时间；（2）落地时速度；（3）水平射程；（4）小球的位移。 2、从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。 例2、如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过x=5m 的壕沟，沟面对面比A处低h=1.25m，摩托车的速度至少要有多大？ 3、平抛运动“撞球”问题——判断两球运动的时间是否相同（h是否相同）；类比追击问题，利用撞上时水平位移、竖直位移相等的关系进行解决 例3、在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出小两小球和，其 运动轨迹如图所示，不计空气阻力.要使两球在空中相遇，则必须 A．甲先抛出球 B．先抛出球 C．同时抛出两球 D．使两球质量相等 例4、如图所示，甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙 高h，将甲乙两球分别以v1．v2的速度沿同一水平方向抛出，不 计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ D ） A．同时抛出，且v1< v2 B．甲后抛出，且v1> v2 C．甲先抛出，且v1> v2 D．甲先抛出，且v1< v2 4、平抛运动轨迹问题——认准参考系 例5、从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是（） A．从飞机上看，物体静止B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方C．从地面上看，物体做平抛运动D．从地面上看，物体做自由落体运动5、平抛运动运动性质的理解——匀变速曲线运动（a→） 例6、把物体以一定速度水平抛出。不计空气阻力，g取10，那么在落地前的任意一秒内（） A．物体的末速度大小一定等于初速度大小的10倍 B．物质的末速度大小一定比初速度大10 C．物体的位移比前一秒多10m D．物体下落的高度一定比前一秒多10m 6、平抛运动的基本计算题类型——关键在于对公式、结论的熟练掌握程度；建立等量关系 5讲 牛顿运动定律与连接体问题 一、连接体概述 相互连接并且有共同的加速度的两个或多个物体组成的系统可以看作连接体。 如下图所示： 还有各种不同形式的连接体的模型图，不一一描述。只以常见的模型为例。 二、问题分类 1.已知外力求内力（先整体后隔离） 如果已知连接体在合外力的作用下一起运动，可以先把连接体系统作为一个整体，根据牛顿第二定律求出他们共同的加速度；再隔离其中的一个物体，求相互作用力。 2.已知内力求外力（先隔离后整体） 如果已知连接体物体间的相互作用力，可以先隔离其中一个物体，根据牛顿第二定律求出他们共同的加速度；再把连接体系统看成一个整体，求解外力的大小。 三、典型例题（以图1模型为例） 【例题1】 如上图所示，质量分别为m 1、m 2 的两个物块放在光滑的水平面上，中间用细绳相连，在F 拉力的作用下一起向右做匀加速运动，求中间细绳的拉力为多大？ 解析：两个物块组成连接体系统，具有共同的加速度，把他们看作整体，根据牛顿第二定律可得： 12()F m m a =+ 解得：加速度12 F a m m = + 再隔离后面的物块m 1，它受重力G 、支持力N 和拉力T 三个力作用，根据牛顿第二 定律可得： 1T m a = 带入可得：112 m T F m m = + 图1 图2 图3 图4 【例题2】 如图所示，质量分别为m 1、m 2的两个物块，中间用细绳相连，在F 拉力的作用下一起向上做匀加速运动，求中间细绳的拉力为多大？ 解析：两个物块具有共同的加速度，把他们看作整体，根据牛顿第二定律可得： 1212 ()()F m m g m m a -+=+ 解得：加速度1212 ()F m m g a m m -+= + 再隔离后面的物块m 1，它受重力G 、和拉力T 两个力作用，根据牛顿第二定律可得： 12111 12()F m m g T m g m a m m m -+-==+ 带入可得：112 m T F m m = + 由以上两个例题可得：对于在已知外力求内力的连接体问题中，系统中各物体的内力是按照质量关系分配牵引力的。只与连接体系统的质量和牵引力有关，与系统的加速度a 、摩擦因数μ、斜面倾角θ无关。 即： 112 m T F m m = + 【例3】如图所示，固定在水平面上的斜面其倾角θ=37o，长方体木块A 的MN 面上钉着一颗小钉子，质量m =1.5kg 的小球B 通过一细线与小钉子相连接，细线与斜面垂直．木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.50．现将木块由静止释放，木块将沿斜面下滑．求在木块下滑的过程中小球对木块MN 面的压力大小．（取g =10m/s 2，sin37o=0.6，cos37o=0.8） 解析：以木块和小球整体为研究对象，设木块的质量为M ，下滑的加速度为a ，沿斜面方向，根据牛顿第二定律有： （M ＋m ）g sin37o－μ（M ＋m ）g cos37o=（M ＋m ）a 解得：a =g （sin37o－μcos37o）=2m/s 2 以小球B 为研究对象，受重力mg ，细线拉力T 和MN 面对小球沿斜面向上的弹力F N ，沿斜面方向，根据牛顿第二定律有： mg sin37o－F N =ma 解得：F N =mg sin37o－ma =6N ． 由牛顿第三定律得，小球对木块MN 面的压力大小为6N ． ［例4］如图2-3所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的 2 1， [例1] 在倾角为的斜面上的P点，以水平速度向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点，证明落在Q点物体速度。 解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是，所用时间为，则由“分解位移法”可得，竖直方向上的位移为；水平方向上的位移为。 又根据运动学的规律可得 竖直方向上， 水平方向上 ， 所以Q点的速度 ?[例2] 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为和，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A 和B两小球的运动时间之比为多少？ 图3 解析：和都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到 所以有 同理 则 ? [例3] 如图6所示，在倾角为的斜面上以速度水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？ 图6 解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。 取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为轴的正方向，如图6所示，在轴上，小球做初速度为、加速度为的匀变速直线运动，所以有 ?① ?② 当时，小球在轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。 由①式可得小球离开斜面的最大距离 当时，小球在轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为 例4：在平直轨道上以20.5/m s 的加速度匀加速行驶的火车上，相继下落两个物体下落的高度都是2.45m ．间隔时间为1s ．两物体落地点的间隔是2.6m ，则当第一个物体下落时火车的速度是多大？（g 取210/m s ） 分析：如图所示．第一个物体下落以0v 的速度作平抛运动，水平位移0s ，火车加速到下落第二个物体时，已行驶距离1s ．第二个物体以1v 的速度作平抛运动水平位移2s ．两物体落地点的间隔是2.6m ． 解：由位置关系得 1202.6s s s =+- 物体平抛运动的时间 0.7t s '= 由以上三式可得 例5：光滑斜面倾角为θ，长为L ，上端一小球沿斜面水平方向以速度0v 抛出（如图所示），小球滑到底端时，水平方向位移多大？ 解：小球运动是合运动，小球在水平方向作匀速直线运动，有 0s v t = ① 沿斜面向下是做初速度为零的匀加速直线运动，有 2 12 L at = ② 根据牛顿第二定律列方程 sin mg ma θ= ③ 由①，②，③式解得s v v == 例6：某一物体以一定的初速度水平抛出，在某1s 内其速度方向与水平方向成37?变成53?，则此物体初速度大小是________/m s ，此物体在1s 内下落的高度是________m （g 取210/m s ） 选题目的：考查平抛物体的运动知识的灵活运用． 解析：作出速度矢量图如图所示，其中1v ．2v 分别是ts 及(1)t s +时刻的瞬时速度．在这两个时刻，物体在竖直方向的速度大小分别为gt 及(1)g t +，由矢量图可知： 由以上两式解得017.1/v m s = 9 7 t s = 物体在这1s 内下落的高度 例7如图，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O 点水平飞出，经过3.0s 落到斜坡上的A 点．已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50kg ．不计空气阻力．（取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g 取10m/s 2）求： （1）A 点与O 点的距离L ；（2）运动员离开O 点时的速度大小； 立体几何坐标解法典型例题 1、如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 2、如图，在Rt AOB △中， π6 OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （1）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． A B C D 3．(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点． (1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的正弦值； (2)求点B 1到平面AEF 的距离． 4.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =o ∠， 2AB = ，BC = SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． D B C A S 5．如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB → 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．任意实数 5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.32 B.1010 C.35 D.25 <二>选择题辨析 [注]： ①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面，b 与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×） ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. [注]： ①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×） ②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×） ③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×） ⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×） [注]： ①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√） ③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） αααb a ,b a =b a ,a αa αa αa αa ααa l αβαβ 一、平抛运动 1．平抛运动是一种典型的曲线运动，是运动的合成与分解的实际应用。 2．平抛运动的定义：将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动。 二、平抛运动的性质：是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动。 (1)因平抛运动只受竖直向下的重力G=mg，故由牛顿第二定律可知，实际加速度就是重力加速度g(方向竖直向下)，因为速度方向与合力G(或加速度g)的方向不在同一直线上(开始运动时初速度方向与加速度方向垂直，以后速度方向与加速度方向的夹角越来越小，但是永远不重合)，所以做曲线运动。 (2)平抛物体的初速度不太大，发生在离地不太高的范围内，地面可以看作是水平面，重力G和重力加速度g是恒量，方向竖直向下，始终垂直于水平面，所以平抛运动是匀变速曲线运动。 (3)可以证明，平抛运动轨迹是抛物线。 (4)平抛运动发生在同一个竖直平面内。 三、平抛运动的常规处理方法 平抛运动是比较复杂的曲线运动，利用运动的合成和分解的观点，把它看做是水平方向(沿初速度方向向前)的匀速直线运动与竖直向下方向的自由落体运动的合运动。把曲线运动转换成两个简单的直线运动，就可以用直线运动的规律来处理，研究起来简单方便。这是一种重要的思想方法。 四、平抛运动的规律 (1)以抛出点O为坐标原点，水平初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立直角坐标系如图所示。 (2)任一时刻t的速度v 水平分速度： 竖直分速度： 实际(合)速度v的大小： 方向： 平抛运动瞬时速度v的大小和方向都是时刻改变着的。 (3)任一时刻t的位移s 水平分位移： 竖直分位移： 实际(合)位移s的大小： 方向： 平抛运动相对抛出点的位移s的大小和方向都是时刻改变着的。 （4）平抛运动的轨迹方程： 平抛运动的轨迹是抛物线 连接体问题一、连接体与隔离体 两个或两个以上物体相连接组成的物体系统，称为连接体。如果把其中某个物体隔离出来，该物体即为隔离体。 二、外力和内力如果以物体系为研究对象，受到系统之外的作用力，这些力是系统受到的外力，而系统内各物体间的相互作用力为内力。应用牛顿第二定律列方程不考虑内力。如果把物体隔离出来作为研究对象，则这些内力将转换为隔离体的外力。 三、连接体问题的分析方法 1．整体法连接体中的各物体如果加速度相同，求加速度时可以把连接体作为一个整体。运用牛顿第二定律列方程求解。 2．隔离法如果要求连接体间的相互作用力，必须隔离其中一个物体，对该物体应用牛顿第二定律求解，此法称为隔离法。 3．整体法与隔离法是相对统一，相辅相成的。本来单用隔离法就可以解决的连接体问题，但如果这两种方法交叉使用，则处理问题就更加方便。如当系统中各物体有相同的加速度，求系统中某两物体间的相互作用力时，往往是先用整体法法求出加速度，再用隔离法法求物体受力。 简单连接体问题的分析方法 1．连接体：两个（或两个以上）有相互作用的物体组成的具有相同大小加速度的整体。 2．“整体法”：把整个系统作为一个研究对象来分析（即当做一个质点来考虑）。 注意：此方法适用于系统中各部分物体的加速度大小方向相同情况。 3．“隔离法”：把系统中各个部分（或某一部分）隔离作为一个单独的研究对象来分析。 注意：此方法对于系统中各部分物体的加速度大小、方向相同或不相同情况均适用。 4．“整体法”和“隔离法”的选择 求各部分加速度相同的连结体的加速度或合外力时，优选考虑“整体法”；如果还要求物体之间的作用力，再用“隔离法”，且一定是从要求作用力的那个作用面将物体进行隔离；如果连结体中各部分加速度不同，一般都是选用“隔离法”。 5．若题中给出的物体运动状态（或过程）有多个，应对不同状态（或过程）用“整体法”或“隔离法”进行受力分析，再列方程求解。 针对训练 1．如图用轻质杆连接的物体AB沿斜面下滑，试分析在下列条件下，杆受到的力是拉力还是压力。 （1）斜面光滑； （2）斜面粗糙。 〖解析〗解决这个问题的最好方法是假设法。即假定A、B间的杆不存在，此时同时释放A、B，若斜面光滑，A、B运动的加速度均为a=g sinθ，则以后的运动中A、B间的距离始终不变，此时若将杆再搭上，显然杆既不受拉力，也不受压力。若斜面粗糙，A、B单独运动时的加速度都可表示为：a=g sinθ-μg cosθ，显然，若a、b两物体与斜面间的动摩擦因数μA=μB，则有a A=a B，杆仍然不受力，若μA＞μB，则a A＜a B，A、B间的距离会缩短，搭上杆后，杆会受到压力，若μA＜μB，则a A＞a B杆便受到拉力。 〖答案〗 （1）斜面光滑杆既不受拉力，也不受压力 （2）斜面粗糙μA＞μB杆不受拉力，受压力 斜面粗糙μA＜μB杆受拉力，不受压力 类型二、“假设法”分析物体受力 【例题2】在一正方形的小盒内装一圆球，盒与球一起沿倾角为θ的斜面下滑，如图所示，若不存在摩擦，当θ角增大时，下滑过程中圆球对方盒前壁压力T及对方盒底面的压力N将如何变化?（提示：令T不为零，用整体法和隔离法分析）（） 1. 如图2所示,重物A 、B 由刚性绳拴接,跨过定滑轮处于 图中实际位置,此时绳恰好拉紧,重物静止在水平面上,用外力水平向左推A,当A 的水平速度为v A 时,如图中虚线所示,则此时B 的速度为( ) Ａ.3/3A v Ｂ.4/3A v Ｃ.A v 3 Ｄ.2/3A v 2. 如图3所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd ，从a 点正上方Ｏ以速度v 水 平抛出一个小球，它落在斜面的b 点；若小球从Ｏ以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ） Ａ.b 与c 之间某一点 Ｂ.c 点 Ｃ.d 点 Ｄ.c 与d 之间某一点 3.作物体做平抛运动的x-y 图象,物体从O 点抛出,x 、y 分别为其水平和竖直位移,在物体运动的过程中,经某一点P(x,y) 时,其速度的反向延长线交于x 轴上的A 点,则O A 的长为( ) A ．x B ．0.5x C ．0.3x D ．不能确定 4．从高H 处以水平速度v 1平抛一个小球1，同时从地面以速度v 2竖直向上抛出一个小球2，两小球在空中相遇则：( ) A ．从抛出到相遇所用时间为H v 1 B ．从抛出到相遇所用时间为H v 2 C ．抛出时两球的水平距离是 v H v 12 D ．相遇时小球2上升高度是H gH v 1212 - ? ? ? ? ? 5、如图2所示,以9.8m/s 的水平速度V 0抛出的物体,飞行一段时间后垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上,可知物体完成这段飞行的时间是 （ ） 图 2 30 60 v F 图 a c b d O 图3 6.物体做平抛运动时，它的速度的方向和水平方向间的夹角α的正切tan α随时间t 变化的图像是下( ) 7.以速度v 0水平抛出一小球，如果从抛出到某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相 等，以下判断正确的是( ) A ．此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小 B ．此时小球的速度大小为2 v 0 C ．小球运动的时间为2 v 0/g D ．此时小球速度的方向与位移的方向相同 8、如图4所示,从倾角为θ的斜面上的A 点以速度V 0平抛一个小球,小球落在斜面上的B 点.则小球从A 到B 的运动时间为 。 9．如图所示，从高为H 的地方A 平抛一物体，其水平射程为2s 。在A 点正上方高度为2H 的地方B 点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为s ，两物体在空中的轨道在同一竖直平面内，且都是从同一屏M 的顶端擦过，求屏M 的高度是_____________。 10一个同学做＂研究平抛物体运动＂实验时，只在纸上记下了重垂线的方向，忘记在纸上记下斜槽末端位置，并只在坐标上描出了如图7所示的曲线.现在在曲线上取Ａ、Ｂ两点，用刻度尺分别量出它们到y 轴的距离AA′ ＝x 1,BB′＝x 2,以及ＡＢ的竖直距离h.则小球抛出时的初速度v 0＝ x 1 A B x 2 A′ B′ 图7 牛顿第二定律的应用――― 连接体问题 【自主学习】 一、连接体与隔离体 两个或两个以上物体相连接组成的物体系统，称为 。如果把其中某个物体隔离出来，该物体即为 。 二、外力和内力 如果以物体系为研究对象，受到系统之外的作用力，这些力是系统受到的 力，而系统内各物体间的相互作用力为 。 应用牛顿第二定律列方程不考虑 力。如果把物体隔离出来作为研究对象，则这些内力将转换为隔离体的 力。 三、连接体问题的分析方法 1.整体法：连接体中的各物体如果 ，求加速度时可以把连接体作为 一个整体。运用 列方程求解。 2.隔离法：如果要求连接体间的相互作用力，必须隔离其中一个物体，对该物体应用 求解，此法称为隔离法。 3.整体法与隔离法是相对统一，相辅相成的。本来单用隔离法就可以解决的连接体问 题，但如果这两种方法交叉使用，则处理问题就更加方便。如当系统中各物体有相同的加速度，求系统中某两物体间的相互作用力时，往往是先用 法求出 ，再用 法求 。 【典型例题】 例1.两个物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑水平面上，如图所示， 对物体A 施以水平的推力F ，则物体A 对物体 B 的作用力等于（ ） A. F m m m 211+ B.F m m m 2 12 + C.F D. F m 2 1 扩展：1.若m 1与m 2与水平面间有摩擦力且摩擦因数均为μ则对B 作用力等于 。 2.如图所示，倾角为α的斜面上放两物体m 1和m 2，用与斜面 平行的力F 推m 1，使两物加速上滑，不管斜面是否光滑，两物体 之间的作用力总为 。 例2.如图所示，质量为M 的木板可沿倾角为θ的光滑斜面下滑， 木板上站着一个质量为m 的人，问（1）为了保持木板与斜面相 班级 姓名 平抛运动典型例题 1、平抛运动中， （除时间以外）所有物理量均由高度与初速度两方面决定。 例 1、一小球以初速度 v 水平抛出，抛出点离地面的高度为 h ，阻力不计，求：（ 1）小球在 o 空中飞行的时间； （ 2）落地时速度； （ 3）水平射程；（ 4）小球的位移。 2、从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度 求解一个平抛运动的水平速度的时候， 我们首先想到的方法， 就应该是从竖直方向上的自由落体运动中求出时间， 然后，根据水平方向做匀速直线运动， 求出速度。 例 2、如图 1 所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶， 要在 A 处越过 x=5m 的壕沟，沟面对面比 A 处低 h=1.25m ，摩托车的速度至少要有多大？ 3、平抛运动 “撞球” 问题——判断两球运动的时间是否相同 （ h 是否相同）；类比追击问题， 利用撞上时水平位移、竖直位移相等的关系进行解决 例 3、在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出小两小球 和 ，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力 .要使两球在空中相遇，则必须 A ．甲先抛出 球 B ．先抛出 球 C ．同时抛出两球 D ．使两球质量相等 例 4、如图所示， 甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置， 甲比乙高 h ，将甲乙两球分别以 v 1． v 2 的速度沿同一水平方向抛出，不 计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ D ） A ．同时抛出，且 v < v 2 B ．甲后抛出，且 v > v 2 1 1 C ．甲先抛出，且 v > v 2 D ．甲先抛出，且 v < v 2 1 1 4、平抛运动轨迹问题——认准参考系 例 5、 从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下 落过程中，下列说法正确的是（ ） A ．从飞机上看，物体静止 B ．从飞机上看，物体始终在飞机的后方 C ．从地面上看，物体做平抛运动 D ．从地面上看，物体做自由落体运动 5、平抛运动运动性质的理解——匀变速曲线运动（ a →） 例 6、把物体以一定速度水平抛出。不计空气阻力， g 取 10 ，那么在落地前的任意一 秒内 （ ） A ．物体的末速度大小一定等于初速度大小的 10 倍 B ．物质的末速度大小一定比初速度大 10 C ．物体的位移比前一秒多 10m D ．物体下落的高度一定比前一秒多 10m 6、平抛运动的基本计算题类型——关键在于对公式、结论的熟练掌握程度；建立等量关系 空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 13OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D -- M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,连接体问题
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