《同角三角函数的基本关系》三角函数课件PPT

而且 OP=1.由勾股定理有，OM2+MP2 =1,
2
2
sin


cos
1
因此，x +y =1，即
2
2
探究二：同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问：你能证明这个结论吗？
当 的终边与坐标轴重合时，
这个公式也成立.
sin cos 1
2
2
R .
探究二：同一个角的不同的三角函数值之间的关系
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解
（2）关系式中的角要相同，与角的情势无关.
sin 2 15 cos 2 15 1；
sin 2
tan 2；
cos 2
sin 2 ( ) cos 2 ( ) 1．
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形
学以致用
例3：
有学生的做法是：因为 tan 3 ，所以
sin
2π
3
2π
1

, cos

3
2
3
2
2π
，则
3
请问这样做对吗？为什么？
学以致用
例3：已知 tan 3 ，求 sin ,cos 的值．
解： 因为tan 0,为第二或第四象限角，
如果 为第二象限角，那么
学以致用
例2
3
sin



为第三象限角，求 cos ，tan 的值.
已知
,
5
解：由
2
sin cos 1 ，得 cos 2 1 sin 2 1 3 16 ，

利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。

5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?

(2) 1 sin2
(3) 1 cos 1 cos (α为第四象限角). 1 cos 1 cos
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三、数学应用:化简
2 cos 2 1
(4) 1 2sin2 1换为sin2 cos2
解：2cos2 1 1 2sin2
2cos2 (sin2 cos2 ) (sin2 cos2 ) 2sin2
称为平方关系
sin2 cos2 1 直接可以用单位圆得到.
sin tan cos
称为商数关系
可以证明吗？
角α 是否可以为任意角？
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判一判 判断下列式子是否成立?
(1).sin 2 33 cos2 47 1
(2).sin2 2 cos2 2 1
(3).若是第二象限角，则tan sin . cos
cos2 sin2 cos2 sin2 1
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规律归纳 化简三角函数式的一般要求： ①函数种类最少； ②项数最少； ③函数次数最低； ④能求值的求出值； ⑤尽量使分母不含三角函数； ⑥尽量使分母不含根式．
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练习:
(1) 1 sin2 440 cos 800
2sin2 3cos2 (2) 4sin2 9 cos2
(3) 1
sin cos
（5）1 -
1 sin a
+1 1 + sin a
(4) sin2 2sin cos 4 cos2
(1) 1
(2) 5
7
(3) 5 2
(4) 4 5
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练习：
1、已知sin cos -7，求sin cos的值. sin cos

(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin

3 5
，且
是第三象限角，
求 cos, tan 的值。
解：因为 sin 2 cos2 1 ，所以
cos2
1
s in 2
1
3
2
16
5 25
因为 第三象限角，所以
cos 4
5
tan sin 3 cos 4
变式1.已知sin 3 ,求cos, tan的值.
5
先定象限,后定值 解 :sin 3 0且sin 1
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中 k z
同角三角函数的基本关系：
如图，设 是一个任意角，它的
终边与单位圆交于点P(x,y)，则
的终边 y
P(x,y) 1
sin y cos x
-1 M o
1x
tan y (x 0)
x
-1
△OMP直角三角形，而且OP=1。
由勾股定理有 OM2+MP2=1。
因此，x2+y2=1，即 sin2 cos2 1。
由三角函数定义有
tan
sin cos
(
2
k , k
Z )。
同角的三角函数的基本关系:
1.平方关系 2.商数关系
sin2 cos2 1
当 k ,(k Z )时
商数关系: tan sin ( k , k Z )
cos
2
(二)基本关系式的应用:
(1)求值 先定象限,后定值 (2)化简 (1)重视对“1”变形 (3)证明 (2)弦切互化
例析
例1.已知 tan 2，求 sin cos . sin cos
思考1：对于本题，你能想到哪一些解决的思路? 思路一：

解：因为 < 0, ≠ −1，所以是第三象限角或第四象限角.
3
5
由2 �� + 2 = 1得： 2 = 1 − 2 = 1 − (− )2 =
如果是第三象限角，那么 < 0.于是 = −
从而 =


3
5
5
4


=
4
− ，
5


= (− ) × (− ) = .
如果是第四象限角，那么 > 0.于是 =
从而 =
16
25
3
5
5
4


= (− ) × = − .
16
25
=
16
.
25
4
，
5
思维升华
{
sin cos 1
2
2
sin
tan
cos
方程(组)思想
这两个关系是不是很给力？可以做到知一求二！
思维升华
思考：结合例1、变式1能否总结出求同角三角函数值的一般步骤？
求同角三角函数值的一般步骤：
1.根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；
2.对角所在象限进行分类讨论；
3.利用两个基本关系式求出其他三角函数值；
4.根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值.
1.从一边开始证明它的另一边，一般由繁到简，通过恒
等式变形得到另一个式子，例2证法1。
2.考虑选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式，
例3证法2。
3.作差比较大小，例3证法3。
能力提升
4
1．已知 cosα＝ - ， 且α是第三象限角， 则sinα，tanα分别等于( )

3t－t3
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2

若 0<θ<π2，化简1－sincoθs θ·
tan θ－sin θ tan θ＋sin θ.
【思路探究】 首先弦切互化，减少三角函数的名称，
对于
tan tan
θ－sin θ＋sin
θθ，考虑到因式1－sincoθs
的特征，需等价化 θ
为
1－cos θ2 1＋cos θ1－cos
θ，进而把问题解决．
R)；csoins αα＝？(α≠kπ＋π2，k∈Z)．你能用三角函数的定义验
证吗？
【提示】 1；tan α；能.1.平方关系：sin2 α＋cos2 α＝ 1 . 商数关系：csoins αα＝ tanα (α≠kπ＋2π，k∈Z)． 2．语言叙述：同一个角 α 的正弦、余弦的 平方和 等于 1， 商 等于角 α 的正切．
＝2si2nsiαnsαincoαs＋α 1＝1＋cossinαα＝右边．
∴原等式成立．
(2)左边＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1 ＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ) －3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1 ＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1 ＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1 ＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边 ∴原等式成立．
1．利用同角三角函数式证明时注意化异为同，即化异 名为同名、化异次为同次等策略的应用是关键．常见转化策 略有切化弦、弦化切及平方关系的正向、逆向、变形转化等．
2．常用证明方法有： (1)从左到右，从右到左证明法； (2)左右归一证明法； (3)变更形式证明法． 不论哪一种方法，一般要遵循由繁到简的原则．