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上海市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误错误的是（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率第(2)题某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（）A．图中的值为0.020；B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；C．估计样本数据的75%分位数为88；D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人．第(3)题有下列四个命题：①“若，则互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若，则有实数解”的逆否命题;④“若，则”的逆否命题．其中真命题为（）A．①②B．②③C．④D．①②③第(4)题生物中DNA转录为RNA时服从碱基互补配对原则，即：，但许多化学因子能修饰碱基，使其转录出不同的产物，比如X标记处理后的碱基互补配对原则变为：，现在小明将2个A，2个C，2个G，2个T其中1个X标记组成一个DNA分子，则其转录出的RNA有（）种A．8400B．6720C．5880D．4200第(5)题设集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知实数满足约束条件则的最大值是（）A ．3B ．C ．D ．第(8)题已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（ ）A．0B ．C ．D ．-1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面四边形中，点D 为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（ ）A ．为等比数列B ．为递减数列C ．为等差数列D ．第(2)题已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的图象关于点对称C ．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是第(3)题已知抛物线的焦点为F ，动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 向直线引垂线，垂足分别为，，点M 在上，且MAMB ，设O 为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）A ．M 为线段的中点B ．是与的等比中项C ．A ，O ，三点共线D ．MA 与抛物线C 有两个公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．第(2)题若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为__________．第(3)题已知为单位向量，若，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切．(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求；(3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值．第(2)题以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.第(3)题如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面．第(4)题在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.第(5)题如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.(1)求证：PB平面AEC；(2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值.。

上海市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)第(2)题设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．B．C．D．第(3)题已知集合，则=A．B．C．D．第(4)题若、是非零向量，且，，则函数是A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数第(5)题函数的部分图象如图所示，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（）A．函数在区间单调递减B．C ．点是函数图象的一个对称中心D ．直线是函数的一条对称轴第(6)题阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A．B．C．D．第(7)题在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(8)题函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（）A．点在圆内B．直线的方程为C．圆上的点到直线距离的最大值为D．圆上存在两点P，Q，使得第(2)题如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（）A．B．C．平面平面D．被球截得的弦长为1第(3)题直线是曲线的切线，则实数的值可以是（）A．3πB．πC．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设为抛物线的焦点，、、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则___________.第(2)题函数的图象在点处的切线方程为___________.第(3)题的展开式中的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.第(2)题已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切.(1)若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程；(2)若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.第(3)题如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1，2，圆台的高为，是下底面圆的一条直径，点在圆上，且，点在圆上运动（与在的两侧），是圆台的母线，.(1)求的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(4)题已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，，都有.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，且.①求证数列为常数列.②求数列的前项和.第(5)题已知函数．(1)证明：当时，；(2)求在区间上的零点个数．。

2023年高考上海数学真题及参考答案一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1∼6题每题4分,第7∼12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置填写结果。

1.不等式x -2 <1的解集为；2.已知a =-2,3 ,b =1,2 ,求a ⋅b =；3.已知a n 为等比数列,且a 1=3,q =2,求s 6=；4.已知tanα=3,求tan2α=；5.已知f x =2x ,x >01,x ≤0 ,则f x 的值域是；6.已知当z =1+i ,则1-i ⋅z =；7.已知x 2+y 2-4y -m =0的面积为π,求m =；8.在△ABC 中,a =4,b =5,c =6,求sinA =；9.国内生产总值(GDP )是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020年间经济高质量增长,GDP 稳步增长,第一季度和第四季度的GDP 分别为231和242,且四个季度GDP 的中位数与平均数相等,则2020年GDP 总額为；10.已知1+2023x 100+2023-x 100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 100x 100,其中a 6,a 1,a 2⋯a 100∈R ,若0≤k ≤100且k ∈N ,当a k <0时,k 的最大值是；11.公园修建斜坡,假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米,游客每走一米消耗的体能为1.025-cosθ ,要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少,则θ=；12.空间内存在三点A 、B 、C ,满足AB =AC =BC =1,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与A 、B 、C 可以组成正四棱锥,求方案数为；二、选择题(本题共有4题,满分18分,13、14每题4分,15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑。

13.已知P ={1,2},Q ={2,3},若M ={x ∣x ∈P 且x ∉Q },则M =()A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}14.根据身高和体重散点图,下列说法正确的是()A.身高越高,体重越重B.身高越高,体重越轻C.身高与体重成正相关D.身高与体重成负相关15.设a>0,函数y=sinx在区间a,2a上的最小值为s a,在2a,3a上的最小值为t a,当a变化时,以下不可能的情形是()A.sθ>0且tσ>0 B.sq<0且ta<0C.sq >0且ta<0 D.sq<0且tq>016.在平面上,若曲线Γ具有如下性质:存在点M,使得对于任意点P∈Γ,都有Q∈Γ使得PM⋅QM=1。

上海市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，，且交于点，，则（）A．B．C．D．第(2)题有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是A．B．C．D．第(3)题已知向量，，则（）A．B．C．D．第(4)题将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8第(5)题执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知直三棱柱A．B．C．D．第(7)题已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（）A．B．0C．1D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．用二分法求函数在内的零点近似解时，在运算过程中得到，，，则可以将看成零点的近似值，且此时误差小于C．甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，有种不同的坐法D．已知为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，则点坐标为第(2)题《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列说法正确的是（）A．四棱锥为“阳马”、四面体为“鳖臑”．B．若平面与平面的交线为，且与的中点分别为M、N，则直线、、相交于一点．C．四棱锥体积的最大值为．D．若是线段上一动点，则与所成角的最大值为．第(3)题下列函数中最小值为2的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，若，则的最大值为____________第(2)题若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________．第(3)题若函数的导函数为，且满足，则_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.第(2)题某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率．（视频率为概率）第(3)题已知函数.(1)讨论函数在上的单调性；(2)求证：.第(4)题已知函数.（1）若轴为曲线的切线，试求实数的值；（2）已知，若对任意实数，均有，求的取值范围.第(5)题将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列，求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．。

2023上海高考数学试题及答案2023年上海高考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，下列哪个选项是f(2)的值？A. 1B. -1C. 5D. 7答案：A2. 若向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为？A. 2B. -2C. 10D. -10答案：A3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项a5的值？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A4. 若函数g(x) = x^2 - 4x + 3，求g(0)的值？A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A5. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a = 2，b = 1，求双曲线的渐近线方程？A. y = ±x/2B. y = ±2xC. y = ±xD. y = ±1/2x答案：A6. 若复数z = (1 + i) / (1 - i)，求z的共轭复数？A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案：B7. 已知三角形ABC的内角A，B，C满足A + B = 2C，且sinA = 2sinBcosC，求角C的度数？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C8. 已知函数h(x) = ln(x)，求h'(x)？A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A9. 若直线l：y = 2x + 3与抛物线C：y^2 = 4x相切，求切点的横坐标？A. 1B. 3/2C. 3D. 9/4答案：D10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)？A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = 2，求第4项b4的值？答案：1612. 若向量a = (1, -2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为？答案：-1/√1713. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值？答案：314. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心的坐标？答案：(2, 3)15. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)？答案：cos(x) - sin(x)三、解答题（共40分）16. （10分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f(x)的单调区间和极值点。

2024年上海市高考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．(★)(5分)已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2，3，4，5}，B={1，2，3，6，7}，则B∩(∁U A)=()A．{1，6}B．{6，7}C．{6，7，8}D．{1，6，7}2．(★)(5分)函数f(x)=+的定义域为()A．[0，2)B．(2，+∞)C．[，2)∪(2，+∞)D．(-∞，2)∪(2，+∞)3．(★★)(5分)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a,b,c∈R且a＞b,则下列不等式恒成立的是()A．＜B．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．＞4．(★)(5分)若x＜0，M=5x2+x+2，N=4x(x+1)，则M与N的大小关系为() A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定5．(★★)(5分)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0的解集为R，则a的取值范围是()A．a≤2B．-2＜a≤2C．-2＜a＜2D．a＜26．(★)(5分)函数f(x)=x2+x在区间[-1，1]上的最小值是()A．B．0C．D．27．(★★)(5分)对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：P★Q={x|x∈P∪Q且x∉P∩Q}．如果P={x|-1≤x-1≤1}，Q={x|y=}，则P★Q=()A．{x|1≤x≤2}B．{x|0≤x≤1或x≥2}C．{x|0≤x≤1或x＞2}D．{x|0≤x＜1或x＞2}8．(★★)(5分)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术“，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c,则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a=3，b+c=5，则此三角形面积的最大值为()A．B．3C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．(★)(5分)下列四组函数中表示同一个函数的是()A．f(x)=x,g(x)=()2B．f(a)=3a2-2a+3，g(t)=3t2-2t+3C．f(x)=，g(x)=xD．f(x)=0，g(x)=+10．(★★)(5分)下列结论不正确的是()A．“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件B．“∃x∈N*，x2-3＜0”是假命题C．△ABC内角A，B，C的对边分别是a,b,c,则“a2+b2=c2”是“△ABC是直角三角形”的充要条件D．命题“∀x＞0，x2-3＞0”的否定是“∃x＞0，x2-3≤0”11．(★★)(5分)下列说法正确的是()A．若a＞b＞0，则a＞＞＞bB．当a＞0，b＞0时，++2≥4C．若a2+b2=2，则a+b的最大值为2D．y=+有最小值212．(★★)(5分)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是()A．如果购物总额为78元，则应付款为73元B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．(★)(5分)若集合A={x|-3≤x＜a}，B={x|x≤b}，且A∩B=∅，则实数b取值范围为(-∞，-3)．14．(★★)(5分)已知f(+1)=2x+3，则f(x)的解析式为f(x)=2x2-4x+5(x≥1)．15．(★)(5分)能够说明“若a,b,c是任意正实数，则”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为1，1，1(答案不唯一)．16．(★)(5分)一位少年能将圆周率π准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．记圆周率π小数点后第n位上的数字为y,则y是n的函数，设y=f(n)，n∈N*．则(1)y=f(n)的值域为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；(2)函数y=f(n)与函数y=n3的交点有1个．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(★★)(10分)在①A=∅，②A恰有两个子集，③A∩{x|＜x＜2}≠∅这三个条件中任选一个，补充在下列横线上(要求把你选的条件先写到答题纸上)，并求解下列问题．已知集合A={x∈R|mx2-2x+1=0}．(1)若1∈A，求实数m的值；(2)若集合A满足_____，求实数m的取值范围．18．(★★)(12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x≤1或x≥4}．(1)当a=3时，求A∩B；(2)若“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，且A≠∅，求实数a的取值范围．19．(★)(12分)已知不等式ax2+5x-2＞0的解集是M．(1)若2∈M且3∉M，求a的取值范围；(2)若，求不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集．20．(★★)(12分)已知x＞0，y＞0且+=2，若6x+y≥m2+6m恒成立，求实数m的取值范围．21．(★★)(12分)经调查，某产品在过去两周内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间t(天)的函数．其中日销售量为时间t的一次函数，且t=1时，日销售量为34千克，t=10时，日销售量为25千克．日销售单价满足函数．(1)写出该商品日销售额y关于时间t的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；(2)求过去两周内该商品日销售额的最大值．22．(★★)(12分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+c,且f(0)=2．(1)若f(x)＜0的解集为{x|2＜x＜8}，求函数的值域；(2)当a＞0时，解不等式f(x)＜0．。

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为2.双曲线的渐近线方程为______3.的二项展开式中的系数为(结果用数值表示)4.设常数,函数,若的反函数的图像经过点,则=5.已知复数满足,(是虚数单位),则6.记等差数列的前项和为,若,则7.已知.若函数为奇函数,且在上递减,则8.在平面直角坐标系中,已知点是轴上的两个动点,且,则最小值为9.有编号互不相同的五个砝码,期中5克,3克,1克砝码各两个,从中随机挑选三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率为___________(结果用最简分数表示)10.设等比数列的通项公式为,前项和为,若,则___________11.已知常数,函数的图像经过点,若,则=12.已知实数1212,,,x x y y 满足:22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=,则+的最大值为_____二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设p 是椭圆22153x y +=上的动点,则p 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A. B. C. D.14.已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

2024年上海市高考数学试卷（2024•上海）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．答案：{1，3，5}．解析：结合补集的定义，即可求解．解答：解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．（2024•上海）已知f （x ）=，则f（3）=．{，x ＞01，x ≤0√x√3答案：．√3解析：根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可求解．解答：解：f （x ）=，则f（3）=．故答案为：．{，x ＞01，x ≤0√x√3√3（2024•上海）已知x∈R，则不等式x 2-2x-3＜0的解集为 {x|-1＜x＜3}．答案：{x|-1＜x＜3}．解析：根据一元二次不等式的解法直接求解即可．解答：解：x 2-2x-3＜0可化为（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，故不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．故答案为：{x|-1＜x＜3}．（2024•上海）已知f（x）=x 3+a,x∈R，且f（x）是奇函数，则a=0．答案：0．解析：首先根据f（0）=0，解得a=0，再根据奇函数的定义进行验证即可．解答：解：由题意，可得f（0）=0+a=0，解得a=0，当a=0时，f（x）=x 3，满足f（-x）=（-x）3=-x 3=-f（x），即f（x）是奇函数，故a=0符合题意．故答案为：0．（2024•上海）已知k∈R，a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，则k的值为 15．→→→→答案：15．解析：根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．解答：解：由a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，可得2k-5×6=0，解得k=15．故答案为：15．→→→→（2024•上海）在（x+1）n 的二项展开式中，若各项系数和为32，则x 2项的系数为 10．答案：见试题解答内容解析：根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．解答：解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n =32，所以n=5，则该二项式的通项公式是=••，令5-r=2，解得r=3，故x 2项的系数为=10．故答案为：10．T r +1C 5rx 5-r 1rC 53（2024•上海）已知抛物线y 2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 4．√2答案：4．√2解析：根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：设P坐标为（x 0，y 0），P到准线的距离为9，即x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程，可得=±4，故P到x轴的距离为4．故答案为：4．y 0√2√2√2（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是答案：．1720解析：根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解答：解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，故P =×0.92+×0.86+×0.72=．故答案为：．5121314512131417201720（2024•上海）已知虚数z,其实部为1，且z +=m （m ∈R ），则实数m为 2．2z答案：2．解析：根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．解答：解：虚数z,其实部为1，则可设z=1+bi（b≠0），所以z +=1+bi +=1+bi +=1++（b -）i ，因为m∈R，所以b -=0，解得b=±1，所以m =1+=1+1=2．故答案为：2．2z 21+bi 2•（1-bi ）1+b221+b22b 1+b22b 1+b221+b2（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 329．答案：329．解析：根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．解答：解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有=72种；（2）若个位不为0，这样的偶数有••=256种；所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种．故答案为：329．P 92C 41C 81C 81（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°，则∠BCA=7.8°．（精确到0.1度）答案：7.8°．解析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．解答：解：在△ACD中，根据正弦定理可得=，设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α，所以==，①在△ABC中，根据正弦定理可得=，==，②联立①②，因为BC=CD，所以=，利用计算器可得，α=7.8°，即∠BCA=7.8°．故答案为：7.8°．AC sin ∠DCD sin ∠CADAC sin [180°-（37°+90°-α）]CD sin 37°AC sin （90°-α+37°）CB sin ∠BAC CA sin ∠BBC sin ∠16.5°CA sin [180°-（α+16.5°）]CA sin （α+16.5°）sin 37°sin （90°-α+37°）sin 16.5°sin （α+16.5°）（2024•上海）无穷等比数列{a n }满足首项a 1＞0，q＞1，记I n ={x-y|x,y∈[a 1，a 2]∪[a n ，a n+1]}，若对任意正整数n,集合I n 是闭区间，则q的取值范围是 [2，+∞）．答案：[2，+∞）解析：当n≥2时，不妨设x≥y,则x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，结合I n 为闭区间可得q -2≥-对任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范围．1q n -2解答：解：由题设有=，因为a 1＞0，q＞1，故a n+1＞a n ，故[,]=[，]，a n a n q n -1a n a n +1a 1q n -1a 1q nA．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin 2x+cos 2xD．sin 2x-cos 2x当n=1时，x,y∈[a 1，a 2]，故x-y∈[a 1-a 2，a 2-a 1]，此时I 1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y,若x,y∈[a 1，a 2]，则x-y∈[0，a 2-a 1]，若y∈[a 1，a 2]，x∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[a n -a 2，a n+1-a 1]，若x,y∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[0，a n+1-a n ]，综上，x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，又I n 为闭区间等价于[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]为闭区间，而a n+1-a 1＞a n+1-a n ＞a 2-a 1，故a n+1-a n ≥a n -a 2对任意n≥2恒成立，故-2+≥0即（q -2）+≥0，故q n-2（q-2）+1≥0，故q -2≥-对任意的n≥2恒成立，因为q＞1，故当n→+∞时，-→0，故q-2≥0即q≥2．故答案为：[2，+∞）．a n +1a n a 2a 1q n -1a 21q n -21q n -2（2024•上海）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）答案：C解析：利用变量的性关系，判断选项即可．解答：解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（ ）答案：AA．（0，0，0）∈ΩB．（-1，0，0）∈ΩC．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，-1）∈ΩA．存在f（x）是偶函数B．存在f（x）在x=2处取最大值C．存在f（x）为严格增函数解析：利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．解答：解：对于A，sinx+cosx=sin（x+），则T=2π，满足条件，所以A正确．对于B，sinxcosx=sin2x,则T=π，不满足条件，所以B不正确．对于C，sin 2x+cos 2x=1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．对于D，sin 2x-cos 2x=-cos2x,则T=π，不满足条件，所以D不正确．故选：A．√2π412（2024•上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P 1，P 2，P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（ ）λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→答案：C解析：利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．解答：解：不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为（1，0，0）∈Ω，所以对于A三者不能构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故A错误；对于B，（1，0，0）∈Ω，（-1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（-1，0，0）共线，所以（0，0，1）可以属于Ω，此时三者不共面，故B错误；对于C，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0，0，1）∉Ω，故C正确；对于D，三者无法构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故D错误．故选：C．λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→（2024•上海）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M={x 0|x 0∈R，x∈（-∞，x 0），f（x）＜f （x 0）}，在使得M=[-1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（ ）D．存在f（x）在x=-1处取到极小值答案：B解析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．解答：解：对于A，x＜x 0时，f（x）＜f（x 0），当x 0=1时，x 0∈[-1，1]，对于任意x∈（-∞，1），f（x）＜f（1）恒成立，若f（x）是偶函数，此时f（1）=f（-1），矛盾，故A错误；对于B，若f（x）函数图像如下：当x＜-1时，f（x）=-2，-1≤x≤1时，f（x）∈[-1，1]，当x＞1，f（x）=1，所以存在f（x）在x=2处取最大值，故B正确；对于C，在x＜-1时，若函数f（x）严格增，则集合M的取值不会是[-1，1]，而是全体定义域，故C错误；对于D，若存在f（x）在x=-1处取到极小值，则在x=-1左侧存在x=n,f（n）＞-1，与集合M定义矛盾，故D错误．故选：B．（2024•上海）如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP=5，AD =3，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．√2答案：（1）12π；（2）．π4解析：（1）根据已知条件，先求出PO，再结合棱锥的体积公式，即可求解．（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．解答：解：（1）因为P-ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，因为AD =3，√2所以AO=OD=OB=OC=3，因为AP=5，所以PO ==4，所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以=Sh =π××4=12π；（2）如图建立空间直角坐标系，因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设AB =a ，则AO=OD=OB=OC=a,PO ==a ，则O（0，0，0），P（0，0，a），A（0，-a,0），B（a,0，0），C（0，a,0），D（-a,0，0），E （，0，），故BD =（-2a ,0，0），AC =（0，2a ,0），AE =（，a ,），设n =（，，）为平面AEC的法向量，则，即，令x 1=1，则y 1=0，z 1=-1，所以n =（1，0-1），则cos 〈n ，BD 〉==设直线BD与面AEC所成角为θ，因为sinθ=|cos 〈n ，BD 〉θ∈[0，]，则θ=，故直线BD与平面AEC所成角的大小为．√A -A P 2O 2V圆锥131332√2√A -A P 2O 2a 2a 2→→→a 2a 2→x 1y 1z 1{n •AC =0n •AE =0→→→→{2a •=0•+a •+•=0y 1a 2x 1y 1a 2z 1→→→n •BD →→|n |•|BD |→→2→→2π2π4π4（2024•上海）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若y=f（x）过（4，2），求f（2x-2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．答案：（1）（1，2）；（2）（1，+∞）．解析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；（2）根据等差数列的性质，推得log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．解答：解：（1）由y=f（x）过（4，2）可得log a 4=2，则a 2=4，解得a=2（负值舍去），因为f（x）=log 2x在（0，+∞）上是严格增函数，f（2x-2）＜f（x），则0＜2x-2＜x,解得1＜x＜2，故所求解集为（1，2）；（2）因为f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，所以f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），即log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，化简可得lo （x +1）（x +2）=lo （ax ，则（x+1）（x+2）=（ax）2且，故=在（0，+∞）上有解，又=++1=2（+-，故在（0，+∞）上，＞2（0+-=1，故a 2＞1，解得a＜-1或a＞1，又a＞0，所以a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．g a g a ）2⎧⎨⎩x +1＞0x +2＞0a ＞0，a ≠1ax ＞0a 2（x +1）（x +2）x 2（x +1）（x +2）x 22x 23x1x 34）218（x +1）（x +2）x 234）218（2024•上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？答案：（1）12500人；（2）0.9h；（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关解析：（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．解答：解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P ==，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000×=12500；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为×[×0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+×（3+40）+×（1+27）]=≈0.9h；（3）由题意可得2×2列联表，[1，2）其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设 H 0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③=≈3.976＞3.841，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．42+3+1+137+40+27580255825581580121+0.521+1.521.5+222+2.522729χ2580×（45×308-177×50）2（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）（2024•上海）已知双曲线Γ：-=1，（b＞0），左右顶点分别为A 1，A 2，过点M（-2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e=2时，求b的值；x 2y 2b2（2）当b =，△MA 2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若R •P =1，求b的取值范围．2√63→A 1→A 2答案：（1）b =；（2）P（2，2）；（3）b∈（0，）∪（，√3√2√3√33解析：（1）由题意可得=2，a=1，可得c=2，由a 2+b 2=c 2求解即可；（2）由题意可得MA 2=PA 2，P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，则可得（-1+=9，再由-=1，求解即可；（3）设 P（x 1，y 1） Q（x 2，y 2） 则R（-x 2，-y 2），设直线l ：x =my -2（m ＞），联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得y 1+y 2=，y 1y 2=，又由R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，即有（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，可得=＞，即可得答案．c ax 0）2y 02x 02y 02831b 4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2m 210-3b2b21b2解答：解：（1）因为e=2，即=2，所以=4，又因为a 2=1，所以c 2=4，又因为a 2+b 2=c 2，所以b 2=3，所以b =（负舍）；（2）因为△MA 2P为等腰三角形，①若A 1A 2为底，则点P在线段MA 2的中垂线，即x =-上，与P双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若A 2P为底，则MP=MA 2，与MP＞MA 2矛盾，故舍去；③若MP为底，则MA 2=PA 2，设P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，c ac 2a 2√312则=3，即（-1+=9，又因为-=1，得（-1+（-1×=9，得11-6-32=0，解得=2，=2，即P （2，2）；（3）由题可知A 1（-1，0），A 2（1，0），当直线l的斜率为0时，此时R •P =0，不合题意；则k l ≠0，设直线l：x=my-2，设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），根据延长OQ交双曲线于点R，则R（-x 2，-y 2），联立，得（b 2m 2-1）y 2-4b 2my+3b 2=0，二次项系数b 2m 2-1≠0，√（-1+（-0x 0）2y 0）2x 0）2y 02x 02y 0283x 0）2x 0）283x 02x 0x 0y 0√2√2→A 1→A 2{x =my -2-=1x 2y 2b2Δ=（-4b 2m）2-12b 2（b 2m 2-1）=4b 4m 2+12b 2＞0，y 1+y 2=，y 1y 2=，所以R =（-x 2+1，-y 2），P =（x 1-1，y 1），又因为R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，则（x 2-1）（x 1-1）+y 1y 2=-1，即（my 2-3）（my 1-3）+y 1y 2=-1，化简后可得到（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，再由韦达定理得3b 2（m 2+1）-12m 2b 2+10（b 2m 2-1）=0，化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以=-3，代入b 2m 2-1≠0，得b 2=10-3b 2≠1，所以b 2≠3，且=-3≥0，解得b 2≤，又因为b＞0，则0＜b 2≤，综上，b 2∈（0，3）∪（3，]，所以b∈（0，）∪（，4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2→A 1→A 2m 210b2m 210b 210310310√3√33（2024•上海）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．答案：{1，3，5}．解析：结合补集的定义，即可求解．解答：解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，则A ={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．（2024•上海）已知f （x ）=，则f（3）=．{，x ＞01，x ≤0√x√3答案：．√3解析：根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可求解．解答：解：f （x ）=，则f（3）=．故答案为：．{，x ＞01，x ≤0√x√3√3（2024•上海）已知x∈R，则不等式x 2-2x-3＜0的解集为 {x|-1＜x＜3}．答案：{x|-1＜x＜3}．解析：根据一元二次不等式的解法直接求解即可．解答：解：x 2-2x-3＜0可化为（x-3）（x+1）＜0，解得-1＜x＜3，故不等式的解集为：{x|-1＜x＜3}．故答案为：{x|-1＜x＜3}．（2024•上海）已知f（x）=x 3+a,x∈R，且f（x）是奇函数，则a=0．答案：0．解析：首先根据f（0）=0，解得a=0，再根据奇函数的定义进行验证即可．解答：解：由题意，可得f（0）=0+a=0，解得a=0，当a=0时，f（x）=x 3，满足f（-x）=（-x）3=-x 3=-f（x），即f（x）是奇函数，故a=0符合题意．故答案为：0．（2024•上海）已知k∈R，a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，则k的值为 15．→→→→答案：15．解析：根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．解答：解：由a =（2，5），b =（6，k ），a ∥b ，可得2k-5×6=0，解得k=15．故答案为：15．→→→→（2024•上海）在（x+1）n 的二项展开式中，若各项系数和为32，则x 2项的系数为 10．答案：见试题解答内容解析：根据二项式系数和求得n值，再结合二项式的通项公式即可求得．解答：解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n =32，所以n=5，则该二项式的通项公式是=••，令5-r=2，解得r=3，故x 2项的系数为=10．故答案为：10．T r +1C 5rx 5-r 1rC 53（2024•上海）已知抛物线y 2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 4．√2答案：4．√2解析：根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解．解答：解：设P坐标为（x 0，y 0），P到准线的距离为9，即x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程，可得=±4，故P到x轴的距离为4．故答案为：4．y 0√2√2√2（2024•上海）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000答案：．1720解析：根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．解答：解：由题可知，A题库占比为，B题库占比为，C题库占比为，故P =×0.92+×0.86+×0.72=．故答案为：．5121314512131417201720（2024•上海）已知虚数z,其实部为1，且z +=m （m ∈R ），则实数m为 2．2z答案：2．解析：根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．解答：解：虚数z,其实部为1，则可设z=1+bi（b≠0），所以z +=1+bi +=1+bi +=1++（b -）i ，因为m∈R，所以b -=0，解得b=±1，所以m =1+=1+1=2．故答案为：2．2z 21+bi 2•（1-bi ）1+b221+b22b 1+b22b 1+b221+b2（2024•上海）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 329．答案：329．解析：根据已知条件，结合组合数、排列数公式，并分类讨论，即可求解．解答：解：由题可知，集合A中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，先研究集合中无重复数字的三位偶数：（1）若个位为0，这样的偶数有=72种；（2）若个位不为0，这样的偶数有••=256种；所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种．故答案为：329．P 92C 41C 81C 81（2024•上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD，存在点A满足∠BAC=16.5°，∠DAC=37°，则∠BCA=7.8°．（精确到0.1度）答案：7.8°．解析：根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．解答：解：在△ACD中，根据正弦定理可得=，设∠ACB=α，则∠ACD=90°-α，所以==，①在△ABC中，根据正弦定理可得=，==，②联立①②，因为BC=CD，所以=，利用计算器可得，α=7.8°，即∠BCA=7.8°．故答案为：7.8°．AC sin ∠DCD sin ∠CADAC sin [180°-（37°+90°-α）]CD sin 37°AC sin （90°-α+37°）CB sin ∠BAC CA sin ∠BBC sin ∠16.5°CA sin [180°-（α+16.5°）]CA sin （α+16.5°）sin 37°sin （90°-α+37°）sin 16.5°sin （α+16.5°）（2024•上海）无穷等比数列{a n }满足首项a 1＞0，q＞1，记I n ={x-y|x,y∈[a 1，a 2]∪[a n ，a n+1]}，若对任意正整数n,集合I n 是闭区间，则q的取值范围是 [2，+∞）．答案：[2，+∞）解析：当n≥2时，不妨设x≥y,则x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，结合I n 为闭区间可得q -2≥-对任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范围．1q n -2解答：解：由题设有=，因为a 1＞0，q＞1，故a n+1＞a n ，故[,]=[，]，当n=1时，x,y∈[a 1，a 2]，故x-y∈[a 1-a 2，a 2-a 1]，此时I 1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y,若x,y∈[a 1，a 2]，则x-y∈[0，a 2-a 1]，若y∈[a 1，a 2]，x∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[a n -a 2，a n+1-a 1]，若x,y∈[a n ，a n+1]，则x-y∈[0，a n+1-a n ]，综上，x-y∈[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]，又I n 为闭区间等价于[0，a 2-a 1]∪[a n -a 2，a n+1-a 1]∪[0，a n+1-a n ]为闭区间，而a n+1-a 1＞a n+1-a n ＞a 2-a 1，故a n+1-a n ≥a n -a 2对任意n≥2恒成立，故-2+≥0即（q -2）+≥0，故q n-2（q-2）+1≥0，故q -2≥-对任意的n≥2恒成立，因为q＞1，故当n→+∞时，-→0，故q-2≥0即q≥2．故答案为：[2，+∞）．a n a n q n -1a n a n +1a 1q n -1a 1q n a n +1a n a 2a 1q n -1a 21q n -21q n -2A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势A．sinx+cosx B．sinxcosx C．sin 2x+cos 2xD．sin 2x-cos 2x（2024•上海）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）答案：C解析：利用变量的性关系，判断选项即可．解答：解：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当x的值由小变大，y的值具有由小变大的变化趋势，所以A、B、D选项错误．故选：C．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（ ）答案：A解析：利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．解答：解：对于A，sinx+cosx=sin（x+），则T=2π，满足条件，所以A正确．对于B，sinxcosx=sin2x,则T=π，不满足条件，所以B不正确．对于C，sin 2x+cos 2x=1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．对于D，sin 2x-cos 2x=-cos2x,则T=π，不满足条件，所以D不正确．故选：A．√2π412A．（0，0，0）∈ΩB．（-1，0，0）∈ΩC．（0，1，0）∈ΩD．（0，0，-1）∈ΩA．存在f（x）是偶函数B．存在f（x）在x=2处取最大值C．存在f（x）为严格增函数D．存在f（x）在x=-1处取到极小值（2024•上海）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P 1，P 2，P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（ ）λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→答案：C解析：利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．解答：解：不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得O +O +O =0．所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为（1，0，0）∈Ω，所以对于A三者不能构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故A错误；对于B，（1，0，0）∈Ω，（-1，0，1）∈Ω，且（1，0，0），（-1，0，0）共线，所以（0，0，1）可以属于Ω，此时三者不共面，故B错误；对于C，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0，0，1）∉Ω，故C正确；对于D，三者无法构成一组基，故不能推出（0，0，1）∉Ω，故D错误．故选：C．λ1→P 1λ2→P 2λ3→P 3→（2024•上海）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M={x 0|x 0∈R，x∈（-∞，x 0），f（x）＜f （x 0）}，在使得M=[-1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（ ）答案：B解析：根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可．解答：解：对于A，x＜x 0时，f（x）＜f（x 0），当x 0=1时，x 0∈[-1，1]，对于任意x∈（-∞，1），f（x）＜f（1）恒成立，若f（x）是偶函数，此时f（1）=f（-1），矛盾，故A错误；对于B，若f（x）函数图像如下：当x＜-1时，f（x）=-2，-1≤x≤1时，f（x）∈[-1，1]，当x＞1，f（x）=1，所以存在f（x）在x=2处取最大值，故B正确；对于C，在x＜-1时，若函数f（x）严格增，则集合M的取值不会是[-1，1]，而是全体定义域，故C错误；对于D，若存在f（x）在x=-1处取到极小值，则在x=-1左侧存在x=n,f（n）＞-1，与集合M定义矛盾，故D错误．故选：B．（2024•上海）如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心．（1）若AP=5，AD =3，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．√2答案：（1）12π；（2）．π4解析：（1）根据已知条件，先求出PO，再结合棱锥的体积公式，即可求解．（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．解答：解：（1）因为P-ABCD是正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，且OP⊥底面ABCD，因为AD =3，所以AO=OD=OB=OC=3，因为AP=5，所以PO ==4，所以△POA绕OP旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，所以=Sh =π××4=12π；（2）如图建立空间直角坐标系，√2√A -A P 2O 2V圆锥131332因为AP=AD，由题知P-ABCD是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设AB =a ，则AO=OD=OB=OC=a,PO ==a ，则O（0，0，0），P（0，0，a），A（0，-a,0），B（a,0，0），C（0，a,0），D（-a,0，0），E （，0，），故BD =（-2a ,0，0），AC =（0，2a ,0），AE =（，a ,），设n =（，，）为平面AEC的法向量，则，即，令x 1=1，则y 1=0，z 1=-1，所以n =（1，0-1），则cos 〈n ，BD 〉==设直线BD与面AEC所成角为θ，因为sinθ=|cos 〈n ，BD 〉θ∈[0，]，则θ=，故直线BD与平面AEC所成角的大小为．√2√A -A P 2O 2a 2a 2→→→a 2a 2→x 1y 1z 1{n •AC =0n •AE =0→→→→{2a •=0•+a •+•=0y 1a 2x 1y 1a 2z 1→→→n •BD →→|n |•|BD |→→2→→2π2π4π4（2024•上海）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）．（1）若y=f（x）过（4，2），求f（2x-2）＜f（x）的解集；（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．答案：（1）（1，2）；（2）（1，+∞）．解析：（1）先求出函数解析式，再结合函数的单调性，即可求解；（2）根据等差数列的性质，推得log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，再结合分离常数法，以及二次函数的性质，即可求解．解答：解：（1）由y=f（x）过（4，2）可得log a 4=2，则a 2=4，解得a=2（负值舍去），因为f（x）=log 2x在（0，+∞）上是严格增函数，f（2x-2）＜f（x），则0＜2x-2＜x,解得1＜x＜2，故所求解集为（1，2）；（2）因为f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，所以f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），即log a （x+1）+log a （x+2）=2log a （ax）有解，化简可得lo （x +1）（x +2）=lo （ax ，则（x+1）（x+2）=（ax）2且，故=在（0，+∞）上有解，又=++1=2（+-，故在（0，+∞）上，＞2（0+-=1，故a 2＞1，解得a＜-1或a＞1，又a＞0，所以a＞1，故a的取值范围为（1，+∞）．g a g a ）2⎧⎨⎩x +1＞0x +2＞0a ＞0，a ≠1ax ＞0a 2（x +1）（x +2）x 2（x +1）（x +2）x 22x 23x1x 34）218（x +1）（x +2）x 234）218（2024•上海）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？答案：（1）12500人；（2）0.9h；（3）学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关解析：（1）由已知结合频率与概率关系即可求解；（2）先求出样本平均数，然后用样本平均数估计总体平均数即可；（3）结合独立性检验即可判断．解答：解：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比P ==，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为29000×=12500；（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为×[×0.5×（5+134）+×（4+147）+×（42+137）+×（3+40）+×（1+27）]=≈0.9h；（3）由题意可得2×2列联表，[1，2）其他总数优秀455095不优秀177308485①提出零假设 H 0：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，②确定显著性水平α=0.05，P（χ2≥3.841）≈0.05，③=≈3.976＞3.841，④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．42+3+1+137+40+27580255825581580121+0.521+1.521.5+222+2.522729χ2580×（45×308-177×50）2（45+50）×（177+308）×（45+177）×（50+308）（2024•上海）已知双曲线Γ：-=1，（b＞0），左右顶点分别为A 1，A 2，过点M（-2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．（1）当离心率e=2时，求b的值；（2）当b =，△MA 2P为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若R •P =1，求b的取值范围．x 2y 2b22√63→A 1→A 2答案：（1）b =；（2）P（2，2）；（3）b∈（0，）∪（，]．√3√2√3√3√303解析：（1）由题意可得=2，a=1，可得c=2，由a 2+b 2=c 2求解即可；（2）由题意可得MA 2=PA 2，P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，则可得（-1+=9，再由-=1，求解即可；（3）设 P（x 1，y 1） Q（x 2，y 2） 则R（-x 2，-y 2），设直线l ：x =my -2（m ＞），联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得y 1+y 2=，y 1y 2=，又由R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，即有（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，可得=＞，即可得答案．c ax 0）2y 02x 02y 02831b 4m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2m 210-3b2b21b2解答：解：（1）因为e=2，即=2，所以=4，又因为a 2=1，所以c 2=4，又因为a 2+b 2=c 2，所以b 2=3，所以b =（负舍）；（2）因为△MA 2P为等腰三角形，①若A 1A 2为底，则点P在线段MA 2的中垂线，即x =-上，与P双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；②若A 2P为底，则MP=MA 2，与MP＞MA 2矛盾，故舍去；③若MP为底，则MA 2=PA 2，设P（x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，c ac 2a 2√312则=3，即（-1+=9，又因为-=1，得（-1+（-1×=9，得11-6-32=0，解得=2，=2，即P （2，2）；（3）由题可知A1（-1，0），A 2（1，0），当直线l的斜率为0时，此时R •P =0，不合题意；则k l ≠0，设直线l：x=my-2，设P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2），根据延长OQ交双曲线于点R，则R（-x 2，-y 2），联立，得（b 2m 2-1）y 2-4b 2my+3b 2=0，二次项系数b 2m 2-1≠0，Δ=（-4b 2m）2-12b 2（b 2m 2-1）=4b 4m 2+12b 2＞0，y 1+y 2=，y 1y 2=，所以R =（-x 2+1，-y 2），P =（x 1-1，y 1），又因为R •P =1，得（-x 2+1）（x 1-1）-y 1y 2=1，则（x 2-1）（x 1-1）+y 1y 2=-1，√（-1+（-0x 0）2y 0）2x 0）2y 02x 02y 0283x 0）2x 0）283x 02x 0x 0y 0√2√2→A 1→A 2{x =my -2-=1x 2y 2b24m b 2-1b 2m 23b2-1b 2m 2→A 1→A 2→A 1→A 2即（my 2-3）（my 1-3）+y 1y 2=-1，化简后可得到（m 2+1）y 1y 2-3m（y 1+y 2）+10=0，再由韦达定理得3b 2（m 2+1）-12m 2b 2+10（b 2m 2-1）=0，化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以=-3，代入b 2m 2-1≠0，得b 2=10-3b 2≠1，所以b 2≠3，且=-3≥0，解得b 2≤，又因为b＞0，则0＜b 2≤，综上，b 2∈（0，3）∪（3，]，所以b∈（0，）∪（，m 210b2m 210b 210310310√3√33（2024•上海）对于一个函数f（x）和一个点M（a,b），定义s（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，若存在P（x 0，f（x 0）），使s（x 0）是s（x）的最小值，则称点P是函数f（x）到点M的“最近点”．（1）对于f （x ）=（x＞0），求证：对于点M（0，0），存在点P，使得点P是f（x）到点M的“最近点”；（2）对于f（x）=e x ，M（1，0），请判断是否存在一个点P，它是f（x）到点M的“最近点”，且直线MP与f（x）在点P处的切线垂直；（3）已知f（x）存在导函数f′（x），函数g（x）恒大于零，对于点M 1（t-1，f（t）-g（t）），点M 2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M 1与点M 2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．1x答案：（1）证明过程见解析；（2）存在，P（0，1）；（3）f（x）严格单调递减．解析：（1）代入M（0，0），利用基本不等式即可；（2）由题得s（x）=（x-1）2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P，再证明直线MP与切线垂直即可；（3）根据题意得到s 1'（x 0）=s 2'（x 0）=0，对两等式化简得f ′（）=-，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t,最后得到函数单调性．x 01g （t ）解答：解：（1）当M（0，0）时，s （x ）=（x -0+（-0=+≥22，当且仅当=即x=1时取等号，故对于点M（0，0），存在点P（1，1），使得该点是M（0，0）在f（x）的“最近点”；（2）由题设可得s（x）=（x-1）2+（e x -0）2=（x-1）2+e 2x ，则s'（x）=2（x-1）+2e 2x ，因为y=2（x-1），y=2e 2x 均为R上单调递增函数，则s'（x）=2（x-1）+2e 2x 在R上为严格增函数，而s'（0）=0，故当x＜0时，s'（x）＜0，当x＞0时，s'（x）＞0，故s（x）min =s（0）=2，此时P（0，1），而f'（x）=e x ，k=f'（0）=1，故f（x）在点P处的切线方程为y=x+1，而==-1，故k MP •k=-1，故直线MP与y=f（x）在点P处的切线垂直．（3）设（x ）=（x -t +1+（f （x ）-f （t ）+g （t ），（x ）=（x -t -1+（f （x ）-f （t ）-g （t ），而s 1'（x）=2（x-t+1）+2（f（x）-f（t）+g（t））f'（x），s 2'（x）=2（x-t-1）+2（f（x）-f（t）-g（t））f'（x），若对任意的t∈R，存在点P同时是M 1，M 2在f（x）的“最近点”，设P（x 0，y 0），则x 0既是s 1（x）的最小值点，也是s 2（x）的最小值点，因为两函数的定义域均为R，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x 0，使得s 1'（x 0）=s 2'（x 0）=0，即s 1'（x 0）=2（x 0-t+1）+2f′（x 0）[f（x 0）-f（t）+g（t）]=0，①s 2'（x 0）=2（x 0-t-1）+2f′（x 0）[f（x 0）-f（t）-g（t）]=0，②由①②相等得4+4g（t）•f'（x 0）=0，即1+f'（x 0）g（t）=0，即f ′（）=-，又因为函数g（x）在定义域R上恒正，则f ′（）=-＜0恒成立，接下来证明x 0=t,因为x 0既是s 1（x）的最小值点，也是s 2（x）的最小值点，则s 1（x 0）≤s（t），s 2（x 0）≤s（t），即 （-t +1+（f （）-f （t ）+g （t ）≤1+（g （t ），③（-t -1+（f （）-f （t ）-g （t ）≤1+（g （t ），④③+④得2（-t +2+2[f （）-f （t ）+2（t ）≤2+2（t ），即（-t +（f （）-f （t ）≤0，因为（-t ≥0，（f （）-f （t ）≥0）21x ）2x 21x 2x 21x 2k MP 0-11-0s 1）2）2s 2）2）2x 01g （t ）x 01g （t ）x 0）2x 0）2）2x 0）2x 0）2）2x 0）2x 0]2g 2g 2x 0）2x 0）2x 0）2x 0）2则，解得x 0=t,则f ′（t ）=-＜0恒成立，因为t的任意性，则f（x）严格单调递减．{-t =0f （）-f （t ）=0x 0x 01g （t ）。

2023高考数学真题试卷(上海)2023年数学真题试卷(上海卷)2023年上海高考时间安排：时间6月7日6月8日6月9日9:00-11:3015:00-17:009:00-11:3015:00-17:008:00起科目语文数学-外语笔试(含听力)外语听说测试2023年上海高考科目安排：上海市普通高校招生统一文化考试科目为：语文、数学、外语。

（1）6月7日上午语文科目考试，9:15起禁止考生进入考点，11:00后考生可提前交卷出场。

（2）6月7日下午数学科目考试，3:15起禁止考生进入考点，4:30后考生可提前交卷出场。

（3）6月8日下午外语笔试（含听力）科目考试，2:45起禁止考生进入考点，4:30后考生可提前交卷出场。

（4）6月9日外语听说测试，考生需根据《外语听说测试准考证》上考试场次提前45分钟到考点报到，提前35分钟进入准备室。

2023年上海高考各科分数是多少各科具体分值分布如下：1.本科：语文、数学、外语每门满分均为150分，不分文理，考试时间安排在6月;外语提供两次考试机会，其中一次考试已安排在1月份进行，选择其中较好的一次成绩计入高考总分。

考生自主选择的3门选考科目，每门满分均为70分。

2.高职(专科)：语文、数学和外语科目每门满分均为150分,不分文理，总分为450分。

外语提供两次考试机会，其中一次考试已安排在1月份进行，选择其中较好的一次成绩计入高考总分。

普通高中学业水平考试成绩计分：普通高中学业水平等级性考试成绩在计入高考总分时，由五等细化为A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共11级，分别占5%、10%、10%、10%、10%、10%、10%、10%、10%、10%、5%。

其中，A+为满分70分，E计40分。

相邻两级之间的分差均为3分。

绝密★启用前2023年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知P={1,2}，Q={2,3}，若M={x|x∈P,x∉Q}，则M=( )A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2,3}2.根据所示的散点图，下列说法正确的是( )A. 身高越大，体重越大B. 身高越大，体重越小C. 身高和体重成正相关D. 身高和体重成负相关3.已知a∈R，记y=sinx在[a,2a]的最小值为s a，在[2a,3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是( )A. s a>0，t a>0B. s a<0，t a<0C. s a>0，t a<0D. s a<0，t a>04.已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|⋅|MQ|=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( )A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立第II卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.不等式|x −2|<1的解集为______ ．6.已知向量a ⃗=(−2,3)，b ⃗⃗=(1,2)，则a ⃗⋅b⃗⃗= ______ ． 7.已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n 项和为S n ，则S 6= ______ ．8.已知tanα=3，则tan2α= ______ ．9.已知函数f(x)={1,x ≤0,2x ,x >0，则函数f(x)的值域为______ ． 10.已知复数z =1−i(i 为虚数单位)，则|1+iz|= ______ ．11.已知圆x 2+y 2−4x −m =0的面积为π，则m = ______ ．12.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a =4，b =5，c =6，则sinA = ______ ．13.现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP 为232(亿元)，第四季度GDP 为241(亿元)，四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为______ ．14.已知(1+2023x)100+(2023−x)100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 99x 99+a 100x 100，若存在k ∈{0,1,2,⋯,100}使得a k <0，则k 的最大值为______ ．15.某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ.行人每沿着斜坡向上走1m 消耗的体力为(1.025−cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ= ______ ．16.空间中有三个点A 、B 、C ，且AB =BC =CA =1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A 、B 、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种.三、解答题：本题共5小题，共78分。

2023年上海高考数学卷pdf摘要：一、引言1.上海高考数学卷背景介绍2.2023 年上海高考数学卷重要性3.本文主要内容概述二、2023 年上海高考数学卷概述1.试卷结构与分值分布2.考试时长与考试形式3.主要考察的知识点与能力要求三、试卷内容解析1.选择题部分2.填空题部分3.解答题部分四、备考策略与建议1.针对性地复习知识点2.提高解题速度与准确率3.增强实际应用能力4.调整心态，保持良好的应试状态五、总结1.2023 年上海高考数学卷的特点与挑战2.考生应对策略与建议3.对未来高考数学卷的展望正文：一、引言随着我国教育改革的不断深入，高考作为选拔人才的重要手段，其数学卷的命题方向和内容越来越受到人们的关注。

2023 年上海高考数学卷作为新一轮高考改革的重要实践，对广大考生具有重要的参考价值。

本文将对2023 年上海高考数学卷进行详细解析，以帮助考生更好地备战高考。

二、2023 年上海高考数学卷概述1.试卷结构与分值分布2023 年上海高考数学卷分为选择题、填空题和解答题三部分，满分150 分。

选择题共12 题，每题5 分，共计60 分；填空题共4 题，每题5 分，共计20 分；解答题共6 题，前5 题每题12 分，最后一题14 分，共计72 分。

2.考试时长与考试形式2023 年上海高考数学卷考试时长为120 分钟，考试形式为笔试。

3.主要考察的知识点与能力要求2023 年上海高考数学卷主要考察的知识点包括：函数与导数、三角函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率与统计等。

能力要求方面，注重考察考生的逻辑思维能力、数学运算能力、空间想象能力、实际应用能力等。

三、试卷内容解析1.选择题部分选择题主要考察基本概念、基本方法和解题技巧，要求考生熟练掌握知识点，具备较高的解题速度和准确率。

2.填空题部分填空题侧重考察考生的计算能力和对知识点的深入理解，要求考生在解答过程中注意细节，严谨求证。

高考数学试卷一、单选题 1.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知函数2()24,()2x x f x e x g x x e -=+-=-，若12()()0f x g x +=，则12x x +=（ ）A.4B.3C.2D.13.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.255± B.255 C.55 D.55± 4．函数2x y +=的定义域为( ) A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞ 5．下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=--C.()()2111x x x +-=-D.()2211x x -=- 6.基本再生数R 0与世代间隔T 是肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）7.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.[)(]0,11,2B.[)(]0,11,4C.[0,1)D.(1,4] 9.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题10.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.11.151lg 2lg222-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 12.正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的几倍？（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.14.已知函数()()21log 01+=>-ax f x a x 是奇函数 （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有()()22log >⋅g x g x k x ，求k 的取值范围.15.已知函数1()2f x x x=+-.（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围。

上海市（新版）2024高考数学部编版真题(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知复数满足，则（）A．0B．i C．D．第(3)题等差数列满足，则（）A．B．C．D．第(4)题在正三棱柱中，E，F分别为的中点，则下列结论错误的是（）A．平面平面B．C．平面平面D．平面第(5)题已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(7)题已知圆锥的底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交于，两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于，两点，则（）A．若，则的斜率B．的最小值为C．以为直径的圆与圆相切D．若，则四边形面积的取值范围为第(2)题若过点可以作出曲线的切线l，且l最多有n条，，则（）A．B．当时，a值唯一C．当时，D．na的值可以取到﹣4第(3)题设复数满足，则（）A．B．C ．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题直线与圆相交于M，N两点，若，则___________.第(2)题已知随机变量，且，则的最小值为________.第(3)题已知，，且，则的最小值是_____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，三棱柱中，侧面底面，，.（1）证明：；（2）若与平面所成角的正弦值为，求四面体的体积.第(2)题已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时,证明: .第(3)题的内角､､的对边分别为､､，.（1）求；（2）若，求周长最大时，的面积.第(4)题如图，已知正方体的棱长为，分别为的中点.(1)已知点满足，求证四点共面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.第(5)题如图，平面，四边形为直角梯形，，，.（1）证明：.（2）若，点E在线段上，且，求二面角的余弦值.。

上海市（新版）2024高考数学统编版（五四制）真题(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如图，等腰梯形ABCD 中，，，点E 是线段BD 上的动点，则的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．第(2)题已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）A．B ．C ．D ．第(3)题已知直线l ：与圆：，下列说法正确的是（ ）A ．所有圆均不经过点B ．若关于l 对称，则C ．若l 与相交于AB 且，则D ．存在与x 轴和y 轴均相切的圆第(4)题演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差第(5)题设分别为椭圆的左､右顶点，是上一点，且，则的离心率为（ ）A．B ．C ．D ．第(6)题已知集合，，则的真子集的个数为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．8第(7)题已知点P 在抛物线上，那么点P 到点的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A．B ．C ．D ．第(8)题圆关于直线对称的圆的方程是（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知向量，，则（ ）A ．B ．向量在向量上的投影为C ．与的夹角余弦值为D ．若，则第(2)题点为圆上一动点，则（ ）A ．B ．C．D．第(3)题下列说法正确的是（）A ．若，则B．若，，且，则的最大值是1C．若，，则D．函数的最小值为9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_________.第(2)题已知数列的前项和为，（），对任意，都存在，使得.若（），则___________，___________.第(3)题已知，关于的方程恰有三个不等实根，且函数的最小值是，则_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)求的最小值；(2)若对所有都有，求实数的取值范围；第(2)题如图，直线交抛物线于两点，是位于轴和直线l之间的拋物线上两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）求四边形的面积的最大值.第(3)题设函数，．(1)若的解集为，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数的值域为，且，求的取值范围．第(4)题已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求；(3)若，求数列前项和．第(5)题有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．(1)你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；(2)如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求X的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．。