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2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60,求a, 和A，C;
解： b c , sin B sinC
sinC c sin B 1 sin60 1
b
3
2
b c, B 60,C B,C为锐角， C 30，A 90
a c2 b2 2
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45, 求A。
(3)已知a 20,b 28, A 1200,解这个三角形.
点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.
j
具体证明过程
A
C
马上完成!
学以致用 如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ，
C＝69 °，求AB。
A.
B.
.C
a
解：A＝180 °－（43 °＋69 °）＝68 °
在 ABC中，由正弦定理得：
sainA=
AB sinC
∴AB=
a·sinC sinA
=
48s.i1n·6s8in°69≈°48.4(m)
a
20
7 3 1 10
本 题 无 解.
自我提高！
练习1、在 ABC中，若A：B：C=1：2：3，则
a:b:c＝( C )
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 :2
D、2: 3 :1
练习2、在 ABC中，若 3a=2bsinA，则B＝( C )
A、
3
B、
6
C、 或 2 D、 或 5
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。
变变式式解 12 解：： : sB在 求 在:ins 求解 is△ △BnBai 3nsB:和Ai0AAnB a和0sB或bcABBinss。csCiC1iaib。nBnan5b9中 中ss0AA0Biain0n0b(，， b舍ABs s2i已已ai去n nb22A B知知)4 c42aa 22＝＝ 23 224222，3412b2232＝3， 12b＝2，2 A2＝，4A5＝°4，5°，
同 理,过C点 作j垂 直 于CB， 可 得 c b ,在 锐 角 三 角 形 中
sinC sinB 也有 a b c sin A sinB sinC
在钝角三角形中
B
设A 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j, 则j与AB的 夹 角 为 A 90
j与CB的 夹 角 为 90 C
You try
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
解： B 180 ( A C ) 105
∵
bc sin B sinC
5 b csin B 10sin105
sin C
sin 30
65
2 19
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
B 180 ( A C ) 180 (45 30) 105,
c sin B 10sin105 b sinC sin 30 5( 6 2)
SABC
1 bc sin A 2
1 5( 6 2
2 )10sin45
25( 3 1)
C 10B50 6 0c0 或正1弦2a0s0定 in C理 应34用6二4 ：2 2 3 2 而可已求知 C其两它边7的5和0 或边其1和5中0 角一cs。i边nA（a对ssini角要nAC，注求意4223另3可一 能边26有4的两对2 角解8，）8进33
(3)已 知A 30, B C 60, a 2,求c.
解 : A 30, B C 60 B C 150 C 45 又 a c , sin A sin C
a sin C 2sin 45 c sin A sin 30 2 2
2
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120, 求a; (2)已知c 10, A 45,C 30, 求b, SABC .
(3)已知A 300 , B C 600 , a 2,求c.
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.
一、创设情境
1、问题的给出：
如图，要测量小河两岸A，B两个码头的距离。可在小河
一侧如在B所在一侧，选择C，为了算出AB的长，可先测出
BC的长a，再用经纬仪分别测出B，C的值，那么，根据a, B，
C的值，能否算出AB的长。
A.
2、实际问题转化为数学问题：
B.
.C
a
已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。
(1)已知b 12, A 300, B 120,求a;
解：(1) a b , sin A sin B
a
b sin A sin B
12 sin 300 sin 1200
4 3
（2） 已 知c 10, A 45, C 30,求b, SABC .
解 ： b c , sin B sinC
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
在锐角三角形中 B
jc
a
A
证
明
：
过
b
点A作
单
位
向
量j垂C 直
于AC，
j与AC的
夹
角
为 90
，
j与CB的
夹
角
为 90
C
，
j与AB的 夹 角 为90A .
由向量加法的三角形法则
AC CB AB
三、定理的证明
平面几何法
在ABC中,已知BC a, AC b, AB c, 作三角形的外接圆, O为圆心, 连结AO并延长交圆于 B' , 设AB' 2R, 则
A
Q ACB' 900, B B'
B Ob C B`
sin B sin B' b
b
2R
sinB =2R
(2)已 知a 2 3, b 2 2, B 45,求A.
解：sin A a sin B 2 3 sin45, A C(大边对大角)
A 60或120
(3)已知a 20,b 28, A 120o,解这个三角形.
解：Q sin B b sin A 28 sin120
两边同取与j的数量积, 得
j AC CB j AB
j AC j CB j AB
（ 根 据 向 量 的 数 量 积 的定 义 ）
j AC cos 90 j CB cos(90 C )
j AB cos(90 A) 即a sinC c sin A a c sin A sinC
A.
B. a .C
想一想?
二、定理的猜想
在一个直角三角形 ABC中
a
sin A
c a
A
c
sin A
sin sin
B C
b
c 1
c c
b sin B c
c
c b
c
sin C C a B
问题
（1）你有何结论?
abc
sin A sin B sin C
（2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？
33
66
练习3.在ABC中,若sin2 A sin2 B sin2 C,则ABC的形状是( B )
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、不能确定
课时小结
一个 定理 ——正弦定理 a b c sinA sinB sinC
二种 方法 —— 平面几何法 向量法
二个 应用 —— 已知两角和一边（只有一解） 已知两边和其中一边的对角
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R.
a b c 对任意三角形都成立 . sin A sin B sin C
正弦定理:
abc sin A sin B sinC （1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点 正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
（有一解，两解，无解）
P144 习题5.9 1, 2, 4
思考题: 在ABC中的两边a,b及角A
它们之间满足什么关系式有 一解, 两解, 无解.
