正弦定理 课件

2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型 的解三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对 角解三角形；
(2)已知两角和其中一角的对边解三角形．
3．由sina A＝sinb B＝sinc C可以得到 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？
(2)在△ABC 中，已知 a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c．
[解] (1)法一：∵∠A＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－(∠A＋∠
C)＝105°.
由sina A＝sinc C得 a＝cssiinnCA＝10× sinsi3n04°5°＝10 2.
∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通 过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此 时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π 这个结论．在两种解法的等式变形 中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．已知方程 x2－(bcos A)x＋acos B＝0 的两根之积等于两根之和， 且 a、b 为△ABC 的两边，∠A、∠B 为两内角，试判断这个三角形的 形状．
sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C．
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即 sin(B－C)＝0.∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C．
∴△ABC 是等腰直角三角形．
依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途 径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配 方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

探索和证明正弦定理的方法很多，有些方法甚至外接圆法
B
，连接

证明：作外接圆O, 过
B
作直径
B
C
A
C
BAC 90, C C '
c
'
sin C sin C
2R
c

2R
sin C
a
b
同理
2 R,
2R
sin A
sin B
2R
2R
典例解析
例3. 在△ 中，角, , 所对的边分别为, , .若 = ， = ， = ∘ ，
求()角； () △ 的面积.
解：（1）由正弦定理
b
c
b sin C 1

, 得 sin B

sin B sin C
a
2
在ABC中，b c且C 120
sin A
sin C
a
c
1
，sin
B

c
c
从而在直角三角形 ABC 中有：
a
b
c


sin A sin B sin C
b
c
,
c
新知探究
a
思考：对锐角三角形和钝角三角形，关系式
sin A
锐角三角形
CD
a
, sin A
CD
b
sin B
C
A
a
a
B
a
c
同理有 sin A sin C ,

，

，

sin A sin B sin B sin C sin A sin C
正弦定理的应用：解已知“两角和一边”和“两边和其中一边

②作高法证明正弦定理.
③向量法证明正弦定理
重要数学思想： 数形结合、分类讨论.
第十四页，共十五页。
课后思考
已知三角形两边和其中一边所对 的角时，三角形的解的个数如何判别？
第十五页，共十五页。
第七页，共十五页。
建构数学
正弦定理： a b c sin A sin B sinC
探究4：正弦定理里面包含了几个等式？ 探究5： 每个等式中有几个量？ 知三求一
a b,a c,c b sin A sin B sin A sin C sin C sin B
归纳使用正弦定理解三角形的条件:
（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角
道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求 得B、C两点的距离?
.C
现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得 ∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点 的距离?
.A .B
第二页，共十五页。
建立数学模型
C
如图在 ABC中，已知
A=600,C=450，AB=1000米
450
求BC的长度？
∴ bc
B
a DC
sin B sin C
同理： a b sin A sin B
∴
ab sin A sin B
c sinC
第五页，共十五页。
建构数学
当C为钝角时，过A点作AD垂直于BC交BC的延长线于
点D
sin B AD c
即 AD csin B
A
sin(1800 C) AD
b
c
b
即 AD b sin C
当A＝150°时 C 180 450 150 0 所以C无解
所以 A 30 C 105 c 8 2 6 第十二页，共十五页。

a b c sin A ; sin B ; sin C 2R 2R 2R
a : b : c sin A : sin B : sin C
三、说教学程序
三、说教学程序
课时小结
一个定理：正弦定理
两种方法：平面几何法、向量法
两种思想方法：转化、归纳。
随堂练习
C A 45 、 30 、 10。求： 、 。 c 1、已知 b
B：直角三角形 D：不能确定
C：等腰直角三角形
思考题：
B c A b 在 ABC 中，已知 a 2 ， 2 2 ， 30 求： ， 。
a a 若将条件“ 2 ”改为“ 2
”，解有变化吗？
2 a a 若将条件“ 2 ”改为“ 2
”，解有变化吗？
四、说板书设计
正弦定理
正弦定理
证明方法：（1）向量法 （2）平面几何法
例题：
习题：
说课完毕 谢谢大家!
驻马店市正阳县第二高级中学 雷琳
一、说教材
2、学情分析
作为高中的学生，同学们已经掌握了基本的三 角函数，特别是在一些特殊的三角形中，而同学们 在解决任意三角形的边与角的问题时就比较困难。
一、说教材
3、教学重难点
教学重点：正弦定理的发现和推导。 教学难点: 正弦定理的推导。
一、说教材
4、教学目标
（1）过程与方法目标：让学生从已有的知识出发， 共同探究任意三角形的边角关系。引导学生掌握观察、 归纳、猜想、证明最后得出定理的方法，体验数学发 现和创造过程。 （2）知识与技能目标：通过对任意三角形边角关 系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。 （3）情感、态度与价值观目标：通过推导得出正 弦定理，让学生感觉数学公式的整洁对称美和数学的 实际应用价值。

A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )

sin C=2(R 为△ABC 外接圆的半径);②sin = , sin = , sin = .
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)
sin A”,判断△ABC的形状.
解 因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos
Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或
所以 C>B,所以 B=30°,所以 A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC 的面积
1
1
S=2AB·AC·sin A=2×2 3×2sin 30°= 3.
素养形成
对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角
形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
sin 5sin60° 5 3
解 由正弦定理,得 sin A=
=
=
>1,则角 A 不存在,所以该三

2
4在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.
分析
解 (方法一)∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
c
,
C

题型一 理解正弦定理
例 1 (1)在 Rt△ABC 中，C＝90°，试根据直角三角形中正弦 函数的定义，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
【证明】 在 Rt△ABC 中，C＝90°， 由正弦函数的定义知： sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1. ∴sianA＝c，sibnB＝c，sincC＝c. ∴sianA＝sibnB＝sincC.
(2)在锐角△ABC 中，根据下图，证明：sianA＝sibnB＝sincC.
【证明】 根据三角函数的定义： sinA＝CbD，sinB＝CaD. ∴CD＝bsinA＝asinB. ∴sianA＝sibnB. 同理，在△ABC 中，sibnB＝sincC. ∴sianA＝sibnB＝sincC成立．
【解析】
(1) 由
正
弦
定
理
sianA ＝
b sinB
，
得
sinA
＝
asinB b
＝
6× 2
2 2＝
3 2.
又 0°<A<180°，∴A＝60°或 120°.
∴C＝75°或 C＝15°.
(2)由正弦定理，得
2 sinB＝bsianA＝
3 3× 2
3 2＝
2 2.
∴B＝45°或 135°，但 B＝135°时，135°＋60°>180°，这与 A
正弦定理
要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的 正弦 的比相等，即：
sianA＝sibnB＝sincC
＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)．
(2)正弦定理的三种变形
①a＝2RsinA，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；
②sinA＝2aR，sinB＝

a2＋b2－c2
(3)sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A＝2R
cos C＝____2_a_b_____
提醒：在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，求第三边时， 使用余弦定理比使用正弦定理简洁．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(2)若 2a＋b＝2c，求sin C. [解] (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理
得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
第六节 正弦定理、余弦定理
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
已知B＝150°.
①若a＝ 3c，b＝2 7，求△ABC的面积；
②若sin A＋ 3sin C＝ 22，求C.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sina A＝sinb B可