东南大学16-17-2高数期中考试试卷及答案

2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。

江苏省南京师大附中江宁分校2016-2017学年高一（下）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）sin13°cos17°+cos13°sin17°=．2．（5分）直线y=x﹣1的倾斜角为度．3．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，则a3+a4+a5+a6=．4．（5分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=10，c=20，∠B=120°，则b=．5．（5分）已知数列，…，，那么9是数列的第项．6．（5分）过点（2，1）且斜率为﹣2的直线方程为．7．（5分）已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=．8．（5分）已知sinθ=，θ为第二象限角，则cos2θ=．9．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则B的大小为．10．（5分）已知过点P（1，﹣1）的直线l与x轴正半轴，y轴负半轴分别交于C，D两点，O为坐标原点，若△OCD的面积为2，则直线l方程为．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为，则b=．12．（5分）已知sinα+cosα=m，其中，则实数m的取值范围是．13．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为q，且，则公比q=．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），a1=1，则a2017=．二、解答题15．（14分）已知直线λ经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线λ的方程．（1）倾斜角是直线x﹣4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）直线在两坐标轴上的截距相等．16．（14分）已知α，β都是锐角，且sinα=，tan（α﹣β）=﹣．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．17．（15分）等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log3a n+1，且数列{}的前n项和为T n．求T n．18．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4sin A sin B﹣4cos2 =﹣2．（1）求角C的大小；（2）已知=4，△ABC的面积为8．求边长c的值．19．（16分）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）…，记第n个图形的边长a n、周长为b n．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若第n个图形的面积为S n，试探求S n，S n﹣1，（n≥2）满足的关系式，并证明S n＜．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（2）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式，并判断T n的单调性；②求使T n＞2的n的取值范围．【参考答案】一、填空题（每小题5分，共70分）1．【解析】sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°=；故答案为：．2．45【解析】直线y=x﹣1的斜率是1，所以倾斜角为45°．故答案为：45．3．40【解析】∵数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，∴a3+a4+a5+a6=S6﹣S2=（62+2×6）﹣（22+2×2）=40．故答案为：40．4．10【解析】由余弦定理可得：b2=102+202﹣2×10×20×cos120°=700．解得b=10．故答案为：10．5．14【解析】由=9．解之得n=14由此可知9是此数列的第14项．故答案为：146．2x+y﹣5=0【解析】过点（2，1）且斜率为﹣2的直线方程为y﹣1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5=0，故答案为：2x+y﹣5=07．11【解析】因为a3+a11=2（a1+6d）=2a7=22，所以a7=11．故答案为：118．【解析】由题意可得：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为：．9．【解析】∵在△ABC，，由正弦定理==2R得，，∴sin B cos C=sin A cos B﹣sin C cos B，∴sin（B+C）=sin A cos B，又在△ABC，B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sin A≠0，∴cos B=，又B∈（0，π），∴B=．故答案为：．10．x﹣y﹣2=0【解析】由题意设C（a，0），D（0，﹣b），其中a，b均为正数，则直线l的截距式方程为+=1，由题意可得+=1且S△OCD=ab=2，联立解得a=2，b=2，故直线方程为+=1，化为一般式可得x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=011．【解析】∵a，b，c成等差数列∴2b=a+c①又∵△ABC的面积为∴②∴ac=6又∵cos B==③∴由①②③知=∴=又∵b＞0∴b=故答案为：12．（1，2]【解析】∵已知sinα+cosα=m，∴2sin（α+）=m，∴sin（α+）=，∵其中，∴α+∈（，），∴sin（α+）∈（，1]，即∈（，1]，∴1＜m≤2，则实数m的取值范围是（1，2]．13．1【解析】∵，∴=3，∴1+q+q2=3q，即（q﹣1）2=0，解得q=1，故答案为：1．14．【解析】∵a n+1=（n∈N+），∴==+，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为的等差数列，∴=1+（n﹣1）=，∴a n=，∴a2017=，故答案为：．二、解答题15．解：（1）设直线x﹣4y+3=0的倾斜角是α，∵直线x﹣4y+3=0的斜率是，∴tanα=，∴tan2α===．故直线λ的方程为：y﹣2=×（x﹣3），即15y﹣8x﹣6=0；（2）过点（3，2）在两坐标轴上的截距相等的直线，满足直线经过原点或直线的斜率为﹣1，当直线经过原点时，所求直线方程为：y=x，即2x﹣3y=0．当直线的斜率为﹣1时，所求直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即x+y﹣5=0．所求直线λ方程为：2x﹣3y=0或x+y﹣5=0．16．解：（1）∵，从而．又∵，∴．利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．17．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵2a2为3a1和a3的等差中项，∴2×2a2=3a1+a3，化为4a1q=，∴q2﹣4q+3=0，解得q=1或3．又a2﹣a1=2，∴a1（q﹣1）=2，q≠1，∴．∴a n=3n﹣1．（2）b n=2log3a n+1=2n﹣1，∴==．∴数列{}的前n项和为T n=+…+==．18．解：（1）由条件得4sin A sin B=2（2cos2﹣1）+，即4sin A sin B=2cos（A﹣B）+=2（cos A cos B+sin A sin B）+，化简得cos（A+B）=﹣，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，又A+B+C=π，∴C=，（2）由已知及正弦定理得b=4，又S△ABC=8，C=，∴ab sin C=8，得a=4，由余弦定理c2=a2+b2﹣2ab cos C得c=4．19．解：（Ⅰ）由题意知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）n﹣1，设第n个图形的边数为c n，因为第1个图形的边数为3，从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，则c n=3×4n﹣1，因此，第n个图形的周长b n=a n×c n=（）n﹣1×3×4n﹣1=3×（）n﹣1，（Ⅱ）S1=，当n≥2时，S n=S n﹣1+c n×（×a n2）=S n﹣1+3×4n﹣2××[（）n﹣1]2 =S n﹣1+×（）n﹣1，则S n=S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（S n﹣S n﹣1），=+[+（）2+（）3+…++（）n﹣1]，=+×，=﹣×（）n﹣1，∴S n＜．20．（1）证明：由已知：（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1 （n≥2，n∈N*），即a n+1﹣a n=1 （n≥2，n∈N*）且a2﹣a1=1．∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．∴a n=n+1．（2）解：①由（Ⅰ）知b n=（n+1）•2﹣n，它的前n项和为T nT n=2•2﹣1+3•2﹣2+4•2﹣3+…+n•2﹣n+1+（n+1）•2﹣n，①T n=2•2﹣2+3•2﹣3+4•2﹣4+…+n•2﹣n+（n+1）•2﹣（n+1），②T n=1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣n﹣（n+1）•2﹣（n+1），②=﹣，∴T n=3﹣，设g（x）=3﹣，x∈N*．求导，g′（x）=＞0，x∈N*．g（x）单调递增，∴T n单调递增；②由T n＞2，则3﹣＞2，则﹣1＜0，设f（n）=﹣1，则f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，则f（n）在N+上单调递减，f（1）=1，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，当n=1，n=2时f（n）＞0，f（3）＜0，∴n的取值范围为n＞3，且n∈N*．。

东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（ （每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八 一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则 的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。

x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题 函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第 类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。

共 5 页 第 1 页07-08-3高数B 期中试卷08.4.11一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 1.级数1(1)ln 1nn ∞=⎛⎫- ⎝∑ （常数0a >） [ ] (A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 敛散性与a 的取值有关2. 下列反常积分发散的是 [ ] (A)31d 1x x x +∞+⎰(B) 21x ⎰ (C )321d ln(1)x x -⎰ (D) 1x +∞⎰ 3. 已知直线1412:235x y z L -++==与2113:324x y z L ---==-，则1L 与2L [ ] (A )相交 (B ) 异面 (C ) 平行但不重合 (D ) 重合4. 设函数21,01()0,10x x f x x ⎧+≤<=⎨-≤<⎩，01()(cos sin )2n n n a S x a n x b n x ππ∞==++∑， x -∞<<+∞，其中11()cos d (0,1,2,)n a f x n x x n π-==⎰，11()sin d (1,2,)n b f x n x x n π-==⎰，则()3S = [ ](A )12(B ) 1 (C ) 0 (D ) 2 二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)5. 若23-a b 垂直于+a b，且=a ，则a 与b 的夹角为 ；6. 曲线222340x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所成的曲面方程是 ；7. 曲线22222223520x y z x y z ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩在yOz 面上的投影曲线方程是 ； 8. 设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在4x =处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为 ；9.幂级数210(1)(2)21nn n x n ∞+=--+∑的收敛域为 . 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分)共 5 页 第 2 页10．求过点(1,2,1)且与直线21010x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩及直线201x y z +==--都平行的平面方程.11．求过点(4,6,2)--，与平面62310x y z --+=平行，且与直线113325x y z -+-==-相交的直线方程.12．将函数()2()ln 23f x x x =+-展开为3x -的幂级数，并求收敛域.13. 求幂级数121(1)n n n nx ∞-=-∑的和函数，并指明收敛域.四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量+j k ，准线为22411x y z ⎧-=⎨=⎩的柱面方程.五（15）。

满足条件满足条件 12a > 时，级数-+33n n acos的取值范围是的取值范围是 12a > .arctann应满足的条件是 0p > 。

处的泰勒级数及收敛域为处的泰勒级数及收敛域为 03ln ,(,)!n n n x x n ¥=Î-¥+¥å 。

的和为的和为11sin - 。

的和函数及收敛域为 111121ln ,(,)x x x +Î-- 。

的收敛域为 3122[,)-- 。

处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为 4R = 。

)的和为 22ln e + 。

. 8 B)(v u ln nn( C ) (D ) n p A A 1+u 1+uD u D []naC D n u D（A ）01p <£（B ）12p <<（C ）2p ³（D ）012或p p <£³9、设111110,(1,2,),lim 1,(1)()且则级数n n n n n n n n u n u u u ¥+®¥=+¹==-+å( C ). （A ）发散，（B ）绝对收敛，（C ）条件收敛，（D ）敛散性不能判定）敛散性不能判定 10、正项级数1n n u ¥=å收敛是级数21n n u ¥=å收敛的( A ) （A ）充分条件）充分条件 （B ）必要条件）必要条件 （C ）充要条件）充要条件 （D ）非必要非充分条件三、常数项级数敛散性1、讨论级数å¥=-+-1])3(4[4)1(n nn nnn 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件条件收敛？收敛？ 2、常数p 取什么值时，级数å¥=-1ln )1(n pnn n是（1）发散；（2）条件收敛；（3）绝对收敛的？）绝对收敛的？ 3、讨论级数)0()1()1(1>+-å¥=a a n a n nn的绝对收敛与条件收敛。

东南大学考试卷课程名称高等数学（A）期中考试学期 08 - 09 - 3 得分适用专业选学高数（A）的各专业考试形式闭卷考试时间长度120 分钟54200 y 2 4 4 y1．交换积分次序- 2 dyf(x, y)dxdyf(x, y)dx ；2设e z 1 i 0 ，则Re z Im z ；3设z z ( x , y ) 是由方程y z xf ( y2 z2 ) 所确定的隐函数，其中f可微，则全微分dz ；4设C为由x y与x轴, y轴围成的三角形的边界, e x y d s；C5设f ( x , y ) 连续，D ( x , y ) 0 x 1, 0 y x2 ，且f(x ,y ) y f(y, d y d 则Df(x,y)dxdy 。

．D4416xy6函数f ( x , y ) x2 y2 , ( x , y ) ( 0 , 0 )在点( 0 , 0 ) 处0 , ( x , y ) ( 0 , 0 )(A)连续且偏导数存在(B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在(D) 不连续且偏导数不存在7设D ( x , y ) x2 y2 1 , D1为D在第一象限部分,则下列各式中不成立的是（A） d x d y 4 d x d yD D1 （B）xy d x d y 4 xy d x d yD D1（C）( x x3 y2 ) d x d y 0 D （D）x2 y3 d x d y x3 y2 d x d yD D8设f ( t ) C [ 0 , ) , I ( R ) f ( x2 y2 z2 ) d v,则当R 0 时, I ( R )2 2 2 2x y z R（A）是R的一阶无穷小（C）是R的三阶无穷小（B）是R的二阶无穷小（D）至少是R的三阶无穷小9．设f ( x , y ) 在原点的某邻域内连续，且lim a 0 ，则x 0 x 1 x s in y c o s yy0（A）f ( x , y ) 在原点处取得极大值（B）f ( x , y ) 在原点处取得极小值（C）不能断定f ( x , y ) 在原点处是否取得极值（D）原点一定不是f ( x , y ) 的极值点(5840)10计算二重积分 d ，其中D ( x , y ) x 2 y2 1 , x y 1 .x yD11计算曲面积分( z y ) d A，其中是由z 0 , z 1 与z2 1 x2 y2 所围成的立体的表面.12求，其中为圆柱体y2 z2 R2 ，x R ( R 0 ) 的表面，x y z取外侧.13求由曲面x2 z 1 , y2 z 1 和z 0 所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标.14已知解析函数f ( z ) 的实部u ( x , y ) 2 xy ,求f ( z ) 的表达式（用变量z 表示）和f ( i ) ．158求函数u x2 2 y2 3 z2 在球面x2 y2 z2 1 和平面x y 0 的交线上的最大值与最小值.x y 2 0168试求过直线x 5 y z 3 0面方程.，且与曲面z x2 y2 相切的平2 2178设ab 0 , f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数，且a2 b2 0 ,x y2f ( ax , bx ) ax，f x( ax , bx) bx，求fxx ( ax , bx) ，fxy( ax , bx ) ，f yy( ax , bx ) .08-09-3A54202 4 xe( 2 ) 2C5、44 166 、 C7 、 B8 、 D9 、 B .( 5 840 )DdD11 、1 x2 y 22 D : 0z 1( z y ) d A z d A z d A z d A z d A 2 2 ( x2y 2) 1d x d yD53312 、 y 2 z2R21 :x Ry 2z 2R 2取后侧， 2 : 取前侧，x Ry 2 z 2R2x R取外侧， D zx( z , x )z R , x R ，1R y z 2R y z3x R2 2R21 x13 、由对称性知x y 0 ， 质量m 8d x 0(1 x 2) d y 2 ，对xO y 平面的静力矩M xy 81 d x 0xd y01 x2z d z ， z21 、 0 dx x 2f (x , y )dy 2 、R e z ln 2 ，Im z32 k , k 0 , 1, 2 ,d 02dco 1ss in( c o s s in ) d 5f 2 xyf 1d z d x d y1 2 xzf 1 2 xzff ( x , y ) d x d yD x 2 y 22 2 : z 1 x 2y 211 :z 0x 2 y 2 1 z 2 3 : 2 2 23 、 4、 22 1 d0 2 Dzx2 21x d y d z y d z d xe x yd s ， ， ， 10 、x y zz 0 3 :222231R z2 2d z d x x R2 2x y 0 ，用切片法 M xyz 2 d z1 1 214 、v u y x2 y2 y22y2 2( x ) ，v 2 xy( x ) u 2 x 2 xy ，( x ) x2C ，x x2y 2 y x 2 y 2f ( z ) i z2C ， f ( i ) 3因为解析，所以 f ( z ) u x iu y ( 2 y) i ( 2 x )从而 f ( z )i 2 zf ( z ) iz2C8 首先根据条件得u x22 y23 z23 y22 x23 3 x23 ，且在点( 0 , 0 , 1) 处，u m a x3 ，继续由条件得u 3 x 2 z 221 z2 3，且在点 2 2 2,, 0 处， u m i n8 x y 2 0设过直线 的平面方程为(1)x (1 5 ) y z 2 3 0 ，x 5 y z 3 0(1 ) x 0(1 5 ) y 0z 0 2 3 0 (1)设切点为( x 0 , y 0 , z 0 ) ，则 2 x 02 y 0 1( 2 )1 1 52 2z 0x 0y 0 ( 3 )2 21 1 5 (1 ) (1 5 )2 2 4代入（1）得7 28 1 0 ，解得11,2，从而两切平面方程分别为2 x 4 y z 5 0 和8 x 2 y z 1 7 0 。

2016—2017学年第二学期期中考试高一年级数学试题一．填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分﹒请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．． 1．用符号表示“点A 在平面α内，直线l 在平面α内”为 ▲ .2．直线x+y ﹣1=0的倾斜角是 ▲ .3．直线l 1：x+2y ﹣4=0与l 2：mx+（2﹣m ）y ﹣1=0平行，则实数m= ▲ .4．梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系 ▲ .5．过（﹣5，0），（3，﹣3）两点的直线的方程一般式为 ▲ .6．直线x ﹣y ﹣5=0被圆x 2+y 2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为 ▲ .7．m 为任意实数时，直线(1)(21)5m x m y m -+-=-必过的定点坐标为 ▲ .8．在直观图（如图所示）中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2cm ，则在xOy 坐标系中，四边形OABC 的面积为 ▲ cm 2．9．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β． 其中所有真命题的序号是 ▲ .10．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ .11．已知直线过点（2，3），它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ▲ .12．若直线y=﹣x+b 与曲线x=恰有一个公共点，则b 的取值范围是 ▲ .13．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 是线段PB 的中点．有以下四个命题：①MO ∥平面PAC ； ②PA ∥平面MOB ；③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC ． 其中正确的命题的序号是 ▲.14.已知圆22:1O x y +=，点C 为直线:220l x y +-=上一点，若圆O 存在一条弦AB 垂直平分线段OC ，则点C 的横坐标的取值范围是 ▲ .二．简答题：本大题共6小题，共计90分﹒请在答题卡的指定区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤﹒ 15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为1,BB AC 中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .ABCA 1B 1C 1F E 第15题16．(本小题满分14分) 求下列直线或圆的方程(1)过点(2,1)且与直线340++=垂直的直线方程；x y(2)以线段AB：)2+xx为直径的圆的标准方程；y-0(0=2≤≤(3)圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程．17．(本小题满分14分)如图，在三棱锥S﹣ABC中，AS=AB，CS=CB，点E，F，G分别是棱SA，SB，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）SB⊥AC．第17题第18题18．(本小题满分16分)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，（1）求证：PA∥平面MBD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；（2）若l1的倾斜角为，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 顶点坐标分别为A （0，a ），B （﹣，0），C （，0），Q （0，b ），（其中a ＞0，b ＞0），圆M 为△ABC 的外接圆．（1）当a=9时，求圆M 的方程；（2）当a 变化时，圆M 是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； （3）在（1）的条件下，若圆M 上存在点P ，满足PQ=2PO ，求实数b 的取值范围．2016-2017学年第二学期期中考试高一数学试题 参考答案一．填空题：（1）A∈α，l ⊂α （2） （3） （4）平行或异面（5） 3x+8y+15=0 （6）（7）()9,4-.（8）8（9）②③ （10）48 （11）3x ﹣2y=0或x+2y ﹣8=0（12）（13）①④ （14）8(0,)5二．简答题：15证：（1）连1AC 交1A C 于点O ， F 为AC 中点， ∴111//=2OF CC OF CC 且，E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF 且，∴四边形BEOF 是平行四边形， …………4分 ∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ， ∴//BF 平面1A EC . ………………………………7分（2）由（1）知//BF OE ，AB CB =，F 为AC 中点，所以BF AC ⊥，所以OE AC ⊥, ……9分又因为1AA ⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以1AA BC ⊥，则由//BF OE ，得1OE A A ⊥，而1,A A A C ⊂平面11ACC A ，且1A A A C A =，所以OE ⊥面11ACC A ， ………12分又OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A ………………14分 （说明：其他解法参照给分）16解：(1)350x y --= ………………………………4分 (2)2)1()1(22=-+-y x ………………………………5分 (3)（x ﹣2）2+（y+2）2=1 ． ………………………………5分17证明：（1）∵E 、G 分别为SA 、SC 的中点，∴EF 、EG 分别是△SAB 、△SAC 的中位线，可得EF ∥AB 且EG ∥AC ． ∵EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC ，同理可得EG ∥平面ABC 又∵EF 、EG 是平面EFG 内的相交直线，∴平面EFG ∥平面ABC ； ………………………………7分 （2）连接AF ，CF ， ∵AS=AB ，CS=CB ，∴SB⊥AF，SB⊥FC，∵AF∩CF=F，∴SB⊥平面AFC，∵AC⊂平面AFC，∴SB⊥AC．………………………………7分18解：（1）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．则AO=OC，又PM=MC，∴PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．………………………………4分（2）连接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD．∴=．………………………………5分3）存在，N为AB中点．………………………………2分证明：取AB的中点N，连接CN交BQ于点E．由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，∵CN⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB．………………………………5分19解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．………5分（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．∵∴∴M点坐标（4，3）．………………………………5分（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆．又∵三角形CPQ面积∴当d=时，S取得最大值2．∴．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．………………………………6分20解：（1）设圆M的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵在圆M上∴ (2)解得D=0，E=5﹣a，F=﹣5a圆M的方程为：x2+y2+（5﹣a）y﹣5a=0当a=9时，圆M的方程为：x2+y2﹣4y﹣45=0 ……………………4分（2）由（1）圆M的方程可化为：x2+y2+5y﹣a（5+y）=0 (8)要使圆M过某一定点，∴解得x=0，y=﹣5，∴圆M过定点（0，﹣5）………………………………5分（3）设P的坐标（x，y），因为PQ=2PO，所以，整理得，（b＞0） (12)所以点P在以为圆心，为半径的圆上又因为点P在圆M，所以两个圆有公共点，当a=1时，圆M的圆心为（0，2），半径为7故有，解得5≤b≤27………………………………7分。

一、选择题1．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．22．(0分)[ID ：12413]已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．323π3．(0分)[ID ：12409]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+4．(0分)[ID ：12400]若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．65．(0分)[ID ：12383]直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y +-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞ 6．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 7．(0分)[ID ：12341]正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 8．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 9．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ）A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π 10．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．13 B ．12 C ．16 D ．111．(0分)[ID ：12428]在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．8312．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 13．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行14．(0分)[ID ：12347]若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．不存在15．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．32二、填空题16．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．17．(0分)[ID ：12512]一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________18．(0分)[ID ：12466]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC=__________．19．(0分)[ID ：12452]将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______.20．(0分)[ID ：12447]在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．21．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803，则圆台的侧面积为_____．22．(0分)[ID ：12501]若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.23．(0分)[ID ：12439]三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．24．(0分)[ID ：12437]在正方体1111ABCD A B C D -中，①BD 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD请把所有正确命题的序号填在横线上________．25．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12596]如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.28．(0分)[ID ：12575]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．29．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．30．(0分)[ID ：12533]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．（1）求证：BD PC ⊥；（2）若平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．B4．B5．B6．D7．A8．B9．D10．A11．C12．D13．D14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6017．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别18．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定19．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故20．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半22．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆23．【解析】【分析】以B为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解【详解】设B到平面ACD的距离为h三角形ACD面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以24．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确；25．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD 求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ==本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径. 3．B解析：B【解析】 该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ． 4．B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式. 5．B解析：B【解析】【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论.【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221kk -=+，解得512k =，直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案. 【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立； //m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积8．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.9．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABCS不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．10．A解析：A 【解析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积． 【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.解析：D 【解析】 【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D . 【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.13．D解析：D 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.14．C【解析】 【分析】直接根据直线平行公式得到答案. 【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.15．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．二、填空题16．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A＝120°AB＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60【解析】 【分析】 【详解】设AC 与BD 交于点O ．在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1． 过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求． 由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°．在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE ＝2．17．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别 解析：21π【解析】 【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积． 【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上， ∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则2223232132324R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== . 故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．18．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定解析：13【解析】 【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PEEC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以2222AF AB ==，而22AC =，故:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题.19．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：()4,2-【解析】 【分析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论.【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M .则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.20．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半 解析：360π【解析】 【分析】首先通过两个底面面积之比为4:9，得到半径比，设出上底半径为2k ，下底半径为3k ，由因为母线与底面的夹角是60，得到母线长为2k ，高为3k .就可以根据轴截面的面积解出6k =，代公式求出侧面积即可. 【详解】圆台的两个底面面积之比为4:9，则半径比为2:3所以设圆台的上底半径为2k ，下底半径为3k ，由于母线与底面的夹角是60，所以母线长为2k 3k . 由于轴截面的面积为1803， 所以()46332k k k+=6k =.所以圆台的上底半径为12，下底半径为18.母线长为12. 所以圆台的侧面积为()121812360ππ+⨯=. 故答案为：360π 【点睛】本题主要考查圆台的性质以及圆台的侧面积，同时考查了线面成角问题，属于中档题.22．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】 【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.23．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】 【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题. 24．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确； 解析：①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④. 【详解】对于①，如下图所示，由于1111,DD BB DD BB =，则四边形11DD B B 为平行四边形，则11D B BD11D B ⊂面11D B C ，BD ⊄面11D B C ，所以BD平面11CB D ，故①正确；对于②，由于AD BC ∥，则直线AD 与1CB 所成角为145B CB ∠=︒，故②错误； 对于③，1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，则1AA BD ⊥，故③正确；对于④，在正方体中，1111,AA CC AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形 所以1111,AC AC AC ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11AC ∥平面1ACD 同理1A B 平面1ACD ，1111111,,AC A B A AC A B ⋂=⊂平面11A BC所以平面11A BC ∥平面1ACD ，故④正确；故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.25．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平解析：7π【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD3的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R 7，由此能求出该球的表面积．【详解】由题意得该三棱锥的面PCD3的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD3O1D＝1，OB＝OD，得OB＝72，∴三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝72，∴该球的表面积S＝4πR2＝474π⨯＝7π．故答案为：7π．【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：122AB =，∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题. 27．（1）证明见解析；（2）2；（3）33. 【解析】【分析】（1）通过折叠关系得PD CD ⊥，计算并证明PD BD ⊥，即可得证线面垂直；（2）结合已证结论以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，分别通过平面BCD 和平面BDE 的法向量求出其余弦值，再求出正弦值；（3）计算出平面BDE 的法向量与AB 的方向向量的夹角余弦值的绝对值即可.【详解】（1）梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，2DA =，四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ⊥，2AB DA ==，22BD =， 所以四边形ABCD 为正方形，CD DS ⊥，折叠后，CD DP ⊥，2PD =，23PB =，在三角形PBD 中，2224812PD BD PB +=+==， 所以BD DP ⊥，,CD DB 是平面ABCD 内两条相交直线，所以PD ⊥面ABCD ；（2）,,DA DC DP 两两互相垂直，以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C P E(2,2,0),(0,1,1)DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =则2200DB n x y DE n y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，解得y z x z =-⎧⎨=⎩，令1z =，取(1,1,1)n =- 由（1）可知，PD ⊥面ABCD ，取平面ABCD 的法向量(0,0,2)DP = 23cos ,332DP n ==⨯， 根据图形，二面角E BD C --的平面角的余弦值为33 所以二面角E BD C --的平面角的正切值为2；（3）(0,2,0)AB =，由（2）可得平面BDE 的法向量(1,1,1)n =-设直线AB 与平面BDE 所成的角为θ，23sin cos ,323AB n θ-===⨯. 所以AB 与平面BDE 所成的角的正弦值33. 【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明，空间几何体中求二面角和线面角的三角函数值，建立空间直角坐标系解决问题更加清晰明了，注意容易计算出错和公式记错.28．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，。

2016-2017学年江苏省南京师范大学附属中学上学期高三期中考试文数一、填空题：共14题1．已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(C U B)=__________.【答案】{1,2,3}【解析】本题考查集合的运算；由题意，得A∪C U B=1,3,∪2={1,2,3}；故填{1,2,3}.2．若复数z满足z i=1+i,则z 的共轭复数是__________.【答案】1+i【解析】本题考查复数的运算和复数的概念；因为z i=1+i，所以z =1+ii=1−i，则z=1+i；故填1+i.3．已知一组数据3,5,4,7,6,那么这组数据的方差为__________.【答案】2【解析】本题考查样本的数字特征；由题意，得该组数据的平均数为5，则方差为s2=153−52+5−52+4−52+7−52+6−52=2；故填2.4．袋中有形状、大小都相同的4只球,其中有2只红球,2只白球,若从中随机一次摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.【答案】23【解析】本题考查古典概型、排列组合应用题；若从4个小球中随机一次摸出2只球，共有C42=6种不同的摸法，其中这2只球颜色不同有C21C21=4种摸法，则这2只球颜色不同的概率为P=46=23；故填23.5．如下图,矩形ABCD由两个正方形拼成,则∠CAE的正切值为__________.【答案】13【解析】本题考查正切函数的定义、两角差的正切公式；设正方形的边长为1，则tan∠CAB=12,tan∠BAE=1,tan∠CAE=tan∠BAE−tan∠CAB1+tan∠BAE tan∠CAB=1−121+12=13；故填13.6．下图是一个算法流程图,则输出的k的值是__________.【答案】5【解析】本题考查程序框图中的循环结构；由题意，得S=18,k=2,S=14,k=3,S= 6,k=4,S=−10<0,k=5；故填5.7．若实数x,y满足条件x+y−2≥0x−y≤0y≤3,则目标函数z=3x−4y的最大值是__________.【答案】−1【解析】本题考查简单的线性规划问题；将z=3x−4y化为y=34x−z4，作出可行域和目标函数基准直线y=34x（如图所示），当直线y=34x−z4向左上方平移时，直线y=34x−z4在y轴上的截距−z4增大，即z减小，由图象，得当直线y=34x−z4过点A时z取得最大值，联立x+y−2=0x−y=0，得A(1,1)，z=3−4=−1；故填−1.8．若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,−4),则此双曲线的离心率为__________.【答案】53【解析】本题考查双曲线的几何性质；因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点3,−4，所以ba =43，则此双曲线的离心率为e=ca=1+b2a2=53；故填53.9．若cos(π6−θ)=33,则cos(5π6+θ)−sin2(θ−π6)=__________.【答案】−33−23【解析】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；因为cos(π6−θ)=33，所以cos5π6+θ −sin2 θ−π6=−cosπ6−θ +cos2 θ−π6−1=−33+13−1=−33−2 3；故填−33−23.10．在等腰梯形ABCD中,已知AB//DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和点F分别在线段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,则AE·AF的值为__________.【答案】2918【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算；由平面几何知识，得在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,CD=1,∠BCD=120°，因为BE=23BC,DF=16DC，所以AE·AF= AB+BE· AD+DF= AB+23BC·AD+16DC=AB·AD+16AB·DC+23BC·AD+19BC·DC=2×1×cos600+16×2×1×cos00+23×1×1×cos600+19×1×1×cos1200=1+13+13−118=2918；故填2918.11．等比数列{a n}的首项为2,公比为3,前n项的和为S n,若log3[12a n∙(S4m+1)]=9,则1 n +4m的最小值为__________.【答案】52【解析】本题考查等比数列、对数运算、基本不等式；因为等比数列{a n}的首项为2，公比为3，前n项和为S n，所以a n=2∙3n−1,S n=3n−1，因为log3[12a n∙(S4m+1)]=9，所以n−1+4m=9，即n+4m=10，则1n +4m=110n+4m1n+4m=11017+4mn+4n m ≥110×17+8=52（当且仅当n=m=2取等号），所以1n+4m的最小值为52；故填52.12．在平面直角坐标系数xOy中,点A(1,0),B(4,0),若直线x−y+m=0上存在点P,使得2PA=PB,则实数m的取值范围是__________.【答案】[−22,22]【解析】本题考查点到直线的距离公式、三角代换；设P(x,x+m)，因为2PA=PB，所以4PA2=PB2，所以4(x−1)2+4(x+m)2=(x−4)2+(x+m)2可化为(x+m)2=4−x2≥0，则x∈[−2,2]，即m=−x±4−x2，令x=cosθ,θ∈[0,π]，则m=−2cosθ±2sinθ=±22sin⁡(θ+π4)∈[−22,22]，即实数m的取值范围为[−22,22]；故填[−22,22].13．已知函数f(x)=e x,x≤1f(x−1),x>1,g(x)=kx+1,若方程f(x)−g(x)=0有两个不同的实根,则实数k的取值范围是__________.【答案】(e−12,1)∪(1,e−1]【解析】本题考查分段函数、函数的零点以及数形结合思想的应用；方程f(x)−g(x)=0有两个不同的实根，即函数f(x)=e x,x≤1f(x−1),x>1和函数g(x)=kx+1的图象有两个不同的交点，当x>1时，f(x)=f(x−1)，函数f(x)成周期变化，函数g(x)=kx+1的图象恒过点(0,1)，在同一坐标系中作出两函数图象（如图所示），且C0,1,B2,e,A1,e,k AC=e−1,k BC=e−12，在点C处的切线斜率k=e0=1，由图象得，实数的取值范围为(e−12,1)∪(1,e−1]；故填(e−12,1)∪(1,e−1].14．已知不等式(ax+3)(x2−b)≤0对于任意的x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值集合为__________.【答案】{−2,8}【解析】本题考查不等式恒成立问题；当b≤0时，由(ax+3)(x2−b)≤0得，ax+3≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，则a不存在；当b>0时由(ax+3)(x2−b)≤0，可设f x=ax+3,g x=x2−b，则a<0−3a=b，又因为a,b是整数，所以a=−1b=9或a=−3b=1，即a+b=8或a+b=−2；故填{−2,8}.二、解答题：共6题15．在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b−ca =cos Ccos A.(1)求角A的值;(2)若ΔABC的面积为32,且a=5,求ΔABC的周长.【答案】因为2b−ca =cos Ccos A,2b−c cos A=a cos C,由正弦定理得2sin B−sin C cos A=sin A cos C,即2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)因为B=π−A−C,所以sin B=sin(A+C)所以2sin B cos A=sin B．因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以cos A=12,因为0<A<π,所以A=π3．(2)△ABC的面积为32,且a=5由S=12bc sin Aa2=b2+c2−2bc cos A⇒32=12bc⋅325=b2+c2−2bc⋅12, bc=2b2+c2=7⇒(b+c)2=7+4=11．所以b+c=11周长a+b+c=5+11【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和两角和的正弦公式；(1)先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式进行求解；(2)利用三角形的面积公式、余弦定理得到关于另外两边的方程组进行求解.16．在四棱锥P−ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,点E为PD的中点.(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;(2)求证:CE//平面PAB.【答案】证明: (1)因为PA⊥平面ABCD,CDÌ平面ABCD,所以PA⊥CD,又∠ACD＝90°,则CD⊥AC,而PA∩AC＝A,所以CD⊥平面PAC,因为CDÌ平面ACD,所以,平面PAC⊥平面PCD.(2)证法一:取AD中点M,连EM,CM,则EM∥PA.因为EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EM∥平面PAB.在Rt△ACD中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM,又∠BAC＝∠CAD,所以∠BAC＝∠ACM, 则MC∥A B.因为MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以MC∥平面PAB.而EM∩MC＝M,所以平面EMC∥平面PAB.由于EC⊂平面EMC,从而EC∥平面PAB.证法二:延长DC,AB交于点N,连PN．因为∠NAC＝∠DAC,AC⊥CD,所以C为ND的中点．而E为PD中点,所以EC∥PN．因为EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB,所以EC∥平面PAB【解析】本题考查空间中垂直关系的转化、平行关系的转化；(1)先分别利用线面垂直的性质和直角证明线线垂直，再利用线面、面面垂直的判定定理进行证明；(2)构造三角形，利用三角形的中位线性质得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明.17．如图,在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD(点A,B在直径上,点C,D在半圆周上),并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗).(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取?(2)若要求圆柱子罐子的体积最大,应如何截取?【答案】(1)如图,设圆心为O,连结OC,设BC=x,法一易得AB=2900−x2,x∈(0,30),故所求矩形ABCD的面积为S(x)=2x 900−x2=2 x2(900−x2)≤x2+(900−x2)=900(cm2)(当且仅当x2=900−x2,x=152(cm)时等号成立) 此时BC=152cm;法二设∠COB=θ,θ∈(0,π2); 则BC=30sinθ,OB=30cosθ,所以矩形ABCD的面积为S(θ)=2×30sinθ×30cosθ=900sin2θ,当sin2θ=1,即θ=π4时,S(θ)max=900(cm2)此时BC=152cm;当截取的矩形铁皮的一边BC为152cm为时,圆柱体罐子的侧面积最大．(2)设圆柱的底面半径为r,体积为V,由AB=2900−x2=2πr得,r=900−x2π,所以V=πr2x=1π(900x−x3),其中x∈(0,30),由V′=1π(900−3x2)=0得x=103,此时,V=1π(900x−x3)在(0,103)上单调递增,在(103,30)上单调递减, 故当x=103cm时,体积最大为60003πcm3,当截取的矩形铁皮的一边BC为103cm为时,圆柱体罐子的体积最大．【解析】本题考查圆柱的侧面积和体积公式、基本不等式及导数在研究函数最值中的应用；(1)设出有关变量，利用函数表达式，利用基本不等式或三角代换求其最值；(2) 设出圆柱的底面半径，列出其体积关于半径的函数表达式，再利用导数求其最值.18．如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B,C是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上不同的三点,A(10,102),B(−2,−2),C在第三象限,线段BC的中点在直线OA上.(1)求椭圆的标准方程;(2)求点C的坐标;(3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C)且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点,证明OM·ON为定值并求出该定值.【答案】(1)由已知,得10a2+104b2=1,4a2+4b2=1,解得a2=20,b2=5.所以椭圆的标准方程为x 220+y 25=1．(2)设点C (m ,n )(m <0,n <0),则BC 中点为(m−22,n−22)．由已知,求得直线OA 的方程为x −2y =0,从而m =2n −2．① 又∵点C 在椭圆上,∴m 2+4n 2=20．②由①②,解得n =2(舍),n =−1,从而m =−4．所以点C 的坐标为(−4,−1)． (3)设P (x 0,y 0),M (2y 1,y 1),N (2y 2,y 2)． ∵P ,B ,M 三点共线,∴y 1+22y 1+2=y 0+2x 0+2,整理,得y 1=2(x 0−y 0)2y 0+2−x 0．∵P ,C ,N 三点共线,∴y 2+12y2+4=y 0+1x 0+4,整理,得y 2=x 0−4y02y 0−2−x 0． ∵点C 在椭圆上,∴x 02+4y 02=20,x 02=20−4y 02． 从而y 1y 2=2(x 02+4y 02−5x 0y 0)x02+4y 02−4x 0y 0−4=2(20−5x 0y 0)16−4x 0y 0=2×54=52．所以OM ⋅ON =5y 1y 2=252．∴OM ⋅ON 为定值,定值为252． 【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系以及平面向量的数量积运算；(1)设出椭圆方程，代点利用待定系数法进行求解；(2)利用线段的中点坐标公式和点在椭圆上进行求解；(3)利用三点共线设出直线的两点式方程，求出相关点的纵坐标，再利用点在椭圆上和平面向量的数量积进行求解.19．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n =( 2)b n (n ∈N *).若{a n }为等比数列,且a 1=2,b 3=6+b 2.(Ⅰ)求a n 与b n ;(Ⅱ)设c n =1a n-1b n(n ∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .(ⅰ)求S n ;(ⅱ)求正整数k,使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 【答案】(Ⅰ)由题意a 1a 2a 3…a n =( 2)b n ,b 3-b 2=6, 知a 3=( 2)b 3−b 2=8.又由a 1=2,得公比q=2(q=-2,舍去),所以数列{a n }的通项为a n =2n (n ∈N *).所以,a 1a 2a 3…a n =2n (n +1)2=( 2)n(n+1).故数列{b n }的通项为b n =n(n+1)(n ∈N *).(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知c n =1a n-1b n=12n -(1n -1n +1)(n ∈N *),所以S n =1n +1-12n (n ∈N *).(ⅱ)因为c 1=0,c 2>0,c 3>0,c 4>0; 当n≥5时, c n =1n (n +1)[n (n +1)2n-1], 而n (n +1)2n -(n +1)(n +2)2n +1=(n +1)(n−2)2n +1>0,得n (n +1)2n≤5·(5+1)25<1,所以,当n≥5时,c n <0.综上,对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ,故k=4.【解析】本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识,同时考查运算求解能力.20．已知函数f (x )=x 2−2a ln x (a ∈R ),g (x )=2ax .(1)求函数f (x )的极值;(2)若a >0时,函数 (x )=f (x )−g (x )有且只有一个零点,求实数a 的值; (3)若0<a <1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x 1,x 2,都有|f (x 1)−f (x 2)|>|g (x 1)−g (x 2)|成立,求a 的取值范围. 【答案】(1)f′(x )=2x −2a x=2x 2−2ax,当a ≤0时,f′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上递增,f (x )无极值 当a >0时,x ∈(0, a )时,f′(x )<0,f (x )递减;x ∈( a ,+∞)时,f′(x )>0,f (x )递增,所以f (x )有极小值f ( a )=a −a ln a 综上,当a ≤0时,f (x )无极值;当a >0时,f (x )有极小值f ( a )=a −a ln a ,无极大值 (2) (x )=x 2−2a ln x −2ax ,则 ′(x )=2x −2a x−2a =2x 2−2ax −2ax因为a >0,令 ′(x )=0,得x 0=a + a 2+4a 2,故h (x )在(0,x 0)上递减,在(x 0,+∞)上递增,所以h (x )有极小值 (x 0)=0,x 02−2a ln x 0−2ax 0=0. 且2x 02−2ax 0−2a =0,联立可得2ln x 0+x 0−1=0令m (x )=2ln x +x −1,得m′(x )=2x +1>1,故m (x )在(0,+∞)上递增 又m (1) = 0,所以x 0=1,即a + a2+4a2=1⇒a =12,(3)不妨令1≤x 1<x 2≤2,因为0<a <1,则g (x 1)<g (x 2), 由(1)可知f (x 1)<f (x 2),因为|f (x 1)−f (x 2)|>|g (x 1)−g (x 2)| 所以f (x 2)−f (x 1)>g (x 2)−g (x 1)⇒f (x 2)−g (x 2)>f (x 1)−g (x 1).所以 (x)=f(x)−g(x)=x2−2a ln x−2ax在[1,2]上递增所以 ′(x)=2x−2ax−2a≥0在[1,2]上恒成立,即a≤x2x+1在[1,2]上恒成立,令t=x+1∈[2,3],则x2x+1=t+1t−2≥12,所以a∈(0,12].【解析】本题考查导数在研究函数中的应用、导数在研究不等式恒成立问题中的应用；(1)求导，利用导数的符号变换确定函数的单调性和极值点；(2) 求导，利用导数的符号变换确定函数的单调性和极值，再利用极值的符号确定函数零点的个数；(3)合理构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可求解.。

东南大学04-05-3高数电（期中）考试参考答案及评分标准04-05-3高数电(期中)考试参考答案及评分标准05.4.23一.填空(每题4分,共24分)1.ln2i(32k);2.0dyy2f(某,y)dy;3.12y3322;4.d某2dy;65.12,0,1;6.32二.选择题(每题4分,共16分)1.B;2.C;3.A;4.A三.(每题7分,共21分)1.zf某yf1某ye某yf2某3分2z2某f1(2某某2y)e某yf2某2yf112某2ye某yf12某2ye2某yf22某y2.vu2某1,u某2某(y)y某2分4分vu2y(y),(y)y2C,u某2y2某C某y2分f(z)某2y2某Ci(2某yy)令y0,得f(某)某2某C于是f(z)zzC2分2222f(0)0得C022f(z)zz21分3.L某yz((某y)z1)2分L某2某2(某y)0,Ly2y2(某y)0,Lz2z2z0,(某y)2z211分求得1111,,0或,,022222分12由问题的实际意义知原点到曲面存在最短距离,故dmin四(第一题7分,其余每题8分,共39分)2分某y12d1.2d(inco)d(4分)20122某yinco1某24y2某2y2(3分)2.原式=zdv(2分)2某5y12d2zdz1(12某25y2)d3分22某25y21=210210012d03d14103分某y某yQPy2某22某y3.P2,Q2,22某y某y某y(某2y2)2原式=2分21d某(2分)2d某(2分)2ln22分4.原式=11yzdzd某(2分)(zdv0dzd某)33(2分)2742分2分=320z(9z)dz35.某cot,原式=022yint,z2cotint0t23分2cotint22cotintcotcotintcotintdt2分3分=0dt2。

共3页 第2页东 南 大 学 考 试 卷课程名称 高等数学A 、B （期中） 考试学期 08-09-2得分适用专业工科类考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟一.填空题（每个空格4分，本题满分32分） 1．2lim ln 121x xx x →∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭； 2．当0x →时，1cos(1cos )x --与kx α是等价无穷小，则k = ，α= ；3．设sin xy x=，则2d x yπ==______________；4．设()y y x =是由方程e tan()xyxy y +=所确定的隐函数，则(0)y '= ； 5．()ln f x x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为_____ ______； 6．已知曲线2y x ax b =--和242y x y =-+在点(1,1)-处相切，则a = ，b = . 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．设()()()()()f x x a x b x c x d =----,其中常数a 、b 、c 、d 互不相等,且()()()()f k k a k b k c '=---, 则k 的值等于 [ ](A ) a (B ) b (C ) c (D ) d 8．若极限0lim ()x x f x →存在，则下列极限一定存在的是 [ ](A ) ()0lim ()x x f x α→（α为实常数） (B )0lim ()x x f x →(C) 0lim ln ()x x f x → (D ) 0lim arcsin ()x x f x→9． 已知()f a '存在,则220(2)()limh f a h f a h h→+--= [ ]共3页 第2页(A )()2()f a ' (B ) 2()()f a f a ' (C ) 6()()f a f a ' (D ) 3()()f a f a ' 三.计算题（本题满分27分） 10．（7分）x → 11. （6分） 2ln sin limln cos x x xx x→+∞++12．（7分）设123arctan e 6x t t y t tπ+⎧⎪=++⎨⎪=+⎩，求212d d t y x =.13. （7分）设()2sin ()y f x =，其中函数f 具有二阶连续导数，求22d d yx.四(14).（7分）已知函数2e cos ,0()sin(),0x a x x f x bx x x x⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩可导，试求常数a 和b 的值.五(15).（7分）试求函数3e ()lim e sin tx tx t x xf x x→+∞-=-的间断点，并指出间断点的类型（需说明理由）.六(16). (9分)设1,0,1()ln 1,1x x x L x x x -⎧>≠⎪=⎨⎪=⎩1()(0)2x L x x +≤≤>.七(17)．(6分) 设函数f 在区间[,]a b 上二阶可导，且()()f a f b =，证明：对于任意的0α>，都存在(,)a b ξ∈，使得 ()()f f b αξξξ'''=-.。

2020-2021东南大学附属中学 高一数学上期中模拟试卷附答案一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-8．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3329．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．2 10．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）11．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--12．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞二、填空题13．函数232x x --的定义域是 .14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .15．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．16．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____． 19．若4log 3a =，则22a a -+= ．20．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．三、解答题21．计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-+++++⋅． 22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.24．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？25．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.26．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.8．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.9．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.10．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．11．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t ty t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值16．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.18．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)- 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.19．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 433【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=24223333a-+== 考点：对数的计算20．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．三、解答题21．（1）9512；（2）3. 【解析】 【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=． 【点睛】 本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 22．最小值为14-，最大值为2. 【解析】 【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭.当23log ,2x = ()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．23．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】 【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可. 【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数， ∴()()f x f x -=-即：242422x x x xa a a aa a a a ---+-+=-++. 即2(4)2422x x x xa a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220xmf x +->可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+.当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x xm +->- 令(2113)xt t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+，函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题. 24．（1）0.8)4,015(,1tt t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时.【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 25．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】 【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?.因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.26．(1) 60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【解析】 【分析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =⋅的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可. 【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以02106030a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+. 故60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. (2)由题, 260,030()()170,302103x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩,故当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =. 当30210x ≤≤时, 21703()f x x x -+=开口向下且对称轴为70105123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,故此时()f x 最大值为2(105)10517031053675f -⨯+⨯==.综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题.。

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。