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量子力学第一章1.2_1

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量子力学课后习题答案

量子力学课后习题答案

量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第一章 量子力学基础知识

第一章 量子力学基础知识

《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。

1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。

黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。

黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。

★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。

按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。

按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。

Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。

经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。

• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。

• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。

能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。

第一章量子力学基础知识.doc

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第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。

2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。

金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。

光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。

(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。

(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。

光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。

按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。

(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。

电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。

2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。

第1章 量子力学基础知识

第1章 量子力学基础知识

d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态

第1章 量子力学基本原理

第1章 量子力学基本原理
1898年， Rayleigh-Jeans根据经典的电 磁理论推导出黑体辐射Rayleigh－Jeans 方程 ，在长波处很接近实验曲线，而 在短波长处与实验显著不符。
黑体辐射----经典的理论解释”
W. Wien（维恩） 1904年Nobel物理奖。
L. Rayleigh（瑞利9） 1911年Nobel物理奖
当n小于某一频率n0时，
无论光强多大，照射时间 多长都不会发生光电效应。
截止电压与入射光频率n的关系
20
经典物理学理论无法解释光电效应
根据经典的光的电磁波理论，光的能量是由
光的强度决定的，光强越强，照射在金属片
上发射出的光电子动能也越大，光电子动能
与光强相关。
只要光强足够强，足以供应发射电子所需要
37
要点二(频率假设)：当电子由低能量轨道跃 迁至高能量轨道，相应地原子由低能量定态变 为高能量定态，必须吸收一个光子；反之由高 返低，则放出一个光子。光子的能量就等于两 个能级或定态能量之差。
EEIIEI hn
38
要点三(量子化假设)：在原子的各种可能的
态中，电子绕核运动的角动量L必须是h/2的
的能量，那么光电效应理应对各种n的光都发
生，而不应具有极限频率n0。
21
到了1905年，Planck定律的正确性一次又一次 地得到了实验证实，然而关于它的真实含义物理 学家们的认识却是模糊的。 当时年仅26岁的Einstein第一个意识到Planck量 子假设的革命性意义，同时，他还进一步发展了 普朗克的能量子概念，并大胆地提出了光量子假 设。整数来自。L nh / 2 n
n 1, 2,3,
39
Bohr理论成功地解释了当 时已知的Balmer、Paschen 和Brackett线系。 预 测 n1 ＝ 1 定 态 的 光 谱 线 的波长121.6nm等，1915年 被Lyman发现，称为Lyman 线系。

量子力学答案

量子力学答案

第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。

[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为ννπνρννd ec hd kTh 11833-=由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =,λλνd cd 2+=因而有： λλπλλρλd ehcd kT hc 118)(5-=令λkT hc x =所以有：11)(5-=xe Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0)(=λλρd d 有0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dxe e x e x A d d x x x于是，得： 1)51(=-x e x该方程的根为 965.4=x 因此，可以给出，k hcxk hc T m 2014.0==λ即 b T m =λ （常数）其中 k hcb 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯=k m ⋅⨯=-310898.2[注]根据11833-=kTh ec h νννπρ 可求能量密度最大值的频率：令kT h x ν=113-=xe Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dxe Ax dx d d d x因而可得 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x e x此方程的解 821.2=xh kTh kTx 821.2max ==νb T Tb '=⇒'=-1max max νν其中34231062559.610380546.1821.2821.2--⨯⨯=='h k b 1910878.5-⋅︒⨯=s k这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。

第一章 量子力学基础

第一章 量子力学基础

1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.

量子力学第1章

量子力学第1章

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。

a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =， （2）a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式：c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E zy x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

量子力学基础

量子力学基础

i 2 i 2 xpx Et xpx Et A exp h x h
第一章 量子力学基础知识
i 2 i 2 i 2 xpx Et px A exp p x h h h
z
e2
第一章 量子力学基础知识
e1
不考虑核的运动
r1 r12 r2
z
2 p12 p2 2e 2 2e 2 e2 E 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
e2
ˆ 2 2 2e 2e e H 1 2 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
第一章 量子力学基础知识
合格（品优）波函数
由于波函数的概率性质，所以波函数必须满足下 列条件： • 单值的，即在空间每一点 只能有一个值；
• 连续的，即 的值不出现突跃； 对x, y, z的 一级微商也是连续函数；
• 平方可积的，即 在整个空间的积分
* d
为一个有限数，通常要求波函数归一化，即
态函数的形式与光波的方程类似，习惯上称之为 波函数。如： 平面单色光的波动方程： A exp i 2 x t E hv, p h 代人波粒二象性关系： i 2 得单粒子一维运动波函数： A exp xpx Et
h


定态波函数：当微观粒子的运动状态不随时 间而变时，其波函数可以写作：
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , t
or
or
1,2,3, t
q1 , q2 , q3 , t ,
<关于波函数的一些概念和说明> 波函数是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。

曾谨言量子力学第1章

曾谨言量子力学第1章

即自由粒子的物质波包必然要扩散。 结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面。
2.波由粒子组成的疏密波
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
O Q
就如水波，声波，由分子数密度疏密变化而形成的一种分布 一样，物质波也是一种疏密波。这种看法是与实验矛盾的， 它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过 小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这 说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有 的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原 子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子 化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性 的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，也具有片面性。
λ h / p,
ν E/h
(1)
这就称为de. Broglie关系。
h ( E, p) (, )
这组de Broglie关系是物质世界的普遍规律。其中将两种图象 联系起来的Planck常数数值很小，是波粒二象性可以显现出来 的标度。假如在所研究问题中能够认为h→0，波和粒子便截然 分开，波粒二象性的现象便可以忽略。比如，由原先粒子的(E,p)， 利用(1)第一式便得到λ→0，与此粒子相联系的波动性便可以忽略。 于是可以说， 经典力学是量子力学当时h→0的极限情况。 当然，这里是相对而言，并非真要(本就是常数的)变小，而是 要求研究对象的动量足够大(从而波长足够短)，以及运动涉及 的空间尺度足够大，使得
全
在空间各点的相对概率分布
2 2 Cψ ( r1 ) ψ ( r1 ) Cψ ( r2 ) ψ ( r2 )
显然，Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。 2 3 )0 波函数的归一化： 全 ψ ( r ) d r A( real num ber

量子力学_王学雷_第一章绪论

量子力学_王学雷_第一章绪论

§1.1 经典物理学的困难宏观物理的机械运动：牛顿力学电磁现象：麦克斯韦方程光现象：光的波动理论热现象热力学与统计物理学多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论已相当完善了，以后物理学的任务只是提高实验精度和研究理论的应用。

19世纪末20世纪初：“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。

”：（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公式，在高频部分趋无穷。

（2）“以太漂移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。

历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺”。

预示物理学正面临新的挑战。

黑体辐射光电效应原子的光谱线系固体低温下的比热光的波粒二象性玻尔原子结构理论（半经典）微观粒子的波粒二象性量子力学一．黑体辐射问题黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。

热辐射：任何物体都有热辐射。

当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+特殊假设→维恩公式长波部分不一致经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完全不一致）二．光电效应光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。

光电效应的规律：（1）存在临界频率；（2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。

光强越大，光电子数目越多。

(３)时，光一照上，几乎立刻（）观测到光电子。

这些现象无法用经典理论解释。

三．原子的线状光谱及原子的稳定性氢原子谱线频率的巴耳末公式： ,叫波数。

原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。

§1.2 早期的量子论一．普朗克的能量子假设1．普朗克公式普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。

h叫普朗克常数焦尔.秒。

2．普朗克的能量子假设对一定频率的电磁波，物体只能以为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。

第一章.量子力学基础知识-3

第一章.量子力学基础知识-3

假设Ⅲ：自轭算符的第二项重要性质
• 自轭算符的本征函数y1, y2, y3,...正交归一。 • Consider these two eigen equations： • Multiply the left of the 1st eqn by ψm* and integrate, then take the complex conjugate of eqn 2, multiply by ψn and integrate
力学量与算符
• To every physical observable there corresponds a linear Hermitian operator. • To find this operator, write down the classical-mechanical expression for the observable in terms of Cartesian coordinates and corresponding linear-momentum components, • and then replace each coordinate x by the operator x. and each momentum component px by the operator -iћ∂/∂x.




假设Ⅰ：波函数

y一般是复数形式： y f+ig
y的共轭复数为： y *f-ig
那么：


y *y f2+g2

y *y是实数，有时也用y2来代替
假设Ⅰ：波函数

波函数y描述的波为概率波，在原子或分子Байду номын сангаас体系中， 称为原子轨道或分子轨道

量子力学课件(曾谨言)第一章

量子力学课件(曾谨言)第一章




(
r
)
2
d
3r
1


(r) 是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数；
( p) 是以动量 p 为自变量的波函数，
动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态.
八、不确定度关系
Heisenberg不确定度关系（Uncertainty
三、波函数及统计诠释
一般情况，用一个函数来描述粒子的波，并称这个 函数为波函数，它是一个复数，写成
(r,t)
粒子波是时间和位置的函数，其动量和能量不再是常 量，用较复杂的波描写.
是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子
由波函数振幅绝对值的平方就可以得到粒子 在空间任意一点出现的概率.
波函数描写了体系的量子状态（简称状态或态）
当粒子处于某一量子态时，它的力学量（如坐标、 动量等）一般有许多各种可能值.这些可能值各自以 一定的几率出现，这些几率都可由波函数得到.
五、波函数的性质
根据波函数的概率解释，波函数有如下性质： （1）归一化
p d 3 p ( p) 2 p d 3 p*( p) p( p)




d 3 pd 3r *(r)
1
(2
)3
eipr
2
p( p)
A
归一化的波函数
没有归一化的函数
1 A 为归一化因子
若
(r ) 2d 3
（全）
,
则
A0
,这是没有意义的.

第一章量子力学基础

第一章量子力学基础

（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V

量子力学基础

量子力学基础
若算符 Gˆ与函数Ψ(q,t)之间满足如下关系：
Gˆi (q,t) Gii (q,t)
其中Gi为常数。 将Ψ(q,t)描写的状态称为力学量的本征态，此式称 为力学量的本征方程；
Gi称为的第i个本征值； Ψ(q,t)为相应的本征函数
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6/8/2020
1.1 基本假设----假设3
[,] 0,[ pˆ, pˆ] 0,[, pˆ] i
对易子的几个基本规则： [Fˆ , Gˆ ] [Gˆ , Fˆ ]
[Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ] [Fˆ , Hˆ ] [FˆGˆ , Hˆ ] [Fˆ , Hˆ ]Gˆ Fˆ[Gˆ , Hˆ ] [Fˆ , Gˆ Hˆ ] [Fˆ , Gˆ ]Hˆ Gˆ[Fˆ , Hˆ ]
第一章 量子力学基础
1.1 量子力学基本假设 1.2 算符 1.3 力学量同时有确定值的条件 1.4 测不准关系 1.5 Pauli原理
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6/8/2020
1.1 基本假设—假设1
•假设1---状态函数和几率
（1）状态函数和几率
• 微观体系的任何状态可由坐标波函数Ψ(q,t)来表示。
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6/8/2020
1.1 基本假设---假设1
简并本征态的线性组合仍是该体系的本征态，且本
征值不变；非简并本征态的线性组合也仍是该体系的可
能状态，但一般不再是本征态，而是非本征态.
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
a
1 2
(2s
2 px
2 py
2 pz )
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4.固体比热的解释（用Planck假设解释） 如果把固体中的原子看作是三维谐振子，则原 子平均能量为：
E =3
hν e
hν / kT
−1
∂E 因而有： cV = ∂T
3(hν ) 2 e hν / kT = 2 hν / kT 2 kT (e − 1)
∂E 3(hν ) 2 e hν / kT cV = = 2 hν / kT ∂T kT (e − 1) 2
n
kT
=
=
ε 0e
− ε 0 / kT − ε 0 / kT
1− e
e
ε 0 / kT
ε0
−1
E=
e
ε 0 / kT
ε0
−1
将这个平均能量乘上空腔单位体积内频率 ν 到 ν + dν 8πν 2 间的振子数目（振动方式数） 3 dν ，得黑体辐 c 射公式：
ε0 8πν 2 ρν dν = 3 ε 0 / kT dν c e −1
− nε 0
kT
若 ν −ν + dν 间的振子总数为N，则能量取值 En = nε 0 Nn − nε 0 / kT ( = ce − nε 0 kT ) 的振子个数应为： N n = Nce N
而 N = ∑ Nn = ∑ Nce
n=0 n=0
∞
∞
N n = Nce − nε 0 / kT
−nε0 / kT
第一个完全肯定光除了波动性之外还具有微粒性 的是爱因斯坦（Einstein）。1905年在法国杂志《物 理学观点》上他发表了《关于光的产生和转化的一个 启示性的观点》。他认为电磁辐射不仅在被发射和吸 收时以能量为 hν 的微粒形式出现，而且以这种形式 以速度 c 在空间中运动。这种粒子叫做光量子或光子 （光子是后来由莱维斯命名）。他用这个观点成功的 解释了光电效应。 Dirac评价Einstein时说他有三大革新，即狭义相对 论、波与粒子的关系和广义相对论。
所以光子的能量和动量分别为：
v r hv E = hν = hω ， p = n = hk − Planck − Einstein
λ
(*)
h h= = 1.0545 × 10−34 J ⋅ s 为量子力学常用符号； 其中 2π
ω 表示角频率，与频率 ν 的关系为 ω = 2πν ； v 2πν v 2π v v n 为光子运动方向的位矢，k = n= n 为波矢。
“总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些 重大问题中，很难找到一个问题是爱因斯坦没有做过重要贡 献的，在他的各种推测中，他有时可能也曾经没有射中标 的，例如，他的光量子假设就是如此，但是这确实并不能成 为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可 能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”
kT
e− y = ε 0 e −ε 0 = ε0 (1 − e − y ) 2
(1 − e −ε 0
kT 2
)
则有每个振子的平均能量为：
E =
nε 0 e − nε 0 ∑
n
kT
E=
ε 0e
− ε 0 / kT
/(1 − e ) − ε 0 / kT 1/(1 − e )
− ε 0 / kT 2
e − nε 0 ∑
( x < 1)
E =
nε 0 e − nε 0 ∑
n
kT
e − nε 0 ∑
n
kT
nε 0 e − nε 0 计算分子： ∑
n =0
∞
kT
，令 y = ε 0 kT
∑ nε e
n =0 0
∞
− nε 0 kT
= ε 0 ∑ ne
n =0
∞
− ny
d ∞ − ny d 1 = −ε 0 ∑ e = −ε 0 dy n =0 dy 1 − e − y
c
λ
可见：关系式（*）把光的二重性—波动性和粒子性 联系起来。等式左边的动量和能量是描写粒子的，而 等式右边的频率和波长则是波的特性。
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子概 念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的光子假 设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学 院院士的推荐信中：
(3)根据光子理论，电子的能量是直接由光子供给 的，只要光一照到金属表面，电子就吸收光子而立 即逸出，所以光电子的发射几乎不需要延迟时间。 这样经典理论不能说明的问题得到了解释。
2.光的波粒二象性
ν 光子不但具有确定的能量 E = h ，且具有动量，由相对论知，
以速度 v 运动的粒子能量是：
E=
四、康普顿效应
康普顿(Arthur Holly Compton) 美国著名的物理学家、“康普顿效应”的 发现者。1892年9月10日出生于俄亥俄 州的伍斯特，1962年3月15日于加利福 尼亚州的伯克利逝世，终年70岁。康普 顿的科学家生涯是从研究X射线开始 的。 康普顿是世界最伟大的科学家之一。他所发现的“康普顿 效应”是发展量子物理学的核心。他的这一发现为自己在伟大 科学家的行列中取得了无可争辩的地位。
8π hν 3 1 dν ρν dν = 3 hν / kT c e −1
hν b.当辐射频率很低时，使得 kT << 1 时，分母中的指 hν 数可按 展开： kT
e
hν kT
hν = 1+ +L kT
忽略高次项，只取前两项得：
8πν 2 ρν dν = 3 kTdν c
—
Rayleigh − Jeans ' s formula
一、光的波动性典型实验—双狭缝衍射 A是垂直于纸面的屏，屏上有两条相互平行的很窄的 狭缝 s1和 s2 ，两狭缝间距为d，B是与A平行的另一个 屏，B与A的距离为 D >> d 。同一光源发出的光线穿 过双狭缝打在屏B上产生衍射图样。以 E1 和 E2 分别表 示穿过缝 s1 和
E1 = E0 cos ωt
二、普朗克（Planck）公式
（Max Planck 1858－1947），德国人，1900 年以前Planck一直在努力探索黑体辐射的规 律，他先找到了一个经验公式，后又从理论上 推出，这个公式与实验很符合，长波方向与 Rayleigh-Jeans公式一致，短波方向与Wien公 式相符合。 他的推导于1900年12月17日在柏林德国物理学会会议上公 布，其题目为《关于正常光谱的能量分布定理的理论》（在此 文中他提出了“能量子”的概念），此文标志着量子理论的诞 生，成为经典物理学与现代物理学的分界线。获1918年诺贝尔 物理学奖。
（可见：c =
1 e − nε 0 ∑
n=0 ∞ kT
)
− nε 0 kT
P (E n ) = ce
则每个振子的平均能量为
E=
∑ En N n
n
∑ Nn
n
=
nε 0 cNe − nε 0 ∑
n
kT
cNe − nε 0 ∑
n
kT
=
nε 0 e − nε 0 ∑
n
kT
e − nε 0 ∑
n
kT
E =
nε 0 e − nε 0 ∑
说明：Planck成功的关键在于提出了能量子 ε 0 = hν 的假设，辐射能量是不连续改变的，从而导致了 E 不 同于经典的单个振子的能量。这里第一次出现了经典 物理中没有的常数 h ，这些都跳出了经典物理的框 架，成为量子物理的开端。Planck导出公式后，曾努 力把它纳入经典物理范畴，但未成功。
2
πd I = 4 I 0 cos ( sin θ ) λ
2
nλ 讨论：a.若P点位置满足关系式 sin θ = ， d
n=0,1,2,…时，则 I = 4 I 0 ，即该点光的强度为最大；
2n + 1 λ b.若P点的位置满足关系式 sin θ = , 2 d
n=0,1,2,… 时，则 I = 0 ，即该点的光强为零。 所以能够形成衍射图样，光具有波动性得到有 力的证实。
hν << 1 ),平均每个原子对热容 可见：a.在高温时( kT ∂E 量的贡献 为3k ，1mol 原子即为3R ； ∂T
hν ∂E >> 1）， → 0 与实验相 b.在低温时（ kT ∂T
符合。
5. 光具有粒子性 Planck理论说明物体以
hν 为能量单位发射或吸收
能量，能量不是连续进行的，而是以能量为 hν 的 颗粒形式出现，能量小于 hν 的发射或吸收过程是 没有的。能量单位
1. Planck的假设
①空腔壁与辐射的能量交换是不连续的，只能以最小 单位
ε0
一份份地进行；
②辐射的每一振动方式相当于一振子，它只能取能量 值 En = nε 0 （n=0,1,2,…）,且取 En = nε 0 的几率与
e − nε 0 / kT 成比例。
2. Planck公式的推导
P (E n ) = ce
μ0 c 2
1− v / c
2 2
→
E v2 μ0 = 2 1 − 2 c c
由此式得光子的静止质量
μ0 = 0 。
2 2 4 0 2 2
由相对论的能量—动量关系式： E = μ c + c p 。 得到光子能量E和动量p的关系为： E = cp 。 即：
E hν h p= = = c c λ
其中 λ 为波长。
s2 到达 P
的光波振动，则：
2π d
E2 = E0 cos(ωt +
λ
sin θ )
θ 为衍射角，2π d sin θ 为位相差。 其中
λ
解释：s1 P 和 s2 P 的光程差是 s2Q = d sin θ ，因为光 程差为一波长时，位相差恰好是 2π ，所以 E1 和 E 2 2π 的位相差为 d sin θ 。 λ