高二数学 椭圆的标准方程学案

课时：2课时年级：高中数学教材版本：人教版教学目标：1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其两种形式。

2. 掌握椭圆标准方程的推导过程，能够根据条件确定椭圆的标准方程。

3. 通过椭圆的定义和标准方程的学习，培养学生的观察能力和探索能力。

4. 培养学生运用坐标法解决几何问题的能力，渗透数形结合和等价转化的思想方法。

教学重难点：重点：椭圆的定义、标准方程的推导过程。

难点：椭圆标准方程的建立和推导，坐标法在几何问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件2. 练习题3. 教学辅助工具（如教具、黑板等）教学过程：第一课时一、导入1. 通过介绍哈雷彗星的运行轨迹，引导学生思考椭圆的定义及其在现实生活中的应用。

2. 引出课题：椭圆的标准方程。

二、新知探索1. 复习回顾：回顾椭圆的定义，让学生动手画椭圆。

2. 标准方程的推导：a. 建系：让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系。

b. 设点：设定椭圆上的两个特殊点（如焦点）。

c. 列式：根据椭圆的定义，列出方程。

d. 化简：对方程进行化简，得到椭圆的标准方程。

三、课堂练习1. 完成教材中的例题，巩固所学知识。

2. 解答学生提出的疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调椭圆的定义和标准方程的推导过程。

2. 鼓励学生在课后进行自主学习和巩固。

第二课时一、复习导入1. 复习上节课的学习内容，检查学生对椭圆的定义和标准方程的掌握情况。

2. 引出本节课的学习内容：椭圆的简单几何性质及其应用。

二、新知探索1. 椭圆的简单几何性质：a. 理解椭圆的焦点、顶点、长轴、短轴、焦距和离心率等概念。

b. 掌握a、b、c之间的关系，会由其中的两个求出第三个。

2. 椭圆简单几何性质的应用：a. 通过例题学习，掌握椭圆简单几何性质的应用。

b. 根据性质用待定系数法求椭圆的标准方程。

三、课堂练习1. 完成教材中的例题和练习题，巩固所学知识。

2. 解答学生提出的疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调椭圆的简单几何性质及其应用。

高二数学椭圆及其标准方程教案【学习目标】 1．重点理解理解椭圆定义及其限制条件；理解椭圆标准方程的推导；理解椭圆标准方程中a 、b 、c 的大小关系． 2．重点掌握掌握椭圆定义；掌握求椭圆标准方程的方法；进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．能力培养培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力．【学习障碍】 1．理解障碍(1)求椭圆标准方程可采取“先定位，后定量”的方法，如何定位是关键．(2)对于直线和椭圆的位置关系，可用一元二次方程的Δ来判定，其理论根据是交点个数，这一点应理解准确．(3)直线和椭圆相交时，常常借助韦达定理解决弦长问题．应深刻理解弦长公式的推导过程及各字母含义． (4)给出椭圆标准方程，其焦点是在x 轴还是在y 轴，怎样判别，其理论依据是什么． (5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式，应理解为什么可以这样设． 2．解题障碍(1)确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(如焦点的位置)和两个定形条件(如a 、b )，a 、b 是椭圆的定形条件，焦点是椭圆的定位条件．(2)点(x 0，y 0)在椭圆内⇔220220b y a x +＜1；点(x 0，y 0)在椭圆上⇔ 22220b y a x +＝1；点(x 0，y 0)在椭圆外⇔22220b y a x +＞1． (3)椭圆定义是解题的常用工具，但如何转化为定义，如何应用定义需要有明确的思维方向．【学习策略】1．坐标法解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的平面问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上．2．求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x 轴上还是在y 轴上；所谓定量就是求出椭圆的a 、b 、c ，从而写出椭圆方程．3．定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆定义；或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义．4．研究直线与椭圆的位置关系，或者利用弦长公式计算弦长．事先都要先把直线方程和椭圆方程联立，消去y (或x )得x (或y )的一元二次方程，再利用其Δ或韦达定理进行．5．直线与椭圆相交，如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法．6．Ax 2＋By 2＝C (其中A 、B 、C 为同号且不为零的常数，A ≠B )，它包含焦点在x 轴或y 轴上两种情形．方程可变形为BC y A C x 2+2＝1．当A C ＞B C 时，椭圆的焦点在x 轴上；当A C ＜B C时，椭圆的焦点在y 轴上．【例题分析】［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－23，25)； (3)焦点在坐标轴上，且经过点A (3，－2)和B (－23，1)策略：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a 、b 即可．若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)∵2a ＝10，2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4 ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9所以所求的椭圆的标准方程为9252x y +2＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为222bx a y +2＝1(a ＞b ＞0)由椭圆的定义知，2a ＝10210211023)225()23()225()23(222=+=-+-+++-2又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6所以所求的椭圆的标准方程为61022x y +＝1． (3)解法一：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为222bx a y +2＝1(a ＞b ＞0) 由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+11)32(1)2()3(22222222b a ba 解之得⎩⎨⎧==51522b a 若焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为222b x a y +2＝1(a ＞b ＞0)，同上可解得⎩⎨⎧==15522b a ，不合题意，舍去．故所求的椭圆方程为5522y x +＝1． 解法二：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1，(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． 由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅11)32(1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+112143n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51151n m故所求的椭圆方程为51522y x +＝1． 评注：(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a 、b ．(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？［例2］已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．策略：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图．如图8—1—1所示，由△ABC 的周长等于16，|BC |＝6可知，点A 到B 、C 两点的距离的和是常数，即|AB |＋|AC |＝16－6＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图．解：如图8—1—1所示，建立坐标系，使x 轴经过点B 、Ｃ，原点Ｏ与BC 的中点重合．由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝16，|BC |＝6，有|AB |＋|AC |＝10，即点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且2c ＝6，2a ＝10，∴c ＝3，a ＝5，b 2＝52－32＝16．由于点A 在直线BC 上时，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是162522y x +＝1(y ≠0)． 评注：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用．另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明．［例3］一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．策略：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件． 解：两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1；O 2(3，0)，r 2＝9设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10．由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3． ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16故动圆圆心的轨迹方程为162522y x +＝1． 评注：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R ，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．［例4］已知P 是椭圆162522y x +＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．策略：如图8—1—2所示，已知∠P ＝30°，要求△PF 1F 2的面积，如用21|F 1F 2|·|y P |，因为求P 点坐标较繁，所以用S △＝21|PF 1|·|PF 2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF 1|·|PF 2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积．解：由方程162522y x +＝1，得a ＝5，b ＝4， ∴c ＝3，∴|F 1F 2|＝2c ＝6 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10∵∠F 1PF 2＝30°．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° 即62＝|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|－3·|PF 1|·|PF 2| (2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－36＝100－36＝64， ∴|PF 1|·|PF 2|＝3264+＝64(2－3)∴21PF F S ∆＝21|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝21·64(2－3)·21＝16(2－3)． 评注：在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题用余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的．［例5］椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝22．且PQ 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22，求椭圆方程． 策略：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a 、b 之值即可．解：由⎩⎨⎧=+=+1122y x by ax 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝b a b +2，x 1x 2＝ba b +-1∴|PQ |＝211+24)(21221=-+x x x x ·ba b b a b +-⋅-+14)2(2 ＝2222=+-+ba abb a∴ab b a -+＝a ＋b ①又PQ 的中点C (b a b +，1－b a b +)，即C (b a b +，ba a +) ∴k OC ＝22==++b a ba b b a a②由①②得a ＝31，b ＝32∴所求椭圆方程为32322y x +＝1． 评注：本题是一个小型综合题，此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a ，b 表示出来，再联立解方程组，可得所求椭圆方程．［例6］中心在原点的椭圆C 的一个焦点是F (0，50)，又这个椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标是21，求该椭圆方程． 策略：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”． 解：据题意，此椭圆为焦点在y 轴上的标准形式的椭圆，设其方程为2222b xa y +＝1(a ＞b ＞0) 设直线l 与椭圆C 的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：221221b x a y +＝1，1222222=+bx a y 两式相减得：2212122121))(())((b x x x x a y y y y -++-+＝0 ∴)()(2122122121y y b x x a x x y y +-+=--即3＝)1(122-⨯-⨯b a ∴a 2＝3b 2 ① 又因为椭圆焦点为F (0，50) ∴c ＝50 则a 2－b 2＝50②由①②解得：a 2＝75，b 2＝25∴该椭圆方程为257522x y +＝1． 评注：此题也可以把直线方程与椭圆方程联立后，得到x 的一元二次方程，利用x 1＋x 2＝1来求，但过程较繁，利用平方差法简便易行．【同步达纲练习】1．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)2．已知椭圆92522y x +＝1，F 1、F 2分别为它的两焦点，过F 1的焦点弦CD 与x 轴成α角(0＜α＜π)，则△F 2CD 的周长为A ．10B ．12C ．20D ．不能确定3．椭圆31222y x +＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43 B ．±23 C ．±42 D ．±43 4．设椭圆204522y x +＝1的两焦点分别是F 1和F 2，P 为椭圆上一点，并且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||等于 A ．65B ．25C ．35D ．352 5．直线y ＝x 与椭圆42x ＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |等于A ．2B ．554 C ．5104 D ．5108 6．点P 是椭圆6410022y x +＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为___________．7．△ABC 的两顶点B (－8，0)，C (8，0)，AC 边上的中线BM 与AB 边上的中线CN 的长度之和为30，则顶点A 的轨迹方程为___________．8．F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则M 点的轨迹是___________． 9．以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P (53，－4)和Q (－54，3)，则此椭圆的方程是___________． 10．在椭圆41622y x +＝1内，过点(2，1)且被这点平分的弦所在的直线方程是___________． 11．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，－6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是－94，求顶点A 的轨迹方程．12．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝21，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点并且过点P 的椭圆方程．[参考答案]【同步达纲练习】1．解析：将方程x 2＋ky 2＝2化为椭圆的标准方程为ky x 2222+＝1，又焦点在y 轴上， ∴k2>2，解之得0<k <1． 答案：D2．解析：由椭圆方程知a ＝5，|CF 1|＋|CF 2|＝2a ＝10，|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝10，则△F 2CD 的周长|F 2C |＋|F 2D |＋|CD |＝|CF 1|＋|CF 2|＋|DF 1|＋|DF 2|＝10＋10＝20．答案：C3．解析：由椭圆的标准方程易知c ＝3，不妨设F 1(－3，0)、F 2(3，0)，因为线段PF 1的中点在y 轴上，由中点坐标公式知x P ＝3，由椭圆方程31222y x +＝1解得y p ＝±23，故M 点纵坐标为±43．答案：A4．解析：从方程中可得a ＝35，b ＝25，c ＝5 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝65，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝180 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝180由已知PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝100代入上式得2|PF 1|·|PF 2|＝80 ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20 ∴||PF 1|－|PF 2||＝25． 答案：B5．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=224yx xy 得245x ＝1∴x ＝±,552y ＝±552， 即A (552,552)，B (－552，－552) 由两点间距离公式可得|AB |＝5104． 答案：C6．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理有m 2＋n 2－2mn cos60°＝|F 1F 2|2＝122，即m 2＋n 2－mn ＝144 ① 由椭圆定义知m ＋n ＝20，则m 2＋n 2＋2mn ＝400 ② 由②－①得，3mn ＝256，故mn ＝3256因此，33642332562160sin 2121=⋅⋅=︒=∆mn S PF F ． 答案：3364 7．解析：如图23所示，设B 、C 为B ′C ′的两个三等分点，则B ′(－24，0)，C ′(24，0)，连接AB ′，AC ′，设A (x ，y )，BM 、CN 又分别为△ACB ′与△ABC ′的中位线．∴|AB ′|＝2|BM |，|AC ′|＝2|CN | ∴|AB ′|＋|AC ′|＝2(|BM |＋|CN |)＝60由椭圆定义，动点A 到两定点B ′、C ′的距离的和为定长60，所以点A 在以B ′、C ′为焦点，中心在原点的椭圆上运动．∵2a ＝60，∴a ＝30由|B ′C ′|＝48，得c ＝24 ∴b 2＝a 2－c 2＝900－576＝324．则点A 的轨迹方程是32490022y x +＝1(y ≠0)． 答案：32490022y x + ＝1(y ≠0) 8．解析：尽管动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6，但2a ＝|F 1F 2|，∴M 点轨迹应为F 1、F 2两点间的线段． 答案：F 1、F 2两点间的线段9．解析：设此椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )把P (53，－4)，Q (－54，3)代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+192516116259n m n m解得m ＝1，n ＝251，故椭圆方程为x 2＋252y ＝1．答案：x 2＋252y＝110．解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有4162121y x +＝1，4162222yx +＝1 两式相减得4))((16))((21212121y y y y x x x x -+-=-+ ∴2121644)(16)(421212121-=⨯-⨯=+-+=--y y x x x x y y即弦所在直线的斜率为－21，又弦过(2，1)点，故弦所在直线的方程是x ＋2y －4＝0． 答案：x ＋2y －4＝011．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，由题意得：9466-=+⋅-x y x y ．∴顶点A 的轨迹方程为：368122y x + ＝1(y ≠±6)． 12．解：以直线MN 为x 轴，以线段MN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图24所示．设所求椭圆方程为2222by a x +＝1(a >b >0)，分别记M 、N 、P 点的坐标为(－c ，0)、(c ，0)和(x 0，y 0)．∵tan α＝tan(π－∠N )＝2∴由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(21)(210000c x y c x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==cy c x 343500即P )34,35(c c在△MNP 中，|MN |＝2c ，MN 上的高为34c， ∴S △MNP ＝34221cc ⨯⨯＝1，解得c ＝23 即P (332,635)，由此得|PM |＝3152，|PN |＝315∴a ＝21(|PM |＋|PN |)＝215，从而b 2＝a 2－c 2＝3故所求的椭圆方程为315422y x +＝1．。

高中数学椭圆方程教案
教学内容：椭圆的方程
教学目标：1. 理解椭圆的定义和特点
2. 掌握椭圆的标准方程和一般方程
3. 能够将一个椭圆的方程转化成标准方程
教学重点：椭圆的标准方程和一般方程
教学难点：将一个椭圆的方程转化成标准方程
教学工具：教材、黑板、彩色粉笔
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师介绍椭圆的定义和特点，引导学生了解椭圆是一种与两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

二、讲解椭圆的标准方程（15分钟）
1. 教师讲解椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心，a和b 分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

2. 老师通过示例讲解如何由一个椭圆的一般方程转化成标准方程。

三、讲解椭圆的一般方程（15分钟）
1. 教师讲解椭圆的一般方程为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。

2. 教师通过示例讲解如何由一个椭圆的一般方程转化成标准方程。

四、练习与讨论（15分钟）
1. 学生共同解决几道关于椭圆方程的练习题，加深对椭圆方程的理解。

2. 学生就转化方程的方法进行讨论并互相交流经验。

五、小结与作业布置（5分钟）
1. 教师对本节课内容进行小结，并强调重点和难点。

2. 布置作业：完成《椭圆方程练习题》。

教学反思：在教学过程中，需要让学生能够灵活运用椭圆的标准方程和一般方程，加强练习和训练，提高解题能力。

2.2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.新知初探1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c) a，b，c的关系a2＝初试身手1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B.2x 2－3y 2＝2 C.－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． 规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 跟踪训练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？例2 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．母题探究(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．规律方法椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量. 当堂达标 1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．73．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．504．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．参考答案新知初探 1．(1)和等于常数 (2)焦点 焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置． 初试身手 1．【答案】B【解析】定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上． 2．【答案】C【解析】A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程． 3．【答案】C【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.] 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，a b依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1．解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，a b由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．例2 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3.母题探究解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353， 将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±85，±353. 类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3 解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.跟踪训练2．解：如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8， b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48， 故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.当堂达标1．[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．【答案】D【解析】由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7. 3．【答案】B【解析】由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B. 4．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。