当前位置：文档之家 › 高中数学老师教案 第四章 三角函数、解三角形 - 第九节-三角恒等变化与三角函数

高中数学老师教案 第四章 三角函数、解三角形 - 第九节-三角恒等变化与三角函数

  • 格式：docx
  • 大小：123.01 KB
  • 文档页数：9

第四章 三角函数、解三角形命题点一 简单的三角恒等变换1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89B ．79C ．－79D ．－89解析：选B ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选B. 2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A ．725B ．15C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.答案：－124．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－435．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：756．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.命题点二 解三角形1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝4 2.2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选C ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，即tanC ＝1.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.3．(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca 的取值范围是________．解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3， ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴∠B ＝π3. 又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A ＞π2，∴0＜∠A ＜π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2， 即ca 的取值范围是(2，＋∞)． 答案：π3(2，＋∞)4．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝__________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 5．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠BDC ＝12∠ABC ，则cos ∠BDC ＝ cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：1521046．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A.故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.7．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB ＜90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理，得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.8．(2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是 sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12 sin 2B ＝sin B cos B .因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.命题点三 三角函数与解三角形的综合问题1．(2018·北京高考)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×⎝⎛⎭⎫－17＋12×437＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.2．(2018·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝32cos B ＋12sin B ， 所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a ＜c ，所以cos A ＝27. 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝437×12－17×32＝3314. 3．(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ， 即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。

合集下载

三角恒等变换备课教案

三角恒等变换备课教案

三角恒等变换备课教案备课教案：三角恒等变换一、引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于学生深入理解三角函数的性质和应用具有重要意义。

本教案将通过引导学生发现和探究三角恒等变换的规律，帮助学生理解和掌握相关的变换技巧。

二、知识背景1. 三角函数的基本关系：(1) 正弦函数：sinθ = 对边/斜边(2) 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边(3) 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的周期性：(1) 正弦函数、余弦函数的周期是2π(2) 正切函数的周期是π3. 三角函数的基本恒等式：(1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方和为1：cos^2θ + sin^2θ = 1(2) 正切函数与余切函数的乘积始终等于1：tanθ · cotθ = 1(3) 正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数的关系：sinθ/cotθ = cosθcosθ/tanθ = sinθ三、教学过程1. 引入：通过提问的方式引导学生回顾三角函数的基本关系和周期性规律。

2. 发现：给出一个具体的三角函数等式，例如sinθ = cos(π/2 - θ)，请学生尝试寻找与之相关的恒等式。

3. 探究：根据学生的发现，引导学生使用初等三角函数的定义和已知的三角函数恒等式，进行推导和证明，找出恒等式的变换规律。

4. 总结：整理学生的发现和推导过程，总结三角恒等变换的基本规律，并给出示例进行演示和讲解。

5. 练习：提供一些练习题，让学生运用所学的三角恒等变换规律，解决相关的三角函数等式和问题。

四、教学评价1. 通过观察学生的推导过程和解题思路，评价他们对三角恒等变换规律的理解和掌握情况。

2. 提供针对性的反馈和指导，帮助学生纠正错误和加深对知识点的理解。

3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程，培养他们的合作和思考能力。

五、课后作业1. 题目一：证明sin(π/2 - θ) = cosθ。

2. 题目二：利用三角恒等变换，化简并求解tanθ + 1 = secθ的解。

高中必修4三角恒等变换——三角恒等变换与三角函数综合应用(教案)

高中必修4三角恒等变换——三角恒等变换与三角函数综合应用(教案)

三角函数综合应用1、已知函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为√22．（1）求a的值；（2）若方程f(x)+m+1=0在[π4，17π24]内有两个零点，求m的取值范围．2、已知函数f(x)=2sin2x+2sinx∙sin(x+π2)（1）求f(x)的最小正周期；（2）若把函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移2个单位，得函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，7π12]上的取值范围．3、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π4，且图象过点M(π3，−1)（1）求f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调递增区间；（3）将函数f(x)的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)+k=0，在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．4、已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象经过最高点(1，2)，且相邻两对称轴间的距离为2．（1）求函数f(x)的表达式；（2）若函数g(x)=f(x)+f(1﹣x)，x∈[−3，3]，求使得g(t)=3成立的实数t的值．5、已知函数f(x)=Acos(ωx﹣π3)(A>0，ω>0)相邻两条对称轴相距π2，且f(0)=1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设α、β∈(0，π4)，f(α﹣π3)=1013，f(β+π6)=65，求tan(2α﹣2β)的值．6、已知函数f(x)=2√3sin(π−x)cosx+2cos2x+a−1．（1）求f(x)的最小正周期；（2）若f(x)在区间[﹣π6，π3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．7、已知函数f (x )=2√3sin (x +π4)cos (x +π4)+sin2x +a 的最大值为1． （1）求函数f (x )的单调递增区间；（2）将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求g (x )在x ∈[0，π2]上的取值范围．8、已知函数f (x )=2sinxcosx +2√3cos 2x −√3． （1）求函数f (x )的单调减区间；（2）将函数y =f (x )的图象向左平移π6个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，求y =g (x )在(−π12,π8)上的值域．三角函数综合应用答案1、已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅰ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a==，∴=，∴a=；（2）由（1）知，f（x）=，若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，则方程f（x）=﹣m﹣1在[，]内有两个零点，即函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，如图：由图可知，要使函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，则，即．2、已知函数f（x）=2sin2x+2sinx•sin（x+）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2sin2x+2sinx•sin（x+）=2•+sin2x=2sin（2x﹣）+1，故f（x）的最小正周期为=π．（2）把函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，可得函数g（x）=2sin（2x+﹣）+2+1=2sin（2x+）+3的图象，在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为2•（﹣）+3=3﹣；当2x+=时，f（x）取得最大值为2+3=5．3、已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点M（）（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为，即，即T=；∵T=，解得：ω=4，那么：f（x）=sin（4x+φ）．∵0＜φ＜．图象过点M（）带入可求得φ=，∴解析式；（2）由正弦函数的性质可知：∈[2kπ，2kπ]，（k∈Z）是单调递增区间，即：2kπ≤≤2kπ]，解得：kπ﹣≤x≤kπ]，（k ∈Z）∴函数f（x）的单调递增区间为：；（3）由（1）可知：；将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．即g（x）=sin（2x﹣）∵∴≤2x﹣≤g（x）+k=0在[0，]上只有一个实数解，即图象g（x）与y=﹣k，只有一个交点，当x=时，g（x）图象取得最低点，即g（﹣）=．由正弦函数图象可知：时只有一个交点，以及k=﹣1时，也有一个交点．即实数k的取值范围为：或k=﹣1．4、已知函数f（x）=Asin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象经过最高点（1，2），且相邻两对称轴间的距离为2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）=f（x）+f（1﹣x），x∈[﹣3，3]，求使得g（t）=3成立的实数t的值．【解答】解：（1）f（x）=Asin2（ωx+φ）=A•=﹣cos（2ωx+2φ）+，∵f（x）图象经过最高点（1，2），且相邻两对称轴间的距离为2．∴A=2，=2，即T=4=，则ω=，即f（x）=﹣cos（x+2φ）+1，当x=1时，+2φ=2kπ+π，则φ=kπ+，∵0＜φ＜，∴当k=0时，φ=，则f（x）=﹣cos（x+）+1=sin x+1．（2）g（x）=f（x）+f（1﹣x）=sin x+1+sin（1﹣x）+1=2+sin x+cos x=2+ sin（x+）由g（t）=3得2+sin（t+）=3，即sin（t+）=1，即sin（t+）=，∵t∈[﹣3，3]，∴t+∈[﹣，]，∴t+=﹣或或，则t=﹣3，或t=0，或t=1．5、已知函数f（x）=Acos（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）相邻两条对称轴相距，且f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅰ）设α、β∈（0，），f（α﹣）=，f（β+）=，求tan（2α﹣2β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Acos（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）相邻两条对称轴相距==，∴ω=2；又f（0）=A=1，∴A=2，∴f（x）=2cos（2x﹣）．（Ⅰ）∵α、β∈（0，），f（α﹣）=2cos[2（α﹣）﹣]=2cos（2α﹣π）=﹣2cos2α=，∴cos2α=，sin2α==，tan2α==．f（β+）=2cos[2（β+）﹣]=2cos2β=，∴cos2β=，sin2β==，tan2β==．求tan（2α﹣2β）===．6、已知函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅰ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．【解答】解：（I）函数f（x）=2sin（π﹣x）cosx+2cos2x+a﹣1=sin2x+cos2x+a =2+a．∴f（x）的最小正周期T==π．（II）∵x∈[﹣，]，∴≤2x+≤，∴∈．∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．∴a﹣1+a+2=2，解得a=．7、已知函数f（x）=2的最大值为1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在x∈[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x+a=cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（x）的最大值为1，∴2+a=1，即a=﹣1，∴f（x）=2sin（2x+）﹣1，∴g（x）=2sin[2（x+）+]﹣1=2sin（2x+）﹣1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，g（x）取得最小值﹣3，∴当2x+=时，g（x）取得最大值﹣1．∴g（x）在x∈[0，]上的取值范围是[﹣3，﹣1]．8、已知函数．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在上的值域．【解答】解：（1）函数=sin2x+cos2x=2sin（2x+），：，因此，函数f（x）的单调减区间为．（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得y=2sin（2x++）的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）=2sin（4x+）的图象，∵，∴，∴，∴y=g（x）的值域为（﹣1，2]．。

三角函数的恒等变换与解题备课教案

三角函数的恒等变换与解题备课教案

三角函数的恒等变换与解题备课教案1. 恒等变换的概念及基本公式三角函数的恒等变换是指通过变换角度，得到与原来三角函数值相等的新三角函数表达式。

这种变换是用来简化、补充或者改变三角函数表达式的形式，从而更方便地进行计算和解题。

1.1 正弦函数的恒等变换对于正弦函数sin(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- sin(-x) = -sin(x)：正弦函数具有奇函数性质，即sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称。

- sin(x + 2kπ) = sin(x)，k为整数：正弦函数具有周期性，周期为2π，所以sin(x + 2kπ)与sin(x)等价。

- sin(π - x) = sin(x)：正弦函数满足sin(π - x) = sin(x)，即正弦函数关于x = π/2直线对称。

- sin(π + x) = -sin(x)：正弦函数满足sin(π + x) = -sin(x)，即正弦函数关于x = -π/2直线对称。

1.2 余弦函数的恒等变换对于余弦函数cos(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- cos(-x) = cos(x)：余弦函数具有偶函数性质，即cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。

- cos(x + 2kπ) = cos(x)，k为整数：余弦函数具有周期性，周期为2π，所以cos(x + 2kπ)与cos(x)等价。

- cos(π - x) = -cos(x)：余弦函数满足cos(π - x) = -cos(x)，即余弦函数关于x = π直线对称。

- cos(π + x) = -cos(x)：余弦函数满足cos(π + x) = -cos(x)，即余弦函数关于x = 0直线对称。

1.3 正切函数的恒等变换对于正切函数tan(x)，有以下几个常用的恒等变换公式：- tan(-x) = -tan(x)：正切函数具有奇函数性质，即tan(-x) = -tan(x)，即正切函数关于原点对称。

三角恒等变换技巧2024高考数学教案

三角恒等变换技巧2024高考数学教案

三角恒等变换技巧2024高考数学教案一、引言三角恒等变换是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们在解决三角函数相关问题时，简化计算和推导的过程。

在2024高考数学考试中，掌握并灵活运用三角恒等变换技巧将会对考生取得优异成绩起到至关重要的作用。

本教案将介绍一些关键的三角恒等变换技巧，以及如何在高考数学中应用它们。

二、基础知识回顾在介绍三角恒等变换的具体技巧之前，我们先回顾一些基础知识。

三角函数中最基本的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。

对于任意角θ，我们有以下恒等式成立：1. 正弦函数的倒数为余弦函数：sin(θ) = 1/cos(θ)2. 余弦函数的倒数为正弦函数：cos(θ) = 1/sin(θ)3. 正切函数的倒数为余切函数：tan(θ) = 1/cot(θ)这些基本的恒等式是我们运用三角恒等变换的基础。

三、三角恒等变换技巧1. 三角函数的平方和差公式：当我们需要处理三角函数的平方和差时，可以利用平方和差公式来简化计算：a) 正弦函数的平方和差公式：sin^2(θ1) ± sin^2(θ2) = 1/2 [1 - cos(2θ1 ± 2θ2)]b) 余弦函数的平方和差公式：cos^2(θ1) ± cos^2(θ2) = 1/2 [1 + cos(2θ1 ± 2θ2)]c) 正弦函数和余弦函数的平方和差公式：sin^2(θ) = 1/2 [1 - cos(2θ)]cos^2(θ) = 1/2 [1 + cos(2θ)]2. 三角函数的倍角公式：在解决某些特定问题时，我们可能需要利用倍角公式来简化计算：a) 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)b) 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 2cos^2(θ) - 1 = 1 - 2sin^2(θ)c) 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan^2(θ))3. 三角函数的半角公式：当需要将角度减半时，我们可以利用半角公式来简化计算：a) 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ))/2]b) 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]c) 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ))/(1 + cos(θ))]四、应用三角恒等变换技巧在高考数学中，我们经常会遇到需要利用三角函数的恒等变换进行推导、简化和证明的题目。