高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案
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专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像(1)一次函数;(2)二次函数;(3)反比例函数;(4)指数函数;(5)对数函数;(6)三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域;②化简解析式;③考察性质:奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期性、凹凸性;④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点;⑤特殊线(对称轴、渐近线等).2.图像的变换 (1)平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的; ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的; ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的; ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的; (2)对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称; 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称;函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称; ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称,则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-(实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ,即()()2a x a x a -++=为常数);若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称,则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变,将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的(如图(a )和图(b ))所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变,并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数(如图(c )所示).注:()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像,做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形,然后擦去x 轴下方的图像得到;而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像,擦去y 轴左方的图像,然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.(3)伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像,可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像,可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立,则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上,则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+,对任意∈x R 恒成立,则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ,中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”,函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一:由解析式选图(识图) 题型二:由图象选表达式 题型三:表达式含参数的图象问题 题型四:函数图象应用题 题型五:函数图像的综合应用【典例例题】题型一:由解析式选图(识图)例1.(2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数,排除A ,B ,又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭,排除C ,即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ,又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++,所以()f x 不是奇函数,排除A ,B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++,所以排除C.故选:D.例2.(2022·陕西·汉台中学模拟预测(理))函数2ln x y x=的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性,排除A 、B 选项;结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性,排除D 选项,即可求解. 【详解】由题意,函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞,关于原点对称,且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-, 所以函数()f x 为偶函数,其图象关于y 轴对称,排除B 选项;当1x >时,可得()2ln x f x x =,则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==,当x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减;排除A 选项当)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以排除D 选项,选项C 符合. 故选:C.例3.(2022·天津·二模)函数sin exx xy =的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =,该函数的定义域为R ,()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===, 所以,函数sin exx xy =为偶函数,排除AB 选项, 当0πx <<时,sin 0x >,则sin 0exx xy =>,排除C 选项. 故选:D.例4.(2022·全国·模拟预测)已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为( )A .B .C .D .【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项,再根据()0,x π∈时,函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数,sin y x =也是奇函数,则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数,故排除选项B ,C ;因为)lnln y x ⎛⎫==,当0x >1x >恒成立,所以ln 0⎛⎫<恒成立, 且当()0,x π∈时,sin 0x >,所以当()0,x π∈时,()0f x <,故选项A 正确,选项D 错误, 故选:A .例5.(2022·全国·模拟预测)函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解. 【详解】由()0f x =得0x =或2,故排除选项A ;当x →+∞时,函数值无限靠近x 轴,但与x 轴不相交,只有选项B 满足.例6.(2022·河北·模拟预测)函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为( ) A . B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称, ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=, ∴()f x 为偶函数,函数的图象关于y 轴对称,则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=, ∴排除选项D , 故选:A .【方法技巧与总结】利用函数的性质(如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)排除错误选项,从而筛选出正确答案题型二:由图象选表达式例7.(2022·全国·模拟预测)已知y 关于x 的函数图象如图所示,则实数x ,y 满足的关系式可以为( )A .311log 0x y --=B .321xx y-=C .120x y --=D .ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭,结合图像变换,可判断A;取特殊值验证,可判断B;作出函数12x y -=的图象,可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质,可判断D.【详解】 由311log 0x y --=,得31log 1x y=-, 所以3log 1y x -=-,即3log 1y x =--, 化为指数式,得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭,其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的, 即为题中所给图象,所以选项A 正确;对于选项B ,取1x =-,则由()31121y---=,得21y =>,与已知图象不符,所以选项B 错误; 由120x y --=,得12x y -=,其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的,如图:与题中所给的图象不符,所以选项C 错误;由ln 1x y =-,得ln 1y x =+,该函数为偶函数,图象关于y 轴对称, 显然与题中图象不符,所以选项D 错误, 故选:A.例8.(2022·江西赣州·二模(理))已知函数()f x 的图象的一部分如下左图,则如下右图的函数图象所对应的函数解析式( )A .(21)y f x =-B .412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C .(12)y f x =-D .142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变,横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变,横坐标变为原来的一半 故选:C.例9.(2022·浙江·模拟预测)已知函数()f x 的大致图象如图所示,则函数()y f x =的解析式可以是( )A .()()2211--=xxex y eB .()21sin -=xxex y eC .()()2211-+=xxex y eD .()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象,可知函数为偶函数,排除A ,D ,根据C 项函数没有零点,排除C 项,最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象,可知函数为偶函数,排除A ,D ;对于C ,当0x >时,22110,2-+>≥x xe x e x ,函数显然不存在零点,排除C . 故选:B .例10.(2022·全国·模拟预测)已知函数()f x 的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可能为( )A .()sin πf x x x =B .()()1πsin f x x x =-C .()()sin π1f x x x =+D .()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性,结合AC 的奇偶性可排除AC ,根据已知图象f (0)=0可排除D ,从而正确可得B 为正确选项. 【详解】对于A ,()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==,故()sin πf x x x =为偶函数,图象应该关于y 轴对称,与已知图象不符;对于C ,()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数,故排除AC ; 对于D ,()01f =-,与已知图象不符,故排除D .对于B ,()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=,故f (x )关于x =1对称,f (0)=0,均与已知图象符合,故B 正确. 故选:B .例11.(2022·河北沧州·模拟预测)下列图象对应的函数解析式正确的是( )A .()cos f x x x =B .()sin f x x x =C .()sin cos f x x x x =+D .()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知,函数()f x 的图象关于原点中心对称,所以函数()f x 为奇函数,且()02f π>,对选项B 、C :由函数()f x 为偶函数即可判断,对选项A :函数()f x 为奇函数,但()cos 0222f πππ==即可判断;对选项D :函数()f x 为奇函数,且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解:由图可知,函数()f x 的图象关于原点中心对称,所以函数()f x 为奇函数,且()02f π>,对A :因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-,所以函数()f x 为奇函数,但()cos 0222f πππ==,故选项A 错误;对B :因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==,所以函数()f x 为偶函数,故选项B 错误;对C :因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=,所以函数()f x 为偶函数,故选项C 错误; 对D :因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-,所以函数()f x 为奇函数,且()cos sin 102222f ππππ=+=>,符合题意,故选项D 正确. 故选:D.例12.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数()sin f x x =,()e e x x g x -=+,下图可能是下列哪个函数的图象( )A .()()2f x g x +-B .()()2f x g x -+C .()()⋅f x g xD .()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质,结合每个选项中函数的性质,即可判断和选择. 【详解】由图可知,图象对应函数为奇函数,且()011f <<; 显然,A B 对应的函数都不是奇函数,故排除;对C :()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+,其为奇函数,且当1x =时,11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭,故错误;对D :y =()()f xg x sin e e x xx-=+,其为奇函数,且当1x =时,sin110112e e<<<+,故正确. 故选:D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置;2.从奇偶性判断对称性;3.从周期性判断循环往复;4.从单调性判断变化趋势;5.从特征点排除错误选项.题型三:表达式含参数的图象问题(多选题)例13.(2022·全国·高三专题练习)函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为( ) A . B .C .D .【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下,()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时,22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++;当0,0a c >>时,()f x 定义域为R 且为奇函数,在(0,)+∞上()0f x >,在上递增,在)+∞上递减,A 可能;当0,0a c <<时,()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数,在上()0f x >且递增,在)+∞上()0f x <且递增,B 可能;当0,0,0a b c =≠<时,22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠,此时()f x 为偶函数,若0b >时,在(上()0f x <(注意(0)0f <),在(,)-∞+∞上()0f x >,则C 不可能;若0b <时,在(上()0f x >,在(,)-∞+∞上()0f x <,则D 可能; 故选:ABD(多选题)例14.(2022·福建·莆田二中高三开学考试)函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是( )A .B .C .D .【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性,可排除D 选项,然后对a 的取值进行分类讨论,比如0a =,可判断A 可能,再对a 分大于零和小于零的情况讨论,结合求导数判断函数单调性,即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数, 图象关于y 轴对称,所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数,只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时,函数2||11()||x f x x x x===,所以A 可能; ②当0a >时,2()xf x x a =+,()222()a x f x x a '-=+,所以()f x 在单调递增,在)+∞单调递减,所以C 可能; ③当0a <时,2()x f x x a =+,()222()0a x f x x a -'=<+,所以()f x 在单调递减,在)+∞单调递减,所以B 不可能; 故选:AC.(多选题)例15.(2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习)已知()2xf x x a=-的图像可能是( )A .B .C .D .【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域,据此判断图像即可. 【详解】 若a =0,则f (x )=1x,图像为C ;若a >0,则f (x )定义域为{x |x ,f (0)=0,f (-x )=-f (x ),f (x )为奇函数,x ∈(-∞,时,f (x )<0,x ∈(0)时,f (x )>0,x ∈(0,f (x )<0,x ∈+∞)时,f (x )>0,又x ≠0时,f (x )=1a x x-,函数y =x -ax 在(-∞,0)和(0,+∞)均单调递增,∴f (x )在(-∞,(0),(0,∞)均单调递减,综上f (x )图像如A 选项所示; 若a <0,则f (x )定义域为R ,f (x )为奇函数,f (0)=0, 当x >0时,f (x )>0,当x <0时,f (x )<0,当x ≠0时,f (x )=1a x x-+,函数y =x +ax-时双勾函数,x ∈((),时,y 均单调递减,x ∈)(,,+∞-∞时,y 均单调递增,∴f (x )在((),单调递增,在)(,,+∞-∞单调递减,结合以上性质,可知B 图像符合.故选:ABC.(多选题)例16.(2022·湖北武汉·高一期末)设0a >,函数21axx y e ++=的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>,得到抛物线的开口向上,对称轴的方程为12x a=-,再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论,结合复合函数的单调性,即可求解. 【详解】由题意,函数21axx y e ++=,令()21,0g x ax x a =++>,可得抛物线的开口向上,对称轴的方程为102x a=-<, 当140a ∆=-=时,即14a =时,可得()21104g x x x =++≥, 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减,在1[,)2a-+∞上单调递增,且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减,在1[,)2a -+∞上递增,且(2)1g e -=; 当140a ∆=-<时,即14a >时,可得()0g x >, 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减,在1[,)2a-+∞上单调递增, 由复合函数的单调性,可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减,在1[,)2a-+∞上递增,且1y >, 此时选项B 符合题意; 当当140a ∆=->时,即104a <<时,此时函数()21g x ax x =++有两个零点, 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<,此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减,在1[,)2a-+∞上单调递增, 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减,在121[,],[,)2x x a -+∞上递增,且12()()0g x g x ==,则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减,在121[,],[,)2x x a -+∞上递增,且12()()1g x g x e e ==,此时选项D 符合题意.综上可得,函数的图象可能是选项BD. 故选:BD.(多选题)例17.(2022·广东东莞·高一期末)已知函数()af x x x=+()a R ∈,则其图像可能为( ) A . B .C .D .【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =,0a >,0a <讨论a 的取值范围,利用排除法解决. 【详解】 0a =,()(0)af x x x x x=+=≠,定义域需要挖去一个点,不是完整的直线,A 选项错误;0a <时,y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增,ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增,两个增函数相加还是增函数,即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增,故D 选项错误,C 选项正确.;0a >时,由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选:BC.(多选题)例18.(2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习)在同一直角坐标系中,函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值,再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意,当1a >时,函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方,排除B ,C ,而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩,因此,()f x 在(,0)-∞上递减,且x <0时,0<f (x )<1,D 不满足,A 满足; 当01a <<时,函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方,点(0,1)下方,排除A ,D ,而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩,因此,f (x )在(0,)+∞上递增,且x >0时,0<f (x )<1,B 不满足,C 满足, 所以给定函数的图象可能是AC. 故选:AC(多选题)例19.(2021·河北·高三阶段练习)函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论,利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时,()01f =,令21y x =+,易知,其在(),0-∞上为减函数,()0,∞+上为增函数,所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数,在()0,∞+上为减函数,故D 正确; 当0a <时,()01f =,()()2'2221ax x afx x--+=+,令22y ax x a =--+,当0x <且0x →时,0y <,当0x >且0x →时,0y <,所以()'0f x <,故A 正确;当0a >时,()01f =,()()2'2221ax x afx x--+=+,令22y ax x a =--+,当0x <且0x →时,0y >,当0x >且0x →时,0y >,所以()'0f x >,故B 正确;综上,()f x 的图象不可能为C. 故选:ABD.(多选题)例20.(2022·全国·高三专题练习)已知()x x f x e ke -=+(k 为常数),那么函数()f x 的图象不可能是( )A .B .C .D .【答案】AD【解析】 【分析】根据选项,四个图象可知备选函数都具有奇偶性.当1k =时,()x x f x e e -=+为偶函数,当1k =-时,()x x f x e e -=-为奇函数,再根据单调性进行分析得出答案.【详解】由选项的四个图象可知,备选函数都具有奇偶性. 当1k =时,()x x f x e e -=+为偶函数,当0x ≥时,1x t e =≥且单调递增,而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增,故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增,故选项C 正确,D 错误; 当1k =-时,()x x f x e e -=-为奇函数,当0x ≥时,1x t e =≥且单调递增,而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减,故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减,故选项B 正确,A 错误. 故选:AD .【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象,其中解答中熟记指数幂的运算性质,二次函数的图象与性质,以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,以及分类讨论思想的应用.题型四:函数图象应用题例21.(2022·全国·高三专题练习)如图,正△ABC 的边长为2,点D 为边AB 的中点,点P 沿着边AC ,CB 运动到点B ,记∠ADP =x .函数f (x )=|PB |2﹣|P A |2,则y =f (x )的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,结合图形,分析区间(0,2π)和(2π,π)上f (x )的符号,再分析f (x )的对称性,排除BCD ,即可得答案. 【详解】根据题意,f (x )=|PB |2﹣|P A |2,∠ADP =x . 在区间(0,2π)上,P 在边AC 上,|PB |>|P A |,则f (x )>0,排除C ; 在区间(2π,π)上,P 在边BC 上,|PB |<|P A |,则f (x )<0,排除B , 又由当x 1+x 2=π时,有f (x 1)=﹣f (x 2),f (x )的图象关于点(2π,0)对称,排除D , 故选:A例22.(2022·全国·高三专题练习)匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水,则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ,高H ,利用圆锥与其轴垂直的截面性质,建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ,高H ,注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O ',水面半径AO x '=,此时水面高度PO h '=,如图:由垂直于圆锥轴的截面性质知,x h r H =,即r x h H =⋅,则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅,令水匀速注入的速度为v ,则注水时间为t 时的水的体积为V vt =,于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数,所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤,23103h t -'=>,函数图象是曲线且是上升的,随t 值的增加,函数h 值增加的幅度减小,即图象是先陡再缓, A 选项的图象与其图象大致一样,B ,C ,D 三个选项与其图象都不同. 故选:A例23.(2022·四川泸州·模拟预测(文))如图,一高为H 且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时,水流出所用时间为t ,则函数()h f t =的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可. 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数,故排除C ,D ,则一开始,h 随着时间的变化,而变化变慢,超过一半时,h 随着时间的变化,而变化变快,故对应的图象为B , 故选B . 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用,结合函数的变化规律是解决本题的关键.例24.(2021·山东济南·高三阶段练习)如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从A 点出发,沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→),则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是( )A .B .C.D.【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时,与О点的直线距离保持不变,沿BO走时,随时间增加与点О的距离越来越小,沿OA走时,随时间增加与点О的距离越来越大.故选:D.例25.(2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试)如图,△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形,平面图形OBD是四分之一圆的扇形,点P在线段AB上,PQ⊥AB,且PQ交AD或交弧DB于点Q,设AP =x(0<x<2),图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y,则函数y=f(x)的大致图像是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分两段,当P点在AO之间时,当P点在OB之间时,再由二次函数的性质及增长趋势可知.【详解】当P 点在AO 之间时,f (x )12=x 2(0<x ≤1),排除B,D 当P 点在OB 之间时,y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢,故只有A 正确 故选A . 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质,考查分类讨论思想及排除法应用,属于基础题.【方法技巧与总结】思路点睛:函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.题型五:函数图像的综合应用例26.(2022·四川·宜宾市教科所三模(理))定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-,且当[]0,1x ∈时,()e 1xf x =-,若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解,则m 的取值范围为( )A .e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B .e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C .e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D .()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点,利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-,∴函数()f x 关于直线1x =对称,又()f x 为定义在R 上的偶函数, 故函数()f x 关于直线0x =对称,作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象,要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解,则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点,∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩,即e 1e 164m --<<. 故选:B.例27.(2022·北京丰台·一模)已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值,则a 的取值范围是( )A .(,1]-∞-B .(,1)-∞-C .[1,)+∞D .(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质,作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象,利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-,可得()()233311y x x x '=-=+-,由0y '>,得1x <-或1x >,由0y '<,得11x -<<,∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增,在()1,1-上单调递减,在()1,+∞上单调递增, ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2,在1x =时有极小值2-, 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象,由图可知,当1a ≤时,函数()f x 有最小值12f ,当1a >时,函数()f x 没有最小值.故选:D.例28.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点,则m 的取值范围是( ) A .102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B .102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C .102,3⎛⎫⎪⎝⎭D .102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根,然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =,则()21y g t t mt ==++,作出函数()f x 的大致图象,如图所示,则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根, 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用数形结合,把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根,即二次方程根的分布问题,利用二次函数的性质即解.例29.(2022·甘肃省武威第一中学模拟预测(文))已知函数()221xf x =--,则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解,则实数,m n 满足( ) A .0m >且0n > B .0m <且0n > C .01m <<且0n = D .10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =,利用换元法可得20u mu n ++=,由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ,作出函数()f x 的图象,结合题意和图象可得10u =、2u m =-,进而得出结果. 【详解】令()u f x =,作出函数()u f x =的图象如下图所示:由于方程20u mu n ++=至多两个实根,设为1u u =和2u u =,由图象可知,直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0、2、3、4,由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解,则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =,则0n =,则方程20u mu +=的另一根为2u m =-,直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4,则10m -<-<,解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选:C.例30.(2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测)已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩,若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,则实数m 的取值范围为( ) A .1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置,结合函数的单调性以及图像特征,即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31.(2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中(理))已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩,若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点,则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点,求出直线与1()11f x x =--相切时的k ,进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点, 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根,画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像,以及()1y k x =-,则两函数的图象有4个公共点.其中直线()1y k x =-经过定点(1,0),斜率为k当直线与()f x 相切时,联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩,22(12)40k k ∆=--=,可求出14k =,由图可知,当104x <<时,方程()()1f x k x =-有4个交点,故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛:根据函数零点个数求参数取值范围的注意点:(1)结合题意构造合适的函数,将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理; (2)在同一坐标系中正确画出两函数的图象,借助图象的直观性进行求解;(3)求解中要注意两函数图象的相对位置,同时也要注意图中的特殊点,如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等.例32.(2022·贵州遵义·高三开学考试(文))已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点,则m 的取值范围是________.【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点,利用导数求得函数()g x 的极值,画出函数()g x 的图象,结合图象,即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,根据题意函数()f x 恰有3个零点,即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点,当12x ≥时,可得2()(3ln 1)g x x x '=+,令()0g x '=,得131e 2x -=>,当131[,e )2x -∈时,函数()g x 单调递减;当13(e ,)x -∈+∞时,函数()g x 单调递增,所以当13e x -=时,函数()g x 取得极小值,极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又由11()ln 2028g =-<,作出()g x 的图象,如图所示,由图可知,实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 故答案为:1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦.例33.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g (x )=2log x ,则函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数是________. 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题,作出图象,数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中,作出()y g x =与()y f x =的图象如图,由()()()0h x f x g x =-=可得,()()f x g x =,即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标, 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点,即()h x 有3个零点. 故答案为:3例34.(2022·全国·高三专题练习(理))如图,在等边三角形ABC 中, AB =6.动点P 从点A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点,记P 运动的路程为x ,点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x ),给出下列三个结论:①函数f (x )的最大值为12;②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9; ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中,所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =,利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤, P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤, P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤,22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩,由图象可得,方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为:①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题,如利用函数的图象解决函数性质问题,函数的零点、方程根的问题,有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象,利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像,利用图像的直观性得到方程解。
《三角函数的图像与性质》教案时间:2018年10月23日下午第三节 班级:高三(2)班 授课教师:龙全丽一、【教材分析】本节内容是函数内容的深化,具有非常高的实用价值,在三角函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理、换元等数学思想方法,通过学习可以帮助学生进一步理解三角函数,培养学生的函数应用意识,增强学生对数学的兴趣,走进高考。
二、【目标分析】1.知识技能目标:掌握三角函数的概念、图象和性质。
2.过程性目标:通过自主回顾与探索,让学生经历“温故→应用→提升”的训练过程,完善认知结构,领会数形结合、归纳推理、换元等数学思想方法。
3.情感、价值观目标:让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦,体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美,展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
三、【重难点分析】重点:教学重点是掌握三角函数的图象和性质,并能灵活应用达到高考要求。
难点: 对于三角函数图象的不同特征,学生不容易归纳认识清楚。
因此,弄清楚图象之间的异同和平移变换是本节的难点之一。
四、【学情分析】本节内容思维量较大,题型较多较难,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理、换元等能力有较高的要求,学生学习起来有一定难度。
五、【考纲解读】1.能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象,了解三角函数的周期性.2理解正切函数在区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内的单调性.六、【教法学法】 启发式教学法、类比复习法.七、【教学过程流程设计八、【教学过程】(一)知识梳理(设计意图:引导学生梳理课本基础知识,并重点讲解高考高频考点应该注意的地方。
)1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的定义域、值域3.三角函数的单调性(二)双基自测(设计意图:检查学生对基础知识和基本技能的掌握情况.)“五点法”画图画下列函数图像志 存 高 远 · 追 求 卓 越 第2页 (1)13sinx y += (2)x y cos -= (3)x y sin =(三)、核心考点(设计意图:通过对考点的讲解与理解,培养学生解决高考对三角函数的图像和性质问题的能力。
第一课时三角函数的图像与性质(一)(教案)【复习目标】【知识与技能】1.了角正弦、余弦、正切、余切函数的图像,会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图.2.掌握三角函数的性质,包括:定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.【过程与方法】通过三角函数图像记忆和应用三角函数的有关性质,强化数形结合的思想方法.【情感态度与价值观】体会三角是解决数学问题的一样工具,熟练三角比公式,理解三角函数的意义,为今后的数学其余知识领域的学习创造有利条件,培养研究数学问题的意识与体验.【教学重点、难点】正弦、余弦、正切函数的图像与性质【教学过程】【知识梳理】【基础练习】1.函数xxx y sin 1cos sin 22+=的值域是(C )A .),4(+∞-B .),1[+∞-C .]21,4(- D .]21,4[-2.函数sin 1log (cos )2x y x =+([02])x π∈,的定义域是(B )A .2{|0}3x x π<<B .2{|0}32x x x ππ<<≠,且C .5{|0}6x x π<<D .5{|0}62x x x ππ<<≠,且3.给出下列命题:(D )①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称; ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同;③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称; ④x y cos =与)cos(x y -=的图像关于y 轴对称;其中正确命题的序号是A .①②B .③④C .①③D .②④4.函数123log cos(2)2y x π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的单调减区间是3,,24k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦ 5.函数()sin (0)f x a x b a =+<的最大值为2,最小值为4-,则点(,)a b 是(3,1)--.6.已知()sin 1f x ax b x =++,若(5)7f =,则(5)f -=5-.7.若函数()f x的定义域是1[]2,则函数(sin )f x 的定义域是 54[2,2][2,2],3663k k k k k Z ππππππππ-++++∈ 8.已知关于x 的方程222sin cos 2sin 0x x x m -++=有实数解,则实数m 的取值范围是443m -≤≤ . 【典型例题】【例1】求下列函数的定义域(1)y =解:sin cos 0)02244522445|22,44x x x k x k k x k x k x k k Z πππππππππππππ-≥⇒-≥⇒≤-≤+⇒+≤≤+⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭定义域(2)y =解:sin 02222,2sin 33x k x k x k x k x πππππππ>⎧<<+⎧⎪⎪⇒⎨⎨≠+≠+≠⎪⎪⎩⎩ 所求定义域{}222,2,2,33x k x k x k x k k Z πππππππ<<+≠+≠+∈且【例2】求下列函数的单调区间: (1)4sin(2)3y x π=- (2)12log cos y x =(3)sin 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4) )cos (sin sin )(x x x x f -=解:(1)4sin(2)4sin(2)33y x x ππ=-=-- ,∴222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈时,函数为减函数.减区间为:5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈.当3222()232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈时,函数为增函数,故函数增区间为:511[,]()1212k k k z ππππ++∈;(2)12log y u = 为减函数,且cos 0u x =>的增区间为2,2()2k k k Z πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦,递减区间为2,2()2k k k Z πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭,∴函数12log cos y x =的递增区间为2,22k k πππ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭,递减区间为2,2().2k k k Z πππ⎛⎤-∈⎥⎝⎦(3) 2,2()2232,2()22k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(4) 1()sin (sin cos )242f x x x x x π⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭ 3,()885,()88k k k Z k k k Z ππππππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【例3】求下列函数的最小正周期 ⑴ ⎪⎭⎫⎝⎛+=53tan πa x y 解:313T a aππ== ⑵ x x x x y 2cos 32cos 2sin 42sin 222++=解:()5242242y x T ππϕ=++⇒== ⑶x y sin = (思考:x y sin = 有周期吗?) 解:由图像知:x y sin =周期为π,x y sin =无周期 ⑷xx xx y 2sin 2cos 2sin 2cos -+=解:cos 2sin 21tan 2tan 2cos 2sin 21tan 242x x x y x T x x x ππ++⎛⎫===+⇒= ⎪--⎝⎭求函数周期的有以下方法:①直接从三角函数的周期的定义求得; ②由正弦,余弦函数的周期 ωπ2=T 由正切,余切函数的周期 ωπ=T ③由图像观察得到周期.④复合三角函数可化为“三个一”(一角一函数名一次)函数来求 【例4】判断下列函数的奇偶性: ⑴ x x x y 2cos cos sin 44+-=解:D R = 44sin cos cos2cos2cos20y x x x x x =-+=-+= ,既奇又偶⑵xx xx y cos sin 1cos sin 1-+++=解:1sin cos 0sin 4x x x π⎛⎫+-≠⇒-≠ ⎪⎝⎭32,244442,22x k x k x k x k πππππππππ-≠--≠-≠≠-定义域不关于原点对称,非奇非偶.【例5】求函数22sin cos 2sin 1y x x x =-+的最小正周期和最大、最小值及取得最大、最小值的对应变量x 的值.解:sin 2(1cos 2)1sin 2cos 2)4y x x x x x π=--+=+=+,故该函数的最小正周期22T ππ==当y2242x k πππ+=+,∴8x k ππ=+(k ∈Z ),当y取得最小值2242x k πππ+=-+,∴38x k ππ=-+(k ∈Z ). 【例6】求下列函数的值域: (1)x y 3sin 5=;(2)cos cos sin22xy x x =-;(3)22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++; (4)2cos 3sin y x x =-;(5)sin cos sin cos y x x x x =++. 解:(1)[]sin31,1u x =∈-[]m i n m a x 125111,536215,,36u y u y x k u y x k k Z ππππ=-=-==-===+∈ 在,当时,当时,(2)|2,2D x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭, cos cos sin sin()2224cos sin 22x x x x y x x π==+=+-,因为,242x k πππ+≠+所以()sin()1,124x π+∈-,(y ∈(3)1cos 23(1cos 2)sin 22sin 2cos 222x x y x x x -+=++=++)24x π=++,∵1sin(2)14x π-≤+≤,∴所求函数的值域是[2+;(4)223131sin 3sin (sin )24y x x x =--=-++,∵1sin 1x -≤≤, ∴所求的函数的值域是[3,3]-;(5)设sin cos x x t +=,则21sin cos 2t x x -=,且)[4t x π=+∈,∴2211(1)122t y t t -=+=+-,故所求函数的值域是1[1,2+-. 【例7】已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-+=204sin 2cos 21πx a x a x x f 的最大值为2,求实数a 的值. 解:()()211cos 2sin 12sin sin 2424a af x x a x x a x =+-=-+- ()221sin 2,24a x a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭设sin ,x u =即()221()2,24a g u u a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭[]0,1u ∈()()[]()()[]()()()()[]()max 2max max 1100,0,1,0,26224120,102,,22,3,022*********,0,1,1,22423a aa g u u g u a a a a u g u a a a a a a a a a g u u g u a φ<⇒<==-=⇒=-∈⇒≤≤==-+⇒=-=≤≤⇒∈>⇒>==-=⇒= 在当当在当所以6a =-或103a =【例8】设1sin sin 3x y +=,求2sin cos u x y =-的最大值和最小值. 解:∵1sin sin 3x y +=,∴1sin sin 3x y =-,又1sin 1x -≤≤,∴11sin 131sin 1y y ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩,∴2sin 13y -≤≤,而221111sin (1sin )(sin )3212u y y y =---=--,∴当1sin 2y =,1sin 6x =-时,min 1112u =-, 而当2sin 3y =-,sin 1x =时,max 49u =.【例9】对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ的任何值都有05cos 4sin 2<-+θθk 成立,求k 的取值范围. 解:[]0,cos 0,12πθθ⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎣⎦()22min (1)cos 004,5sin 4cos 112cos 0cos 0,cos 4cos 4cos cos 411cos ,(0,1],,4550,1]44k t t u t t u u k θθθθθθθθθθ=<-+≠><==+=∈=+=⇒<时,原式为:恒成立时,令又在(, 【例10】设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.解:(Ⅰ)由2s i n a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ>>-,2263B ππππ-=-=. 2336A ππ5π<+<,所以1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.由此有3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭,所以,cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,.说明:要求cos sin A C +的取值范围,联想可否把它化为sin()y A x ωϕ=+的 形式.由ABC ∆是锐角三角形得,2A B π+>,从而得出22A B ππ>>-是求cos sin A C +的关键.【备用例题】1. 已知函数]434[22cos 2sin 3)(ππ,,∈++--=x b a x a x a x f ,是否存在常数∈b a 、Q ,使得)(x f 的值域为]133[--,?若存在,求出b a 、的值;若不存在,请说明理由.解:函数即b a x a x f +++-=2)62sin(2)(π,∵]434[ππ,∈x ,∴]3532[62πππ,∈+x,∴1sin(2)3x π-≤+≤; 若存在满足题设的有理数b a 、,则10当0>a 时,⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-1322323b a a b a a ,这不可能;20当0<a 时,⎩⎨⎧-=++-=++-3221323b a a b a a ,此时求得11=-=b a ,;即这样的b a 、存在,且11=-=b a ,. 2.在ABC △中,已知内角A π=3,边BC =B x =,周长为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值.解:(1)ABC △的内角和A B C ++=π,由00A B C π=>>3,,得20B π<<3.应用正弦定理,知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3, 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭. 因为y AB BC AC =++,所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭,(2)因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭,所以,当x ππ+=62,即x π=3时,y取得最大值 【巩固练习】1.已知函数x x x f sin 3cos )(-=,则这一函数的一个递减区间是(C ) A .)6,65(ππ-B .)67,6(ππ C .)32,3(ππ-D .)35,32(ππ 2.已知函数cos(sin )y x =,则下列结论正确的是(B ) A .它是奇函数 B .值域为[cos1,1]C .它不是周期函数D .定义域为[1,1]-3.若)0(π,∈x ,则函数|cos 1cos 1|x x y --+=的值域为(C ) A .]20[,B .[02],C .)20[,D .)20[,4. 已知向量(1sin )a θ= ,,)b θ=,则a b - 的最大值为.【答案】sin a b θθ-= =2sin()23πθ-≤.5.函数2sin cos 3cos2y x x x =-的最小正周期T =π .6.已知1>a ,则函数x a x y cos 2cos 2-=的最小值是a 21- . 7.函数2cos 2cos xy x+=-(x ∈R )的最大值是3 .8.函数)20(cos 2π≤≤=x x y 的图象和直线2=y 围成一个封闭的平面图形,这个封闭图形的面积为π4 9.函数()sin()24f x x c π=+-(c 为常数),若()0f x =的根成公差为4的等差数列,则(4)f 的值是0 .提示:∵周期8=T ,∴当且仅当2=c 时,此时(4)sin 0f π==.10.已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,]2π,值域是[5,1]-,求实数a 、b 的值.【答案】25a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩.11. 已知ABC ∆中135A B +=,求22sin sin A B +的最大值. 解:∵2222sin sin sin sin (135)A B A A +=+-1cos 21cos(2702)22A A ---=+111cos 2sin 222A A =-+)14A π=-+由350,2,4444A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以sin 24A π⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦所以221sin sin 2A B ⎛+∈ ⎝⎦,即22sin sin A B +的最大值为222+ (当67.5A B ==时)。
三角函数图像与性质总复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质,包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和应用能力。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 复习正弦函数的图像与性质。
2. 复习余弦函数的图像与性质。
3. 复习正切函数的图像与性质。
4. 复习三角函数的周期性。
5. 复习三角函数的奇偶性。
三、教学方法1. 采用讲解法,通过教师的讲解,引导学生回忆和巩固三角函数的图像与性质。
2. 采用案例分析法,通过具体的例子,让学生理解和掌握三角函数的图像与性质。
3. 采用互动教学法,引导学生积极参与讨论和提问,提高学生的思维能力和解决问题的能力。
四、教学步骤1. 复习正弦函数的图像与性质。
a. 引导学生回忆正弦函数的定义和图像。
b. 讲解正弦函数的周期性和奇偶性。
c. 通过例子,让学生应用正弦函数的性质解决实际问题。
2. 复习余弦函数的图像与性质。
a. 引导学生回忆余弦函数的定义和图像。
b. 讲解余弦函数的周期性和奇偶性。
c. 通过例子,让学生应用余弦函数的性质解决实际问题。
3. 复习正切函数的图像与性质。
a. 引导学生回忆正切函数的定义和图像。
b. 讲解正切函数的周期性和奇偶性。
c. 通过例子,让学生应用正切函数的性质解决实际问题。
4. 复习三角函数的周期性。
a. 引导学生回忆三角函数的周期性定义。
b. 讲解三角函数的周期性性质。
c. 通过例子,让学生应用三角函数的周期性解决实际问题。
5. 复习三角函数的奇偶性。
a. 引导学生回忆三角函数的奇偶性定义。
b. 讲解三角函数的奇偶性性质。
c. 通过例子,让学生应用三角函数的奇偶性解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂练习:布置相关的练习题,检查学生对三角函数图像与性质的理解和应用能力。
2. 课后作业:布置相关的作业题,巩固学生对三角函数图像与性质的记忆和理解。
3. 小组讨论:组织学生进行小组讨论,鼓励学生积极参与,提高学生的思维能力和解决问题的能力。
4.3三角函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.2.研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件. 『试一试』1.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π4-x 的定义域是________.『答案』⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π+3π4,k ∈Z ,x ∈R 2.(2013·南京三模)函数y =sin x ⎝⎛⎭⎫-π4≤x ≤3π4的值域是________. 『解析』因为-π4≤x ≤3π4,由y =sin x 的图像知-22≤sin x ≤1,故函数y 的值域为⎣⎡⎦⎤-22,1. 『答案』⎣⎡⎦⎤-22,11.三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间的不同:(1)y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4;(2)y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-2x . 2.求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y =A sin(ωx +φ)的形式,通过分析ωx +φ的范围,结合图像写出函数的值域;(2)换元法:把sin x (cos x )看作一个整体,化为二次函数来解决. 『练一练』1.函数y =|sin x |的一个单调增区间是________.『解析』作出函数y =|sin x |的图像观察可知,函数y =|sin x |在⎝⎛⎭⎫π,3π2上递增. 『答案』⎝⎛⎭⎫π,3π2 2.(2013·天津高考)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为________. 『解析』由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,得2x -π4∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4,所以sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4∈⎣⎡⎦⎤-22,1,故函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π4上的最小值为-22. 『答案』-22考点一三角函数的定义域与值域1.函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域为________. 『解析』当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6,sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1, 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-32,3,即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤-32,3. 『答案』⎣⎡⎦⎤-32,3 2.(2014·湛江调研)函数y =lg(sin x )+ cos x -12的定义域为________.『解析』要使函数有意义必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0,cos x -12≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x ≥12, 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π+2k π,-π3+2k π≤x ≤π3+2k π(k ∈Z ), ∴2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z ,∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z . 『答案』⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z 3.(1)函数y =2cos 2x +5sin x -4的值域为________.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6时,函数y =3-sin x -2cos 2x 的最小值是________,最大值是________. 『解析』(1)y =2cos 2x +5sin x -4 =2(1-sin 2x )+5sin x -4 =-2sin 2x +5sin x -2 =-2(sin x -54)2+98.故当sin x =1时,y max =1,当sin x =-1时,y min =-9, 故y =2cos 2x +5sin x -4的值域为『-9,1』. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6,∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤-12,1. 又y =3-sin x -2cos 2x =3-sin x -2(1-sin 2x )= 2⎝⎛⎭⎫sin x -142+78. ∴当sin x =14时,y min =78,当sin x =-12或sin x =1时,y max =2.『答案』(1)『-9,1』 (2)782『备课札记』 『类题通法』1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图像来求解.2.三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求;(2)把所给的三角函数式变换成y =A sin(ωx +φ)的形式求值域; (3)把sin x 或cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域; (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域.考点二三角函数的单调性『典例』 求下列函数的单调递减区间: (1)y =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4;(2)y =tan ⎝⎛⎭⎫π3-2x . 『解』 (1)由2k π+π2≤x -π4≤2k π+3π2,k ∈Z ,得2k π+3π4≤x ≤2k π+7π4,k ∈Z .故函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π+3π4,2k π+7π4(k ∈Z ).(2)把函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π3-2x 变为y =-tan ⎝⎛⎭⎫2x -π3. 由k π-π2<2x -π3<k π+π2,k ∈Z ,得k π-π6<2x <k π+5π6,k ∈Z ,即k π2-π12<x <k π2+5π12,k ∈Z . 故函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π3-2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ). 『备课札记』若将本例(1)改为“y =2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x -π4”,如何求解? 『解析』画出函数y =2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x -π4的图像,易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π+3π4,k π+5π4(k ∈Z ).『类题通法』三角函数的单调区间的求法(1)代换法:所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t ),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.(2)图像法:函数的单调性表现在图像上是:从左到右,图像上升趋势的区间为单调递增区间,图像下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图像,结合图像易求它的单调区间.提醒:求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.『针对训练』1.(2013·盐城二模)函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4,x ∈『-π,0』的单调增区间为________. 『解析』当x -π4∈⎣⎡⎦⎤2k π-π2,2k π+π2,k ∈Z 时,是f (x )的单调增区间.又因为x ∈『-π,0』,故取k =0得x ∈⎣⎡⎦⎤-π4,0 『答案』⎣⎡⎦⎤-π4,0 2.(2013·苏北四市联考)若函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤-2π3,2π3上单调递增,则ω的最大值为______.『解析』依题意可知12×T ≥2×2π3,即12×2πω≥2×2π3,解得ω≤34,从而ω的最大值为34.『答案』34考点三三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有:1求三角函数的对称轴或对称中心;2由三角函数的对称性求参数值; 3三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1.(2013·扬州期末)已知函数f (x )=-2sin 2x +23sin x · cos x +1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心;(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,π3时,求f (x )的最大值和最小值. 『解析』(1)f (x )= 3 sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, 所以f (x )的最小正周期为T =2π2=π. 令 sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6=0,得x =k π2-π12(k ∈Z ), 所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2-π12,0(k ∈Z ). (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,π3,所以-π6≤2x +π6≤5π6, 所以-12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6≤1,所以-1≤f (x )≤2. 所以当x =-π6时,f (x )的最小值为-1;当x =π6时,f (x )的最大值为2.角度二 由三角函数的对称性求参数值2.(2014·连云港期末)若函数y =3sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3,0中心对称,则φ=________.『解析』由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π+φ=0,所以23π+φ=k π(k ∈Z ).又因为0<φ<π,所以φ=π3. 『答案』π33.已知ω>0,函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π3的一条对称轴为x =π3,一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12,0,则ω的最小值为______.『解析』由题意知π3-π12≥T 4,T =2πω≤π,ω≥2.『答案』2角度三 三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90°,KL =1,则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______.『解析』由题意知,点M 到x 轴的距离是12,根据题意可设f (x )=12cos ωx ,又由题图知12·2πω=1,所以ω=π, 所以f (x )=12cos πx ,故f ⎝⎛⎭⎫16=12cos π6=34. 『答案』34『备课札记』 『类题通法』1.若f (x )=A sin(ωx +φ)为偶函数,则当x =0时,f (x )取得最大或最小值. 若f (x )=A sin(ωx +φ)为奇函数,则当x =0时,f (x )=0.2.对于函数y =A sin(ωx +φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x =x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断.『课堂练通考点』1.(2014·常州统考)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的单调增区间是________. 『解析』由0≤x ≤π2,可知π4≤2x +π4≤5π4.又y =sin x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π-π2,2k π+π2,k ∈Z ,从而π4≤2x +π4≤π2,即0≤x ≤π8,所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0,π8. 『答案』⎣⎡⎦⎤0,π8 2.已知函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6(ω>0)的最小正周期为π,则f (x )的单调递增区间为________.『解析』 根据已知得2πω=π,得ω=2.由不等式2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ),所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ). 『答案』⎣⎡⎦⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ) 3.函数y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调减区间为________. 『解析』由y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4得 2k π≤2x -π4≤2k π+π(k ∈Z ),解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ).所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ). 『答案』⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ) 4.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图像与x 轴交点的坐标是________. 『解析』由2x +π4=k π(k ∈Z )得,x =k π2-π8(k ∈Z ).∴函数y =tan ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2-π8,0. 『答案』⎝⎛⎭⎫k π2-π8,05.(2013·南京二模)对函数f (x )=x sin x ,现有下列命题: (1)函数f (x )是偶函数;(2)函数f (x )的最小正周期是2π;(3)点(π,0)是函数f (x )的图像的一个对称中心;(4)函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤-π2,0上单调递减. 其中是真命题的是________(填序号). 『解析』由f (x )=x sin x 知其定义域为R , 对于(1),f (-x )=(-x )sin(-x )=x sin x =f (x ), 所以f (x )是偶函数;对于(2),f ⎝⎛⎭⎫2π+π2=⎝⎛⎭⎫2π+π2sin ⎝⎛⎭⎫2π+π2=5π2, 而f ⎝⎛⎭⎫π2=π2,显然f ⎝⎛⎭⎫2π+π2≠f ⎝⎛⎭⎫π2;对于(3),f ⎝⎛⎭⎫π-π2=π2,f ⎝⎛⎭⎫π+π2=-3π2, 显然f ⎝⎛⎭⎫π-π2≠-f ⎝⎛⎭⎫π+π2; 对于(4),f ′(x )=sin x +x cos x ,易知f ′(x )>0在⎝⎛⎭⎫0,π2上恒成立,所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上为增函数,由(1)知f (x )在⎣⎡⎦⎤-π2,0上为减函数. 『答案』(1) (4)。
某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理知识梳理:(阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域单调性奇偶性周期性对称中心对称轴2、周期函数:对于函数如果存在一个非零常数T,使得当x取定义内的每一个值时,都有=,那么函数就叫做周期函数,非零常数T叫做函数的周期;最小正周期:对于周期函数,如果在它的所有周期中,存在一个最小正数,那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期,常把最小正周期叫做函数的周期。
3、三角函数的图象的画法:(1)、利用三角函数线的几何画法;(2)、利用变换法(3)、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象,先找出在一个周期内的方程或不等式的解,再写出和它们终边相同的角的集合。
探究一:三角函数的定义域问题例1:(1)、求函数的定义域;(2)、求函数的定义域;(3)、求函数的定义域。
探究二:三角函数的最值问题例2:(2014某某)(本小题满分13分)已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭,x R ∈. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】 (1) π(2)41,21-本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.(Ⅰ)解:由已知,有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +==所以,f x 的最小正周期T==例3:(2014新课标2 理科).函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三:三角函数的图象与性质例4:设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求;(2): 求函数的单调区增区间例5:函数在区间[]上的最大值为1,求探究四:三角函数的值域例6:+)例7:sinx+cosx+sinxcosx+1 ,x]例8:一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法:通过解不等式最后化成一个三角函数值的X围,再利用三角函数的图象或三角函数线求解,若需要解三角不等式组,要注意运用数轴取交集;2、求三角函数的值域或最值常用方法:(1)将三角函数关系式化成一角一函数的形式,利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解;(2)将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式,利用配方或二次函数的图象求解,要注意变量的X围;(3)数形结合法、换元法。
三角函数图像与性质正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).函数 y =sin xy =cos xy =tan x图像定义域 R R{x |x ∈R ,且x ≠ k π+π2,k ∈Z }值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎡2k π-π2,2k π+⎦⎤π2为增;[ 2k π+⎦⎤π2,2k π+3π2为减[2k π,2k π+π]为 减;[2k π-π,2k π]为增⎝⎛⎭⎫k π-π2,k π+π2为增对称 中心 (k π,0) ⎝⎛⎭⎫k π+π2,0⎝⎛⎭⎫k π2,0对称轴x =k π+π2x =k π无1.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.2.研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件. [试一试]1.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π4-x 的定义域是________.2.函数y =sin x ⎝⎛⎭⎫-π4≤x ≤3π4的值域是________.1.三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间的不同: (1)y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4;(2)y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-2x . 2.求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y =A sin(ωx +φ)的形式,通过分析ωx +φ的范围,结合图像写出函数的值域; (2)换元法:把sin x (cos x )看作一个整体,化为二次函数来解决. [练一练]1.函数y =|sin x |的一个单调增区间是________.2.(2013·天津高考)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为________.考点一三角函数的定义域与值域1.函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域为________.2.(2014·湛江调研)函数y =lg(sin x )+ cos x -12的定义域为________.3.(1)函数y =2cos 2x +5sin x -4的值域为________.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6时,函数y =3-sin x -2cos 2x 的最小值是________,最大值是________.[类题通法]1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图像来求解. 2.三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求;(2)把所给的三角函数式变换成y =A sin(ωx +φ)的形式求值域; (3)把sin x 或cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域; (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域.考点二三角函数的单调性[典例] 求下列函数的单调递减区间: (1)y =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4;(2)y =tan ⎝⎛⎭⎫π3-2x .若将本例(1)改为“y =2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x -π4”,如何求解?[类题通法]三角函数的单调区间的求法(1)代换法:所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t ),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间. (2)图像法:函数的单调性表现在图像上是:从左到右,图像上升趋势的区间为单调递增区间,图像下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图像,结合图像易求它的单调区间.提醒:求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域. [针对训练]1.(2013·盐城二模)函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4,x ∈[-π,0]的单调增区间为________.2.(2013·苏北四市联考)若函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤-2π3,2π3上单调递增,则ω的最大值为______.考点三三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有:(1)求三角函数的对称轴或对称中心; (2)由三角函数的对称性求参数值; (3)三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1.(2013·扬州期末)已知函数f (x )=-2sin 2x +23sin x · cos x +1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心;(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,π3时,求f (x )的最大值和最小值.角度二 由三角函数的对称性求参数值2.(2014·连云港期末)若函数y =3sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3,0中心对称,则φ=________.3.已知ω>0,函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π3的一条对称轴为x =π3,一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12,0,则ω的最小值为______.角度三 三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90°,KL =1,则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______.[类题通法]1.若f (x )=A sin(ωx +φ)为偶函数,则当x =0时,f (x )取得最大或最小值. 若f (x )=A sin(ωx +φ)为奇函数,则当x =0时,f (x )=0.2.对于函数y =A sin(ωx +φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x =x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断.[课堂练通考点]1.(2014·常州统考)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的单调增区间是________.2.已知函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6(ω>0)的最小正周期为π,则f (x )的单调递增区间为________.3.函数y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调减区间为________.4.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图像与x 轴交点的坐标是________.5.(2013·南京二模)对函数f (x )=x sin x ,现有下列命题: (1)函数f (x )是偶函数;(2)函数f (x )的最小正周期是2π;(3)点(π,0)是函数f (x )的图像的一个对称中心;(4)函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤-π2,0上单调递减. 其中是真命题的是________(填序号).。
三角函数的图像与性质先将y =sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω>0),再沿x 轴向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0=平移ωϕ||个单位,便得y =sin(ωx +ϕ)的图象。
5.由y =A sin(ωx +ϕ)的图象求其函数式:给出图象确定解析式y =A sin (ωx +ϕ)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-ωϕ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准..第一个零点的位置。
6.对称轴与对称中心:sin y x =的对称轴为2x k ππ=+,对称中心为(,0) k k Z π∈;cos y x =的对称轴为x k π=,对称中心为2(,0)k ππ+;对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;8.求三角函数的周期的常用方法:经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
9.五点法作y =A sin (ωx +ϕ)的简图: 五点取法是设x =ωx +ϕ,由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值,再描点作图。
二.典例分析考点一:三角函数的定义域与值域典题导入(1)(2013·湛江调研)函数y =lg(sin x )+cos x -12的定义域为________.(2)函数y =sin 2x +sin x -1的值域为( )A . B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-54,-1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-54,1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,54(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x -12≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x ≥12,解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π+2k π,-π3+2k π≤x ≤π3+2k π(k ∈Z ),∴2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z ,∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z .(2)y =sin 2x +sin x -1,令sin x =t ,则有y =t 2+t -1,t ∈,画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t =-12及t =1时,函数取最值,代入y =t 2+t -1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-54,1.(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,试求其值域.解:令t =sin x ,则t ∈.∴y =t 2+t -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫t +122-54.∴y ∈.∴函数的值域为.由题悟法1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用sin x 、cos x 的值域;(2)形式复杂的函数应化为y =A sin(ωx +φ)+k 的形式逐步分析ωx +φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2));(3)换元法:把sin x 或cos x 看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2)).以题试法1. (1)函数y =2+log 12x +tan x 的定义域为________.(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-332,332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-332,3解析:(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2+log 12x ≥0,x >0,tan x ≥0,x ≠k π+π2,k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4,k π≤x <k π+π2k ∈Z .利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2,或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3. 答案:(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2,或π≤x ≤4 (2)B考点二:三角函数的单调性典题导入(2012·华南师大附中模拟)已知函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2x ,求:(1)函数的周期;(2)求函数在上的单调递减区间.由y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2x 可化为y =-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3. (1)周期T =2πω=2π2=π.(2)令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .所以x ∈R 时,y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3-2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z .从而x ∈时, y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π,-7π12,⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点:(1)形如y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把ωx +φ看作是一个整体,由-π2+2k π≤ωx +φ≤π2+2k π(k ∈Z )求得函数的增区间,由π2+2k π≤ωx +φ≤3π2+2k π(k ∈Z )求得函数的减区间.(2)形如y =A sin(-ωx +φ)(A >0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把x 的系数变为正数,得到y =-A sin(ωx -φ),由-π2+2k π≤ωx -φ≤π2+2k π(k ∈Z )得到函数的减区间,由π2+2k π≤ωx -φ≤3π2+2k π(k ∈Z )得到函数的增区间.(3)对于y =A cos(ωx +φ),y =A tan(ωx +φ)等,函数的单调区间求法与y =A sin(ωx +φ)类似.以题试法2.(1)函数y =|tan x |的增区间为________.(2)已知函数f (x )=sin x +3cos x ,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7,b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,c =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,则a ,b ,c的大小关系是( )A .a <b <cB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a解析:(1)作出y =|tan x |的图象,观察图象可知,y =|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π,k π+π2,k ∈Z . (2)f (x )=sin x +3cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6上单调递增,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,而c =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=2sin2π3=2sin π3=f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7, 所以c <a <b .答案:(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π,k π+π2,k ∈Z (2)B考点三:三角函数的周期性与奇偶性典题导入(2012·广州调研)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3π2(x ∈R ),给出下面四个命题:①函数f (x )的最小正周期为π;②函数f (x )是偶函数;③函数f (x )的图象关于直线x =π4对称;④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数.其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +3π2=-cos 2x ,则其最小正周期为π,故①正确;易知函数f (x )是偶函数,②正确;由f (x )=-cos 2x 的图象可知,函数f (x )的图象不关于直线x =π4对称,③错误;由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数,故④正确.综上可知,选C.C由题悟法1.三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换,再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性;也可以根据图象做判断.2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义;(2)利用公式:y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2π|ω|,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为π|ω|; (3)利用图象. 3.三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.以题试法3.(1)(2013·青岛模拟)下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上为减函数的是( ) A .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2 B .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2C .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2D .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )=sin ax +cos ax (a >0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8,0B .(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-18,0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18,0 解析:(1)选A 对于选项A ,注意到y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2=cos 2x 的周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上是减函数.(2)选C 由条件得f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax +π4,又函数的最小正周期为1,故2πa =1,∴a=2π,故f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx +π4.将x =-18代入得函数值为0.板书设计 三角函数的图像与性质1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的单调区间3.函数Bx A y ++=)sin(ϕω),(其中00>>ωA 4.对称轴与对称中心 5.五点法作图教学三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一,复习时,要让学生熟练记忆三角函数的图。