第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览

第9章 多元函数微分法及应用第2节 偏导数函数在点处对y 的偏导数定义为),(y x f z =),00y x （yy x f y y x f y ∆∆+→∆),(-),(lim 00000记法：),(,,00,,,000000y x f Z y f yz y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D 内连续，那么),(y x f z =x y z∂∂∂2y2∂∂∂x z在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

*拉普拉斯方程：①满足；22ln y x z +=0y2222=∂∂+∂∂zx z ②满足。

)(,1222z y x r r u ++==0zy 222222=∂∂+∂∂+∂∂u u x u 第3节 全微分全增量：)(),(),(),(22y x y B x A y x f y y x x f z ∆+∆=+∆+∆=-∆+∆+=∆ρρο全微分：y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=习惯上分别记作dx,dy,并分别称自变量x,y 的微分。

y x ∆∆,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加定理。

zzu y y u x x u du ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=第4节 多元复合函数的求导法则定理1：如果函数及都在点t 可导，函数在对应点（u,v)具有)(t u ϕ=)(t v ψ=),(v u f z =连续导数，则复合函数在点t 可导，且有全导数：)](),([t t f z ψϕ=dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=全微分形式不变性：设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果u,v 又是),(v u f z =dv vzdu u z ∂∂+∂∂=dz 中间变量，即，且这个函数也具有连续偏导数，则复合函数),(),,(y x v y x u ψϕ==的全微分为，无论u,v 是自变量还是中间变量，)],(),,([y x y x f z ψϕ=dy yzdx z ∂∂+∂∂=x dz 函数的全微分形式是一样的。

2 x y 4
2 2
2 x y
所求定义域为
D {( x, y ) | 2 x y 4, x y }.
2 2 2
（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
D ，对于任意 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y 为纵坐 x 为横坐标、 z f ( x , y ) ，这样，以 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n


内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) D ，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z 是变量x , y 的二元函数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ，若
k 有关，则可断言极限不存在； 极限值与
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。

如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。

可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。

7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。

定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。

如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。

解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。

E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数

多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。

对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。

对于一般的 n 元函数也可类似定义。

2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。

一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。

3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。

4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。

二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。

2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。

3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。

三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。

在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。

2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。

梯度为零的点可能为极值点。

(n 1) !
x)
h n 1
(0 1)
推广
多元函数泰勒公式
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记号 (设下面涉及的偏导数连续):
•
(h
x
k
y
)
f
(x0 ,
y0 )
表示
h
f x (x0 ,
y0 )
k
f y (x0 ,
y0 )
•
(h
x
k
y
)2
f
(x0 ,
y0 ) 表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
*第九节
第九章
二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
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一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f
( x0
h)
f (x0 )
f (x0 )h
f (x0 ) h2 2!
f
(n) (x0 ) hn n!
f
(n1) (x0
x y)4
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二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 ) 则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值 A < 0 时取极大值;

设有点集 E 及一点 P :
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
当函数在此点可微时那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在且有coscoscos设方向l的方向角为定义设函数内具有一阶连续偏导数则对于每一点最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题sincossincos上的单位向量由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值
x
y
图形为
空间中的超曲面.
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有

则称 A 为函数
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)

f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导

第九章 多元函数微分法及其应用§8? 1 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集二元的序实数组(x ? y )的全体? 即R 2?R ?R ?{(x ? y )|x ? y ?R }就表示坐标平面? 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合? 称为平面点集? 记作 E ?{(x ? y )| (x ? y )具有性质P }?例如? 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ?{(x ? y )| x 2?y 2?r 2}?如果我们以点P 表示(x ? y )? 以|OP |表示点P 到原点O 的距离? 那么集合C 可表成 C ?{P | |OP |?r }? 邻域?设P 0(x 0? y 0)是xOy 平面上的一个点? ?是某一正数? 与点P 0(x 0? y 0)距离小于?的点P (x ? y )的全体? 称为点P 0的?邻域? 记为U (P 0? ??? 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或})()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U ?邻域的几何意义? U (P 0? ?)表示xOy 平面上以点P 0(x 0? y 0)为中心、? >0为半径的圆的内部的点P (x ? y )的全体?点P 0的去心?邻域? 记作) ,(0δPU? 即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U?注? 如果不需要强调邻域的半径?? 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域? 点P 0的去心邻域记作)(0P U?点与点集之间的关系?任意一点P ?R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种?(1)内点? 如果存在点P 的某一邻域U (P )? 使得U (P )?E ? 则称P 为E 的内点? (2)外点? 如果存在点P 的某个邻域U (P )? 使得U (P )?E ??? 则称P 为E 的外点?(3)边界点? 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点? 也有不属于E 的点? 则称P 点为E 的边点? E 的边界点的全体? 称为E 的边界? 记作?E ?E 的内点必属于E ? E 的外点必定不属于E ? 而E 的边界点可能属于E ? 也可能不属于E ? 聚点?如果对于任意给定的??0? 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点? 则称P 是E 的聚点? 由聚点的定义可知? 点集E 的聚点P 本身? 可以属于E ? 也可能不属于E ? 例如? 设平面点集E ?{(x ? y )|1?x 2?y 2?2}?满足1?x 2?y 2?2的一切点(x ? y )都是E 的内点? 满足x 2?y 2?1的一切点(x ? y )都是E 的边界点? 它们都不属于E ? 满足x 2?y 2?2的一切点(x ? y )也是E 的边界点? 它们都属于E ? 点集E 以及它的界边?E 上的一切点都是E 的聚点? 开集? 如果点集E 的点都是内点? 则称E 为开集? 闭集? 如果点集的余集E c 为开集? 则称E 为闭集? 开集的例子? E ?{(x ? y )|1<x 2?y 2<2}? 闭集的例子? E ?{(x ? y )|1?x 2?y 2?2}?集合{(x ? y )|1?x 2?y 2?2}既非开集? 也非闭集?连通性? 如果点集E 内任何两点? 都可用折线连结起来? 且该折线上的点都属于E ? 则称E 为连通集? 区域(或开区域)? 连通的开集称为区域或开区域? 例如E ?{(x ? y )|1?x 2?y 2?2}?闭区域? 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域? 例如E ? {(x ? y )|1?x 2?y 2?2}? 有界集? 对于平面点集E ? 如果存在某一正数r ? 使得 E ?U (O ? r )?其中O 是坐标原点? 则称E 为有界点集?无界集? 一个集合如果不是有界集? 就称这集合为无界集?例如? 集合{(x ? y )|1?x 2?y 2?2}是有界闭区域? 集合{(x ? y )| x ?y ?1}是无界开区域? 集合{(x ? y )| x ?y ?1}是无界闭区域? 2? n 维空间设n 为取定的一个自然数? 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )的全体所构成的集合? 即R n ?R ?R ???????R ?{(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )| x i ?R ? i ?1? 2? ?????? n }?R n 中的元素(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )有时也用单个字母x 来表示? 即x ?(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )? 当所有的x i (i ?1? 2? ?????? n )都为零时? 称这样的元素为R n 中的零元? 记为0或O ? 在解析几何中? 通过直角坐标? R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应? 因而R n 中的元素x ?(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量? x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量? 特别地? R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量?为了在集合R n 中的元素之间建立联系? 在R n 中定义线性运算如下?设x ?(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )? y ?(y 1? y 2? ? ? ? ? y n )为R n 中任意两个元素? ??R ? 规定 x ?y ?(x 1? y 1? x 2? y 2? ? ? ? ? x n ? y n )? ?x ?(?x 1? ?x 2? ? ? ? ? ?x n )? 这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间?R n 中点x ?(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )和点 y ?(y 1? y 2? ? ? ? ? y n )间的距离? 记作?(x ? y )? 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ?显然? n ?1? 2? 3时? 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至?R n 中元素x ?(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )与零元0之间的距离?(x ? 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中? 通常将||x ||记作|x |)? 即22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x ?采用这一记号? 结合向量的线性运算? 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x ? 在n 维空间R n 中定义了距离以后? 就可以定义R n 中变元的极限?设x ?(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )? a ?(a 1? a 2? ? ? ? ? a n )?R n ? 如果||x ?a ||?0?则称变元x 在R n 中趋于固定元a ? 记作x ?a ? 显然?x ?a ? x 1?a 1? x 2?a 2? ? ? ? ? x n ?a n ?在R n 中线性运算和距离的引入? 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念? 可以方便地引入到n (n ?3)维空间中来? 例如?设a ?(a 1? a 2? ? ? ? ? a n )?R n ? ?是某一正数? 则n 维空间内的点集 U (a ? ?)?{x | x ? R n ? ?(x ? a )??}就定义为R n 中点a 的?邻域? 以邻域为基础? 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点? 以及开集、闭集、区域等一系列概念? 二? 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V ??r 2h ?这里? 当r 、h 在集合{(r ? h ) | r >0? h >0}内取定一对值(r ? h )时? V 对应的值就随之确定? 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系V RTp =? 其中R 为常数? 这里? 当V 、T 在集合{(V ?T ) | V >0? T >0}内取定一对值(V ? T )时? p 的对应值就随之确定?例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻? 由电学知道? 它们之间具有关系2121R R R R R +=?这里? 当R 1、R 2在集合{( R 1? R 2) | R 1>0? R 2>0}内取定一对值( R 1 ? R 2)时? R 的对应值就随之确定? 定义1 设D 是R 2的一个非空子集? 称映射f ? D ?R 为定义在D 上的二元函数? 通常记为z ?f (x ? y )? (x ? y )?D (或z ?f (P )? P ?D )其中点集D 称为该函数的定义域? x ? y 称为自变量? z 称为因变量?上述定义中? 与自变量x 、y 的一对值(x ? y )相对应的因变量z 的值? 也称为f 在点(x ? y )处的函数值? 记作f (x ? y )? 即z ?f (x ? y )?值域? f (D )?{z | z ?f (x ? y )? (x ? y )?D }?函数的其它符号? z ?z (x ? y )? z ?g (x ? y )等?类似地可定义三元函数u ?f (x ? y ? z )? (x ? y ? z )?D 以及三元以上的函数?一般地? 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D ? 映射f ? D ?R 就称为定义在D 上的n 元函数? 通常记为u ?f (x 1? x 2? ? ? ? ? x n )? (x 1? x 2? ? ? ? ? x n )?D ?或简记为u ?f (x )? x ?(x 1? x 2? ? ? ? ? x n )?D ? 也可记为u ?f (P )? P (x 1? x 2? ? ? ? ? x n )?D ?关于函数定义域的约定? 在一般地讨论用算式表达的多元函数u ?f (x )时? 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域? 因而? 对这类函数? 它的定义域不再特别标出? 例如? 函数z ?ln(x ?y )的定义域为{(x ? y )|x ?y >0}(无界开区域)?函数z ?arcsin(x 2?y 2)的定义域为{(x ? y )|x 2?y 2?1}(有界闭区域)?二元函数的图形? 点集{(x ? y ? z )|z ?f (x ? y )? (x ? y )?D }称为二元函数z ?f (x ? y )的图形? 二元函数的图形是一张曲面?例如 z ?ax ?by ?c 是一张平面? 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面? 三? 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似? 如果在P (x ? y )?P 0(x 0? y 0)的过程中? 对应的函数值f (x ? y )无限接近于一个确定的常数A ? 则称A 是函数f (x ? y )当(x ? y )?(x 0? y 0)时的极限? 定义2设二元函数f (P )?f (x ? y )的定义域为D ? P 0(x 0? y 0)是D 的聚点? 如果存在常数A ? 对于任意给定的正数?总存在正数?? 使得当),(),(0δPU D y x P⋂∈时? 都有 |f (P )?A |?|f (x ? y )?A |??成立? 则称常数A 为函数f (x ? y )当(x ? y )?(x 0? y 0)时的极限? 记为Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(00? 或f (x ? y )?A ((x ? y )?(x 0? y 0))?也记作AP f P P =→)(lim 0或f (P )?A (P ?P 0)? 上述定义的极限也称为二重极限?例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++=? 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ?证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-?可见?? >0? 取εδ=? 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ?即),(),(δO U D y x P⋂∈时? 总有|f (x ? y )?0|???因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ?必须注意?(1)二重极限存在? 是指P 以任何方式趋于P 0时? 函数都无限接近于A ?(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时? 函数趋于不同的值? 则函数的极限不存在? 讨论?函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0? 0)有无极限？ 提示? 当点P (x ? y )沿x 轴趋于点(0? 0)时?0lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ?当点P (x ? y )沿y 轴趋于点(0? 0)时?0lim ) ,0(lim ),(lim)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f ?当点P (x ? y )沿直线y ?kx 有22222022 )0,0(),(1limlimk k x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→? 因此? 函数f (x ? y )在(0? 0)处无极限? 极限概念的推广? 多元函数的极限?多元函数的极限运算法则? 与一元函数的情况类似?例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→? 解?y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅=?1?2?2? 四? 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )?f (x ? y )的定义域为D ? P 0(x 0? y 0)为D 的聚点? 且P 0?D ? 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→? 则称函数f (x ? y )在点P 0(x 0? y 0)连续?如果函数f (x ? y )在D 的每一点都连续? 那么就称函数f (x ? y )在D 上连续? 或者称f (x ? y )是D 上的连续函数?二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去? 例6设f (x ,y )?sin x ? 证明f (x ? y )是R 2上的连续函数?证 设P 0(x 0? y 0)? R 2? ???0? 由于sin x 在x 0处连续? 故???0? 当|x ?x 0|??时? 有 |sin x ?sin x 0|???以上述?作P 0的?邻域U (P 0? ?)? 则当P (x ? y )?U (P 0? ?)时? 显然 |f (x ? y )?f (x 0? y 0)|?|sin x ?sin x 0|???即f (x ? y )?sin x 在点P 0(x 0? y 0) 连续? 由P 0的任意性知? sin x 作为x ? y 的二元函数在R 2上连续? 证 对于任意的P 0(x 0? y 0)?R 2? 因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→?所以函数f (x ,y )?sin x 在点P 0(x 0? y 0)连续? 由P 0的任意性知? sin x 作为x ? y 的二元函数在R 2上连续?类似的讨论可知? 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时? 它们在各自的定义域内都是连续的?定义4设函数f (x ? y )的定义域为D ? P 0(x 0? y 0)是D 的聚点? 如果函数f (x ? y )在点P 0(x 0? y 0)不连续? 则称P 0(x 0? y 0)为函数f (x ? y )的间断点? 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f ? 其定义域D ?R 2? O (0? 0)是D 的聚点? f (x ? y )当(x ? y )?(0? 0)时的极限不存在? 所以点O (0? 0)是该函数的一个间断点?又如? 函数11sin22-+=y x z ? 其定义域为D ?{(x ? y )|x 2?y 2?1}? 圆周C ?{(x ? y )|x 2?y 2?1}上的点都是D 的聚点? 而f (x ? y )在C 上没有定义? 当然f (x ? y )在C 上各点都不连续? 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点? 注? 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点?可以证明? 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数? 连续函数的商在分母不为零处仍连续? 多元连续函数的复合函数也是连续函数?多元初等函数? 与一元初等函数类似? 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数? 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的?例如2221y y x x +-+? sin(x ?y )? 222z y x e ++都是多元初等函数?一切多元初等函数在其定义区域内是连续的? 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域?由多元连续函数的连续性? 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限? 而该点又在此函数的定义区域内? 则)()(lim 00P f P f p p =→?例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim?解? 函数xy yx y x f +=),(是初等函数? 它的定义域为D ?{(x ? y )|x ?0? y ?0}?P 0(1? 2)为D 的内点? 故存在P 0的某一邻域U (P 0)?D ? 而任何邻域都是区域? 所以U (P 0)是f (x ? y )的一个定义区域? 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x ? 一般地? 求)(lim 0P f P P →时? 如果f (P )是初等函数? 且P 0是f (P )的定义域的内点? 则f (P )在点P 0处连续? 于是)()(lim 00P f P f P P =→?例8 求xy xy y x 11lim)0 ,0(),(-+→?解? )11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x ?多元连续函数的性质?性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数? 必定在D 上有界? 且能取得它的最大值和最小值?性质1就是说? 若f (P )在有界闭区域D 上连续? 则必定存在常数M ?0? 使得对一切P ?D ? 有|f (P )|?M ? 且存在P 1、P 2?D ? 使得f (P 1)?max{f (P )|P ?D }? f (P 2)?min{f (P )|P ?D }?性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值?§8? 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z ?f (x ? y )? 如果只有自变量x 变化? 而自变量y 固定? 这时它就是x 的一元函数? 这函数对x 的导数? 就称为二元函数z ?f (x ? y )对于x 的偏导数?定义 设函数z ?f (x ? y )在点(x 0? y 0)的某一邻域内有定义? 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时? 相应地函数有增量f (x 0??x ? y 0)?f (x 0? y 0)?如果极限存在? 则称此极限为函数z ?f (x ? y )在点(x 0? y 0)处对x 的偏导数? 记作0y y x x x z==∂∂?0y y x x x f ==∂∂?0y y x x xz ==? 或),(00y x f x ?例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000?类似地? 函数z ?f (x ? y )在点(x 0? y 0)处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000?记作y y x x y z==∂∂?y y x x y f==∂∂?y y x x yz ==? 或f y (x 0? y 0)?偏导函数? 如果函数z ?f (x ? y )在区域D 内每一点(x ? y )处对x 的偏导数都存在? 那么这个偏导数就是x 、y 的函数? 它就称为函数z ?f (x ? y )对自变量x 的偏导函数? 记作x z ∂∂? x f∂∂? x z ? 或),(y x f x ?偏导函数的定义式?x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0?类似地? 可定义函数z ?f (x ? y )对y 的偏导函数? 记为y z ∂∂? y f∂∂? z y ? 或),(y x f y?偏导函数的定义式?y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0?求x f∂∂时? 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数? 求y f ∂∂时? 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数?讨论? 下列求偏导数的方法是否正确？),(),(00y y x x x x y x f y x f ===?),(),(00y y x x y y y x f y x f ===?0]),([),(000xx x y x f dx d y x f ==? 0]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==?偏导数的概念还可推广到二元以上的函数??例如三元函数u ?f (x ? y ? z )在点(x ? y ? z )处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0?其中(x ? y ? z )是函数u ?f (x ? y ? z )的定义域的内点? 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题?例1 求z ?x 2?3xy ?y 2在点(1? 2)处的偏导数?解 y x x z 32+=∂∂? yx y z 23+=∂∂?8231221=⋅+⋅=∂∂==y x xz?7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz ?例2 求z ?x 2sin 2y 的偏导数?解 y x x z 2sin 2=∂∂? yx y z 2cos 22=∂∂?例3 设)1,0(≠>=x x x z y? 求证? z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂?证 1-=∂∂y yx x z ? x x y z y ln =∂∂?zx x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-?例4 求222z y x r ++=的偏导数?解r x z y x x x r =++=∂∂222? r y z y x y y r =++=∂∂222? 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数)?求证? 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p ?证 因为V RTp =? 2V RT V p-=∂∂?p RT V =? p R T V =∂∂?R pV T =? R V p T =∂∂? 所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p ?例5 说明的问题? 偏导数的记号是一个整体记号? 不能看作分子分母之商? 二元函数z ?f (x ? y )在点(x 0? y 0)的偏导数的几何意义?f x (x 0? y 0)?[f (x ? y 0)]x ?是截线z ?f (x ? y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率? f y (x 0? y 0) ?[f (x 0? y )]y ?是截线z ?f (x 0? y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率?偏导数与连续性? 对于多元函数来说? 即使各偏导数在某点都存在? 也不能保证函数在该点连续? 例如 在点(0? 0)有? f x (0? 0)?0? f y (0? 0)?0? 但函数在点(0? 0)并不连续? 提示?0)0 ,(=x f ? 0) ,0(=y f ?0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x ? 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy df y ?当点P (x ? y )沿x 轴趋于点(0? 0)时? 有0lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ?当点P (x ? y )沿直线y ?kx 趋于点(0? 0)时? 有22222022 )0,0(),(1limlim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→?因此? ),(lim)0,0(),(y x f y x →不存在? 故函数f (x ? y )在(0? 0)处不连续? 类似地? 可定义函数z ?f (x ? y )对y 的偏导函数? 记为y z ∂∂? y f∂∂? z y ? 或),(y x f y?偏导函数的定义式?y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0?二? 高阶偏导数设函数z ?f (x ? y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x =∂∂? ),(y x f y z y=∂∂?那么在D 内f x (x ? y )、f y (x ? y )都是x ? y 的函数? 如果这两个函数的偏导数也存在? 则称它们是函数z ?f (x ? y )的二偏导数? 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z ?f (x ? y )在区域D 内的偏导数f x (x ? y )、f y (x ? y )也具有偏导数? 则它们的偏导数称为函数z ?f (x ? y )的二阶偏导数? 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂? ),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂?),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂? ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂?其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂? ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数?22)(x zx z x ∂∂=∂∂∂∂? y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(? x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(? 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂?同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数? 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数?例6 设z ?x 3y 2?3xy 3?xy ?1? 求22x z ∂∂、33x z∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2? 解 y y y x x z --=∂∂32233? xxy y x y z --=∂∂2392?2226xy x z =∂∂? 2336y x z =∂∂?196222--=∂∂∂y y x y x z ? 196222--=∂∂∂y y x x y z ? 由例6观察到的问题? y x z x y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数z ?f (x ? y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z∂∂∂2在区域D 内连续? 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等?类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数?例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z ?证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=? 所以22y x xx z +=∂∂? 22y x y y z +=∂∂?222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x xz +-=+⋅-+=∂∂?222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂? 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z ?例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u ?其中222z y x r ++=?证? 32211r xr x r x r r xu -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂? 52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂? 同理 5232231r y r yu +-=∂∂? 5232231r z r z u +-=∂∂? 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u xu +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 033)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r ? 提示? 6236333223)()(r x r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂?§8? 3全微分及其应用 一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系??有 偏增量与偏微分?f (x ??x ? y )?f (x ? y )?f x (x ? y )?x ?f (x ??x ? y )?f (x ? y )为函数对x 的偏增量? f x (x ? y )?x 为函数对x 的偏微分? f (x ? y ??y )?f (x ? y )?f y (x ? y )?y ??f (x ? y ??y )?f (x ? y )为函数)对y 的偏增量? f y (x ? y )?y 为函数对y 的偏微分? 全增量? ?z ? f (x ??x ? y ??y )?f (x ? y )?计算全增量比较复杂? 我们希望用?x 、?y 的线性函数来近似代替之? 定义 如果函数z ?f (x ? y )在点(x ? y )的全增量 ?z ? f (x ??x ? y ??y )?f (x ? y ) 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ?其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关? 则称函数z ?f (x ? y )在点(x ? y )可微分? 而称A ?x ?B ?y 为函数z ?f (x ? y )在点(x ? y )的全微分? 记作dz ? 即dz ?A ?x ?B ?y ?如果函数在区域D 内各点处都可微分? 那么称这函数在D 内可微分? 可微与连续? 可微必连续? 但偏导数存在不一定连续? 这是因为?? 如果z ?f (x ? y )在点(x ? y )可微??则 ?z ? f (x ??x ? y ??y )?f (x ? y )?A ?x ?B ?y ?o (?)? 于是 0lim 0=∆→z ρ?从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ??因此函数z ?f (x ? y )在点(x ? y )处连续?? 可微条件?定理1(必要条件)如果函数z ?f (x ? y )在点(x ? y )可微分? 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z∂∂必定存在? 且函数z ?f (x ? y )在点(x ? y )的全微分为yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=? 证 设函数z ?f (x ? y )在点P (x ? y )可微分? 于是? 对于点P 的某个邻域内的任意一点P ?(x ??x ? y ??y )? 有?z ?A ?x ?B ?y ?o (?)? 特别当?y ?0时有f (x ??x ? y )?f (x ? y )?A ?x ?o (|?x |)?上式两边各除以?x ? 再令?x ?0而取极限? 就得 Ax y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim?从而偏导数x z ∂∂存在? 且Ax z =∂∂??同理可证偏导数y z ∂∂存在? 且B y z =∂∂? 所以yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=? 简要证明??设函数z ?f (x ? y )在点(x ? y )可微分? 于是有?z ?A ?x ?B ?y ?o (?)? 特别当?y ?0时有 f (x ??x ? y )?f (x ? y )?A ?x ?o (|?x |)?上式两边各除以?x ? 再令?x ?0而取极限? 就得 Ax x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00?从而x z ∂∂存在? 且A x z =∂∂??同理y z ∂∂存在? 且B y z =∂∂? 所以yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=? 偏导数x z ∂∂、y z∂∂存在是可微分的必要条件? 但不是充分条件?例如??函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0??0)处虽然有f x (0? 0)?0及f y (0? 0)?0??但函数在(0??0)不可微分??即?z ?[f x (0? 0)?x ?f y (0? 0)?y ]不是较?高阶的无穷小?? 这是因为当(?x ? ?y )沿直线y ?x 趋于(0? 0)时??ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x ??定理2(充分条件)如果函数z ?f (x ? y )的偏导数x z ∂∂、y z∂∂在点(x ? y )连续? 则函数在该点可微分?定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数?按着习惯???x 、?y 分别记作dx 、dy ? 并分别称为自变量的微分??则函数z ?f (x ? y )的全微分可写作dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=? 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理? 叠加原理也适用于二元以上的函数? 例如函数u ?f (x ? y ? z ) 的全微分为dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=? 例1 计算函数z ?x 2y ?y 2的全微分?解 因为xy x z 2=∂∂? yx y z 22+=∂∂?所以dz ?2xydx ?(x 2?2y )dy ?例2 计算函数z ?e xy 在点(2? 1)处的全微分?解 因为xy ye x z =∂∂? xyxe y z =∂∂?212e x z y x =∂∂==? 2122ey z y x =∂∂==??所以 dz ?e 2dx ?2e 2dy ?例3 计算函数yze y x u ++=2sin 的全微分?解 因为1=∂∂x u ? yz ze y y u +=∂∂2cos 21? yz ye z u =∂∂?所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(?*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z ?f (x ? y )在点P (x ? y )的两个偏导数f x (x ? y ) ? f y (x ? y )连续? 并且|?x |? |?y |都较小时? 有近似等式?z ?dz ? f x (x ? y )?x ?f y (x ? y )?y ?即 f (x ??x ? y ??y ) ? f (x ? y )?f x (x ? y )?x ?f y (x ? y )?y ?我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算?例4 有一圆柱体? 受压后发生形变? 它的半径由20cm 增大到20? 05cm ? 高度由100cu 减少到99cm ? 求此圆柱体体积变化的近似值?解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V ? 则有V ?? r 2h ?已知r ?20? h ?100? ?r ?0? 05? ?h ??1? 根据近似公式? 有?V ?dV ?V r ?r ?V h ?h ?2?rh ?r ??r 2?h?2??20?100?0? 05???202?(?1)??200? (cm 3)?即此圆柱体在受压后体积约减少了200? cm 3?例5 计算(1? 04)2??02的近似值?解 设函数f (x ? y )?x y ? 显然? 要计算的值就是函数在x ?1?04? y ?2?02时的函数值f (1?04? 2?02)? 取x ?1? y ?2? ?x ?0?04? ?y ?0?02? 由于f (x ??x ? y ??y )? f (x ? y )?f x (x ? y )?x ?f y (x ? y )?y?x y ?yx y ?1?x ?x y ln x ?y ?所以(1?04)2??02?12?2?12?1?0?04?12?ln1?0?02?1?08?例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T l g π=? 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s.?问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T l g π=的全增量的绝对值|Δg |.?由于|Δl |??|ΔT |都很小??因此我们可以用dg 来近似地代替Δg ??这样就得到g 的误差为)21(4322T l T l T δδπ+=?其中?l 与?T 为l 与T 的绝对误差? 把l =100? T =2, ?l =0.1, δT =0.004代入上式? 得g 的绝对误差约为)/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g? ???从上面的例子可以看到??对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为?x 、?y , 即 |Δx |??x , |Δy |??y ,则z 的误差y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||?从而得到z 的绝对误差约为y x z yz x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||?z 的相对误差约为y x z z y z z x z z δδδ∂∂+∂∂=||?§8? 4 多元复合函数的求导法则 设z ?f (u ? v )? 而u ??(t )? v ??(t )? 如何求dt dz？设z ?f (u ? v )? 而u ??(x ? y )? v ??(x ? y )? 如何求x z ∂∂和y z∂∂？1? 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u ??(t )及v ??(t )都在点t 可导? 函数z ?f (u ? v )在对应点(u ? v )具有连续偏导数? 则复合函数z ?f [?(t )? ?(t )]在点t 可导? 且有dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=?简要证明1? 因为z ?f (u ? v )具有连续的偏导数? 所以它是可微的? 即有dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=? 又因为u ??(t )及v ??(t )都可导? 因而可微? 即有dt dt du du =? dt dt dv dv =? 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=? 从而 dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=?简要证明2? 当t 取得增量?t 时? u 、v 及z 相应地也取得增量?u 、?v 及?z ? 由z ?f (u ? v )、u ??(t )及v ??(t )的可微性? 有)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=?t o t t o v z u z dtdv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ?令?t ?0? 上式两边取极限? 即得dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=?注?0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ?推广? 设z ?f (u ? v ? w )? u ??(t)? v ??(t )? w ??(t )? 则z ?f [?(t)? ?(t )? ?(t )]对t 的导数为?dt dww z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=? 上述dt dz称为全导数?2? 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u ??(x ? y )? v ??(x ? y )都在点(x ? y )具有对x 及y 的偏导数? 函数z ?f (u ? v )在对应点(u ? v )具有连续偏导数? 则复合函数z ?f [?(x ? y )? ?(x ? y )]在点(x ? y )的两个偏导数存在? 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂? y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂?推广? 设z ?f (u ? v ? w )? u ??(x ? y )? v ??(x ? y )? w ??(x ? y )? 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂? y ww z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂?讨论?(1)设z ?f (u ? v )? u ??(x ? y )? v ??(y )? 则=∂∂x z ？=∂∂y z ？提示? x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂? dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂?(2)设z ?f (u ? x ? y )? 且u ??(x ? y )? 则=∂∂x z ？=∂∂y z ？提示? x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂? y fy u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂? 这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的? x z∂∂是把复合函数z ?f [?(x ? y )? x ? y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数? x f ∂∂是把f (u ? x ? y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数? y z ∂∂与y f∂∂也有类似的区别?3．复合函数的中间变量既有一元函数? 又有多元函数的情形定理3 如果函数u ??(x ? y )在点(x ? y )具有对x 及对y 的偏导数? 函数v ??(y )在点y 可导? 函数z ?f (u ? v )在对应点(u ? v )具有连续偏导数? 则复合函数z ?f [?(x ? y )? ?(y )]在点(x ? y )的两个偏导数存在? 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂? dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂?例1 设z ?e u sin v ? u ?xy ? v ?x ?y ? 求x z ∂∂和y z∂∂?解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂?e u sin v ?y ?e u cos v ?1?e x y [y sin(x ?y )?cos(x ?y )]??e u sin v ?x ?e u cos v ?1?e xy [x sin(x ?y )?cos(x ?y )]?例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==? 而y x z sin 2=? 求x u ∂∂和y u ∂∂?解 x zz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=? y x y x e y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=? 例3 设z ?uv ?sin t ? 而u ?e t ? v ?cos t ? 求全导数dt dz?解 t zdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=?v ?e t ?u ?(?sin t )?cos t?e t cos t ?e t sin t ?cos t?e t (cos t ?sin t )?cos t ?例4 设w ?f (x ?y ?z ? xyz )? f 具有二阶连续偏导数? 求x w ∂∂及z x w∂∂∂2?解 令u ?x ?y ?z ? v ?xyz ? 则w ?f (u ? v )?引入记号? u v u f f ∂∂='),(1? v u v u f f ∂∂∂='),(12? 同理有2f '?11f ''?22f ''等? 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂?22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=? 注? 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂? 2221222f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂?例5 设u ?f (x ? y )的所有二阶偏导数连续? 把下列表达式转换成极坐标系中的形式? (1)22)()(y u xu ∂∂+∂∂? (2)2222y u x u ∂∂+∂∂? 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u ?f (x ? y )?f (?cos θ? ?sin θ)?F (?? θ)?其中x ??cos θ? y ??sin θ? 22y x +=ρ? x y arctan=θ? 应用复合函数求导法则? 得 xu x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy ux u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=? yu y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρxuy u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u ? 两式平方后相加? 得 22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u xu ? 再求二阶偏导数? 得ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u ? 同理可得ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u ? 两式相加? 得])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u ? 全微分形式不变性? 设z ?f (u ? v )具有连续偏导数? 则有全微分dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=? 如果z ?f (u ? v )具有连续偏导数? 而u ??(x ? y )? v ??(x ? y )也具有连续偏导数? 则dv v z du uz ∂∂+∂∂=? 由此可见? 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数? 它的全微分形式是一样的? 这个性质叫做全微分形式不变性?例6 设z ?e u sin v ? u ?x y ? v ?x ?y ? 利用全微分形式不变性求全微分?解dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=? e u sin vdu ? e u cos v dv ? e u sin v (y dx ?x dy )? e u cos v (dx ?dy )?( ye u sin v ? e u cos v )dx ?(xe u sin v ? e u cos v )dy?e xy [y sin(x ?y )?cos(x ?y )]dx ? e xy [x sin(x ?y )?cos(x ?y )]dy ?§8? 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x ? y )在点P (x 0? y 0)的某一邻域内具有连续偏导数? F (x 0? y 0)?0? F y (x 0? y 0)?0? 则方程F (x ? y )?0在点(x 0? y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y ?f (x )? 它满足条件y 0?f (x 0)? 并有y xF F dx dy -=? 求导公式证明? 将y ?f (x )代入F (x ? y )?0? 得恒等式F (x ? f (x ))?0?等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F ?由于F y 连续? 且F y (x 0? y 0)?0? 所以存在(x 0? y 0)的一个邻域? 在这个邻域同F y ?0? 于是得y xF F dx dy -=? 例1 验证方程x 2?y 2?1?0在点(0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x ?0时y ?1的隐函数y ?f (x )? 并求这函数的一阶与二阶导数在x ?0的值?解 设F (x ? y )?x 2?y 2?1? 则F x ?2x ? F y ?2y ? F (0? 1)?0? F y (0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x 2?y 2?1?0在点(0?1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x ?0时y ?1的隐函数y ?f (x )?y x F F dx dy y x -=-=? 00==x dx dy ?332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=?1022-==x dx y d ? 隐函数存在定理还可以推广到多元函数? 一个二元方程F (x ? y )?0可以确定一个一元隐函数? 一个三元方程F (x ? y ? z )?0可以确定一个二元隐函数?隐函数存在定理2设函数F (x ? y ? z )在点P (x 0? y 0? z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数? 且F (x 0? y 0? z 0)?0? F z (x 0? y 0? z 0)?0 ? 则方程F (x ? y ? z )?0在点(x 0? y 0? z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z ?f (x ? y )? 它满足条件z 0?f (x 0? y 0)? 并有z x F F xz -=∂∂? z y F F y z -=∂∂? 公式的证明? 将z ?f (x ? y )代入F (x ? y ? z )?0? 得F (x ? y ? f (x ? y ))?0?将上式两端分别对x 和y 求导? 得0=∂∂⋅+x z F F z x ? 0=∂∂⋅+y z F F z y ?因为F z 连续且F z (x 0? y 0? z 0)?0? 所以存在点(x 0? y 0? z 0)的一个邻域? 使F z ?0? 于是得z x F F x z -=∂∂? z y F F y z -=∂∂? 例2. 设x 2?y 2?z 2?4z ?0? 求22x z∂∂?解 设F (x ? y ? z )? x 2?y 2?z 2?4z ? 则F x ?2x ? F y ?2z ?4?z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422?3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂?二、方程组的情形 在一定条件下? 由个方程组F (x ? y ? u ? v )?0? G (x ? y ? u ? v )?0可以确定一对二元函数u ?u (x ? y )? v ?v (x ? y )? 例如方程xu ?yv ?0和yu ?xv ?1可以确定两个二元函数22y x y u +=? 22y x x v +=?事实上? xu ?yv ?0 ?u y x v =?1=⋅+u y x x yu ?22y x y u +=? 2222y x x y x y y x v +=+⋅=?如何根据原方程组求u ? v 的偏导数？隐函数存在定理3隐函数存在定理3设F (x ? y ? u ? v )、G (x ? y ? u ? v )在点P (x 0? y 0? u 0? v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数? 又F (x 0? y 0? u 0? v 0)?0? G (x 0? y 0? u 0? v 0)?0? 且偏导数所组成的函数行列式?在点P (x 0? y 0? u 0? v 0)不等于零? 则方程组F (x ? y ? u ? v )?0? G (x ? y ? u ? v )?0在点P (x 0? y 0? u 0? v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u ?u (x ? y )? v ?v (x ? y )? 它们满足条件u 0?u (x 0? y 0)? v 0?v (x 0? y 0)? 并有v u v u v xv xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1? v u v u x ux uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1?v u v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1?v u v u yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1? 隐函数的偏导数:设方程组F (x ? y ? u ? v )?0? G (x ? y ? u ? v )?0确定一对具有连续偏导数的二元函数u ?u (x ? y )? v ?v (x ? y )? 则 偏导数x u ∂∂? x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定?偏导数y u ∂∂? y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定?例3 设xu ?yv ?0? yu ?xv ?1? 求x u ∂∂? x v ∂∂? y u ∂∂和y v∂∂?解 两个方程两边分别对x 求偏导? 得关于x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x u y x v y x u x u ?当x 2?y 2 ?0时? 解之得22y x yv xu xu ++-=∂∂? 22y x xvyu x v +-=∂∂? 两个方程两边分别对x 求偏导? 得关于y u ∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x ?当x 2?y 2 ?0时? 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂? 22y x yvxu yv ++-=∂∂? 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx ? 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu ?解之得 dy y x yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=?dy y x yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=?于是 22y x yv xu xu ++-=∂∂? 22y x yuxv y u +-=∂∂? 22y x xv yu x v +-=∂∂? 22y x yv xu yv ++-=∂∂? 例? 设函数x ?x (u ? v )? y ?y (u ? v )在点(u ? v )的某一领域内连续且有连续偏导数? 又0),(),(≠∂∂v u y x ?(1)证明方程组在点(x ? y ? u ? v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u ?u (x ? y )? v ?v (x ? y )?(2)求反函数u ?u (x ? y )? v ?v (x ? y )对x ? y 的偏导数?解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F ?则按假设 .0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3? 即得所要证的结论?(2)将方程组(7)所确定的反函数u ?u (x ? y )?v ?v (x ? y )代入(7)? 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x ?将上述恒等式两边分别对x 求偏导数?得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x v v x x u u x 01?由于J ?0? 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1? u yJ xv ∂∂-=∂∂1? 同理? 可得v x J yu ∂∂-=∂∂1? u xJ y v ∂∂=∂∂1? §8? 6多元函数微分学的几何应用一? 空间曲线的切线与法平面设空间曲线?的参数方程为x ??(t )? y ??(t )? z ??(t )这里假定?(t )? ?(t )? ?(t )都在[?? ?]上可导?在曲线?上取对应于t ?t 0的一点M 0(x 0? y 0? z 0)及对应于t ?t 0??t 的邻近一点M (x 0+?x ? y 0+?y ? z 0+?z )? 作曲线的割线MM 0? 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000? 当点M 沿着?趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线? 考虑t zz z t y y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000? 当M ?M 0? 即?t ?0时? 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-? 曲线的切向量? 切线的方向向量称为曲线的切向量? 向量T ?(??(t 0)? ??(t 0)? ??(t 0))就是曲线?在点M 0处的一个切向量?法平面? 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线?在点M 0 处的法平面? 其法平面方程为 ??(t 0)(x ?x 0)???(t 0)(y ?y 0)???(t 0)(z ?z 0)?0?例1 求曲线x ?t ? y ?t 2? z ?t 3在点(1? 1? 1)处的切线及法平面方程?解 因为x t ??1? y t ??2t ? z t ??3t 2? 而点(1? 1? 1)所对应的参数t ?1? 所以T ?(1? 2? 3)?于是? 切线方程为312111-=-=-z y x ? 法平面方程为(x ?1)?2(y ?1)?3(z ?1)?0? 即x ?2y ?3z ?6?讨论?1? 若曲线?的方程为y ??(x )? z ??(x )?问其切线和法平面方程是什么形式?提示? 曲线方程可看作参数方程? x ?x ? y ??(x )? z ??(x )? 切向量为T ?(1? ??(x )? ??(x ))? 2? 若曲线?的方程为F (x ? y ? z )?0?G (x ? y ? z )?0?问其切线和法平面方程又是什么形式?提示? 两方程确定了两个隐函数? y ??(x )? z ??(x )? 曲线的参数方程为x ?x ? y ??(x )? z ??(x )? 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz ?? 切向量为) , ,1(dx dz dx dy =T ?例2 求曲线x 2?y 2?z 2?6? x ?y ?z ?0在点(1? ?2? 1)处的切线及法平面方程?解 为求切向量? 将所给方程的两边对x 求导数? 得。

第九章 多元函数微分法及其应用一、基础全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y xy∂∂=+∂∂二、性质1、 概念关系：偏导数连续⇒可微⇒⎩⎨⎧函数连续偏导数存在2、 复合函数求导：链式法则3、(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 三、应用1. 实际问题----多元函数极值最值问题 I. 无条件极值及其最值的求法：求函数),(y x f z =的极值及最值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，● 若02>-B AC，则⎩⎨⎧→<→>函数有极大值0函数有极小值0A A ； ● 若02<-B AC ，函数没有极值； ● 若02=-B AC ，不定。

II. 有条件极值----拉格朗日乘数法min(max)z=f(x,y,z),求s.t.φ(x,y,z)=0 解：L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λΦ(x,y,z)2. 几何应用③④⑤⑥ I. 曲线的切线与法平面：①曲线⎪⎩⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x ②II. 曲面的切平面与法线：曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-。

第九章 多元函数微分法及其应用总结多元函数的概念对应规则、定义域、值域、图形二重极限()()()00,,lim,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别极限的计算（P61、P62、P63（6））二元函数的连续性 ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=二元函数(),f x y 在区域D连续在有界闭区域上的连续函数(),f x y 的性质 有界性、有最值、介值性多元初等函数多元初等函数在其定义域内是连续函数 多元函数的偏导数 (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的定义例如，计算()()00000,,lim x f x x y f x x y x ∆→+∆--∆∆ (),z f x y =在点()00,x y 处对x ，y 的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的几何解释(),z f x y =对x ，y 的偏导数(),x f x y ，(),y f x y 的定义 算法练习（P69、1，4） 多元函数的高阶偏导数（P69、6（1），7，8） 多元函数的全微分 (),z f x y =，()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数算法练习（P75、1（1），2，3）多元复合函数的求导法则树形法则（P82、1，3，8，10）隐函数求导法则若(),0F x y =，则x y F dy dx F =-若(),,0F x y z =， 则x z F z x F ∂=-∂，y z F z y F ∂=-∂算法练习（P89、1，3（补充计算dz ）） 多元函数求极值算法练习（P118、2，5，7，P116、例7）曲面(),z f x y =或者 (),,0F x y z =在点()000,,x y z 的切平面方程、法线方程 算法练习（P99、例6，例7，P100、8，9） 曲线()x x t =，()y y t =，()z z t =或者()y y x =，()z z x =在点()000,,x y z 处的切线方程、法平面方程算法练习（P94、例4，P100、4）例如，求曲线x t =，22y t =，3z t =的点，满足条件：该点切向量平行于平面1x y z ++=。

第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览1、求函数的定义域：略2、求函数的表达式：略。

如：已知(,)f x y xy +，求(,)f x y3、计算函数的极限：可以用一元函数极限的知识以及使用两边夹定理。

4、证明多元函数极限不存在：通常是取两条不同的路径，计算出函数在这两条路径上的极限不等即可。

也可设,y kx y kx ==2等，证明极限值和k 有关。

如：,(,),xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩2222220005、讨论分界函数在分解点的连续性：只需按照连续的定义，lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=000。

6、计算函数(,)z f x y =的偏导数：只需将其中一个变量看作常数，对另一个变量求导。

7、计算分界函数在分界点的偏导数：一般需用偏导数的定义做。

(,)(,)limx x xx y y f x x y f x y z x=∆→=+∆-=∆0000000(,)(,)limx x yy y y f x y y f x y z y=∆→=+∆-=∆00000008、复合函数求偏导数口诀：分叉相加、分段相乘、单路全导、多路偏导。

9、隐函数求偏导数：(,)x y F dy F x y dx F =⇒=-0或y xF dydx F =- (,,),y x z z F F z z F x y z x F y F ∂∂=⇒=-=-∂∂0或y xF dydx F =-（假设(,)z f x y =）(,,,)(,,,)F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩0方程组两边分别对,x y 求偏导数，再用消元法求解即可。

（假设(,),(,)u u x y v v x y ==10、全微分的计算：(,)x y z f x y dz z dx z dy =⇒=+(,,)x y z u f x y z du u dx u dy u dz =⇒=++(,)z f x y =全微分存在的判断方法一：,x y z z 存在且连续(,)z f x y =全微分存在的判断方法二：需要证明()limx y z z x z y ρρ→∆-∆+∆=00，其中(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-，ρ=11、计算二阶偏导数：xx z 是x z 对x 的偏导数，xy z 是x z 对y 的偏导数。

第9章多元函数微分学知识点总结1.多元函数的偏导数：-定义：对于多元函数来说，当变量除了要考虑沿着自变量方向变化外，还要考虑其他自变量是否保持不变，用偏导数来表示。

-计算方法：求各个偏微分时，将其他自变量视为常数，只对需要求的变量求导即可。

2.全微分：-定义：全微分是多元函数在其中一点上沿各个偏导数方向的和所对应的微分形式。

-计算方法：使用偏导数对各个自变量求导数，并乘以相应的变化量，再相加得到全微分。

3.方向导数：-定义：方向导数是函数在其中一点上沿着指定方向的变化率，表征了函数沿着该方向上变化的快慢程度。

-计算方法：先对多元函数求偏导数，然后将其与方向向量进行点积运算，再乘以方向向量的模长。

4.梯度：-定义：梯度是一个向量，其方向是函数在其中一点增大最快的方向，大小表示函数在该点变化率的大小。

-计算方法：求多元函数在其中一点的各个偏导数，并写成一个向量，即为该点的梯度。

5.方向导数与梯度的关系：-定理：函数在其中一点上的方向导数等于该点的梯度向量与方向向量的点积。

6.极值点：-定义：多元函数的极值点是指函数取得极大值或极小值的点。

-判定方法：通过求偏导数等于零的点，再利用二阶导数进行判定。

7.拉格朗日乘数法：-定义：拉格朗日乘数法是求解给定条件下多元函数的极值问题的一种方法。

-使用方法：通过构造拉格朗日函数，利用偏导数为零和给定条件进行求解。

8.海森矩阵：-定义：海森矩阵是多元函数的二次导数在其中一点上的矩阵形式。

-计算方法：对多元函数的各个偏导数再次求偏导数，并按照顺序组成矩阵。

9.二次型：-定义：二次型是多元函数二阶偏导数在其中一点上的二次齐次多项式。

-判定方法：通过海森矩阵的特征值进行判别，判断其正负来决定函数在该点上的行为。

以上是第9章多元函数微分学的主要知识点总结。

掌握了这些知识点，我们可以更好地理解多元函数的变化规律，求解问题时也能够更有效地运用微分学的方法进行分析和计算。