(完整版)整式乘除与因式分解培优精练专题答案

整式乘除与因式分解培优精练专题答案一．选择题（共9小题）222之值的十位数字为何？（+88805）+77707 1．（2014?台湾）算式99903A．1 B．2 C．6 D．8222分析：的后两位数，再相加即可得到答案．、、8880577707分别得出999032解答：的后两位数为09，解：999032的后两位数为25，888052的后两位数为49，7770709+25+49=83，所以十位数字为8，故选：D．32）a正确的结果是（2014?盘锦）计算（2a）?2．（6777 D．B．C．A． 4 43aaa a根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即分析：可．解答：解：原式=7 =4a，故选：B．22 +b）的值为（，．（2014?遵义）若a+b=2ab=2，则a3D ．B．4 C．6A． 3 2222分析：﹣2ab利用a代入数值求解．+b（=a+b）222解答：解：a4=4+b（=a+b），﹣2ab=8﹣．故选：B22+m，则a，m的值分别是（））?4．（2014拱墅区二模）如果ax+2x+=（2x+D ，B A．2，0．40C．．4，2，运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解答：22∵解：ax+2x+，+2x+=4x+m∴，．解得．故选D．）），则有（（a＞b＞05．（2014?江阴市模拟）如图，设2＞2D．k1．B．C．＜k＜A22解答：a﹣b）解：甲图中阴影部分的面积=a﹣b，，乙图中阴影部分的面积=a （=，＞∵ab＞0，，∴2∴1＜k＜．故选：C．）的值为（，则．6（2012?鄂州三月调考）已知法确定C．无D．．．A B解答：，解：∵a+=2）两边平方得：（a+∴=10，2 =10，a展开得：++2a?2a∴，2=8=10+﹣222）∴a﹣（2=6，﹣2=8﹣=a+2a﹣=a?+，±=﹣a∴．故选C．）7．已知，则代数式的值等于（D ．C．A．B．分析：两边平方并整理成的平先判断a是正数，然后利用完全平方公式把方的形式，开方即可求解．解答：，解：∵22+a，且﹣a∴＞0 ，=12+2+a∴=5，2 =5即（+|a|），开平方得，+|a|=．故选C．201232012232，则+…+2的值，可令S=1+2+2…滨州）求8．（2012?1+2+2+2+2+2+20122320134232013+5+5+2S=2+2．仿照以上推理，计算出+21+5+5+2+…+2S=2，因此2S﹣…﹣1 ）的值为（20132012．．D A．B．C1 ﹣1 ﹣55201223分析：S﹣+5整理即可得解．，用根据题目提供的信息，设S=1+5+55S+5+…2013201242332解答：5S=5+5+5，+5+…解：设S=1+5+5+5+5+…+5，则2013因此，5S﹣S=5﹣1，．S= C．故选222bc﹣+c﹣ab，那么代数式c=x+19，x+20b=，x+21郑州）已知2004．9（?a=a+b ac的值是（）﹣ 1 ．B 4 A．3．D 2 ．C压轴题．：专题．，c=﹣1﹣b=1，a﹣三个式子消去分析：已知条件中的几个式子有中间变量x，x即可得到：a ﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．b﹣c=222解答：﹣ac，﹣ab解：法一：a﹣+bbc+c ），+c（c﹣aa﹣b）+b（b﹣c）=a（，，c=x+21又由a=x+20，b=x+19，得（a﹣bx+20﹣）=x﹣19=1 ，2，（c﹣a）=1（同理得：b﹣c）=﹣．x+19）+x+21=3所以原式=a﹣2b+c=x+20﹣2（B故选．222 bc法二：a﹣+b，+cac﹣ab﹣222 +2b，+2c2ac﹣2ab=（2a﹣2bc﹣）222222，）]）+（b=[（a﹣2ab+b﹣）+（a﹣2ac+c2bc+c222，]）﹣c=[（a﹣b）+（a﹣c）（+b．1+1+4）=3=×（故选B．二．填空题（共9小题）2）?江西样卷）已知（x+5（x+n）=x5+mx ﹣，则m+n=3．201410．（n的值．把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m、分析：2解答：x+5n5+n）x+n）（）=x+（解：展开（x+52=x（x+5）（x+n）∵+mx﹣，5 ﹣5，5+n=m∴，5n= m=4n=∴﹣1，．∴1=3．m+n=4﹣3故答案为：23．，则﹣徐州一模）已知2014．11（?x=1x+=分析：2，然后利用完全平方公式展开，=1）﹣x的两边分别平方，可得（=1﹣x首先将．2变形后即可求得x+的值．222代入，即可+2，然后将）﹣x或者首先把x﹣+凑成完全平方式x=1+=（x2 +求得x的值．解答：x﹣=1，解：方法一：∵2）x﹣∴（，=12即x，+﹣2=12x∴+=3．，x﹣=1∵方法二：22x∴（x﹣）+2，+=2 +2，=1 =3．故答案为：3．226．12（2011?平谷区二模）已知，那么x+y．=2分析：用（x+y）与xy的代数式表示，然后把x+y，首先根据完全平方公式将（x+y）xy的值整体代入求值．解答：解：∵x+y=，xy=2，222）∴（x+y+2xy，+y =x2210=x∴+4，+y22x∴=6．+y故答案是：6．点评：本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：222．2ab+b=a ±±（ab）mn3m+2n=72=3，则10．201013．（?贺州）已知10=2，103m+2n3m2nm3n232解答：．9=72×=83?=2）10（）10（=10=1010解：本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相点评：乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．222 a﹣+b+c的值等于=1，则ab+bc+ca．14．（2005?宁波）已知a﹣b=b﹣c=，c），（﹣a﹣c）的平方和，然c的值，再利用完全平方公式求出（a﹣b），（b求出分析：先a﹣后代入数据计算即可求解．解答：解：∵a﹣b=b﹣c=，22）﹣b∴（a=，a﹣c=，，=（b﹣c）222222a∴﹣2ac=a，2bc=+c2ab=﹣，b +c，﹣+b222a∴2（）﹣2（ab+bc+ca）+b++==，+c∴2﹣2（ab+bc+ca）=，，=ab+bc+ca）∴1﹣（．∴ab+bc+ca=﹣=﹣故答案为：﹣．点评：本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由a﹣b=b﹣c=，得到a﹣c=，然后对a﹣b=，b﹣c=，a﹣c=三个式子两边平方后相加，化简求解．22222，则数a，b747b=888，﹣30c，c=1053按从小到大厦门）设15．（2014?a=19﹣×918，的顺序排列，结果是a＜c＜b．考点：因式分解的应用．分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．2解答：×918=361×918，：a=19 解22=（888﹣30）×（b=888888+30﹣30）=858×918，22=（1053+747）×（1053﹣747）=1800×306=600c=1053747﹣×918，所以a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．16．（1999?杭州）如果a+b+ ．03c=﹣a+2b那么，，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0分析：先移项，b、c的值后，再代值计算．根据非负数的性质求出a、解答：解：原等式可变形为：5 a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣+|）（b+1﹣1|﹣4﹣﹣2+5=0 （a2）+2（a﹣2）﹣+1+|﹣1|=04b+1）﹣+4+（22（11|=0﹣；）﹣（+|2）+﹣，2=0﹣1=0﹣，﹣1=0即：，，=1∴，，=1=2∴a，c﹣1=1﹣2=4，b+1=1，，c=2；解得：a=6，b=0 ×3c=6+0﹣32=0．﹣∴a+2b=117．已知x﹣，则．=分析：2的值，﹣把x=1两边平方求出x+再把所求算式整理成的形式，然后代入数据计算即可．解答：解：∵x﹣=1，2x∴+﹣2=1，2x∴+=1+2=3，===．故应填：．22=1，则（2008﹣a）?（2007）a﹣a）=0．﹣（a200818．已知（﹣）+2007解答：22，=1）a﹣2007（+）a﹣2008（∵解：22）∴（2008﹣a ，）（2007﹣a）（2007﹣a）﹣=1﹣2（2008a2007﹣2（2008﹣a）（﹣a）+2，）（2007﹣aa﹣2007+a））=1﹣2（2008﹣a即（2008﹣，2007﹣a）=0整理得﹣2（2008﹣a）（．2007﹣a）=0∴（2008﹣a）（8三．解答题（共小题）22 4或﹣2（k﹣1）ab+9b．是一个完全平方式，那么k=19．如果a﹣2解答：2222，3b）﹣2（k﹣1）解：∵a﹣2（k﹣1）ab+9bab+=a （，×3b）k﹣1ab=±2×a∴﹣2（，﹣3∴k﹣1=3或k﹣1= ．﹣2解得k=4或k= 2．或﹣即k=42．故答案为：4或﹣本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，点评：熟记完全平方公式对解题非常重要．x+3x．已知3．=8，求3203xx+3解答：?3：3=3解27×=8 ．=216 点评：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．3m+2n1m232n5n+13m2﹣﹣﹣﹣（﹣21．计算：ab（abb）））+（a 分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．3m+253m632n+26m43nn﹣﹣﹣﹣解答：（b）（﹣）+a 解：原式=abba，436m3n36m43n﹣﹣﹣﹣+a）b=a（﹣b，46m3n3n36m43﹣﹣﹣﹣，bb﹣a=a =0．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是点评：解题的关键．±1++是一个有理式A的平方，那么，A=n22．已知是正整数，．解答：解：1++=，22222222，+2n+1+n+n）n+1（=n+n）n+1（+）n+1（n分子：22+2n（n+1））+1，=n （n+12，]（n+1）+1=[n∴分子分母都是完全平方的形式，±．∴A=．故答案为：±为正整数，求x+y的最大值和最小值．，其中x，y23．已知2008=分析：可能的、yxy=2009，再根据x首先根据2008=，y为正整数，确定x可知y、73、、9．通过x取值．根据xy的乘积的个位是9，确定x、y的个位可能是1、的十位数最大xx取过的值，y也有可能，故只取x即可，都具有同等的地位，那么．因而不会超过5、39、41、4327、29、31、33、37、、、就x取值可能是111、13、17、1921、23、47、49．就这几种情况讨论即可．解答：2008=解：∵1 2008=xy﹣2009=xy∴9 的个位数是∵x，y为正整数，并且乘积是20099 的个位可能是y1、3、7、因而x、①当x的个位是1时，x=1y=2009显然成立，，y不存在，x=11，不存在，x=21，y yx=31，不存在，，y=49，x=41 3时②当x的个位是不存在，，x=3y 不存在，x=13，y x=23，y不存在，x=33，y 不存在，不存在；，x=43y 当的个位是7时③y=287 x=7，不存在x=17，y x=27，y不存在yx=37，不存在不存在；，x=47y 时9的个位是x当④．x=9，y不存在x=19，y不存在x=29，y不存在x=39，y不存在x=49，y=41．故可能的情况是①x=1，y=2009或x=2009，y=1，x+y=2010②x=7，y=287或x=287，y=7，x+y=7+287=394③x=41，y=49或x=49，y=41，x+y=41+49=90故x+y的最大值是2010，最小值是90?内蒙古）计算：24．（200012347=n+1，12345=n﹣1，解答：解：由题意可设字母n=12346，那么2）．）（n+1于是分母变为nn﹣（﹣1 应用平方差公式化简得22222 +1=1﹣﹣1n）=nn，﹣（n 1，即原式分母的值是．所以原式=246902242 0，求1﹣ab的值．+2a﹣1=0，b﹣2b≠﹣1=0a25．设，且22分析：a的题设条件求得b，代入所求的分式化简求值．=解法一：根据1﹣ab﹣≠0224，解得：1=0，由a=﹣1﹣b﹣﹣2b解法二：根据aa=+2a﹣1=0，解得﹣1+或2+1b，把所求的分式化简后即可求解．= 解法一：解答：2421=0 ﹣2b，b﹣解：∵a﹣+2a1=0224a ∴（=0﹣2b）1+2a﹣）﹣（b1﹣22=0）+2化简之后得到：（a+b（）a﹣b2222，与题设矛盾，所以2a=0﹣a﹣）﹣a﹣b+2=0，即b=a+2，则1ab﹣=1a（a+2=1若20+2≠a﹣b22a 因此=0，即a+b=﹣b=∴=200311（﹣=）=﹣解法二：2，﹣1﹣或﹣1=0（已知），解得a=﹣1+解：aa=+2a224=由b，﹣2b+1﹣1=0，解得：b2=b∴+﹣2+，+1﹣2+==+1﹣2+4+3=4+3，当a=1时，原式﹣2ab﹣∵11舍去；﹣≠0，∴a==时，原式﹣当a= ﹣1﹣+1﹣2=﹣1，2003）（﹣1∴1，﹣=．即=﹣12点评：的0ab≠本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1﹣运用．2222 =0，求x+y值．+z+2xy+2xz+2yz﹣1|+26．已知3|2x﹣+（z1）首先利用非负数的性质求得x、y、z的值，然后代入代数式求解即可．分析：解答：2 1+∵解：3|2x﹣1|+（z﹣），=01=0 ∴2xz﹣﹣1=0，3y1=0，﹣z=1y=，，∴x=222222x∴×+2×+2）（）（+z+y+2xy+2xz+2yz=++1×1=××1+2×点评：本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是求得未知数的值．。

（完整版）整式的乘除培优（可编辑修改word版）整式的乘除培优⼀、选择题：1﹒已知x a＝2，x b＝3，则x3a+2b 等于（）A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒362﹒下列计算正确的是（）A﹒5x6·(－x3)2＝－5x12 B﹒(x2+3y)(3y－x2)＝9y2－x4C﹒8x5÷2x5＝4x5 D﹒(x－2y)2＝x2－4y23、已知M＝20162，N＝2015×2017，则M 与N 的⼤⼩是（）A﹒M＞N B﹒M＜N C﹒M＝N D﹒不能确定4、已知x2－4x－1＝0，则代数式 2x(x－3)－(x－1)2+3 的值为（）A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒－15、若a x ÷a y ＝a2，(b x)y＝b3，则(x+y)2的平⽅根是（）A﹒4 B﹒±4C﹒±6D﹒166、计算-(a -b)4 (b -a)3 的结果为（）A、-(a -b)7B、-(a +b)7C、(a-b)7D、(b-a)77、已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c 的⼤⼩关系是（）B、A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a8、图①是⼀个边长为（m+n）的正⽅形，⼩颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式⼦是（）A．（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B．（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC．（m﹣n）2+2mn=m2+n2 D．（m+n）（m﹣n）=m2﹣n29、若a﹣2=b+c，则a（a﹣b﹣c）+b（b+c﹣a）﹣c（a﹣b﹣c）的值为（）=90 pA．4 B．2 C．1 D．810、当x=1 时，ax+b+1 的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．1611、已知a2+a﹣3=0，那么a2（a+4）的值是（）A．9 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣1512、在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 的值时，⼩林发现：从第⼆个加数起每⼀个加数都是前⼀个加数的6 倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①，然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②，②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的⼩林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0 且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014 的值？你的答案是（）A． B． C． D．a2014﹣1⼆、填空：1、若ax3m y12÷3x3y2n＝4x6y8，则(2m+n－a)n＝﹒2、若(2x+3y)(mx－ny)＝4x2－9y2，则mn＝.3. 已知a+b＝8，a2b2＝4，则1(a2+b2)－ab＝. 2999 p999 , q =119，那么9q (填＞，＜或=)5.已知10a= 20, 10b=1，则3a÷ 3b= 56.设A =(x -3)(x - 7)，B =(x - 2)(x -8)，则A B（填＞，＜，或=）7.若关于x 的多项式x2-8x +m =(x - 4)2 ，则m 的值为若关于x 的多项式x2+nx +m2=(x - 4)2 ，则m n=4. 若225 4 3 2 1 3 1 若关于 x 的多项式 x 2 + nx + 9 是完全平⽅式，则 n=8.计算： 20162 - 2015? 2016 =9. 计算： ?1- 1 ??1- 1 ? ?1- 1 ??1- 1 ? =? 32 ? 992 1002 ? 10.计算： (2 +1)(22 +1)(24 +1)(22n+1)=11、已知：(x +1)5 = a x 5 + a x 4 + a x 3 + a x 2+ a x + a ，则 a + a + a =12、已知： x 2 - (m - 2)x + 36 是完全平⽅式，则 m=13、已知：x 2 + y 2- 6 y = 2x - 10 ，则 x - y =14、已知：13x 2 - 6xy + y 2 - 4x +1 = 0 ，则(x + y )2017 x 2016= 15、若 P = a 2 + 2b 2 + 2a + 4b + 2017 ，则 P 的最⼩值是=16、已知 a =1 2018 x2 + 2018，b = 1 2018 x 2 + 2017，c = 1 2018x 2+ 2016 ，则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac 的值为17、已知(2016 - a )(2018 - a ) = 2017 ，则(2016 - a )2 + (2018 - a )2 =x - 1 18、已知 x x 2 5，则 x 4+ 1 =19、已知： x 2 - 3x - 1 = 0 ，则 x 2 + 1x2三、解答题：=， x 4 +1=x41、（x 2－2x －1）（x 2＋2x －1）；②（2m+n ﹣p ）（2m ﹣n+p ）2、形如 a b c的式⼦叫做⼆阶⾏列式，它的运算法则⽤公式表⽰为da c = ad - bc ，⽐如 2b d 1 5= 2 ? 3 -1? 5 = 1，请按照上述法则计算 30 5 =-2ab -3ab2a2b(-ab)2的结果。

专题07 《整式乘法与因式分解》解答题压轴题专练（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、解答题1．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2=7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为．（2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a=．（4）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，则2a+b的值为．【答案】（1）7（2）-7（3）-3（4）-15【解析】试题分析：（1）用2x+1中的一次项系数2乘以3x+2中的常数项2得4，用2x+1中的常数项1乘以3x+2中的一次项系数3得3，4+3=7即为积中一次项的系数；（2）用x+1中的一次项系数1，3x+2中的常数项2，4x-3中的常数项-3相乘得-6，用x+1中的常数项1，3x+2中的一次项系数3，4x-3中的常数项-3相乘得-9，用x+1中的常数项1，3x+2中的常数项2，4x-3中的一次项系数4相乘得8，-6-9+8=-7即为积中一次项系数；（3）用每一个因式中的一次项系数与另两个因式中的常数项相乘，再把所得的积相加，列方程、解方程即可得；（4）设422x ax bx +++可以分成（231x x -+ ）(x 2+kx+2)，根据小明的算法则有k -3=0，a=-3k+2+1，b=-3×2+k ，解方程即可得.试题解析：（1）2×2+1×3=7，故答案为7；（2）1×2×（-3）+3×1×（-3）+4×1×2=-7，故答案为-7；（3）由题意得：1×a×(-1)+(-3)×1×(-1)+2×1×a=0，解得：a=-3，故答案为-3；（4）设422x ax bx +++可以分成（231x x -+ ）(x 2+kx+2)，则有k -3=0，a=-3k+2+1，b=-3×2+k ，解得：k=3，a=-6，b=-3，所以2a+b=-15，故答案为-15.b=3-6=-32．阅读材料：若x 2－2xy ＋2y 2－8y ＋16=0，求x 、y 的值．解：∵x 2－2xy ＋2y 2－8y ＋16=0，∵(x 2－2xy ＋y 2)＋(y 2－8y ＋16)=0，∵(x －y )2＋(y －4)2=0，∵(x －y )2=0，(y －4)2=0，∵y =4，x =4．根据你的观察，探究下面的问题：已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2＋b 2－4a －6b ＋13=0．求∵ABC 的边c 的值．【答案】2或3或4【分析】先通过配方法，利用完全平方公式进行配方求出a ，b 的值，再根据三角形的三边关系即可确定c 的值.【详解】∵2246130a b a b +--+=∵22(44)(69)0a a b b -++-+=即22(2)(3)0a b -+-=∵20a -=，30b -=∵23a b ==，根据三角形的三边关系得a b c a b -<<+，即15c <<∵c 是正整数∵c 的值为2或3或4.【点睛】本题主要考查了配方法及三角形边长的确定，熟练掌握完全平方公式及三角形的三边关系是解决本题的关键.3．阅读下列材料：某同学在计算3（4+1）（42+1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公式计算，3（4+1）（42+1）=（4-1）（4+1）（42+1）=（42-1）（42+1）=44-1=256-1=255．请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）（2）2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++． 【答案】（1）24096-1；（2）2．【分析】（1）在前面乘一个（2-1），然后再连续利用平方差公式计算；（2）在前面乘一个2×（1-12），然后再连续利用平方差公式计算． 【详解】解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（24-1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=24096-1；（2）2481521111111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24815111111211111222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1615112122⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭ 151511222=-+ =2． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．4．阅读下列分解因式的过程：x 2+2ax -3a 2=x 2+2ax+a 2-a 2-3a 2=(x+a)2-4a 2=(x+a+2a)(x+a -2a)(x+3a)(x -a)．像上面这样通过加减项配出完全平方式后再把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法，请你用配方法将下面的多项式因式分解：（1）m 2-4mn+3n 2；（2）x 2-4x -12．【答案】（1）（m -n ）（m -3n ）；（2）（x+2）（x -6）．【分析】（1）、（2）分别利用阅读材料中的配方法分解即可．【详解】解：（1）m 2-4mn+3n 2=m 2-4mn+4n 2-4n 2+3n 2=m 2-4mn+4n 2-n 2=（m -2n ）2-n 2=（m -2n+n ）（m -2n -n ）=（m -n ）（m -3n ）；（2）x 2-4x -12=x 2-4x+4-4-12=（x -2）2-42=（x -2+4）（x -2-4）=（x+2）（x -6）．【点睛】本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．5．如图，长为m ，宽为x()m x >的大长方形被分割成7小块，除阴影,A B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y ，记阴影A 与B 的面积差为S ．（1）分别用含,,m x y 的代数式表示阴影,A B 的面积，并计算S ；（2）当6,1m y ==时，求S 的值；（3）当x 取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y 应满足什么条件？【答案】（1）阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --，阴影B 的面积为3(3)y x y m +-，236S y my xy mx =-+-+；（2）S 的值为3；（3）6m y =．【分析】（1）先分别求出阴影A 与B 的长、宽，再根据长方形的面积公式，即可得；（2）将6,1m y ==代入，计算含乘方的有理数混合运算即可得；（3）将S 的值进行变形，再根据其值与x 无关，列出等式求解即可得．【详解】（1）由图可知，阴影A 的长为3m y -，宽为2x y -；阴影B 的长为3y ，宽为(3)3x m y x y m --=+- 则阴影A 的面积为(3)(2)m y x y --，阴影B 的面积为3(3)y x y m +-S A B =-(3)(2)3(3)m y x y y x y m =---+-22236393mx my xy y xy y my =--+--+236y my xy mx =-+-+；（2）由（1）可知，236S y my xy mx =-+-+将6,1m y ==代入得：2316166363S x x =-⨯+⨯-+=-+=即S 的值为3；（3）由（1）可知，22363(6)S y my xy mx y my m y x =-+-+=-++-要使当x 取任何实数时，面积差S 的值都保持不变则60m y -=整理得6m y =．【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，理解题意，根据图形正确求出阴影A 与B 的长、宽是解题关键．6．如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．（1）你认为图∵中的阴影部分的正方形的边长等于__________；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法∵____________；方法∵________________；（3）观察图∵，直按写出22(),(),m n m n mn +-这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若8,5a b ab +==，求2()a b -的值【答案】（1）m -n ；（2）2()m n -；2()4m n mn +-；（3）2()m n -=2()4m n mn +-；（4）44.【分析】（1）根据图∵可知，剪开后的小长方形长为m ，宽为n ，可以看出图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ；（2）图∵中阴影部分的面积：方法∵利用阴影小正方形的边长直接计算面积；方法∵利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算；（3）根据图∵里图形的面积关系，可以得出这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）中的等量关系式，代入数值求解即可．【详解】（1）剪开后的小长方形长为m ，宽为n ，所以图∵中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，故答案为：m -n ；（2）方法∵阴影的面积为边长的平方，即2()m n -；方法∵阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -；2()4m n mn +-；（3）根据图∵里图形的面积关系，可得2()m n -=2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -=2()4m n mn +-；（4）由（3）中的等量关系可知，2()a b -=2()4a b ab +-=64-20=44， 故答案为：44．【点睛】本题考查了图形的面积的代数式表示以及代数式之间的等量关系，掌握图形面积的代数式表示是解题的关键．7．因为()()2632x x x x +-=+-,令26x x +-=0,则（x+3）(x -2)=0,x=-3或x=2,反过来,x ＝2能使多项式26x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）若x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式,求m 的值;（2）若（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式,试求a,b 的值;（3）在（2）的条件下,把多项式325x ax x b +-+因式分解的结果为 ．【答案】（1）m=-6;（2）26a b =-⎧⎨=⎩；（3）(x -1)(x+2)(x -3) 【分析】（1）由已知条件可知，当x=4时，x 2+mx+8=0，将x 的值代入即可求得；（2）由题意可知，x=1和x=-2时，x 3+ax 2-5x+b=0，由此得二元一次方程组，从而可求得a 和b 的值； （3）将（2）中a 和b 的值代入x 3+ax 2-5x+b ，则由题意知（x -1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解．【详解】解：（1）∵x ﹣4是多项式x 2+mx+8的一个因式，则x=4使x 2+mx+8=0，∵16+4m+8=0，解得m=-6；（2）∵（x ﹣1）和（x+2）是多项式325x ax x b +-+的两个因式，则x=1和x=-2都使325x ax x b +-+=0，得方程组为：15084100a b a b +-+=⎧⎨-+++=⎩，解得26a b =-⎧⎨=⎩； （3）由（2）得，x 3-2x 2-5x+6有两个因式（x ﹣1）和（x+2），又36(1)2(3)x x x x =⋅⋅=-⨯⨯-，， 则第三个因式为(x -3)，∵x 3-2x 2-5x+6=(x -1)(x+2)(x -3)．故答案为：(x -1)(x+2)(x -3)．【点睛】本题考查了分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．8．观察下列各式：∵60×60＝602－02＝3600；∵59×61＝(60－1)×(60＋1)＝602－12＝3599；∵58×62＝(60－2)×(60＋2)＝602－22＝3596；∵57×63＝(60－3)×(60＋3)＝602－32＝3591……（探究）（1）上面的式子表示的规律是：(60＋m)(60－m)＝；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数时，乘积最大．（应用）（2）根据上面的规律，思考若a＋b＝400，则ab的最大值是；（拓展）（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x 之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？【答案】（1）602-m2；相等；（2）40000；（3）S=-x2+20x；当x=10时，S取得最大值．【分析】（1）按照已知等式的规律或平方差公式写出结果即可；对比题干中给出的等式可知，当两个因数相等即m=0时，乘积最大；（2）根据（1）中得出的规律可知，当a=b时，ab取得最大值，从而得出结果；（3）设长方形的一边长为x厘米，则根据题意得长方形的另一边长为（20-x）厘米，根据长方形的面积公式可得出S与x之间的等量关系；再根据（1）中的结论可得出当长方形的长与宽相等时，S取得最大值，从而得出结果．【详解】解：（1）根据题中的等式可得，(60＋m)(60－m)＝602-m2；对比题干中给出的等式可知，当两个因数相等时，即m=0时乘积最大，故答案为：602-m2；相等；（2）根据（1）中得出的规律可知，当a=b时，ab取得最大值，∵a+b=400，∵当a=b=200时，ab取得最大值，最大值为40000，故答案为：40000；（3）设长方形的一边长为x厘米，则根据题意得长方形的另一边长为（20-x）厘米，∵S=x(20-x)=-x2+20x，故S与x之间的等量关系式为：S=-x2+20x；∵长方形的两边长分别为x厘米，（20-x）厘米，有x+（20-x）=20，现要求S=x(20-x)的最大值，由（1）知，当x=20-x时，S取得最大值，故当x=10时，S取得最大值．【点睛】本题考查了通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，一般先根据题意，找到规律，并进行推导得出答案．9．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，将该长方形沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按照图2所示拼成一个正方形．（1）使用不同方法计算图2中小正方形的面积，可推出（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系为：；（2）利用（1）中的结论，解决下列问题：∵已知a-b＝4，ab＝5，求a+b的值；∵已知a＞0，a-3a＝2，求a+3a的值．【答案】（1）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（2）∵6或-6；∵4．【分析】（1）由题意知，阴影部分小正方形的边长为m-n．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积求图中阴影部分的面积，利用两种求法确定出所求关系式即可；（2）∵利用（1）的结论，可知（a-b）2=（a+b）2-4ab，把已知数值整体代入即可；∵先利用完全平方公式进行变形，即将a-3a＝2两边同时平方，然后求出（a+3a）2的值，从而得出结果．【详解】解：（1）阴影部分的面积可以看作是边长m-n的正方形的面积，也可以看作边长m+n的正方形的面积减去4个小长方形的面积，∵（m-n）2=（m+n）2-4mn，故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn；（2）∵∵a-b=4，ab=5，且由（1）知（a-b）2=（a+b）2-4ab，∵（a+b）2=16+20=36，∵a+b=6或-6；∵∵a-3a=2，∵（a -3a ）2= a 2-6+29a=4， ∵a 2+6+29a =16， ∵（a +3a）2=16， 又a ＞0，∵a +3a =4． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算以及分式的求值等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．数学课堂上，老师提出问题：如图，如何在该图形中数出黑色正方形的个数，以下是两位同学的做法：（1）甲同学的做法为：当1n =时，黑色正方形的个数共有14610⨯+=当2n =时，黑色正方形的个数共有24614⨯+=当3n =时，黑色正方形的个数共有34618⨯+=……则在第n 个图形中，黑色正方形的个数共有 （无需化简）（2）乙同学的做法为：当1n =时，黑色正方形的个数共有341210⨯-⨯=当2n =时，黑色正方形的个数共有452314⨯-⨯=当3n =时，黑色正方形的个数共有563418⨯-⨯=……则在第n 个图形中，黑色正方形的个数共有 （无需化简）（3）数学老师及时肯定了两位同学的做法，从而可以得到等式（4）请利用学习过的知识验证（3）问中的等式．【答案】（1）46n +；（2）(2)(3)(1)n n n n ++-+；（3）46(2)(3)(1)n n n n n +=++-+；（4）见解析．【分析】（1）根据所给算式总结规律即可；（2）根据所给算式总结规律即可；（3）根据两种算法都正确可得等式；（4）利用整式混合运算法则对(2)(3)(1)++-+进行化简，即可验证.n n n n【详解】n+，解：（1）由题中算式可知，在第n个图形中，黑色正方形的个数为：46n+；故答案为：46（2）由题中算式可知，在第n个图形中，黑色正方形的个数为：(2)(3)(1)n n n n++-+，故答案为：(2)(3)(1)++-+；n n n n（3）数学老师及时肯定了两位同学的做法，从而可以得到等式：46(2)(3)(1)+=++-+，n n n n n故答案为：46(2)(3)(1)+=++-+；n n n n n（4）∵22(2)(3)(1)32646++-+=+++--=+，n n n n n n n n n n∵该等式成立.【点睛】本题考查了图形类规律探索以及整式混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是验证等式成立的关键.。

整式的乘除因式分解习题精选一．解答题（共12小题）1．计算：①；②[（﹣y 5）2]3÷[（﹣y ）3]5?y 2③④（a ﹣b ）6?[﹣4（b ﹣a ）3]?（b ﹣a ）2÷（a ﹣b ）2．计算：①（2x ﹣3y ）2﹣8y 2；②（m+3n ）（m ﹣3n ）﹣（m ﹣3n ）2；③（a ﹣b+c ）（a ﹣b ﹣c ）；④（x+2y ﹣3）（x ﹣2y+3）；⑤（a ﹣2b+c ）2；⑥[（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）（2y ﹣x ）﹣2x （2x ﹣y ）]÷2x ．⑦（m+2n ）2（m ﹣2n ）2 ⑧．3．计算：（1）6a 5b 6c 4÷（﹣3a 2b 3c ）÷（2a 3b 3c 3）．（2）（x ﹣4y ）（2x+3y ）﹣（x+2y ）（x ﹣y ）．（3）[（﹣2x 2y ）2]3?3xy 4．（4）（m ﹣n ）（m+n ）+（m+n ）2﹣2m 2．4．计算：（1）（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ．（2）3a 3b 2÷a 2+b?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）．（3）（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）．5．因式分解：①6ab 3﹣24a 3b ；②﹣2a 2+4a ﹣2；③4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）；④2x 2y ﹣8xy+8y ；⑤a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）；⑥4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2；⑦；⑧（a 2+1）2﹣4a 2；⑨3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1 ⑩x 2﹣y 2+2y ﹣1；4a 2﹣b 2﹣4a+1；4（x ﹣y ）2﹣4x+4y+1；3ax 2﹣6ax ﹣9a ；x 4﹣6x 2﹣27；（a 2﹣2a ）2﹣2（a 2﹣2a ）﹣3．6．因式分解：（1）4x 3﹣4x 2y+xy 2．（2）a 2（a ﹣1）﹣4（1﹣a ）2．7．给出三个多项式：x 2+2x ﹣1，x 2+4x+1，x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．8．先化简，再求值：（2a+b ）（2a ﹣b ）+b （2a+b ）﹣4a 2b ÷b ，其中a=﹣，b=2．9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x 2﹣（x+y ）（x ﹣y ）][（﹣x ﹣y ）（﹣x+y ）+2y 2]的值．10．解下列方程或不等式组：①（x+2）（x ﹣3）﹣（x ﹣6）（x ﹣1）=0；②2（x ﹣3）（x+5）﹣（2x ﹣1）（x+7）≤4．11．先化简，再求值：（1）（x+2y ）（2x+y ）﹣（x+2y ）（2y ﹣x ），其中，．（2）若x﹣y=1，xy=2，求x3y﹣2x2y2+xy3．12．解方程或不等式：（1）（x+3）2+2（x﹣1）2=3x2+13．（2）（2x﹣5）2+（3x+1）2＞13（x2﹣10）．整式的乘除因式分解习题精选参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2③；④（a ﹣b ）6?[﹣4（b ﹣a ）3]?（b ﹣a ）2÷（a ﹣b ）考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：①原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，即可得到结果；③原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；④余数利用同底数幂的乘除法则计算即可得到结果．解答：解：①原式=5a 2b ÷（﹣ab ）?（4a 2b 4）=﹣60a 3b 4；②原式=y 30÷（﹣y ）15?y 2=﹣y 17；③原式=a 2b ﹣ab 2﹣；④原式=4（a ﹣b ）10．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．计算：①（2x ﹣3y ）2﹣8y 2；②（m+3n ）（m ﹣3n ）﹣（m ﹣3n ）2；③（a ﹣b+c ）（a ﹣b ﹣c ）；④（x+2y ﹣3）（x ﹣2y+3）；⑤（a ﹣2b+c ）2；⑥[（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）（2y ﹣x ）﹣2x （2x ﹣y ）]÷2x ．⑦（m+2n ）2（m ﹣2n ）2⑧．考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：①原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；②原式第一项利用平方差公式计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；③原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果；④原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果；⑤原式利用完全平方公式展开，即可得到结果；⑥原式中括号中利用完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；⑦原式逆用积的乘方运算法则变形，计算即可得到结果；⑧原式利用平方差公式计算即可得到结果．解答：解：①原式=4x 2﹣12xy+9y 2﹣8y 2=4x 2﹣12xy+y 2；②原式=m 2﹣9n 2﹣m 2+6mn ﹣9n 2=6mn ﹣18n 2；③原式=（a ﹣b ）2﹣c 2=a 2﹣2ab+b 2﹣c 2；④原式=x 2﹣（2y ﹣3）2=x 2﹣4y 2+12y ﹣9；⑤原式=（a ﹣2b ）2+2c （a ﹣2b ）+c 2=a 2﹣4ab+4b 2+2ac ﹣4bc+c 2；⑥原式=（x 2﹣4xy+4y 2﹣x 2+4xy ﹣4y 2﹣4x 2+2xy ）÷2x=（﹣4x 2+2xy ）÷2x=﹣2x+y ；⑦原式=[（m+2n ）（m ﹣2n ）]2=（m 2﹣4n 2）2=m 4﹣8m 2n 2+16n 4；⑧原式=a （﹣a+b+c ）=﹣a 2+ab+ac ．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．计算：（1）6a 5b 6c 4÷（﹣3a 2b 3c ）÷（2a 3b 3c 3）．（2）（x ﹣4y ）（2x+3y ）﹣（x+2y ）（x ﹣y ）．（3）[（﹣2x 2y ）2]3?3xy 4．（4）（m ﹣n ）（m+n ）+（m+n ）2﹣2m 2．考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果；（2）原式两项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（3）原式先利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；（4）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）原式=﹣2a 3b 3c 3÷（2a 3b 3c 3）=﹣1；（2）原式=2x 2﹣5xy ﹣12y 2﹣x 2﹣xy+2y 2=x 2﹣6xy ﹣10y 2；（3）原式=64x 12y 6?3xy 4=192x 13y 10；（4）原式=m 2﹣n 2+m 2+2mn+n 2﹣2m 2=2mn ．点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的整式有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．计算：（1）（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ．（2）3a 3b 2÷a 2+b?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）．（3）（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）．考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式先利用幂的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果；（2）原式利用单项式除以单项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（3）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（4）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）原式=x16?x 4÷x 10﹣2x 5?x 6÷x=x 10﹣2x 10=﹣x 10；（2）原式=3ab 2+a 2b 2﹣3ab 2﹣5a 2b 2=﹣4a 2b 2；（3）原式=x 2﹣9﹣x 2﹣4x ﹣3=﹣4x ﹣12；（4）原式=4x 2﹣y 2+x 2+2xy+y 2﹣4x 2+2xy=x 2+4xy ．点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的整式有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5．因式分解：①6ab 3﹣24a 3b ；②﹣2a 2+4a ﹣2；③4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）；④2x 2y ﹣8xy+8y ；⑤a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）；⑥4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2；⑦；⑧（a 2+1）2﹣4a 2；⑨3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1⑩x 2﹣y 2+2y ﹣1；?4a 2﹣b 2﹣4a+1；?4（x ﹣y ）2﹣4x+4y+1；?3ax 2﹣6ax ﹣9a ；?x 4﹣6x 2﹣27；?（a 2﹣2a ）2﹣2（a 2﹣2a ）﹣3．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等．分析：①直接提取公因式6ab ，进而利用平方差公式进行分解即可；②直接提取公因式﹣2，进而利用完全平方公式分解即可；③直接提取公因式2（m ﹣2）得出即可；④直接提取公因式2y ，进而利用完全平方公式分解即可；⑤直接提取公因式（x ﹣y ），进而利用平方差公式进行分解即可；⑥直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解即可；⑦首先提取公因式﹣，进而利用平方差公式进行分解即可；⑧首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解即可；⑨直接提取公因式3x n ﹣1，进而利用完全平方公式分解即可⑩将后三项分组利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解即可；?首先将4a 2﹣4a+1组合，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解即可；?将（x ﹣y ）看作整体，进而利用完全平方公式分解因式即可；?首先提取公因式3a ，进而利用十字相乘法分解因式得出；?首先利用十字相乘法分解因式进而利用平方差公式分解即可；?将a 2﹣2a 看作整体，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．解答：解：①6ab 3﹣24a 3b=6ab （b 2﹣4a 2）=6ab （b+2a ）（b ﹣2a ）；②﹣2a 2+4a ﹣2=﹣2（a 2﹣2a+1）=﹣2（a ﹣1）2；③4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）=2（m ﹣2）（2n 2+3）；④2x 2y ﹣8xy+8y=2y （x 2﹣4x+4）=2y （x ﹣2）2；⑤a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）=（x ﹣y ）（a 2﹣4b 2）=（x ﹣y ）（a+2b ）（a ﹣2b ）；⑥4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2=（2mn+m 2+n 2）（2mn ﹣m 2﹣n 2）=﹣（m+n ）2（m ﹣n ）2；⑦=﹣（n 2﹣4m 2）=﹣（n+2m ）（n ﹣2m ）；⑧（a 2+1）2﹣4a 2=（a 2+1+2a ）（a 2+1﹣2a ）=（a+1）2（a ﹣1）2；⑨3xn+1﹣6x n +3x n ﹣1=3x n ﹣1（x 2﹣2x+1）=3x n ﹣1（x ﹣1）2；⑩x 2﹣y 2+2y ﹣1=x 2﹣（y ﹣1）2=（x+y ﹣1）（x ﹣y+1）；?4a 2﹣b 2﹣4a+1=（4a 2﹣4a+1）﹣b2=（2a ﹣1）2﹣b 2=（2a ﹣1+b ）（2a ﹣1﹣b ）；?4（x ﹣y ）2﹣4x+4y+1=4（x ﹣y ）2﹣4（x ﹣y ）+1=[2（x ﹣y ）﹣1]2=（2x ﹣2y ﹣1）2；?3ax 2﹣6ax ﹣9a=3a （x 2﹣2x ﹣3）=3a （x ﹣3）（x+1）；?x 4﹣6x 2﹣27=（x 2﹣9）（x 2+3）=（x+3）（x ﹣3）（x 2+3）；?（a 2﹣2a ）2﹣2（a 2﹣2a ）﹣3=（a 2﹣2a ﹣3）（a 2﹣2a+1）=（a ﹣3）（a+1）（a ﹣1）2．点评：此题主要考查了提取公因式法、公式法十字相乘法和分组分解法分解因式，熟练应用公式法以及分组分解法分解因式是解题关键．6．因式分解：（1）4x 3﹣4x 2y+xy 2．（2）a 2（a ﹣1）﹣4（1﹣a ）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：（1）原式提取公因式x 后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式第二项变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解答：解：（1）原式=x （4x 2﹣4xy+y 2）=x （2x ﹣y ）2；（2）原式=（a ﹣1）（a 2﹣4a+4）=（a ﹣1）（a ﹣2）2．点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（2009?漳州）给出三个多项式：x 2+2x ﹣1，x 2+4x+1，x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．考点：提公因式法与公式法的综合运用；整式的加减．专题：开放型．分析：本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．解答：解：情况一：x 2+2x ﹣1+x 2+4x+1=x 2+6x=x （x+6）．情况二：x 2+2x ﹣1+x 2﹣2x=x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）．情况三：x 2+4x+1+x 2﹣2x=x 2+2x+1=（x+1）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2．8．（2008?三明）先化简，再求值：（2a+b ）（2a ﹣b ）+b （2a+b ）﹣4a 2b ÷b ，其中a=﹣，b=2．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：根据平方差公式，单项式乘多项式，单项式除单项式的法则化简，再代入求值．解答：解：（2a+b ）（2a ﹣b ）+b （2a+b ）﹣4a 2b ÷b ，=4a 2﹣b 2+2ab+b2﹣4a 2，=2ab ，当a=﹣，b=2时，原式=2×（﹣）×2=﹣2．点评：考查了整式的混合运算，主要考查了整式的乘法、除法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x 2﹣（x+y ）（x ﹣y ）][（﹣x ﹣y ）（﹣x+y ）+2y 2]的值．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 、y 的值代入进行计算即可．解答：解：原式=[2x 2﹣x 2+y 2][（﹣x ）2﹣y 2+2y 2]=（x 2+y 2）（x 2+y 2）=（x 2+y 2）2，当x=﹣1，y=﹣2时，原式=（1+4）2=25．点评：本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．10．解下列方程或不等式组：①（x+2）（x ﹣3）﹣（x ﹣6）（x ﹣1）=0；②2（x ﹣3）（x+5）﹣（2x ﹣1）（x+7）≤4．考点：整式的混合运算；解一元一次方程；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：①方程去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解；②不等式去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解集．解答：解：①去括号得：x 2﹣x ﹣6﹣x 2+7x ﹣6=0，移项合并得：6x=12，解得：x=2；②去括号得：2x 2+4x ﹣30﹣2x 2﹣13x+7≤4，移项合并得：﹣9x ≤27，解得：x ≥﹣3．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．先化简，再求值：（1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．（2）若x﹣y=1，xy=2，求x3y﹣2x2y2+xy3．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：（1）先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入进行计算即可；（2）先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x﹣y=1，xy=2的值代入进行计算即可．解答：解：（1）原式=（x+2y）（2x+y﹣2y+x）=（x+2y）（3x﹣y）=3x 2+5xy﹣2y2，当x=，y=时，原式=3×+5××﹣2×=；（2）原式=xy（x﹣y）2，当x﹣y=1，xy=2时，原式=2×1=2．点评：本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．12．解方程或不等式：（1）（x+3）2+2（x﹣1）2=3x2+13．（2）（2x﹣5）2+（3x+1）2＞13（x2﹣10）．考点：整式的混合运算；解一元一次方程；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：（1）方程左边两项利用完全平方公式展开，移项合并后，将x系数化为1，即可求出解；（2）不等式左边两项利用完全平方公式展开，移项合并后，将x系数化为1，即可求出范围．解答：解：（1）整理得：x2+6x+9+2x2﹣4x+2=3x2+13，移项合并得：2x=2，解得：x=1；（2）不等式整理得：4x2﹣20x+25+9x2+6x+1＞13x2﹣130，移项合并得：﹣14x＞﹣156，解得：x＜11．点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的整式有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．。

2整式的乘除与因式分解习题精选一.解答题（共30小题）1. 计算：-4m （丄吊-m — 2）.2(2) 5ax (a 2+2a+1)-( 2a+3) (a — 5)(x+2) (x — 2) . 9.计算：(1) (a — 2b+1) (a+2b — 1)— z )4 .计算：（X — ：）（ x +） 5.计算： (-■) 2014(—2) 201526.计算:；)2°14X5c 201327 .化简：(a+b ) (a — b ) +2b .2 22 .化简：(1) (— 2ab ) (3a — 2ab — 4b )/ 2 2、 ， 2 2、3 .(— 7x — 8y ) (— x +3y )2 & 化简：(x+1)—2(2) (2x+y+z) (2x - y - z)•13 •分解因式：(3a- 4b) (7a- 8b)-( 11a - 12b) (8b- 7a).216 .因式分解：(y - x) +2x- 2y .17 •因式分解:11.因式分解：a (2a+b)- b (2a+b) •12 因式分解: (m— n) 3 +2n ( n - m)①-6 (2a- b) 2-4 (b - 2a)2②6 ( x+y) - 2 (x - y) (x+y)③-3 (x - y)3(y - x)④3a ( m- n)- 2b (n —m)10 •运用乘法公式计算:(1) ( a+2b—1)14•分解因式：-36ab2x6- 39a3b2x5.,, 3 2 215 .分解因式：4mn - 4mn+m.⑤9 ( a - b ) (a+b )— 3 (a — b )⑥3a ( a+b ) (a — b )— 2b (b — a )226.因式分解：4 (x — y ) — 4 ( x — y ) +1.27.因式分解：2 2 2(1) 9 ( m+n — 16 (m — n ) ;(2) ( x+y ) +10 (x+y ) +25;218. 9 (a+b )— (a — b ) 19.因式分解: 2 2(1) ( m+n — n / c 、 /22、 22 2(2) (x+y )— xy .20. 2—4 (x+2y ) +9 (2x — y )_ 2 221 .因式分解：(丄a ) — b .2222.因式分解：36 (a+b ) — 25. 232因式分解：9 (x — y ) — 12 ( x — y )+4.224.因式分解：(a+2b ) — 2 (a+2b ) +1.25因式分解:16 (m+n)2—25 ( m- n )2 2 z 2 2、 2(3) 4a b -( a +b ) 2 2/2、z 2 2X 2 2 22 8 . (a +4a) +8( a +4a) +16 ・ 2 9 . (a +b ) - 4a b230 .分解因式：(1)- 4a x+12 ax - 9x2(2) (2x+y )-(x+2y)7.给出三个多项式：x2+2x - 1, x2+4x+1, x2- 2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运2 2 2算，并把结果因式分解.&先化简，再求值: (2a+b) ( 2a - b) +b (2a+b)- 4a2b+ b,其中a=—丄，b=2.22 29 .当x= - 1, y= - 2 时，求代数式[2x -( x+y) (x - y) ][ (- x - y) (- x+y) +2y ]的值.10.解下列方程或不等式组：◎ ( x+2) (x- 3)-( x- 6) ( x- 1) =0; ②2 ( x-3) ( x+5)-( 2x - 1) (x+7)< 4.整式的乘除与因式分解习题精选参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.计算：-4m (丄vm - m — 2).22. 化简：2 2(1) (— 2ab ) (3a — 2ab - 4b )2(2) 5ax (a+2a+1)-( 2a+3) (a — 5)考点： 单项式乘多项式；多项式乘多项式. 专题： 计算题. 分析：(1) 根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项， 可; (2) 先算乘法，再去括号、合并同类项即可.再把所得的积相加计算即解答：2 2解: (1) (— 2ab ) (3a — 2ab — 4b )c 3,. 2, 2 c ,3=—6a b+4a b +8ab ;2(2) 5ax (a+2a+1) — ( 2a+3) ( a — 5)3 2 2=5a x+10a x+5ax —( 2a — 10a+3a — 15) 322=5a x+10a x+5ax — 2a +7a+15.点评： 本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握单项式与多项式相乘、 解题的关键.多项式与多项式相乘的法则是2 2 2 23. (— 7x — 8y ) (— x +3y ) 考点：多项式乘多项式.分析：根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可.2 2 2 2 2 2 + (— 7x ) ? 3y — 8y ? (— x )— 8y ? 3y "4 一 22^22—4=7x — 21x y +8x y — 24y 42 24=7x — 13x y — 24y .点评：本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，注意:2 2解答：解：原式=—7x ? (— x )(a+b ) (m+r ) =am+an+bm+bn4•计算： ("I r考点：多项式乘多项式.分析：根据多项式乘以多项式法则进行计算即可. 解答：解：（x - 1） （x+丄）23 =x 2+lx -丄 X - 13262 1 -=x - 3x - _.6 6本题考查了多项式乘以多项式法则，合并同类项的应用，主要考查学生的计算能力.5•计算:（-'）叫（-2）解：原式=(-：)X( - ；) 2013 x( ') 20135532013=(-_)x(- _X_)5 5 33 =(-)x(- 1)=； 电•点评：本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幕的乘法，再进行积的乘方运算.27. (2014?宜昌)化简：(a+b ) (a - b ) +2b •考点： 幂的乘方与积的乘方.分析： 解答： 根据冋底数幕的乘法，可化成指数相冋的幕的乘法，根据积的乘方，可得答案. 解：原式=(-丄)2°14X( - 2) 2014X( - 2)2=[-丄X( - 2) ]2014X( - 2)2 =-2.点评： 本题考查了积的乘方，先化成指数相冋的幕的乘法，再进行积的乘方运算.2013点评: 考点：幕的乘方与积的乘方.分析：根据同底数幕的乘法，可化成指数相同的幕的乘法，根据积的乘方，可得答案. 解答：20146•计算:考点：平方差公式；合并同类项.专题：:计算题.分析：先根据平方差公式算乘法，再合并同类项即可. 解答：解：原式=a2- b2+2b22 ,2=a +b .点评：本题考查了平方差公式和整式的混合运算的应用，主要考查学生的化简能力.& (2014?槐荫区一模)化简：(x+1) 2-( x+2) (x-2).9. 计算：(1)( a- 2b+1) (a+2b- 1)2(2)(x-y-z).考点：完全平方公式；平方差公式. 分析：(1)先变形得出[a -( 2b- 1) ][a+ (2b- 1)]，再根据平方差公式进行计算，最后根据完全平方公式求出即可；(2)首先把x - y- z看作(x-y)- z,利用完全平方公式展开，再进一步利用整式的乘法和完全平方公式继续计算即可.解答：解：(1) (a- 2b+1) (a+2b - 1) =[a -( 2b- 1) ][a+ (2b- 1)]2 2=a -( 2b - 1)2 2=a - 4b +4b- 1;2(2) (x - y- z)2=[(x- y)- z]2 2=(x - y) - 2 (x - y) z+z2 2 2=x - 2xy+y - 2xz+2yz+z .点评：本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，主要考查学生运用公式进行推理和计算的能力.10. 运用乘法公式计算：2(1)( a+2b- 1);2 ( 2x+y+z) (2x- y - z).考点：完全平方公式；平方差公式.分析：(1)先把(a+2b )看作整体，再两次利用完全平方式展开即可.(2)把(y+z )看作整体，利用平方差公式展开，然后利用完全平方公式再展开.解答：解：(1)原式=[(a+2b )- 1] 22=(a+2b )- 2 (a+2b ) +12 2=a +4ab+4b - 2a - 4b+1;,22^ 2=4x - y - 2yz - z .11. 因式分解：a (2a+b )- b (2a+b )..分解因式：- ) (- )-( - ) (- ).考点： 因式分解-提公因式法.12.计算:22(2)原式=(2x )- (y+z )点评: 本题考查了平方差公式和完全平方公式.熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.3(m- n ) +2n (n - m )14. 分解因式：-36abx- 39a b x .考点：因式分解-提公因式法.分析：根据题意直接提取公因式-3ab3 4x5进而得出答案.解答：解：-36ab2x6- 39a7 8b2x5= - 3ab2x5(12x+13a2).点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键.3 2 215. 分解因式：4mn - 4mn+m.分析：原式变形后，提取公因式即可得到结果.解答：解：原式=(x - y) +2 (x - y)=(x - y) (x - y+2).点评：此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键.17.因式分解:2①-6 (2a- b) - 4 (b - 2a)2②6 ( x+y) - 2 (x - y) (x+y)2 3③-3 (x - y) -( y - x)④3a ( m- n)- 2b (n - m)⑤9 ( a - b) (a+b)- 3 (a- b)⑥3a ( a+b) (a - b)- 2b (b - a):因式分解-提公因式法.:利用提取公因式法分解因式得出即可.2 2:解：①-6 (2a- b) - 4 (b - 2a)2=-10 ( 2a- b)4②6 (x+y) - 2 (x - y) ( x+y)=4 (x+y) (x+2y);2 3③-3 ( x - y) -( y - x)=2 (x+y) [3 (x+y)-( x - y)]=2 (x+y) (2x+4y)考点：因式分解-提公因式法.分析：根据提公因式法和公式法进行判断求解.解答：I ” ， 2 2解：原式=m (4mn - 4mn+1)2=m (2mn— 1).点评：本题考查了多项式的因式分解，分解因式要一提公因式，二套公式，三检查，注意分解要彻底.216 .因式分解：(y - x) +2x- 2y .考点：因式分解-提公因式法.专题：计算题.23=—3 (x — y ) + (x -y ) 2 =(x — y ) (— 3+x — y );④ 3a ( m- n ) - 2b (n - m )=3a (m- n ) +2b (m- n )=(m- n ) (3a+2b );2⑤ 9 (a - b ) (a+b ) - 3 (a - b )=3 (a - b ) [3 ( a+b ) -( a - b )]=3 (a - b ) (2a+4b )=6(a - b ) (a+2b );⑥ 3a (a+b ) (a - b ) - 2b (b - a )=3a (a+b ) (a - b ) +2b (a - b )2 =(a - b ) (3a +3ab+2b ). 点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键.2 218. (2003?茂名)9 ( a+b ) —( a — b ).考点：因式分解-运用公式法.专题：计算题.分析：先利用平方差公式分解因式，再整理计算即可. 解答：解：9 ( a+b ) 2 —( a - b ) 2,2 2]—(a —b ),+ (a — b ) ][3 (a+b ) — ( a — b )],(2a+4b ),(a+2b ).=[3 (a+b ) =[3 (a+b ) =(4a+2b ) =4 (2a+b ) 点评：本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟练掌握公式结构，找准公式中的 关键.a 、b 是解题的19.因式分解：2 2(1) ( m+n — n/ c 、 / 2 2X 2 2 2(2) ( x +y ) — xy .考点： 分析： 因式分解-运用公式法.(1) 根据平方差公式进行解答，将( m+n 看做整体；(2) 根据平方差公式进行解答，将( x 2+y 2)和x 2y 2看做整体.解答: 解：(1)原式=(m+n —n ) (m+n+rj) =m (m+2r ); (2)原式=(x 2+y 2 — xy ) (x 2+y 2+xy ).点评: 本题考查了因式分解--运用公式法，熟悉平方差公式的结构是解题的关键.2 2 20.— 4 (x+2y ) +9 (2x — y ).考点：因式分解-运用公式法.分析：直接利用平方差分解因式，进而合并同类项即可.解答：解：-4 (x+2y) 2+9 (2x - y) 22 2=9( 2x - y) - 4 (x+2y)=[3 (2x - y) +2 (x+2y) ][3 (2x - y)- 2 (x+2y)]=(8x+y) (4x - 7y).点评：此题主要考查了利用平方差分解因式，注意正确记忆平方差公式是解题关键. 21•因式分解：（a 2-b2.222 .因式分解：36 (a+b) - 25.223.因式分解：9 (x- y) - 12 (x - y) +4.:因式分解-运用公式法.:直接利用完全平方公式分解因式进而求出即可.2: 解：9 ( x - y) - 12 (x - y) +42=[3 (x - y)- 2]2=(3x - 3y - 2).此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键.224.因式分解：(a+2b) - 2 (a+2b) +1.225.因式分解:16 (m+r) - 25 (m- n)2 26. 因式分解：4 (x - y ) - 4 ( x -y ) +1.27. 因式分解：2 2(1) 9 (m+n - 16 (m- n );2(2) ( x+y ) +10 (x+y ) +25;、 2 2 2 2、 2(3) 4a b -( a +b ).因式分解-运用公式法. 计算题；因式分解.(1)原式利用平方差公式分解即可得到结果； 原式利用完全平方公式分解即可得到结果;(3)原式先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可.: 解：(1)原式=[3 ( m+rj) +4 ( m- n ) ][3 (m+n) - 4 ( m — n ) ]= (7m — n ) (- m+7r ); (2 )原式=(x+y+5);(3)原式=(2 ab+a +b ) (2 ab - a - b ) =-( a - b ) ( a+b ).:此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.I 1 O O O2 &分解因式：(a +4a ) +8 (a +4a ) +16.考点： 因式分解-运用公式法.分析： 根据平方和加积的二倍等于和的平方，可得答案.解答： 解：原式=[(a 2+4a ) +4]2/ 、 2 2=[(a+2)]=(a+2) 4. 点评： 本题考查了因式分解，两次利用了完全平方公式.2 2 2 2 2考点： 因式分解-运用公式法.分析直接利用完全平方公式分解因式得出即可. 解答2 2解: (a+2b ) - 2 (a+2b ) +仁(a+2b - 1). 点评此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键. 12 9 .分解因式：(a +b ) - 4a b考点：因式分解-运用公式法.专题：计算题.230.分解因式：(1)- 4ax+12ax - 9x2(2) (2x+y )- (x+2y )。

整式乘除与因式分解培优精练专题答案一．选择题（共 9 小题）1．（ 2014?台湾）算式 2 2 2之值的十位数字为何？（）99903 +88805 +77707 A ．1B ． 2C ． 6D ． 8分析： 分别得出 999032、888052、 777072的后两位数，再相加即可得到答案．2解答： 解： 99903 的后两位数为 09，288805 的后两位数为 25，277707 的后两位数为 49，09+25+49=83 ，所以十位数字为 8， 故选： D ．2．（ 2014?盘锦）计算（2a 2） 3? a 正确的结果是（ ）A ．3a7B ． 4a7C ． a7D ． 4a6分析： 根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即可．解答：解：原式 ==4a 7，故选： B ．3．（ 2014?遵义）若 a+b=2 ， ab=2，则 a 2+b 2的值为（ ）A ．6B ． 4C ． 3D ． 2分析： 利用 a 2+b 2=（ a+b ） 2﹣2ab 代入数值求解．解答： 解： a 2+b 2=（ a+b ） 2﹣ 2ab=8﹣ 4=4，故选： B ．4．（ 2014?拱墅区二模）如果 ax 2+2x+ =（2x+） 2+m ，则 a ， m 的值分别是（）A ． 2，0B ． 4， 0C ．2，D ． 4，运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解答：22+m ，解： ∵ax +2x+ =4x +2x+∴ ，解得 ．故选 D．5．（ 2014?江阴市模拟）如图，设（a＞b＞0），则有（）A ．B．C． 1＜k＜ 2D． k＞2解答：解：甲图中阴影部分的面积=a 2﹣ b2，乙图中阴影部分的面积=a（ a﹣ b），=，∵a＞ b＞ 0，∴，∴1＜ k＜2．故选： C．6．（ 2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（）A ．B．C． D ．无法确定解答：解：∵a+ =，∴两边平方得：（ a+ ）2=10 ，展开得： a 2+2a? +=10 ，∴a 2+=10 ﹣ 2=8 ，∴（ a﹣）2=a2﹣2a?+=a2+﹣2=8﹣2=6，∴a﹣=±，故 C．7．已知，代数式的等于（）A ．B．C．D．分析：先判断 a 是正数，然后利用完全平方公式把两平方并整理成的平方的形式，开方即可求解．解答：解：∵，∴a＞ 0，且2+a 2=1，∴+2+a 2=5，即（+|a|）2=5，开平方得，+|a|=．故 C．8．（ 2012?州）求1+2+2 2+23+⋯+22012的，可令S=1+2+22+23+⋯+22012，2S=2+22+23+24+⋯+22013，因此 2S S=220131．仿照以上推理，算出1+5+5 2+53+⋯+52012的（）A ．520121B． 520131C．D．分析：根据目提供的信息，S=1+5+5 2+53+⋯+52012，用 5S S 整理即可得解．解答：解： S=1+5+52320125S=5+52342013 +5 +⋯+5，+5 +5 +⋯+5，因此， 5S S=520131，S=．故 C．9．（ 2004?州）已知 a=x+20 ，b=x+19 ， c=x+21 ，那么代数式 a 2+b2+c2ab bcac 的是（）A ．4B． 3C． 2D． 1：．分析：已知条件中的几个式子有中间变量 x ，三个式子消去 x 即可得到： a ﹣b=1 ，a ﹣ c=﹣ 1，b ﹣ c=﹣ 2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．解答：解：法一： a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac ， =a （ a ﹣ b ） +b （ b ﹣c ） +c （ c ﹣ a ），又由 a= x+20， b= x+19， c=x+21 ，得（ a ﹣b ） = x+20 ﹣x ﹣ 19=1，同理得：（ b ﹣ c ）=﹣ 2，（ c ﹣ a ） =1 ， 所以原式 =a ﹣ 2b+c= x+20 ﹣ 2（x+19 ） + x+21=3 ．故选 B ．法二： a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac ，= （ 2a 2+2b 2+2c 2﹣ 2ab ﹣2bc ﹣ 2ac ），22 2 2 2 2= [（ a ﹣ 2ab+b ）+（ a ﹣ 2ac+c ） +（ b ﹣2bc+c ） ]，= [（ a ﹣ b ） 2+（a ﹣ c ） 2+（ b ﹣ c ） 2] ，= ×（ 1+1+4） =3． 故选 B ．二．填空题（共 9 小题）x+5 ）（ x+n ） =x 2+mx ﹣ 5，则 m+n= 3 ．10．（ 2014?江西样卷）已知（分析： 把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m 、 n 的值．解答： 解：展开（ x+5 ）（x+n ） =x 2+（ 5+n ） x+5n∵（ x+5 ）（ x+n ） =x 2+mx ﹣5，∴5+n=m ， 5n= ﹣5，∴n=﹣ 1， m=4 ．∴m+n=4 ﹣ 1=3 ．故答案为： 311．（2014?徐州一模）已知 x ﹣ =1，则 x 2+ = 3 ．分析：首先将 x ﹣ =1 的两边分别平方，可得（x ﹣ ）2=1，然后利用完全平方公式展开，解答：变形后即可求得 x 2+的值．或者首先把 x 2+凑成完全平方式 x 2+ =（ x ﹣ ）2+2，然后将 x ﹣ =1 代入，即可求得 x 2+的值．解：方法一： ∵x ﹣ =1，∴（ x ﹣ ） 2=1，即 x 2+ ﹣ 2=1，∴x 2+=3．方法二： ∵x ﹣ =1 ，2 2，∴x + =（ x ﹣ ） +2 =1 2+2， =3 ．故答案为： 3．12．（ 2011?平谷区二模）已知2 2．，那么 x +y = 6分析：首先根据完全平方公式将（ x+y ） 2用（ x+y ）与 xy 的代数式表示，然后把x+y ， xy的值整体代入求值．解答：解： ∵x+y=， xy=2 ，∴（ x+y ） 2=x 2+y 2+2xy ，∴10=x 2+y 2+4，∴x 2+y 2=6．故答案是： 6．点评：本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（ a ±b ）2=a 2±2ab+b 2．13．（ 2010?贺州）已知 10m =2， 10n =3，则 103m+2n= 72 ．解答： 解： 103m+2n =103m 102n =（ 10m ） 3（ 10n ） 2=23?32=8×9=72．点评： 本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．14．（ 2005?宁波）已知 a ﹣ b=b ﹣ c= ， a 2+b 2+c 2=1，则 ab+bc+ca 的值等于 ﹣．分析：先求出 a ﹣ c 的值，再利用完全平方公式求出（a ﹣b ），（ b ﹣c ），（ a ﹣ c ）的平方和，然后代入数据计算即可求解．解答： 解： ∵a ﹣ b=b ﹣ c= ，∴（ a ﹣ b ）2= ，（ b ﹣ c ）2=， a ﹣ c= ，22﹣ 2ab= 2 2﹣ 2bc= 22，∴a +b ， b +c ， a +c ﹣ 2ac=∴2（ a 2+b 2+c 2）﹣ 2（ ab+bc+ca ） = ++= ，∴2﹣ 2（ ab+bc+ca ） = ，∴1﹣（ ab+bc+ca ） = ，∴ab+bc+ca=﹣ =﹣ ．故答案为：﹣．点评：a ﹣ b=b ﹣ c= ，得到 a ﹣ c= ，然后对 a本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由﹣ b= ， b ﹣ c= ， a ﹣ c= 三个式子两边平方后相加，化简求解．15．（ 2014?厦门）设 a=192×918， b=8882﹣ 302， c=10532﹣ 7472，则数 a ， b ， c 按从小到大的顺序排列，结果是 a ＜ c ＜ b ．考点 ：因式分解的应用．分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为 918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．解答：解： a=192×918=361×918，b=888 2﹣302=（ 888﹣ 30） ×（888+30 ）=858×918，c=1053 2﹣7472=（ 1053+747 ）×（ 1053﹣ 747）=1800×306=600×918，所以 a ＜c ＜ b ． 故答案为： a ＜ c ＜ b ．16．（ 1999?杭州）如果 a+b+ ，那么 a+2b ﹣ 3c= 0 ．分析：先移项，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0，根据非负数的性质求出a 、b 、c 的值后，再代值计算．解答：解：原等式可变形为：a ﹣ 2+b+1+|﹣ 1|=4+2﹣ 5（ a ﹣ 2）+（ b+1 ）+|﹣ 1|﹣ 4﹣ 2 +5=0（ a ﹣ 2）﹣ 4+4+ （ b+1 ）﹣ 2+1+|﹣1|=0（ ﹣ 2） 2+（﹣ 1）2+| ﹣ 1|=0；即：﹣ 2=0，﹣ 1=0，﹣ 1=0 ，∴=2， =1， =1，∴a ﹣ 2=4 ，b+1=1 ， c ﹣1=1，解得： a=6， b=0 ，c=2；∴a+2b ﹣ 3c=6+0﹣ 3×2=0．17．已知 x ﹣ =1，则 = ．分析：2的值，再把所求算式整理成 的形式， 然把 x ﹣ =1 两边平方求出x + 后代入数据计算即可．解答：解： ∵x ﹣ =1，∴x 2+﹣2=1 ，∴x 2+=1+2=3 ，= = = ．故应填：．18．已知（ 2008﹣ a ）2+（ 2007 ﹣a ） 2=1，则（ 2008﹣a ） ?（ 2007﹣ a ） = 0．解答：解： ∵（ 2008﹣ a ） 2+（2007﹣ a ）2=1，22﹣ 2（ 2008﹣ a）（ 2007﹣ a），∴（2008 ﹣ a）﹣ 2（2008 ﹣ a）（ 2007﹣ a）+（ 2007﹣ a） =1即（ 2008﹣ a﹣ 2007+a）2=1﹣ 2（ 2008﹣a）（ 2007﹣a），整理得﹣ 2（ 2008﹣a）（2007﹣ a） =0，∴（ 2008 ﹣a）（ 2007﹣ a） =0．三．解答题（共8 小题）22是一个完全平方式，那么k= 4 或﹣ 2 ．19．如果 a ﹣2（ k﹣ 1） ab+9b解答：解：∵a 2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，∴﹣ 2（ k﹣1） ab=±2×a×3b，∴k﹣ 1=3 或 k﹣ 1=﹣ 3，解得 k=4 或 k= ﹣ 2．即k=4 或﹣ 2．故答案为： 4 或﹣ 2．点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．x x+320．已知 3 =8，求 3．解答：解： 3x+3=3x?33=8 ×27=216 ．点评：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．n﹣5n+1 3m﹣22n﹣ 1 m﹣233m+221．计算： a （ a b） +（ a b）（﹣ b）分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．解答：解：原式=a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），=a3n﹣ 3b6m﹣4+a3n﹣ 3（﹣b6m﹣ 4），3n﹣ 36m﹣43n﹣ 36m﹣4，=a b﹣ a b=0 ．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．22．已知 n 是正整数， 1++是一个有理式 A 的平方，那么，A=±．解答：解： 1++=，分子： n 2（ n+1 ）2+（n+1 ）2+n2=n2（ n+1 ）2+n2+2n+1+n2，22=n （ n+1） +2n（ n+1） +1，2=[n （ n+1 ）+1] ，∴分子分母都是完全平方的形式，∴A= ±．故答案为：±．23．已知 2008=，其中 x，y 为正整数，求 x+y 的最大值和最小值．分析：首先根据 2008=可知 xy=2009 ，再根据 x，y 为正整数，确定 x、y 可能的取值．根据 xy 的乘积的个位是 9，确定 x、 y 的个位可能是1、3、 7、 9．通过 x、y 都具有同等的地位，那么x 取过的值， y 也有可能，故只取x 即可， x 的十位数最大不会超过 5．因而就x 取值可能是 1、 11、 13、 17、 19、 21、 23、 27、 29、 31、 33、 37、 39、 41、 43、47、 49．就这几种情况讨论即可．解答：解：∵2008=2008=xy ﹣ 1∴2009=xy∵x， y 为正整数，并且乘积是2009 的个位数是9因而 x、y 的个位可能是1、 3、 7、 9①当 x 的个位是 1 时，x=1 ， y=2009 显然成立，x=11 ， y 不存在，x=21 ， y 不存在，x=31 ， y 不存在，x=41 ， y=49，②当 x 的个位是 3 时x=3 ， y 不存在，x=13 ， y 不存在，x=23 ， y 不存在，x=33 ， y 不存在，x=43 ， y 不存在；③当的个位是7 时x=7 ， y=287x=17 ， y 不存在x=27 ， y 不存在x=37 ， y 不存在x=47 ， y 不存在；④当 x 的个位是9 时x=9 ， y 不存在 x=19 ， y 不存在 x=29 ， y 不存在 x=39 ， y 不存在 x=49 ， y=41． 故可能的情况是① x=1 ， y=2009 或 x=2009 ， y=1， x+y=2010 ② x=7 ， y=287 或 x=287 ， y=7， x+y=7+287=394 ③ x=41 ， y=49 或 x=49， y=41， x+y=41+49=90故 x+y 的最大值是 2010，最小值是 9024．（ 2000?内蒙古）计算：解答： 解：由题意可设字母 n=12346，那么 12345=n ﹣1， 12347=n+1 ，于是分母变为 n 2﹣（ n ﹣ 1）（n+1 ）．应用平方差公式化简得22222n ﹣（ n ﹣1 ） =n ﹣ n +1=1 ，所以原式 =24690 ．25．设 a 2+2a ﹣1=0 ， b 4 ﹣2b 2﹣ 1=0 ，且 1﹣ ab 2≠0，求的值．分析：解法一：根据 1﹣ab 2≠0 的题设条件求得 b 2=﹣ a ，代入所求的分式化简求值．解法二：根据a 2+2a ﹣ 1=0 ，解得 a=﹣ 1+ 或 a=﹣ 1﹣，由 b 4﹣2b 2﹣ 1=0 ，解得：2b = +1，把所求的分式化简后即可求解．解答：解法一：解： ∵a 2+2a ﹣ 1=0 ， b 4﹣2b 2﹣ 1=0∴（ a 2+2a ﹣1）﹣（ b 4﹣ 2b 2﹣ 1）=0化简之后得到： （a+b 2）（ a ﹣ b 2+2） =0若 a ﹣ b 2+2=0 ，即 b 2=a+2，则 1﹣ ab 2=1﹣ a （ a+2） =1﹣ a 2﹣ 2a=0，与题设矛盾，所以a ﹣ b 2+2≠0因此 a+b 2=0，即 b 2=﹣ a∴===（﹣ 1） 2003=﹣ 1解法二： 解： a 2+2a ﹣ 1=0（已知），解得 a=﹣ 1+ 或 a=﹣1﹣ ， 由 b 4﹣ 2b 2﹣ 1=0 ，解得： b 2= +1 ， ∴ =b 2+ ﹣ 2+= +1﹣ 2+ ，当 a= ﹣ 1 时，原式 = +1﹣ 2+4+3 =4 +3 ，∵1﹣ ab 2≠0， ∴a= ﹣ 1 舍去；当 a=﹣ ﹣ 1 时，原式 = +1﹣2﹣ =﹣ 1，∴（﹣ 1） 2003=﹣ 1，即 =﹣ 1． 点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意 1﹣ab 2≠0 的运用． 26．已知3|2x ﹣ 1|+ +（ z ﹣1） 2=0，求 x 2+y 2+z 2+2xy+2xz+2yz 值． 分析：首先利用非负数的性质求得 x 、 y 、 z 的值，然后代入代数式求解即可． 解答：解： ∵3|2x ﹣1|+ +（ z ﹣ 1） 2=0，∴2x ﹣ 1=0， 3y ﹣ 1=0， z ﹣ 1=0 ∴x= ， y= ， z=1 ∴x 2+y 2+z 2+2xy+2xz+2yz= （ ）2+（ ） 2+12+2× × +2× ×1+2 × ×1=点评： 本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是求得未知数的值．。

可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法（1）(－3x)2(x＋1)(x＋3)＋4x(x－1)(x2＋x＋1)，其中x=－1；解：原式=9x2(x2＋3x＋x＋3)＋4x(x3＋x2＋x－x2－x－1)=9x2(x2＋4x＋3)＋4x(x3－1)=9x4＋36x3＋27x2＋4x4－4x=13x4＋36x3＋27x2－4x当x=－1时原式=13×(－1)4＋36×(－1)3＋27×(－1)2－4×(－1)=13－36＋27＋4=8（2）y n(y n＋3y－2)－3(3y n＋1－4y n)，其中y=－2，n=2．解：原式=y2n＋3y n＋1－2y n－9y n＋1＋12y n=y2n－6y n＋1＋10y n当y=－2，n=2时原式=(－2)2×2－6×(－2)2＋1＋10×(－2)2=16＋48＋40=10415、已知不论x、y为何值时(x＋my)(x＋ny)=x2＋2xy－8y2恒成立.求(m＋n)mn的值.解：x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋2xy－8y2x2＋(m＋n)xy＋mny2＝x2＋2xy－8y2∴m＋n＝2，mn＝－8∴(m＋n)mn＝2×(－8)＝－166、已知31=+a a，则221a a +＝（ B ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．117、如果x 2＋kx ＋81是一个完全平方式，则k 的值是（ D ）A ．9B ．－9C ．±9D ．±188、下列算式中不正确的有（ C ）①(3x 3－5)(3x 3＋5)＝9x 9－25②(a ＋b ＋c ＋d)(a ＋b －c －d)＝(a ＋b)2－(c ＋d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a －b)2·(4a ＋2b)2＝(4a －2b)2(4a －2b)2＝(16a 2－4b 2)2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是（ A ） A ．xy B ．2xy C ．2xy D ．0 10、已知m 2＋n 2－6m ＋10n ＋34＝0，则m ＋n 的值是（ A ）A ．－2B ．2C ．8D ．－8二、解答题11、计算下列各题：(1)(2a ＋3b)(4a ＋5b)(2a －3b)(5b －4a)(2)(x ＋y)(x －y)＋(y －z)(y ＋z)＋(z －x)(z ＋x);(3)(3m 2＋5)(－3m 2＋5)－m 2(7m ＋8)(7m －8)－(8m)2(1) 解：原式＝(2a ＋3b)(2a －3b)(4a ＋5b)(5b －4a)＝(4a 2－9b 2)(25b 2－16a 2)＝100a 2b 2－64a 4－225b 4＋144a 2b 2＝－64a 4＋244a 2b 2－225b 4(2) 解：原式＝x 2－y 2＋y 2－z 2＋z 2－x 2＝0(3) 解：原式＝25－9m 4－m 2(49m 2－64)－64m 2＝－58m 4＋2512、化简求值：(1)4x(x 2－2x －1)＋x(2x ＋5)(5－2x)，其中x ＝－1(2)(8x 2＋4x ＋1)(8x 2＋4x －1)，其中x ＝21 (3)(3x ＋2y)(3x －2y)－(3x ＋2y)2＋(3x －2y)2，其中x ＝31，y ＝－21 (1) 解：原式＝4x 3－8x 2－4x ＋x(25－4x 2)＝4x 3－8x 2－4x ＋25x －4x 3＝－8x 2＋21x当x ＝－1时原式＝－8×(－1)2＋21×(－1)＝－8－21＝－29(2) 解：原式＝(8x 2＋4x)2－1当x ＝时，原式＝[8×()2＋4×]2－1＝(2＋2)2－1＝15(3) 解：原式＝9x 2－4y 2－9x 2－12xy －4y 2＋9x 2－12xy ＋4y 2＝9x 2－24xy －4y 2当x ＝，y ＝－时原式＝9×()2－24××(－)－4×(－)2＝1＋4－1＝413、解下列方程：(1)(3x)2－(2x ＋1)2＝5(x ＋2)(x －2)解：9x 2－4x 2－4x －1＝5x 2－205x 2－4x －1＝5x 2－204x ＝19∴x ＝419(2)6x ＋7(2x ＋3)(2x －3)－28(x －21)(x ＋21)＝4解：6x ＋28x 2－63－28x 2＋7＝46x －56＝46x ＝60∴x ＝1014、解不等式：(1－3x)2＋(2x －1)2>13(x －1)(x ＋1)解：1－6x ＋9x 2＋4x 2－4x ＋1>13x 2－1313x 2－10x ＋2>13x 2－13－10x>－15∴x<2315、若n 满足(n －2004)2＋(2005－n)2＝1，求(2005－n)(n －2004)的值.解：(n －2004)2＋2·(n －2004)·(2005－n)＋(2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)(n －2004＋2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)1＝1＋2(2005－n)(n －2004)∴(2005－n)(n －2004)＝014.3 因式分解一、选择题1、下列各式，从左到右的变形是因式分解的为（ B ）A ．x 2－9＋5x ＝（x ＋3）（x －3）＋5xB ．x 2－4x ＋4＝（x －2）2C ．（x －2）（x －3）＝x 2－5x ＋6D ．（x －5）（x ＋2）＝（x ＋2）（x －5）2、把多项式x 2－mx －35分解因式为(x －5)(x ＋7)，则m 的值是（ B）A ．2B ．－2C ．12D ．－123、分解因式：x 2－2xy ＋y 2＋x －y 的结果是（ A ）A ．（x －y ）（x －y ＋1）B ．（x －y ）（x －y －1）C ．（x ＋y ）（x －y ＋1）D ．（x ＋y ）（x －y －1）4、若9x 2－12xy ＋m 是一个完全平方公式，那么m 的值是（ B ）。

整式的乘除与因式分解一、选择题：1．下列计算正确的是（ ）A ．105532a a a =+B ．632a a a =⋅C ．532)(a a =D ． 8210a a a =÷2．下列计算结果正确的是（ ）A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a3．两个三次多项式相加，结果一定是 （ ）A ．三次多项式B ．六次多项式C ．零次多项式D ．不超过三次的多项式4．把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后，余下的部分是（ ）A ．()1+xB ．()1+-xC ．xD ．()2+-x5．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 （ ）A 、2B 、0C 、－2D 、－56．已知代数式12x a －1y 3与－3x －b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A ．2,1a b =-⎧⎨=-⎩B ．2,1a b =⎧⎨=⎩C ．2,1a b =⎧⎨=-⎩D ．2,1a b =-⎧⎨=⎩7．已知2239494b b a b a n m =÷，则（ ）A ．3,4==n mB ．1,4==n mC ．3,1==n mD ．3,2==n m8．如图，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（）A ．m 2+12mnB ．22mn n -C ．22m mn+ D ．222m n +9．若2()9a b +=，2()4a b -=，则ab 的值是（ ）A 、54B 、－54C 、1D 、－1 二、填空题： 1．分解因式2233ax ay -= ．2．分解因式ab b a 8)2(2+- =_______．3．分解因式221218x x -+= ．4．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ．5．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．6. 已知a+b=5，ab=3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）-3a 2+ab-3b 2= ．7. 已知522=+b a ，()()223232a b a b --+＝－48，则a b +＝________． 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 ．9．观察下列等式： 第一行 3＝4－1第二行 5＝9－4第三行 7＝16－9第四行 9＝25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ ．三、解答题：1．计算题（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2 （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（ （4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（2．因式分解（1）3123x x - （2）2222)1(2ax x a -+（3）xy y x 2122--+ （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3．解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值5．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．四．综合拓展：1．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状．2．已知2006x+2006y=1，x+3y=2006，试求2x 2+8xy+6y 2的值五．巩固练习：1．若n221623=÷，则n 等于（ ）A ．10B ．5C ．3D ．62．计算：xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是（ ） A ．xy y x 232- B ．22322+-xy y x C ．1232+--xy y x D ．12322+--xy y x3．下列计算正确的是（ ）A ．x y x y x 221222223=⋅÷ B ．57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C ．mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D ．22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4．已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-，则这个多项式为＿＿＿5．若（a+b ）2=13（a-b ）2=7求a 2+b 2和ab 的值。

（完整版）整式的乘法与因式分解培优第二章整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变，相加。

a n.a m = (m,n 是正整数)2.幂的乘方，不变，相乘。

(a n )m = (m,n 是正整数)3.积的乘方，等于把，再把所得的幂。

(ab)n = (n 是正整数)4.单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘。

5.单项式与多项式相乘，先用单项式，再把所得的积，a （m+n ）=6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘，再把所得的积，（a+b ）（m+n ）= 。

7.平方差公式，即两个数的与这两个数的的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）=8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的，加（或减）它们的积的。

（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。

9.公式的灵活变形：（a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ，a 2+b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ，（a-b ）2=（a+b ）2- 。

【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式234a -+22212(3)4b a b --的值【例2】已知两个多项式A 和B ，43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x+=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 .【例5】已知 a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值.【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ；（2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ．【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．【例8】归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）= ；②（x﹣1）（x2+x+1）= ；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；（4）若（x﹣1）?m=x15﹣1，则m= ；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【例9】认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b ）n 的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）推断出多项式（a+b ）n （n 取正整数）的展开式的各项系数之和为S ，（结果用含字母n 的代数式表示）．课后作业：1、若0352=-+y x ，求y x 324?的值。

整式乘除与因式分解培优精练专题答案一．选择题（共9小题）2222．（2014•盘锦）计算（2a2）3•a正确的结果是（）7776可．解：原式==4a7，故选：B．22．3D．2故选：B．4．（2014•拱墅区二模）如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（）A．2，0 B．4，0 C．2，D．4，运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解：∵ax2+2x+=4x2+2x++m，∴，解得．5．（2014•江阴市模拟）如图，设（a＞b＞0），则有（）A．B．C．1＜k＜2 D．k＞2 解：甲图中阴影部分的面积=a2﹣b2，乙图中阴影部分的面积=a（a﹣b），=，∵a＞b＞0，∴，∴1＜k＜2．故选：C．6．（2012•鄂州三月调考）已知，则的值为（）A．B．C．D．无法确定解：∵a+=，∴两边平方得：（a+）2=10，展开得：a2+2a•+=10，∴a2+=10﹣2=8，∴（a﹣）2=a2﹣2a•+=a2+﹣2=8﹣2=6，∴a﹣=±，7．已知，则代数式的值等于（）A．B．C．D．分析：先判断a是正数，然后利用完全平方公式把两边平方并整理成的平方的形式，开方即可求解．解：∵，∴a＞0，且﹣2+a2=1，∴+2+a2=5，即（+|a|）2=5，开平方得，+|a|=．故选C．8．（2012•滨州）求1+2+2+2+…+2的值，可令S=1+2+2+2+…+2，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012．D．根据题目提供的信息，设S=1+5+5+5+…+5，用5S﹣S整理即可得解．解：设S=1+5+52+53+...+52012，则5S=5+52+53+54+ (52013)因此，5S﹣S=52013﹣1，S=．故选C．9．（2004•郑州）已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc A．4B．3C．2D．1b﹣c=﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，=a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），又由a=x+20，b=x+19，c=x+21，得（a﹣b）=x+20﹣x﹣19=1，同理得：（b﹣c）=﹣2，（c﹣a）=1，所以原式=a﹣2b+c=x+20﹣2（x+19）+x+21=3．故选B．法二：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），=[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，=[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，=×（1+1+4）=3．故选B．10．（2014•江西样卷）已知（x+5）（x+n）=x2+mx﹣5，则m+n=3．11．（2014•徐州一模）已知x﹣=1，则x2+=3．分析：首先将x﹣=1的两边分别平方，可得（x﹣）2=1，然后利用完全平方公式展开，变形后即可求得x2+的值．或者首先把x2+凑成完全平方式x2+=（x﹣）2+2，然后将x﹣=1代入，即可求得x2+的值．解：方法一：∵x﹣=1，∴（x﹣）2=1，即x2+﹣2=1，∴x2+=3．方法二：∵x﹣=1，∴x2+=（x﹣）2+2，=12+2，=3．故答案为：3．12．（2011•平谷区二模）已知，那么x2+y2=6．的值整体代入求值．解：∵x+y=，xy=2，∴（x+y）2=x2+y2+2xy，∴10=x2+y2+4，m n3m+2n14．（2005•宁波）已知a﹣b=b﹣c=，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ca的值等于﹣．后代入数据计算即可求解．解答：解：∵a﹣b=b﹣c=，∴（a﹣b）2=，（b﹣c）2=，a﹣c=，∴a2+b2﹣2ab=，b2+c2﹣2bc=，a2+c2﹣2ac=，∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）=++=，∴2﹣2（ab+bc+ca）=，∴1﹣（ab+bc+ca）=，∴ab+bc+ca=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由a﹣b=b﹣c=，得到a﹣c=，然后对a ﹣b=，b﹣c=，a﹣c=三个式子两边平方后相加，化简求解．15．（2014•厦门）设a=192×918，b=8882﹣302，c=10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是a＜c＜b．16．（1999•杭州）如果a+b+，那么a+2b﹣3c=0．根据非负数的性质求出a、b、c的值后，再代值计算．解答：解：原等式可变形为：a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5（a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5=0（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|=0（﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|=0；即：﹣2=0，﹣1=0，﹣1=0，∴=2，=1，=1，∴a﹣2=4，b+1=1，c﹣1=1，解得：a=6，b=0，c=2；∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0．17．已知x﹣=1，则=．分析：把x﹣=1两边平方求出x2+的值，再把所求算式整理成的形式，然后代入数据计算即可．解：∵x﹣=1，∴x2+﹣2=1，∴x2+=1+2=3，===．故应填：．=0．2220．已知3x=8，求3x+3．n﹣5n+13m﹣22n﹣1m﹣233m+222．已知n是正整数，1++是一个有理式A的平方，那么，A=±．解答：解：1++=，分子：n2（n+1）2+（n+1）2+n2=n2（n+1）2+n2+2n+1+n2，=n2（n+1）2+2n（n+1）+1，=[n（n+1）+1]2，∴分子分母都是完全平方的形式，∴A=±．故答案为：±．23．已知2008=，其中x，y为正整数，求x+y的最大值和最小值．分析：首先根据2008=可知xy=2009，再根据x，y为正整数，确定x、y可能的取值．根据xy的乘积的个位是9，确定x、y的个位可能是1、3、7、9．通过x、y 都具有同等的地位，那么x取过的值，y也有可能，故只取x即可，x的十位数最大不会超过5．因而就x取值可能是1、11、13、17、19、21、23、27、29、31、33、37、39、41、43、47、49．就这几种情况讨论即可．解：∵2008=2008=xy﹣1∴2009=xy∵x，y为正整数，并且乘积是2009的个位数是9因而x、y的个位可能是1、3、7、9①当x的个位是1时，x=1，y=2009显然成立，x=11，y不存在，x=21，y不存在，x=31，y不存在，x=41，y=49，②当x的个位是3时x=3，y不存在，x=13，y不存在，x=23，y不存在，故x+y的最大值是2010，最小值是9024．（2000•内蒙古）计算：25．设a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，求的值．解法一：根据1﹣ab2≠0的题设条件求得b2=﹣a，代入所求的分式化简求值．解法二：根据a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1+或a=﹣1﹣，由b4﹣2b2﹣1=0，解得：b2=+1，把所求的分式化简后即可求解．解法一：学习-----好资料a﹣b2+2≠0因此a+b2=0，即b2=﹣a∴===（﹣1）2003=﹣1解法二：解：a2+2a﹣1=0（已知），解得a=﹣1+或a=﹣1﹣，由b4﹣2b2﹣1=0，解得：b2=+1，∴=b2+﹣2+=+1﹣2+，当a=﹣1时，原式=+1﹣2+4+3=4+3，∵1﹣ab2≠0，∴a=﹣1舍去；当a=﹣﹣1时，原式=+1﹣2﹣=﹣1，∴（﹣1）2003=﹣1，即=﹣1．本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1﹣ab2≠0的26．已知3|2x﹣1|++（z﹣1）2=0，求x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz值．分析：首先利用非负数的性质求得x、y、z的值，然后代入代数式求解即可．解：∵3|2x﹣1|++（z﹣1）2=0，∴2x﹣1=0，3y﹣1=0，z﹣1=0∴x=，y=，z=1∴x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=（）2+（）2+12+2××+2××1+2××1=本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是求得未知数的值．更多精品文档。