当前位置：文档之家 › 第四章一元线性回归汇总

第四章一元线性回归汇总

  • 格式：ppt
  • 大小：2.52 MB
  • 文档页数：105

下载文档原格式

  / 105

合集下载

《一元线性回归》课件

《一元线性回归》课件
模型评价
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测

第四章 线性回归分析

第四章 线性回归分析
Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,

第4章-一元线性回归-计量经济学及Stata应用

第4章-一元线性回归-计量经济学及Stata应用

n
ei 0
i1
n
i1
xiei
0
写为向量内积的形式：
(4.16) (4.17)
22
e1
1
1
0,
x1
en
e1
xn
0
en
(4.18)
定义常数向量、残差向量、解释向量以及拟合值向量为
1
1
,
1n1
e1
e
,
en
x1
x
,
xn
yˆ1
yˆ
yˆn
(4.19)
y
(xi , yi ) • ei
• ••
a•
• a +bx
•
•
•
b
•
1
••
x
图 4.2 数据生成过 程
11
4.2 OLS 估计量的推导
如何根据观测值xi
,
yi
n i1
来估计总体回归直线
xi？
希望在(x, y) 平面上找到一条直线，使得此直线离所有这些点 (观 测值)最近，参见图 4.3。
在此平面上，任意给定一条直线，yi ˆ ˆxi (其中，ˆ读为 alpha hat， ˆ读为 beta hat)，计算每个点(观测值)到这条线的距离， ei y i ˆ ˆ xi，称为“残差”(residual)。
除 xi 以外，影响 yi 的所有其他因素都在i 中。
下标 i 表示个体 i，比如第 i 个人，第 i 个企业，第 i 个国家 等。
i 的取值为1, , n ，其中n 为“样本容量”(sample size)。
方程 (4.5) 右边的确定性部分为 xi ，称为 总体回归线

第四章计量经济学答案

第四章计量经济学答案

第四章一元线性回归第一部分学习目的和要求本章主要介绍一元线性回归模型、回归系数的确定和回归方程的有效性检验方法。

回归方程的有效性检验方法包括方差分析法、t检验方法和相关性系数检验方法。

本章还介绍了如何应用线性模型来建立预测和控制。

需要掌握和理解以下问题：1 一元线性回归模型2 最小二乘方法3 一元线性回归的假设条件4 方差分析方法5 t检验方法6 相关系数检验方法7 参数的区间估计8 应用线性回归方程控制与预测9 线性回归方程的经济解释第二部分练习题一、术语解释1 解释变量2 被解释变量3 线性回归模型4 最小二乘法5 方差分析6 参数估计7 控制8 预测二、填空ξ，目的在于使模型更1 在经济计量模型中引入反映（）因素影响的随机扰动项t符合（）活动。

2 在经济计量模型中引入随机扰动项的理由可以归纳为如下几条：（1）因为人的行为的（）、社会环境与自然环境的（）决定了经济变量本身的（）；（２）建立模型时其他被省略的经济因素的影响都归入了（）中；（３）在模型估计时，（）与归并误差也归入随机扰动项中；（4）由于我们认识的不足，错误的设定了（）与（）之间的数学形式，例如将非线性的函数形式设定为线性的函数形式，由此产生的误差也包含在随机扰动项中了。

3 （）是因变量离差平方和，它度量因变量的总变动。

就因变量总变动的变异来源看，它由两部分因素所组成。

一个是自变量，另一个是除自变量以外的其他因素。

（）是拟合值的离散程度的度量。

它是由自变量的变化引起的因变量的变化，或称自变量对因变量变化的贡献。

（）是度量实际值与拟合值之间的差异，它是由自变量以外的其他因素所致，它又叫残差或剩余。

4 回归方程中的回归系数是自变量对因变量的（）。

某自变量回归系数β的意义，指的是该自变量变化一个单位引起因变量平均变化（ ）个单位。

5 模型线性的含义，就变量而言，指的是回归模型中变量的（ ）；就参数而言，指的是回归模型中的参数的（ ）；通常线性回归模型的线性含义是就（ ）而言的。

一元线性回归

一元线性回归

由此可推测：当火灾发生地离最近的消 防 站 为 10km 时 ， 火 灾 损 失 大 致 在
ˆ y 10.279 49.19 59.369（千元） 当火 ；
灾发生地离最近的消防站为 2km 时，火灾损 失大致在 20.117（千元）
三、0，1的性质


1, 线性
1
(x x ) y
为 y 关于 x 的一元线性经验回归方程 （简称为回归直
ˆ 线方程） 0 为截距， 1 为经验回归直线的斜率。 ， ˆ
引进矩阵的形式：
y1 1 x1 1 0 y2 1 x2 2 设 y ， X ， ， 1 y 1 x n n n
变量之间具有密切关联 而又不能由一个或某一些变 量唯一确定另外一个变量的 关系称为变量之间的相关关 系.
y
y f ( x)
y
Y f (X )
0
(a) 函数关系
x
0
(b) 统计关系
x
种类
正相关 负相关
一元相关 多元相关
线性相关 曲线相关
y
y
y
y
正相关
x
负相关
x
曲线相关
x
不相关
x
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。 因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定 性。 我们将上海市城镇居民可支配收入与支出的数据 （1985 年~2002 年）用散点图表示，可以发现居民的 收入 x 与消费支出 y 基本上呈现线性关系，但并不完 全在一条直线上。 附数据与图形。

计量经济学 第四章

计量经济学 第四章

100%
统计检验
利用统计量对模型参数进行假设 检验，判断参数是否显著。
80%
计量经济学检验
包括模型的异方差性、自相关性 、多重共线性等问题的检验。
模型的修正方法
增加解释变量
如果模型存在遗漏变量，可以通过增加解释变量来 修正模型。
删除解释变量
如果模型中某些解释变量不显著或存在多重共线性 ，可以考虑删除这些变量。
模型表达式
Y = β0 + β1X + ε
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数β0和β1
参数解释
β0为截距项，β1为斜率项，ε为随机误差项
模型的检验
包括拟合优度检验、显著性检验等
多元线性回归模型
01
02
03
04
模型表达式
参数解释
最小二乘法
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε
最小二乘法估计量的性质
线性性
最小二乘法估计量是随机样本的线性组合。
无偏性
最小二乘法估计量的期望值等于总体参数的 真实值。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量的 方差最小。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量收敛 于总体参数的真实值。
最小二乘法的计算步骤
构造设计矩阵X和响应向量Y。 计算设计矩阵X的转置矩阵X'。 计算X'X和X'Y。
求解线性方程组X'Xβ=X'Y，得到回归系 数的最小二乘估计β^=(X'X)^(-1)X'Y。
根据β^计算因变量的拟合值Y^=Xβ^。
计算残差e=Y-Y^，以及残差平方和 RSS=e'e。

一元线性回归模型(第四次课)

一元线性回归模型(第四次课)
温故知新
四、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
五、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
ˆ 1、参数估计量 0 和 ˆ1 的概率分布
ˆ 1 ~ N ( 1 ,
x
2
2 i
)
ˆ 0 ~ N ( 0 ,
n x
X i2
2 i
2)
2、随机误差项的方差2的估计
R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟 合优度越高。
经变换发现，R与X,Y的相关系数r值相同。可通 过R与r进行X与Y的线性相关性检验，查书后附表1。
二、变量的显著性检验
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一 个显著性的影响因素。 即判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进 行变量的显著性检验。
Zi2
i 1 i 0
n
n
(Yi ) 2
2
~ 2 n
F分布：
分 设U是服从自由度为n1的χ2分布的随机变量，即U~ χ2(n1)， 布
U n1 F ~ F n1 , n2 V n2
V是服从自由度为n2的χ2分布的随机变量，即V~ χ2(n2)，且U 和V相互独立，则：
该两组数据是1978~2000年的时间序列数据 （time series data）； 前述收入-消费支出例中的数据是截面数据 （cross-sectional data）。
1、建立模型
拟建立如下一元回归模型
CONSP C GDPP
采用Eviews软件进行回归分析的结果见下表
表 2.5.2 中国居民人均消费支出对人均 GDP 的回归（1978~2000） LS // Dependent Variable is CONSP Sample: 1978 2000 Included observations: 23 Variable C GDPP1 Coefficient 201.1071 0.386187 Std. Error 14.88514 0.007222 t-Statistic 13.51060 53.47182 Prob. 0.0000 0.0000 905.3331 380.6428 7.092079 7.190818 2859.235 0.000000

一元线性回归分析PPT课件

一元线性回归分析PPT课件
第18页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页

计量经济学一元线性回归模型总结

计量经济学一元线性回归模型总结

计量经济学⼀元线性回归模型总结第⼀节两变量线性回归模型⼀．模型的建⽴1．数理模型的基本形式y x αβ=+ （2.1）这⾥y 称为被解释变量(dependent variable)，x 称为解释变量(independent variable)注意：（1）x 、y 选择的⽅法：主要是从所研究的问题的经济关系出发，根据已有的经济理论进⾏合理选择。

（2）变量之间是否是线性关系可先通过散点图来观察。

2．例如果在研究上海消费规律时，已经得到上海城市居民1981-1998年期间的⼈均可⽀配收⼊和⼈均消费性⽀出数据（见表1），能否⽤两变量线性函数进⾏分析？表1.上海居民收⼊消费情况年份可⽀配收⼊消费性⽀出年份可⽀配收⼊消费性⽀出 1981 636.82 585 1990 2181.65 1936 1982 659.25 576 1991 2485.46 2167 1983 685.92 615 1992 3008.97 2509 1984 834.15 726 1993 4277.38 3530 1985 1075.26 992 1994 5868.48 4669 19861293.24117019957171.91586819871437.09128219968158.746763 19881723.44164819978438.896820 19891975.64181219988773.168662．⼀些⾮线性模型向线性模型的转化⼀些双变量之间虽然不存在线性关系，但通过变量代换可化为线性形式，这些双变量关系包括对数关系、双曲线关系等。

例3-2 如果认为⼀个国家或地区总产出具有规模报酬不变的特征，那么采⽤⼈均产出y与⼈均资本k的形式，该国家或者说地区的总产出规律可以表⽰为下列C-D⽣产函数形式y Akα=（2.2）也就是⼈均产出是⼈均资本的函数。

能不能⽤两变量线性回归模型分析这种总量⽣产规律？3．计量模型的设定（1）基本形式：y x αβε=++ （2.3）这⾥ε是⼀个随机变量，它的数学期望为0，即（2.3）中的变量y 、x 之间的关系已经是不确定的了。

第四章 一元线性回归

第四章 一元线性回归
i 1
n
xi x
2 ( x x ) i i 1
n
( 0 1 xi ) 1
(4.28)
2 ˆ ( x x ) 0, ( x x ) x ( x x ) i i i 证得 1是 1 的无偏估计，其中用到 i ˆ 同理可证 是 0 的无偏估计。
2 (4.9) ˆ ˆ min ( y x ) ( y x ) ˆ ˆ i 0 1 i i 0 1 i Q( 0 , 1 ) ,
n
2
n
ˆ0 , ˆ1 就成为回归参数 0 ， 1 的 • 依照(4.9)式求出的 最小二乘估计。称
xi x
i 1 i 1
其中 ( x
i 1
是 yi 的常数，所以 1 是 yi 的线性组合。同理可 以证明 0是 yi 的线性组合。 ˆ , ˆ 亦为 因为 y i 为随机变量，所以作为 yi 的线性组合， 0 1 随机变量，因此各自有其概率分布、均值、方差、标准差及两 者的协方差。
0
无偏估计的意义是。如果屡次变更数据，反复求 0 , 1 的 估计值，这两个估计值没有高估或低估的系统趋势，他们的 平均值将趋于 0 , 1 。 ˆ ˆ x ) x E y ˆi ) E ( E( y 0 1 i 0 1 i 进一步有， ，表明回归值 是 的无偏估计，也说明 与真实值 的平均值是相同的。
(4.2)
• 这里 E ( )表示 差。
的数学期望，var( )表示
的方
• 对(4.1)式两端求期望，得 E( y) 0 1 x (4.3) 称(4.3)式为回归方程。 • 一般情况下，我们所研究的某个实际 问题，获得的n组样本观测值

计量经济学 第4章 一元线性回归模型

计量经济学 第4章 一元线性回归模型

注意：
1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;
2、如果假设4满足，则假设2也满足
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯 （Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也 称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。
第二节 最小二乘法（OLS）
利用OLS来估计（4.3）式，可以得到所谓的估计回归直线，
ˆX ˆ a u
残差=实际值—估计值
ˆX ) ˆ Y (a ˆ Y Y ˆ u
2、计算残差的2次方的和，即残差平方和（RSS）,得
ˆX )]2 ˆ 2 [Y (a ˆ u
-973 1314090 1822500 947508 -929 975870 1102500 863784 -445 334050 562500 198381 -412 185580 202500 170074 -159 23910 22500 25408 28 4140 22500 762 402 180720 202500 161283 511 382950 562500 260712 1018 1068480 1102500 1035510 963 1299510 1822500 926599 5769300 7425000 4590020
对于总体回归模型， y f ( x1 , x2 , , xk ) u 特别地,当只有一个自变量且 f ( x) 0 1 x 时，则有： (4.3) y 0 1 x u
0 为直线的截距， 1 为直 其中 0 和 1 为两个待定参数， 线的斜率。我们称（4.3）为一元线性总体回归模型。
函数关系与相关关系的区别
确定的函数关系可以直接用于经济活动，无需分析。

一元线性回归分析

一元线性回归分析

9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之

《应用数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案

《应用数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案

《应⽤数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案第四章回归分析课后作业参考答案4.1 炼铝⼚测得铝的硬度ｘ与抗张强度ｙ的数据如下：i x６８ 53 70 84 60 72 ５1 83 7０ 6４i y288 29８ 3４９ 343 29０ 3５4 283 3２4 340 2８6(1)求y 对ｘ的回归⽅程（２)检验回归⽅程的显著性（05.0=α) (３)求ｙ在x =65处的预测区间(置信度为０．9５) 解：(1) １、计算结果⼀元线性回归模型εββ++=x y 10只有⼀个解释变量其中:x 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数,ε位随机⼲扰项。

()()()()685.222,959.4116,541.35555.76725.19745.109610,5.3151,5.671221212112121211=-==-====-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n yyy L y x n y x y y x x L x n xxx L n y n y x n x ee yy e xxxyni ini i yy ni i i n i i i xy ni ini i xx ni i n i i σ使⽤普通最⼩⼆乘法估计参数10,ββ上述参数估计可写为95.193??,80.1?101=-===x y L L xxxy βββ所求得的回归⽅程为：x y80.195.193?+= 实际意义为：当铝的硬度每增加⼀个单位,抗张强度增加１.８０个单位。

2、软件运⾏结果根据所给数据画散点图过检验由线性回归分析系数表得回归⽅程为:x y801.1951.193?+=,说明x 每增加⼀个单位，y 相应提⾼1.８０1。

(2) 1、计算结果①回归⽅程的显著性检验(F 检验):0H 线性回归效果不显著 :1H 线性回归效果显著()91.62/=-=n Q UF e在给定显著性⽔平05.0=α时，()()F F n F <==--32.58,12,195.01α,所以拒绝0H ，认为⽅程的线性回归效果显著②回归系数的显著性检验（t 检验)0:10=βH 0:11≠βH()628.22/?1=-=n Q L t e xx β在给定显著性⽔平05.0=α时，()()t t n t<==--306.282975.021α,所以拒绝0H ,认为回归系数显著,说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。

一元线性回归方程

一元线性回归方程

n
n
避免其偏离差（有正误差、负误差）相互抵消，采用偏离差平方和 Q(a ，b) ( yi yi )2
i 1
i 1
( yi a bxi )2（也称残差平方和）来刻画观测值(xi ，yi )与直线 y a bx 的偏离程度 . 一般
所说的回归直线就是使 Q(a ，b) 最小的直线，求所需回归直线的截距和斜率，就转化成了求使
Lxx （4）写出回归（估计）方程 y a bx .
一元线性回归方程
1.2 线性相关关系的显著性检验
从以上建立回归直线方程的过程不难看出，用最小二乘法所建立的回归直线方程，只是通 过一组样本观察值 (xi ，yi ) (i 1，2 ， ，n) 来建立的 . 变量 x 与 y 之间是否存在线性关系，或者 其线性关系是否显著，还需进行检验.常用的线性相关关系的显著性检验有两种方法，即 F 检 验法和相关系数检验法 . 在此仅介绍相关系数检验法 .
0， 0.
即nan b a i1 xi
n
n
xi yi ，
i 1
i 1
n
n
b xi2 xi
i 1
i 1
yi
，取
x
y
1 n 1 n
n
i 1 n
i 1
xi ， yi .
一元线性回归方程
n
n
n
n xi yi xi yi
n
xi yi nx y
b
解之得
i 1
，
即Q(a ，b) Lyy (1 R2 ) .
一元线性回归方程
n
n
因为Q(a ，b) ( yi yi )2 0 ，Lyy ( yi y)2 0 ，
i 1

一元线性回归

一元线性回归
y 4000 3000 2000 1000
· · ·· ·· · · ·· ·
2 4 6 8 10
o线附 近, 这告诉我们变量x和y之间大致可看作线 性关系. 从图中还看到, 这些点又不完全在 一条直线上, 这表明x和y的关系并没有确切 到给定x就可以唯一确定y的程度.
其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高 和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定 的函数关系.
类似的变量间的关系在大自然和社会中 屡见不鲜.
例如 , 小麦的穗长与穗重的关系 ; 某班学生最 后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温 度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄 与血压的关系;最大积雪深度与灌溉面积间的 关系;家庭收入与支出的关系等等.
这种大量存在的变量间既互相联系但又不 是完全确定的关系，称为相关关系. 从数量的角度去研究这种关系，是数 理统计的一个任务. 这包括通过观察和试 验数据去判断变量之间有无关系，对其关 系大小作出数量上的估计 , 对互有关系的 变量通过其一去推断和预测其它,等等. 回归分析就是研究相关关系的一种重 要的数理统计方法.
V=I. R
以上两例的共同点在于，三个量中任意 两个已知，其余一个就可以完全确定. 也就 是说，变量之间存在着确定性的关系，并且 可以用数学表达式来表示这种关系. 然而，在大量的实际问题中，变量之 间虽有某种关系，但这种关系很难找到一 种精确的表示方法来描述.
例如,人的身高与体重之间有一定的关系, 知道一个人的身高可以大致估计出他的体重, 但并不能算出体重的精确值.
y=a+bx+ε, ε ～N(0， )
2
(1)
现对模型(1)中的变量x , y进行了n次独 立观察, 得样本 (x1,y1),…,(xn,yn) (3)

气象统计方法 第四章 一元线性回归分析

气象统计方法 第四章 一元线性回归分析
(xi , yi)
yˆ ˆ0 ˆ1x
x
全部观测值与回归估计值的离差平方和记为
n
Q(a, b) ( yi yˆi )2 t 1
它刻画了全部观测值与回归直线偏离程度。
显然，Q值越小越好。a和b是待定系数，根 据
微积分学中的Q极值0 原理，要Q求 ：0
a
b
满足上面关系的Q值最小。整理得到：
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或 者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取 值变化，也称为可解释的平方和。
3.残差平方和(Q)
反映除 x 以外的其它因素对 y 取值的影响，也称为 不可解释的平方和或剩余平方和。
2
n i 1
(
yi
a
bxi
)
0
n
2 i1 ( yi a bxi )xi 0
＝r2
（2）回归系数b与相关系数之间的关系
b
S xy
S
2 x
Sy Sx
rxy
r与b同号。
6. 回归方程的显著性检验
U
F
1 Q
(n 2)
原假设回归系数b为0的条件下，上述统计量遵从
分子自由度为1，分母自由度为（n-2）的F分布，
若线性相关显著，则回归方差较大，因此统计量F
也较大；反之，F较小。对给定的显著性水平 ,
判决系数R2 (coefficient of determination)
1. 回归平方和占总离差平方和的比例； 2. 反映回归直线的拟合程度； 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间； 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；
R20，说明回归方程拟合的越差； 5. 判决系数等于相关系数的平方，即R2

一元线性回归资料

一元线性回归资料
§2.1
回归分析概述
一、回归分析基本概念 二、总体回归函数 三、随机干扰项 四、样本回归函数
一、回归分析基本概念
1、变量间的相互关系 （1）确定性现象间的关系常常表现为函数关系。 例如：s=πr2 （2）非确定性现象间的关系常常表现为统计相 关关系。 例如：农作物产量Y与施肥量X间的关系。
2、相关分析与回归分析 （1）回归分析是研究一个变量关于另一个（些） 变量的依赖关系的计算方法和理论。其目的在 于通过后者的已知或设定值，去估计和预测前 者的均值。前一个变量称为被解释变量（应变 量），后一个变量称为解释变量（自变量）。
一、线性回归模型的基本假设
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项µ具有零均值、同方差和不序列相 关性： E(µi)=0 i=1,2, …,n Var (µi)=σµ2 i=1,2, …,n Cov(µi, µj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项µ与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, µi)=0 i=1,2, …,n 假设4、µ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i=1,2, …,n µi~N(0, σµ2 )
∑ xi yi = ∑ ( X i − X )(Yi − ห้องสมุดไป่ตู้ ) = ∑ X iYi −
1 ∑ X i ∑ Yi n
上述参数估计量可以写成： β = Σxi y i ˆ1 2
Σx i β = Y − β X ˆ ˆ 1 0
称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 离差形式（ 离差形式 ）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的， 故称为普通最小二乘估计量（ordinary least 普通最小二乘估计量 普通最小二乘估计量（ squares estimators）。 ）
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

元）
元）
元）
（元）
1986
963
497
1996
5846
2789
1987
1112
565
1997
6420
3002
1988
1366
714
1998
6796
3159
1989
1519
788
1999
7159
3346
1990
1644
833
2000
7858
3632
1991
1893
932
2001
8622
3869
1992
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
7
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
8
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
二、一元线性回归模型的数学形式
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
12
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
13
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
14
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
20
目录 上页 下页 返回 结束
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
21
目录 上页 下页 返回 结束
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
粮食产量y(万吨)
42947.44 41673.21 47244.34 43061.53 47336.78 37127.89 39515.07
化肥施用量x(万吨) 3710.56 3269.03 1017.12 1864.23 2797.24 1034.09
粮食产量y(万吨)
46598.04 44020.92 34866.91 37184.14 41864.77 33717.78
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
3
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
• 例4.1 假定需要研究化肥施用量与粮食产量的关 系，以便准确地定出化肥施用量的单位变化如何 影响粮食产量的平均单位变化，进而确定合理的 化肥施用量。表4.1列出了20组粮食产量与化肥施 用量的数据。图4.1给出20个样本点的分布状况。
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
4
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
5
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
表4.2 年份
人均国民收入表
人均国民收入（ 人均消费金额（ 年份 人均国民收入（ 人均消费金额
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
17
目录 上页 下页 返回 结束
一、普通最小二乘估计
2020/10/
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
18
目录 上页 下页 返回 结束
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
19
目录 上页 下页 返回 结束
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
15
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
为了在今后的讨论中充分利用矩阵这个处理线性关系的有力 工具,我们这里将一元线性回归的一般形(4.4)式用矩阵表示。
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
16
目录 上页 下页 返回 结束
9
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
10
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
11
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
• 在实际问题的研究中,经常需要研究某一现象与影 响它的某一最主要因素的影响。
• 如影响粮食产量的因素非常多,但在众多因素中, 施肥量是一个重要的因素,我们往往需要研究施肥 量这一因素与粮食产量之间的关系;
• 在消费问题的研究中,影响消费的因素很多,但我 们可以只研究国民收入与消费额之间的关系,因为 国民收入是影响消费的最主要因素;
• 保险公司在研究火灾损失的规律时,把火灾发生地 与最近的消防站的距离作为一个最主要因素,研究 火灾损失与火灾发生地距最近消防站的距离之间 的关系。
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
2
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
• 上述几个例子都是研究两个变量之间的关系,而且 它们的一个共同点是:两个变量之间有着密切的关 联,但它们之间密切的程度并不能由一个变量唯一 确定另一个变量,即它们间的关联是一种非确定性 的关系。那么它们之间到底有什么样的关系呢?
2311
1116
2002
9398
4106
1993
2998
1393
2003
10542
4411
2020/10/12994 1995
4044
1833
2004
12336
4925
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
6
5046
2355
2005
14040
5439
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
第4章 一元线性回归
§4.1 一元线性回归模型
§4.3 最小二乘估计的性质
§4.4 回归方程的显著性检验
§4.5 残差分析
§4.6 预测和控制
§4.7 建模总结和应注意的问题
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
1
目录 上页 下页 返回 结束
§4.1 一元线性回归模型
• 一、一元线性回归模型的实际背景
表4.1
粮食产量与化肥施用量
化肥施用量x(万吨) 4541.05 3637.87 2287.49 3056.89 4883.7 3779.3
4021.09
粮食产量y(万吨)
48526.69 45110.87 40753.79 43824.58 50890.11 46370.88 46577.91
化肥施用量x(万吨) 2989.06 3021.9 3953.97 3212.13 3804.76 1598.28 1998.56