数列与函数的极限公式概念

高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。

极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。

一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。

2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。

（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。

（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。

3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。

（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。

数列极限与函数极限的关系数列和函数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的联系。

数列极限与函数极限是数学中的两个基本概念，它们之间有着紧密的关系。

本文将分别从数列极限和函数极限两个方面展开讨论，并阐述它们之间的关系。

一、数列极限数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列中的每个元素称为项，用{a_n}表示。

数列有着重要的性质，其中之一就是数列的极限。

数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n = A，表示当n趋向于无穷大时，数列的项a_n无限接近于A。

其中，A称为数列的极限值。

一个数列有极限存在，意味着数列的项在某个值上趋于稳定。

通过数列的极限，我们可以推导数列的性质和规律，从而解决各种数学问题。

二、函数极限函数是数学中常见的一种概念，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。

函数极限在微积分中有着重要的应用，是求导、求积分等运算的基础。

设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限存在，记作lim(x→a)f(x) = A。

其中，A称为函数的极限值。

函数极限可以帮助我们研究函数的性态以及函数在某个点上的表现，从而解决各种数学问题。

三、数列极限与函数极限是密不可分的。

事实上，数列极限是函数极限的一种特殊情况。

对于一个数列{a_n}，我们可以构造一个函数f(x)，使得当x取整数时，f(x)的值与数列{a_n}的对应项相等。

换句话说，数列{a_n}可以看作是函数f(x)在整数点处的取值。

当数列{a_n}的极限存在时，函数f(x)在整数点处的极限也存在，并且两者的极限值相等。

即lim(n→∞)a_n = lim(x→∞)f(x)。

这个关系可以帮助我们从函数的角度来理解和研究数列的性质。

通过函数的极限性质，我们可以更加深入地理解数列的收敛性和发散性。

数列极限与函数极限的区别与联系在数学中，极限是一个非常基础的概念，而数列极限和函数极限则是极限的两种形式。

数列极限和函数极限都是极限的具体表现形式，但是它们之间还是存在很多的区别和联系。

本文将从数列极限和函数极限的定义、性质、求解方法等方面，分析数列极限和函数极限之间的区别和联系。

一、数列极限和函数极限的定义1. 数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列中的每个项都趋向于某个固定的数。

数列极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{n to infty} a_n = a$$其中，$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，$a$ 表示数列的极限。

2. 函数极限的定义函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个固定的数。

函数极限的定义可以用符号表示为：$$lim_{x to x_0} f(x) = A$$其中，$f(x)$ 表示函数的值，$x$ 表示自变量，$x_0$ 表示自变量的趋向值，$A$ 表示函数的极限。

二、数列极限和函数极限的性质1. 数列极限和函数极限的唯一性数列极限和函数极限都具有唯一性。

即数列和函数只有一个极限值。

2. 数列极限和函数极限的保号性对于数列极限和函数极限，如果它们的极限值是正数，那么它们的项或函数值都可以取到正数。

如果它们的极限值是负数，那么它们的项或函数值都可以取到负数。

3. 数列极限和函数极限的夹逼定理夹逼定理是数列极限和函数极限中的一个重要定理。

它可以用来求解一些难以直接求解的极限。

夹逼定理的表述如下：设数列 ${a_n}$，${b_n}$，${c_n}$ 满足 $a_n leq b_n leq c_n$，且 $lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} c_n = A$，则 $lim_{n to infty} b_n = A$。

三、数列极限和函数极限的求解方法1. 数列极限的求解方法数列极限的求解方法有很多种，下面介绍几种常用的方法。

大一高数极限知识点笔记一、基本概念：在数学中，极限是描述一个数列或者函数在逼近某一数值时的行为的概念。

在大一高数中，我们将会学习一些基本的极限知识点，让我们一起来看一看吧！1. 数列的极限数列的极限是指当n趋近于无穷大时，数列的项趋于某个常数L。

即当n趋近于无穷大时，数列的项与L的差趋近于零。

2. 函数的极限函数的极限是指当自变量x趋近于某个数a时，函数的值趋于某个常数L。

即当x趋近于a时，函数f(x)与L的差趋近于零。

二、常见的极限计算方法：在计算极限时，我们常常使用以下几种方法：1. 代入法对于一些简单的函数，在计算极限时我们可以直接将自变量的值代入函数中，得到极限的结果。

2. 分式的化简当函数为分式形式时，我们可以通过化简分式的形式，将其化为更简单的形式来计算极限。

3. 极限的性质极限具有一些基本的运算性质，比如极限的和、差、积、商的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的极限。

4. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法，它的核心思想是通过找到两个函数夹住待求函数，并且这两个函数的极限相同，从而得到待求函数的极限。

三、常见的极限公式：在计算极限时，我们还可以利用一些常见的极限公式来简化计算，以下是一些常见的极限公式：1. 基本的极限公式- lim(x→0) sin(x)/x = 1- lim(x→∞) (1+1/x)^x = e2. 无穷小与无穷大的极限- lim(x→0) a^x - 1/x = ln(a)- lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e3. 三角函数的极限- lim(x→0) (1-cos(x))/x^2 = 1/2- lim(x→0) (sin(x))/x = 1四、总结：通过学习大一高数的极限知识点，我们可以更好地理解数列和函数的极限行为，从而为后续的数学学习打下坚实的基础。

通过掌握极限的基本概念、常见的计算方法以及公式，我们可以更加高效地求解各种复杂的极限题目。

数列极限与函数极限的异同及其本质原因数列极限与函数极限的异同及其本质原因数学中，极限是一个非常重要的概念，被应用在微积分、实分析等诸多领域，且有着不同的表现方式：数列极限和函数极限。

在学习过程中，我们不仅要了解数列极限和函数极限的异同，还要了解它们的本质原因。

一、数列极限与函数极限的异同数列极限和函数极限都是在无限趋近于某一值的过程中进行研究的，并且它们在一定程度上具有一些相似性，但是它们也有很多的区别。

1.定义数列极限：如果数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$当$n$趋近于无穷的时候逐步趋近于某个确定的常数$A$，则称常数$A$为数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$的极限，记为$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。

函数极限：如果当$x$无限趋近于某个确定值$x_0(x_0\in R)$ 的过程中，函数$f(x)$的取值{臶}次逐步趋向一个确定的常数$A$，则称常数$A$为函数$f(x)$在$x_0$处的极限，记为$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$。

在定义上，数列极限只考虑数列，而函数极限包含了更多的复杂性，因为函数可以属于不同的类型，数列只有一种。

2.表达式数列极限的表达式只包含$n$和$a_n$两个元素，形式上来说比函数极限简单，也容易理解。

函数极限的表达式不仅包含自变量$x$和函数$f(x)$，还要包括函数定义域中的其他变量，通常也需要一些不等式和符号。

“当$x\rightarrow x_0$时$f(x)\rightarrow A$”或者是“当$x\rightarrow x_0^+$时$f(x)\rightarrow A$，当$x\rightarrowx_0^-$时$f(x)\rightarrow B$”等等。

因此，函数极限的表达式更多元化，更丰富复杂。

3.图形表达数列极限用数列图简单直观地表现，当$n$趋近于无穷时，$a_n$逐渐趋向于某个数值$A$。

数列极限与函数极限是微积分中的两个重要概念，也是数学分析的基础内容之一。

虽然它们有着相似的定义和性质，但在实际应用中，两者之间存在着一些差异和联系。

本文将从数列极限和函数极限的定义、计算方法和比较等方面进行探讨。

首先，数列极限的定义是指当自变量趋近于无穷大时，数列的各项逐渐趋近于某一固定的值。

通常用符号“lim”表示，例如lim(1/n)=0。

而函数极限的定义是指当自变量趋近于某个特定的值时，函数值逐渐趋近于某一固定的值。

通常用符号“lim”表示，例如lim(x→0)(sin(x)/x)=1。

可以看出，数列极限和函数极限在定义上有所差异，但都是研究数值趋势的重要方法。

其次，计算数列极限和函数极限的方法也有一定的区别。

对于数列极限，可以通过递推公式或特殊的求和方法来计算。

例如，对于递推数列an=an-1+an-2，可以通过不断迭代前几项的值来逼近极限；对于等差数列an=a1+(n-1)d，可以通过求和公式Sn=(a1+an)n/2来直接计算极限。

而对于函数极限，一般通过代数运算、极坐标转换、夹逼准则等方法进行计算。

例如，要计算lim(x→0)(sin(x)/x)，可以通过将该函数转化为lim(x→0)(1/x)lim(x→0)(sin(x))，再利用夹逼准则来进行计算。

最后，数列极限与函数极限之间存在着一些比较的关系。

在实际应用中，可以利用数列极限与函数极限之间的比较来求取更为复杂的极限值。

例如，当计算函数极限时，可以把函数转化为数列的形式，再计算数列极限来求取函数极限。

这种方法称为“数列夹逼准则”。

例如，要计算lim(x→0)(x2sin(1/x))，可以令xn=1/n，再计算lim(n→∞)(xn2sin(1/xn))，由于1/n趋近于0，而x2sin(1/x)的极限值在0附近保持不变，所以得到lim(n→∞)(xn2sin(1/xn))=lim(n→∞)(1/n^2sin(n))=0。

通过这样的比较，可以简化极限问题的求解过程。

数列极限与函数极限数学中，极限是一个重要的概念，常常出现在数列和函数的研究中。

数列极限和函数极限都是描述数值序列或函数在某个变量趋近于某个特定值时的变化规律。

本文将分别介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并举例说明其应用。

一、数列极限数列极限是指当数列的项随着序号无限增加时，数列的值逐渐趋近于一个确定的常数。

数列极限可以通过极限值的存在与否来判断。

设数列${a_n}$中的项为$a_1, a_2, a_3, \ldots$，若存在常数$A$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式$|a_n-A|<\varepsilon$成立，那么称$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。

对于数列极限，有以下常用性质：1. 极限的唯一性：若数列${a_n}$的极限存在，则极限是唯一的，即极限存在时，极限值是确定的。

2. 夹逼准则：若数列${a_n}$，${b_n}$和${c_n}$满足$a_n\leqb_n\leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=\lim\limits_{n \to \infty}c_n=A$，那么$\lim\limits_{n \to \infty} b_n=A$。

这一性质可以帮助我们通过构造夹逼数列来求解某些复杂数列的极限。

3. 有界性：若数列${a_n}$的极限存在，则数列${a_n}$是有界的。

即存在正数$M$，使得对于任意的$n$，都有$|a_n|\leq M$。

二、函数极限函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值逐渐趋近于一个常数。

与数列极限类似，函数极限也可以用极限值的存在与否来判断。

设函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的取值逐渐趋近于$A$，那么称$A$为函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限，记作$\lim\limits_{x \to a} f(x)=A$。

数列、函数极限和函数连续性数列极限定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限存在.定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞，记作lim n n a →+∞=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限，对于,-∞∞的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列，且有lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（∞Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →+∞=+∞（注意：不必lim n n y →+∞=+∞）.如果11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），则 11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-定理1.2.3'（00Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）， 则 11limlimn n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞=，则（1）12 (i)nn a a a a n→∞+++=，（2）若()01,2,...n a n >=，则12lim ...n n n a a a a →∞=.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ' 内有定义.()0lim x xf x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ' 且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等.数列极限的求法2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1 求lim n n a →∞，其中0a >.解：lim 1n n a →∞=.事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n a α=-，则0α>. 由()11111nn a n n a αα⎛⎫=+≥+=+- ⎪⎝⎭,得 111n a a n--≤. （5）任给0ε>，由（5）式可见，当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<.即11n a ε-<.所以lim 1n n a →∞=.对于01a <<的情况，因11a>，由上述结论知1lim1nn a→∞=，故11lim lim111/n nn n a a→∞→∞===.综合得0a >时，lim 1n n a →∞=.例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由lim n n a a →∞=，则0ε∀>，存在10N >，使当1n N >时，有/2n a a ε-<, 则()111211...1......nN N n a a a a aa a a a a a ann++++-≤-++-+-++-.令11...N c a a a a =-++-，那么121 (2)na a a n N c a nnn ε+++--≤+⋅.由lim0n c n→∞=，知存在20N >，使当2n N >时，有2c n ε<.再令{}12max ,N N N =,故当n N >时，由上述不等式知121 (2)222na a a n N a nn εεεεε+++--≤+⋅<+=.所以 12 (i)nn a a a a n→∞+++=.例 2.1.3 求7lim!nn n →∞.解：7lim0!nn n →∞=.事实上，7777777777771......!127817!6!n n n n n n=⋅⋅⋅≤⋅=⋅-.即77710!6!nn n-≤⋅.对0ε∀>，存在7716!N ε⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，便有77710!6!nn nε-≤⋅<，所以7lim0!nn n →∞=. 注：上述例题中的7可用c 替换，即()lim00!nn cc n →∞=>.2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法. 例2.2.1 求11101110 (i)...mm m m k k n k k a n a n a n a b n b nb n b ---→∞-++++++++,其中00m k m k a b ≤≠≠，，.解：分子分母同乘k n -，所求极限式化为1111011110 (i)...m km kkkm m kkn k k a na na na nb b nb n b n---------→∞-++++++++.由()lim 00n n αα-→∞=>，知，当m k =时，所求极限等于m ma b ；当m k <时，由于()00m k n n -→→，故此时所求极限等于0.综上所述，得到 11101110, (i)....0,mm m m m m kk n k k a k m a n a n a n a b b n b nb n b k m ---→∞-⎧=++++⎪=⎨++++⎪>⎩例2.2.2 求lim1nnn aa →∞+，其中1a ≠-.解: 若1a =，则显然有1lim12nn n aa →∞=+；若1a <，则由lim 0n n a →∞=得()lim lim /lim 101nnnnn n n aa a a →∞→∞→∞=+=+；若1a >，则11limlim111101nnn n naa a→∞→∞===+++.2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.解：因为()()()()2224412121212121n n n n n n n n =>-=+--=-⋅-，， 所以()()13211332121102421335212121n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅-<<⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅++.因 1lim021n n →∞=+，再由迫敛性知()()1321lim242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅.例2.3.2 求数列{}n n 的极限.解： 记1n n n a n h ==+，这里()01n h n >>，则 ()()2112n nn n n n h h -=+>,由上式得 ()2011n h n n <<>-，从而有21111n n a h n ≤=+≤+- , （2）数列211n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是收敛于1的，因对任给的0ε>，取221N ε=+，则当n N >时有2111n ε+-<-.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得lim 1n n n →∞=.例2.3.3 设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：lim0k nn n a→∞=.事实上，先令1k =，把a 写作1η+，其中0η>.我们有 ()()()22201111...2nnn nn n n an n ηηηη<==<--++++.由于()()22lim021n n n η→∞=≥-，可见n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小.据等式()1/kk nnk n n aa ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，注意到1/1ka>，由方才所述的结果()1/nk na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是无穷小.最后的等式表明，k n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可表为有限个（k 个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 lim0k nn n a→∞=.2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的()lim00!nn cc n →∞=>.解：()lim00!nn cc n →∞=>.事实上，令*!nn cx n N n =∈，.当n c ≥时，()11n nn cx x x n +=≤+.因此{}n x 从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限lim n n x x →∞=存在，在等式()11n ncx x n +=+的等号两边令n →∞，得到00x x =⋅=,所以{}n x 为无穷小.从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.4.2 求极限lim 333n →∞⋅⋅⋅（n 个根号）.解：设3331n a =⋅⋅⋅>，又由133a =<，设3n a <，则13333n n a a +=<⨯=. 因13n n n a a a +=>，故{}n a 单调递增. 综上知{}n a 单增有上界，所以{}n a 收敛. 令lim 13n n a a a →∞=≤≤，，由13n n a a +=， 对两边求极限得3a a =，故3a =. 2.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求lim n n a →∞.解：先求lim xx a →∞，因ln ln lim1/0lim lim lim 1x aa xxxxx x x a aee e →∞→∞→∞→∞=====,再由归结原则知lim 1n n a →∞=.例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求lim n n n →∞.解：先求limxx x →∞.因ln ln limlimlim 1x xx xxxx x x ee e →∞→∞→∞====，再由归结原则知lim 1n n n →∞=.例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：先求limk xx x a→∞.因()1!limlim (i)ln ln kk kxxxx x x xkxk a a aaa -→∞→∞→∞====（由洛比达法则），再由归结原则知lim0k nn n a→∞=.2.6 定积分定义法通项中含有!n 的数列极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.例2.6.1 求!limnn n n→∞.解：令!nn y n=，则11ln lnni i y nn==∑.而()++110011lim ln limlnln lim ln lim1ln 1nn n i i y xdx xdx nnεεεεεε→∞→∞→→=====---=-⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰,也即ln lim 1n y →∞=-，所以1!lim limnn n n y en-→∞→∞==.例2.6.2 求极限2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解：因为22sinsin...sin sinsinsin (111)12nnn n n n n n nππππππ+++<+++++++2sinsin...sin 1nnn nπππ+++<+，2sin sin...sin 12limlimsin sin ...sin 1112lim sin sin ...sin n n n nnn n n n n n n n n πππππππππππππ→∞→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin xdx πππ==⎰，类似地2sinsin...sin lim 1n nnn nπππ→∞++++22122limsin sin ...sin 1n nn nn n ππππππ→∞⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++=⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由夹逼准则知2sin sin sin 2lim ...1112n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭ .注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz 公式法Stoltz 公式，11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-在求某些极限时非常方便，尤其是当1nn kk y a ==∑时特别有效.例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.证明：前面用N ε-定义法证明，现用Stoltz 公式证明. 令12...,n n n y a a a x n =+++=，则由Stoltz 公式得到()()()1212121 (i)......lim 1nn n n n a a a na a a a a a n n →∞-→∞++++++-+++=--limlim 1n n n n a a a →∞→∞===.例2.7.2 求112...lim kk kk n nn+→+∞+++.解： ()11112 (i)lim1kkkkk k k n n nn nnn +++→+∞→+∞+++=-- （Stoltz 公式）＝()112111lim...1kk kk n k k nCn Cn+-→+∞++-+-- （二项式定理）＝11111k C k +=+.2.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多**nn，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. 例2.8.1 同例2.1.1一样求lim n n a →∞，其中0a >. 解：令123,...1n a a a a a =====,由定理1.2.4（2）知lim lim 1n n n n a a →∞→∞==.例2.8.2 同例2.3.2一样求lim n n n →∞.解：令()112,3, (1)n n a a n n ===-，,由定理1.2.4（2）知lim lim lim11n n n n n n n a n →∞→∞→∞===-.例2.8.3 同例2.6.1相似求lim!nn n n →∞.解：令()111nnn nn a n n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则()12312231234123nn nn a a a n+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝()()11!!nnnnn n nn n n++=⋅.所以121!n n nnn a a a nn +⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，也即121!nn nnn a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，而由定理1.2.4（2）知121lim lim lim 1nnn n n n n a a a a e n →∞→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅==+= ⎪⎝⎭.故12limlimlim11!nn nn n n n n n a a a e e n n n →∞→∞→∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=++.例2.8.3 求3123 (i)nn nn→∞++++.解：令(),1,2,3...n n a n n ==，则由定理1.2.4（1）知 3123 (i)lim lim1nnn n n n na n n→∞→∞→∞++++===.2.9 级数法若一个级数收敛，其通项趋于0（0n →）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想. 例2.9.1 用级数法求例2.1.3注()lim0!nn cc n →∞>.解：考虑级数!ncn ∑，由正项级数的比式判别法，因()1lim/lim011!!1n nn n ccc n n n +→∞→∞==<++，故级数!ncn ∑收敛，从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：考虑正项级数k nn a∑，由正项级数的比式判别法，因()11111lim/lim 1kkkn n n n n nn aa a n a+→∞→∞++⎛⎫=⋅=< ⎪⎝⎭， 故正项级数knn a∑收敛，所以lim0k nn n a→∞=.例2.9.3 求极限()()222111lim ...12n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.解： 因级数211n n∞=∑收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0ε∀>，存在0N >, 使得当n N >时，21221111nn k k kkε-==-<∑∑，此即()()222111...12nn n ε+++<+，所以()()222111lim ...012n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 例2.9.4 求极限()212lim ...1n n n a aaa →∞⎛⎫+++>⎪⎝⎭. 解：令1x a=，所以1x <.考虑级数 1n n nx ∞=∑，因为()111limlim1n n nn n nn x a x a nx++→∞→∞+==<，所以此级数收敛.令 ()1nn s x nx ∞==∑，则()11n n s x x nx∞-==⋅∑.再令()11n n f x nx∞-==∑，()1111x x n nn n x f t dt ntdt xx∞∞-=====-∑∑⎰⎰.所以()()2111xf x xx '⎛⎫==⎪-⎝⎭-. 而 ()()()()122111xas x x f x x a --=⋅==--,所以()()122112lim ...1n n n a s x a a a a -→∞-⎛⎫+++== ⎪⎝⎭-.2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子.例2.10.1 求()22lim sin n n n π→∞+.解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性. ()()2222lim sin lim sin n n n n n n n πππ→∞→∞+=+-＝222lim sin lim sin111n n n n n nn ππ→∞→∞=++++＝2sin 12π=.例2.10.2 设21101222n n a cc c a a +<<==+，，,证明：{}n a 收敛，并求其极限.解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 ()0,1,2...n a c n <<=. 事实上,102c a c <=<.假设01n a c <<<，则2210222222n n a c c cc c a c +<=+<+<+=.令()222c xf x =+，则()f x x '=.()()()111n n n n n n a a f a f a f a a ξ+--'-=-=⋅-＝11n n n n a a c a a ξ--⋅-<-， （1）其中ξ介于n a 和1n a -之间.由于01c <<,再由（1）式知{}n a 为压缩数列，故收敛.设lim n n a l →∞=,则2c l c ≤≤.由于2122n n a c a +=+，所以 22,2022c ll l l c =+-+=.解得11l c =+-（舍去），11l c =--. 综上知lim 11n n a c →∞=--.注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.函数极限一、函数极限的定义定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x lim f(x)=a 或f(x)→a(x→+∞)。

函数极限与数列极限的关系
函数的极限可以是自变量从左右趋向于某一值时的函数值极限，或者自变量趋向于无穷时的极限。

但数列的极限不同。

可以将数列看做特殊的函数，定义域为全体正整数集合（N+），是一个在零到正无穷上不连续的函数，设数列的项为an=f(n)，因此，可以将数列的极限看做当自变量趋向于正无穷时的函数的极限，数列的极限也可以用函数的极限来运算得到。

lim n→∞an=lim n→∞f(n)
所以，用来计算函数极限的方法也可以用来计算数列的极限，如洛必达法则，等价无穷小的替换，间接计算等等。

a n=f(a n-1)形式计算方法：
设数列的极限为A .则lim n
→∞a n=A，此时A=f(A),带入计算求得极限。

数列极限的性质：1.若数列{an}的极限值存在，则极限值唯一
2.改变数列有限项，不改变数列的收敛与极限值
数列极限的本质：设数列的极限为a，当n>N时an∈（a-ε，a+ε），即|an-a|<ε.。

数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义1．1 数列极限定义设有数列{}n a 与常数A ，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n a A ε-< 都成立，那么就称常数A 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=.读作“当趋n 于无穷大时，n a 的极限等于A 或n a 趋于A ”.数列极限存在，称数列{}n a 为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的N ε-定义，着重注意以下几点：（1）ε的任意性: 定义中正数的ε作用在于衡量数列通项n a 与定数的a 接近程度越ε小，表示接近的越好.而正数可ε以任意的小,说明n a 与可a 以接近到任何程度，然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N .（2）N 的相应性: 一般说，N 随的ε变小而变大，由此常把N 写作()N ε，来强调N 是依赖与的ε，但这并不意味着N 是由ε所唯一决定的，重要的是N 的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中n N >的也可以改写成n N ≥.（3）几何意义:对于任何一个以A 为中心，ε为半径的开区间(),A A εε-+，总可以在数列{}n a 中找到某一项N a ，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{}n a 的有限项（N 项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为()n a f n =;我们把数列中的n 用x 来替换后就得到了一个函数()f x ,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 1．2 函数极限定义1.2.1 x →+∞时函数的极限：设函数()f x 为[),a +∞上的函数，A 为定数，若对任给的0ε>，总存在着正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞=.即有()lim 0,0,,x f x A M x M ε→+∞=⇔∀>∃>∀>有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()lim ,lim x x f x A f x A →∞→-∞==的相应的M ε语言成立.对于函数极限的M ε定义着重注意以下几点:（1）在定义中正数M 的作用与数列极限定义中的N 类似,表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比M 大的所有实数x ,而不仅仅是正整数n .（2）当x →+∞时,函数()f x 以A 为极限意味着: A 的任意小邻域内必含有()f x 在+∞的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给0ε>的,在坐标平面上,平行于x 轴的两条直线y A ε=+与y A ε=-,围成以直线y A =为中心线,宽2ε为的带形区域；定义中的“当x M >时,有()f x A ε-<”表示:在直线x M =的右方,曲线()y f x =全部落在这个带形区域之内.1.2.2 0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域()'0;Ux δ︒内有定义，A 为定数，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，则常数A 为函数()f x 在0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=.即()000lim 0,0,:,x x f x A x x x x εδδδ→=⇔∀>∃>∀-<<+有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()0lim ,lim x x x x f x A f x A +-→→==的相应的εδ语言成立.对于函数极限的εδ定义着重注意以下几点:（1）定义中的正数δ,相当于数列极限N ε定义中的N ,它依赖于ε,但也不是由ε所唯一确定的,一般来说, ε愈小, δ也相应地要小一些,而且把δ取得更小些也无妨. （2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式00x x δ<-<等价于()0;x U x δ∈，而不等式()f x A ε-<等价于()();f x U A ε∈.于是，εδ定义又可写成：任给0ε>,存在0δ>,使得一切()0;x U x δ∈有()();f x U A ε∈.或更简单的表为:任给0ε>,存在0δ>,使得()()()0;;f Ux U A δε⊂.（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给0ε>的,在坐标平面上画一条以直线y A =为中心线,宽2ε为的横带,则必存在以直线0x x =为中心线、宽为2δ的数带，使函数()y f x =的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点()()0,x f x 可能例外（或无意义）.2.极限性质2．1 数列极限的性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性:若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. （2）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列.（3）若数列{}n a 有极限，则其任一子列{}n a 也有极限.（4）保号性，即若()lim 00n n a a →∞=><，则对任何()()()''0,,0a a a a ∈∈,存在正整数1N ，n 1N 时,()''n n a a a a ><.（5）保不等式性:即若{}n a 与{}n b 均为收敛数列, 若存在正整数1N ，使得当n1N 时有n n a b ，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.（6）数列极限的基本公式（四则运算） 设lim ,lim n n n n x y →∞→∞存在,则()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim lim lim n n n nn n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n x y x y x y x y x x y y y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅=≠≤≤2．2函数极限性质（1）极限唯一性；若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的.（2）局部有界性若()0lim x x f x →存在，则()f x 在0x 的某空心邻域()U x ︒内是有界的，当0x 趋于无穷大时，亦成立. （3）局部保号性若()()0lim 00x x f x A →=><，则对任何正数()r A A <<-,存在()0U x ︒使得对一切()0x U x ︒∈有()()()00f x r f x r >><<，当趋于无穷大时，亦成立.（4）保不等式性若()0lim x x f x A →=，()0lim x x g x B →=，且在某邻域()'0;Ux δ内有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤.（5）函数极限的基本公式（四则运算）设()()lim ,lim x ax af xg x →→存在,则()()()()()()()()()()()()()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim x a x ax ax ax ax ax a x a x ax af xg x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x →→→→→→→→→→±=±⋅=⋅=≠通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.证明:不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}sup n a a =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0ε>,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性，当n N >时有N n a a a ε-<≤。

一、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义:给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 就是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=、若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散、收敛数列的性质:(1)唯一性:若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限就是唯一的.(2)有界性:若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤、(3)局部保号性:设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或、(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A 、(三)函数极限存在判别法 (了解记忆)1.海涅定理:()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞=.2、充要条件:(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==、3、柯西准则:()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<、4、夹逼准则:若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=、5、单调有界准则:若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在、(四)无穷小量的比较 (重点记忆)1、无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==、(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α就是比)x β（高阶的无穷小量、 (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量、 (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（就是同阶无穷小量、 (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~、 (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2、常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x xx x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 (五)重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==、定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中、定理3 (保号定理):0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或、定理4 单调有界准则:单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限、 定理5 (夹逼定理):设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.定理6 无穷小量的性质:(1)有限个无穷小量的代数与为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量. 定理8 极限的运算法则:设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限. 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续. 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续.(六)重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=、(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式:设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L . (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==、 (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=、 (七)连续函数的概念1、 ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件:①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦、 2、 ()f x 在0x 左连续:()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=、 3、 ()f x 在0x 右连续:()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=、 4、 ()f x 在(),a b 内连续:如果()f x 在(),a b 内点点连续.5、 ()f x 在[],a b 内连续:如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续.(八)连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1.有界性定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤.2.最大最小值定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得:()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈、3.介值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,μ就是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤.4.零点定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<(九)连续函数有关定理1.连续函数的四则运算:连续函数的与、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数.2.反函数的连续性:单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续.3.复合函数的连续性:()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续.4.初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内就是连续函数.(十)间断点的定义及分类1.定义:若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点.2.间断点的分类。