【高一数学】高中数学必修一教材分析(共20页)

2.2基本不等式一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.三、教科书编写意图及教学建议本节在前面研究不等式的性质的基础上，展开了对一种具体的不等式——基本(,0)2a b ab a b +的研究，研究基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.基本不等式与学生在初中学过的乘法公式有类似的作用，乘法公式能够简化某些特殊形式的代数式的恒等变形，而基本不等式使解决满足一定条件的代数式的最值问题有路可循.1.基本不等式基本不等式可以通过许多有趣的方式建立起来，本节从不等式222a b ab +（上一节由第24届国际数学家大会的会标中抽象得出）说起.取这个不等式的特殊形式，即令a ，0b >，分别代替上式中的a ，b ，2a b ab +.基本不等式中等号成立的条件与不等式222a b ab +相同，教学中可以借助上一节的会标图形，帮助学生从直观上理解a 与b 是否相等与不等式222a b ab +取什么符号之间的关系. 接下来，教科书阐述了基本不等式的代数解释，这不仅有利于加深学生对基本不等式的理解，而且与学生已有的平均数概念建立了联系，便于学生记忆这个不等式.事实上，基本不等式就是均值不等式“链” ()121212·,,,0n n n n a a a a a a a a a n +++中的一环，而它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为“它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石”，同时它也是解决许多最值问题的有力工具.2.基本不等式的证明基本不等式有许多证明方法，学生可能最先想到“作差法”，教科书介绍了两种：一种是上一节借助完全平方公式证明的基本不等式的变式；另一种是本节介绍的“分析法”，这也是一种利用不等式的性质进行证明的方法，这样编排不仅把基本不等式与初中学过的完全平方公式建立了联系，进一步研究了如何利用不等式性质进行证明，而且介绍了分析法，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，能够用分析法证明的命题的证明过程必须具有推理的可逆性和推理结果的唯一性，基本不等式就具有这样的特点.分析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体的情况.这时可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件. 2a b ab+出发，逐步利用不等式的性质推出能使它成立的充分条件，直至20这个显然成立的事实，从这个不等式中也更容易发现不等式中等号成立的条件.学生可能对分析法证明的格式和为什么可以这样证明难以理解，在证明过程中可能容易出现“充分条件不充分”的错误.教学中可以结合基本不等式的证明过程，对分析法的原理和过程进行充分的剖析，帮助学生通过典型案例理解分析法，掌握基本不等式的证明.3，基本不等式的几何解释 在证明了基本不等式后，教科书再次研究了基本不等式的几何背景.与从“赵爽弦图”中的相等关系和不等关系中抽象出基本不等式的变形形式不同的是，这一次是已知基本不等式，寻求它的几何解释，但无论是哪种呈现顺序，基本不等式的几何背景都直观地展示了基本不等式“从不等到相等”的变化过程.教科书设置这个环节的目的，是想让学生从建立过程、证明方法和几何解释多个角度认识基本不等式，从而加深对基本不等式的理解.这个几何解释可以简单地叙述为“圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等”.2a b +与图中的几何元素建立起联系，从而将基本不等式与几何元素的大小关系之间联系起来.教师还可以借助信息技术，展示点C 在线段AB 上移动的过程，让学生观察线段CD 的长度与圆的半径长之间的动态关系，从而2a b +之间的关系随着a ，b 大小关系的变化而发生的变化，同时体会基本不等式中蕴含的“等式”与“不等式”的内在联系.4.基本不等式在解决问题中的应用本节共安排了4道基本不等式的应用问题，都是利用基本不等式求最值，例1和例2是在数学中的应用，例3和例4是在实际中的应用.在利用基本不等式解决问题之前，教师可以先让学生明确使用基本不等式的条件2a b ab +中，a ，b 只能是非负数；在222a b ab +中，a ，b 可以是任意实数），以及“当且仅当a b =时，等号成立”的两层含义（一是当a b =时，不等式取等号；二是不等式取等号时，必有a b =）.例1是用基本不等式求代数式最小值问题中的最简情形.教科书在解决问题之前，先解释了求代数式最小值的含义，在本例之后，还强调了代数式的最小值必须是代数式能取到的值.本例的解答则从所求代数式与基本不等式在形式上的联系入手：1x x +是x 与1x的算术平均数的2倍，所以利用基本不等式可得当且仅当1x x =时，1x x+取得最小值2.教学中可以用“一正、二定、三相等”这种通俗易懂的语言帮助学生理解和记忆能应用基本不等式解决问题的特点.例2让学生用基本不等式证明两类最值问题.教科书设置例2的目的，一是在例1的基础上再给出一道直接利用基本不等式证明数学问题的例题；二是借此题的题干给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型：已知x ，y 都是正数，如果积xy等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .根据这两个数学模型可知，有两类最值问题可以用基本不等式解决，即“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值”和“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值”，这就为解决例3，例4埋下了伏笔.此外，教科书在本课时的练习和习题安排了利用基本不等式求函数的最大值或最小值的变式练习，如第46页“练习”的第4题，习题2.2的第1题的第（1）小题，是通过变形构造两个正数的和为定值或积为定值的问题，教学中可以根据给定代数式的形式，结合基本不等式的使用条件，引导学生对代数式进行变形.对于这类问题，教科书有意控制了这种变式问题的难度，设置的问题都是通过简单变形就符合基本不等式应用条件的问题.教学中也要注意本部分内容的教学重点是“能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题”，不要刻意加大变形的难度.5，基本不等式的实际应用通过例2，教科书提出了用基本不等式解决问题的数学模型.接下来，教科书安排了两道例题，研究了如何应用基本不等式解决实际问题.对这两道例题的教学，要注意引导学生用基本不等式模型理解和识别实际问题中的数量关系，判断它们是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题，如果符合，就可以转化为基本不等式的数学模型解决.例如，例3的问题可以简化为：当矩形的面积为定值时，长与宽取什么值时周长最短；当矩形的周长为定值时，长与宽取什么值时面积最大，由于矩形的面积是两条邻边的积，周长是两条邻边的和的2倍，所以第（1）小题实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，可以用数学模型“如果正数x ，y 的积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值”解决；第（2）小题实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值，可以转化为数学模型“如果正数x ，y 的和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ”解决. 在例3之后，教科书设置了另一道求最值的问题（例4），本题的背景更加复杂，不容易将其归结为基本不等式模型.因此，对于像例4这样的问题的教学，要引导学生先将问题进行简化，再分析它符合什么数学模型.例4可以简化为“池底的边长取什么值时，水池的总造价最低”，若设池底的相邻两条边的边长分别为x m ，y m ，水池的总造价为z 元，则240 000720z x y =++（），这样求z 的最小值的问题，就转化为了求两个正数x ，y 的和的最小值的问题；而x ，y 的积为定值，于是本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少，可以转化为数学模型“如果正数x ，y 的积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值”解决.教科书在练习和习题2.2中编排了利用基本不等式解决实际问题的题目，这些题目按照由简单到复杂的顺序排列，除了“拓广探索”中的两题，其他题目的难度与例3，4相当，教师在进行本部分内容的教学时也要注意把握实际问题的难度，把重点放在用基本不等式数学模型解决实际问题的基本应用上.。

可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。

高一数学《必修1》教材分析整册教材框架分析：全书分为三章，共36课时。

第一章集合与函数（13课时）；第二章基本初等函数（13课时）；第三章函数的应用（9课时）。

第一章从集合出发引入元素集合的概念，并归纳函数的定义，性质。

第二章重点是理解指数函数和对数函数的概念及性质。

第三章以建模实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题为主线。

全书以函数模型的应用为主线，多视点宽角度地研究问题，渗透数学思想方法，关注文化，重视信息技术应用，重视能力培养1第一章知识结构如下：2第二章知识结构如下3第三章知识结构如下：（1）建立函数模型解决问题的过程（2）本章知识安排的前后顺序分章内容简析：第一章集合与函数一.教材中的地位和作用集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。

本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。

二.本章教学目标：知识与技能1．了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，感受集合语言的意义和作用。

2．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言描述函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．了解函数的构成要素，会求简单函数定义域和值域，会根据实际情境的不同需要选择恰当的方法表示函数。

了解奇偶性的含义，会用函数图象理解和研究函数的性质。

第二章基本初等函数一.教材中的地位和作用指数函数、对数函数和幂函数是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型，是高中阶段学习的三类重要且常用的基本初等函数，也是进一步学习数学的基础。

本章中，学生将在第一章学习函数概念的基础上，通过三个具体的基本初等函数的学习，进一步理解函数的念与性质，学习用函数模型研究和解决一些实际问题的方法。

数学必修1教材分析数学必修1教材分析一、教材概述数学必修1是高中数学教材的一部分，主要内容包括函数的概念、性质和图像，以及函数的单调性和奇偶性。

此外，还包括了集合、不等式、数列和算法初步等知识。

这一册教材旨在让学生掌握函数的基础知识和基本技能，以及与函数相关的数学思想，为学生后续的数学学习和应用打下坚实的基础。

二、教材特点1.注重基础知识数学必修1教材注重基础知识的讲解和传授，通过对函数的概念、性质和图像的详细介绍，让学生逐渐理解和掌握函数的基本概念和性质。

同时，教材也强调对基本技能的训练，例如函数的运算、图像的绘制等，为学生后续的学习和应用打下坚实的基础。

2.突出数学思想数学必修1教材不仅注重基础知识的讲解，同时也突出了数学思想的传授。

例如，通过函数单调性和奇偶性的讲解，让学生深入理解函数的图像和性质之间的联系。

此外，教材还介绍了集合、不等式等数学思想，帮助学生掌握数学基础知识，并为后续的学习和应用提供重要的思想支撑。

3.强调实践应用数学必修1教材不仅注重基础知识和数学思想的讲解，同时也强调实践应用。

例如，教材中介绍了如何利用函数知识解决实际问题，例如如何利用函数模型解决最优化问题等。

此外，教材还设计了大量的实际问题，让学生通过分析和解决实际问题来提高数学应用能力。

三、教学内容及学时安排数学必修1教材的教学内容主要包括以下几个方面：1.函数的概念和性质（4学时）这部分内容主要介绍函数的概念、性质和图像，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

学生需要通过学习这些内容，理解和掌握函数的基本概念和性质，为后续的学习打下基础。

2.函数的图像（4学时）这部分内容主要介绍如何绘制函数的图像，以及图像的平移、伸缩等变换。

学生需要通过学习这些内容，掌握函数的图像表示方法和图像变换的基本技能。

3.集合与不等式（4学时）这部分内容主要介绍集合的基本概念、集合之间的关系和运算，以及不等式的性质和证明方法。

学生需要通过学习这些内容，掌握集合的基本概念和不等式的性质及证明方法。

1.4充分条件与必要条件一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：充分条件、必要条件和充要条件的意义.难点：对必要条件的意义、充要条件与数学定义之间的关系的理解.三、教科书编写意图及教学建议本节的主要内容是充分条件、必要条件、充要条件，以及它们和判定定理、性质定理、数学定义之间的关系.通过本节的学习，学生能理解这三个常用逻辑用语的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分又不必要条件，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系.本节主要以“若p，则q”形式的命题为载体，通过考察命题中条件p和结论q 的关系，学习充分条件、必要条件和充要条件这三个常用逻辑用语.在教学中补充命题例子时，所给的命题的真假最好是显然的，或者是比较容易判断的.这是因为，学生刚开始学习逻辑用语，学习重点是对充分条件、必要条件和充要条件的意义的理解和辨析，而不是如何判断“若p，则q”形式的命题的真假.判断命题的真假不应该成为学生学习本节内容的障碍.1.4.1充分条件与必要条件1.概念的引入学生在初中阶段学习过命题的概念，知道命题是对某一件事情作出判断的语句，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”的形式.其中，p是命题的条件，q是命题的结论.教学时，建议列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件和结论的认识，学会辨析.例如，命题“对顶角相等”可以写成“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的形式，其中条件p：两个角是对顶角，结论q：这两个角相等.本节从判断“若p，则q”形式命题的真假性出发，通过分析真命题中p和q的关系，进而引出充分条件和必要条件的概念.“若p，则q”为真命题，即由p可以推出q，按教科书上定义，p是q的充分条件，同时，q是p的必要条件.学生对于p是q的充分条件的表述比较容易接受，但是对于q是p的必要条件的表述可能会难以理解.为了帮助学生理解必要条件的含义，教科书在这里加了一个边空，旨在说明：假定由p可以推出q，那么q不成立时，p一定不成立（否则p成立时，q一定成立，矛盾！），这就表明q是p成立必不可少的条件.2.充分条件与判定定理、必要条件和性质定理的关系教科书通过梳理和分析初中学过的典型数学命题，帮助学生理解充分条件与判定定理的关系，必要条件和性质定理的关系.在本小节中，第一个“思考”中的命题（1）（4）和例1中的命题（1）（2）都是初中学习过的判定定理，它们分别给出了“平行四边形是菱形”“//a b”“四边形是平行四边形”“两个三角形相似”的一个充分条件，这样编排的目的是引导学生将充分条件与判定定理联系起来.为了明确这两者之间的联系，教科书中设置了第二个“思考”，让学生给出“四边形是平行四边形”的其他充分条件.通过这个“思考”，学生会认识到平行四边形的每个判定定理实际上都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件.教学时，教师还可以引导学生回顾“两个三角形全等”“两个三角形相似”“两直线平行”的判定定理，分析其中条件与结论的关系，进一步加深学生对充分条件与判定定理的关系的认识.对于必要条件和性质定理的关系，教科书中也做了类似的处理.例1中的命题（3）与例2中的命题（1）（2）都是初中学习过的性质定理，它们分别给出了“四边形是菱形”“四边形是平行四边形”“两个三角形相似”的一个必要条件，引导学生将必要条件和性质定理联系起来.紧接着，教科书设置了第三个“思考”，让学生尝试给出“四边形是平行四边形”的其他的必要条件，由此引出平行四边形的其他性质定理.通过这个“思考”，学生可以进一步体会必要条件和性质定理的关系.同样地，教师还可以以“两个三角形全等”“两个三角形相似”“两直线平行”的必要条件为例，加深学生对必要条件和性质定理的关系的理解.3.例题和练习的设计意图与教学分析例1是为了加深学生对充分条件的理解，并学会判断p是否为q的充分条件.例1选取了学生在初中学习过的两个判定定理，是为后面分析充分条件与判定定理之间的关系作准备.例2是为了加深学生对必要条件的理解，并学会判断q是否为p的必要条件.事实上，判断q是否为p的必要条件与判断p是否为q的充分条件本质上是一回事，都是判断“若p，则q”是否为真命题，即p q是否成立.例2选取了学生在初中学习过的两个性质定理，是为后面分析必要条件与性质定理之间的关系作准备.本小节的练习1，2是为了巩固学生对充分条件和必要条件的理解，熟练掌握判断p是否为q的充分条件（或q是否为p的必要条件）的方法.练习3是让学生尝试使用充分条件和必要条件表述数学结论.1.4.2充要条件1.充要条件概念的引入学习了充分条件和必要条件之后，教科书再介绍充要条件的概念是顺理成章的事情.教科书通过考察四个“若p，则q”形式的命题及其逆命题“若q，则p”的真假，发现有的命题和它的逆命题同时为真命题.这样一来，由第一小节学习的充分条件和必要条件的概念可知，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，从而引出p 是q的充要条件的概念.教学中可以多举例子促进学生掌握：若p是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充要条件，同时q也是p的充要条件.2.问题的转化学生学习本节内容不仅要理解充分条件与必要条件的含义，还要学会对给定的p与q，判断p是否为q的充分条件（或q为p的必要条件）、必要条件（或q为p 的充分条件）、充要条件（或q为p的充要条件）.需要注意的是，判断p是否为q 的必要条件，需要判断命题“若q，则p”是否为真命题.这里，命题“若q，则p”与“若p，则q”互为逆命题，如果其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题.将一个命题的条件与结论互换，就得到了它的逆命题.教学时，教师可以通过学生熟悉的数学例子，让学生体会和理解这两个命题之间的联系与差别，但注意不要让学生死记硬背.因此，判断p是否为q的充分条件、必要条件和充要条件的问题，就转化判断命题“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假的问题.教学时，教师可引导学生作如下总结：p为q的充分条件（或q为p的必要条件）：“若p，则q”为真命题，即p q⇒；p为q的必要条件（或q为p的充分条件）：“若q，则p”为真命题，即q p⇒；p为q的充要条件（或q为p的充要条件）：“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p q⇒，⇒且q p进一步地，p为q的充分不必要条件：“若p，则q”为真命题且“若q，则p”为假命题，即p q⇒且q p≠>；p为q的必要不充分条件：“若p，则q”为假命题且“若q，则p”为真命题，即p q⇒；≠>且q pp为q的既非充分又非必要条件：“若p，则q”与“若q，则p”均为假命题，即p q≠>且q p≠>.需要强调的是，尽管“p为q的充要条件”与“q为p的充要条件”这两个事实是等价的，但是还要注意它们之间的区别.具体来说，如果要证明结论：“p为q的充要条件”或“q的充要条件为p”，则需要证明充分性”和“必要性”这两个方面.这里，“充分性”是指由p可以推出q，即p q⇒.⇒，“必要性”是指由q可以推出p，即q p然而，对结论“q为p的充要条件”或“p的充要条件是q”而言，它的“充分性”是指q p⇒，与前者恰好相反.⇒，“必要性”是指p q3.充要条件和数学定义的关系如果学生理解了充分条件和必要条件的含义，那么充要条件的含义就不难理解了.本小节在介绍完充要条件的概念后，通过例3让学生学会判定p是不是q的充要条件.在例3后面，教科书安排了一个探究栏目，让学生给出“四边形是平行四边形”的一些充要条件，为后面探讨充要条件和数学定义的关系作准备.根据前面两个思考题的分析，学生不难得到“四边形是平行四边形”的四个充要条件.随后，教科书回顾平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，在这个定义中，条件“两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件，它与前面的四个充要条件可以相互推出，彼此等价.这个具体例子的目的是让学生体会到“四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念。

高中数学必修1教材分析一、说课标（一）数学课程总目标使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需求。

知识与技能:获得数学的基本知识和技能，提高空间想象、抽象概括、推理、计算和数据处理的基本能力。

过程和方法:通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的过程，体会概念结论中蕴含的数学思想和方法。

情感态度价值观：发展数学应用意识和创新意识，提高数学的分析和解决问题的能力。

提高数学兴趣、树立信心，形成批判思维和辩证唯物主义世界观。

（二）必修1函数课程目标知识与技能：学会用集合和对应的语言刻画函数，理解函数的概念、性质等。

学会用函数性质求方程近似解过程与方法：经历函数概念、性质由实际背景抽象成数学语言的过程，感受用函数概念建立模型的过程与方法，体会用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

情感态度价值观：发展数学应用意识，提高数学兴趣、拓展视野，养成理性思维的好习惯。

（三）课程内容标准1.集合与函数的概念(1)学会用集合语言表达相关的数学对象。

（2）用集合与对应的语言刻画函数，会选择恰当的方法表示函数。

(3)理解并简单应用分段函数解题。

(4)理解单调性、极大值和奇偶性。

重点是理解函数的概念，单调性，最大值及其几何意义，函数的奇偶性。

2. 基本初等函数（Ⅰ）（1）理解有理指数幂的含义、对数概念及运算性质，了解对数发展史（2）了解指数、对数函数的实际背景，理解指数、对数函数的概念。

（3）探索并理解指数函数的单调性与特殊点；探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

知道指数函数与同底对数函数互为反函数。

(4)结合图像理解幂函数的概念及其变化。

重点是理解指数函数与对数函数的概念及其性质，了解它们是重要的函数模型。

3. 函数的应用（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系．（2）根据具体函数的图象，了解二分法是求方程近似解的常用方法．(3)用计算工具比较指数函数、对数函数和幂函数之间的增长差异。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------人教版高中必修1教材分析集合与函数概念一、教材分析集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容．本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系．函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系．用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点．反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终．高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修 1 第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．二、重难点分析重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题．难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系．三、典型问题分析例 1：设集合（1）若，求实数的值；（2）若，求的值；（3）1 / 21若，求的值．教师点评，同时板书． (1)答案：或; (2)答案：或; (3)答案：．由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想．（预设有以下几个方面）从知识点来分析，这是集合问题．考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等．学生在解第 1 个问时，可能漏掉特殊情况．第2、 3 问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考．设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯．能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍．通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想．例 2：已知函数是定义在 R 上的奇函数，当时，，求函数的解析式．变式：函数是偶函数法一：本题即求，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数的图象与解析式的问题．法二：本法更具有一般性，已知时，函数的解析式，要分析时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值应当怎样计算．由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，，所以可以研究的函数值．设计意图：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质．例 3：已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断．变式 1：函数为奇函数变式 2：你能分析奇函数(偶函数) 在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分析．法一：通过函数的图象分析．法二：把要研究的范围转化为已知的范围．设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列．同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想．通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明．例 4：求在区间上的最大值和最小值．变式：在区间上的最大值是 1，求的值．分析：3 / 21时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是．变式答案：或．设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点．通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势．学生在解答变式的过程中，体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合．第 2 章函数概念与基本初等函数Ⅰ 教材分析一、目标定位：1．函数是通过建立数学模型来刻画与研究世界的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习函数概念与基本初等函数 I（下面简称函数）这一章，从观念上认识函数，它是语言、工具、应用．它挑起了万水千山（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛地实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的生长性即如许许多多对数据都统一于一个函数式． 2．本章具体的教学目标是：（1）进一步体会感受数学学习的过程，在获得知识内容的同时，初步学会怎样研究数学和学习数学，对数学是怎样产生的？，怎样学习和研究数学？以及数学有什么作用？等问题有切深的感悟和体会．（2）了解函数概念产生的背景，学习和掌握函数的概念和性质，能借助函数的知识表述、刻画事物的变化规---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 律．（3）理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念和意义，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质．知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．（4）了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具．（5）通过函数一章的学习，理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用．进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流能力．（6）通过媒体技术的运用，体会媒体技术是认识世界和学习研究的有效手段和工具．提高学生的动手能力和合作意识．（7）感受数学的文化价值，体会数学美．培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观．二、重难点分析 1．熟练地进行指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算． 2．应用指数函数 y＝ax的图象和性质时，若底数5 / 21含有字母，要特别注意 a1 还是 0a1. 3．比较大小问题：先判断幂与 1 的大小，然后分类比较．同底数的幂用指数函数单调性比较；同指数的幂用幂函数的单调性比较，也可以利用图象比较大小． 4．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性． 5．一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧． 6．应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于正用，还要注意它的逆用． 7．比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于 1 的数还是小于 1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小. 三、典型例题分析一、比较大小的方法比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用，常用的方法有：单调性法、搭桥法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等．例 1 比较三个数 0.32， log20.3,20.3的大小. 分析根据三个数式的特点，选择 y＝ x2， y＝ log2x， y＝ 2x三个函数的图象和性质加以比较．解方法一∵ 0.3212=1，log20.3log21=0,20.320=1， log20.30.3220.3. 方法二作出函数图象如图所示，由图象即可看出 log20.30.3220.3. 点评比较幂函---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意：(1)若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性； (2)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性； (3)若底数不同，指数也不同，以及一些对数函数型数值等，应寻找媒介数(常用0,1)进行比较；(4)作差比较和作商比较是常用技巧．二、换元法的应用研究函数除了几种基本初等函数外，还要研究由它们进行复合而形成的复合函数的性质，这些函数性质在研究时，常用换元的思路，使问题转化为已知的问题．例 2 f(x)＝9x＋12－3x＋a， x [1,2]的最大值为 5，求其最小值．解 f(x)＝ 32x＋ 1－ 3x＋ a. 设 3x＝ t，则 t[3,9]． f(x)＝ g(t)＝ 3t2－ t＋ a ＝＝g(9)＝ 392－ 9＋ a＝ 5， a＝－ 229， f(x)min＝ g(3)＝ 24＋ a＝－ 205. 点评利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域．t－12＋a－112，t[3,9]．三、数形结合思想的应用数学的本质是数与形的统一，数形结合的思想始终是数学研究中最重要的思想方法之一．研究和应用指数函数、对数函数的性质，图象是个有力的工具；并且，由于这两类函数的图象都比较单一，也容易画出，因此，利用它们的图象来进行比较大小，讨论方程根的情况等题目比较普遍．例 3 方程 aA． 0 B． 1 C． 2 D． 3 答案 B 解析本例可用数形结合法画出 y＝ a分 a1 与 0a17 / 21两种情况讨论．－x＝logax (a0 且 a1)的实数解的个数为( ) －x与 y＝ logax 的图象，观察交点个数，要注意对 a 当 a1 时，在同一坐标系中画出 y1＝ logax 的图象和 y2＝ a两函数图象只有一个交点；同理，当 0a1 时，由图象(2)知，两图象也只有一个交点．因此，不论何种情况，方程只有一个实数解．－ x的图象如图(1)，由图象知四、分类讨论思想的应用指数函数与对数函数的性质渗透了分类讨论的数学思想方法．由于指数函数 y＝ ax，对数函数 y＝ logax(a0， a1)的性质都与 a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的性质也随之改变；因此，在 a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．例4 若－1loga 231，求 a 的取值范围. 解－ 1loga 231，即 loga131＝ loga a. (1)当 a1 时，有 loga 23为增函数，3a. a32. (2)当 0a1 时，有 loga 23为减函数，3a. a23. a 的取值范围是点评解含参数的不等式或方程时常常要对参数进行讨论，讨论是自然产生的，不要为了讨论而讨论．还需明确的就是分类的目的是什么，分类之后就等于将整个一个大问题划分为若干个小问题，每个小问题可以解决了，整个大问题也就解决了 . a＝－ 1loga21a22，结合a1，故a31a23，结合0a1，故一、选择题 1．已知集合 A＝{y|y＝logax， x0， a0 且 a1}， B＝( ) A． {x|x－1} B． {x|x－1} C． {x|x0} D． {x|x0} 答案 B 解析∵A＝ R，B＝ (－，－ 1]，， A B＝ B＝ (－，－ 1]． 2．设---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ab1,0x1，则有( ) A．xaxb B．bxax C ．logaxlogbx D． logxalogxb 答案＝12x， y2 ，则 A B 等于解析画图象可知． 3．若 logm2logn20，则实数 m、 n 的大小关系是( ) A． 1nm B． 0nm1 C． 1mn D． 0mn1 答案 B 解析画图象可知． 4．函数 y＝(|x|)12的图象可能是下列四个图中的( ) 答案 D 解析由 y＝ (|x|)12知函数为偶函数，且 0x1 时， yx. 5．函数 y＝2＋log2x (x1)的值域为( ) A． (2，＋) B． (－， 2) C． [2，＋) D． [3，＋) 答案 C 解析 x1 时， log2 x0，y2. 二、填空题答案3, 6．设f(x)＝，则满足 f(x)＝41的 x 值为________．解析∵f(x)＝41，当 3－ x＝41时， x＝ log3 4(－， 1]， ,log81 x＝41，即 x＝4181 ＝ ( )4143＝ 3(1，＋ )， ,综上可知，满足 f(x)＝41的 x 的值是 3. 7.1 . 0lg10lg5lg2lg125lg8lg+＝________., 答案－4, 解析原式＝() 1215lg2lg5lg32lg3+＝()215lg2lg2+＝212＝－ 4. 8.已知 a1,0x1 且 alogb(1－x)1，那么 b 的取值范围是______________．答案(0,1), 解析∵alogb(1－x)a0，且a1.,logb(1－x)0.,又∵0x1，01－x1.0b1., 三、解答题, 9.证明 f(x)＝证明∵函数 f(x)的定义域为(－，＋ )，设 x1， x2为区间(－，＋ )上任意两个值，且x1x2， xx+12在其定义域内是减函数则 f(x2)－ f(x1)＝112122++xx－ (x2－ x1),＝1122212122+++xxxx－ (x2－ x1) ＝9 / 21(x2－x1) 1111222122212122+++++xxxxxx ∵x2x1， x2－ x10，且112221+++xx0., 又∵对任意 xR，都有xxxx22+=+||122， x－12+x0，x1－121 +x0，x2－1x0，,f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)． ,所以，函数 f(x)＝10.若 f(x)＝1＋logx 3， g(x)＝2logx 2，试比较 f(x)与 g(x)的大小． xx+12在其定义域 R 内单调递减． , 解 f(x)－ g(x)＝ logx 3x－ logx 4＝ logx 44时，f(x)＝ g(x)； ,当 1x34时， logx 43． ,当 0x1 时， logx 44时，logx 43x0， f(x)g(x)；当 x＝33x0， f(x)g(x)．当 x33x0，f(x)g(x)．综上所述，当 x(0,1)（34，＋ ))时， f(x)g(x)； ,当 x＝34时， f(x)＝ g(x)； ,当 x（ 1，34)时， f(x)g(x)．第三章函数的应用一、基本内容串讲本章主干知识是：零点与方程根，用二分法求方程的近似解，函数的模型及其应用 1．函数与方程（1）方程的根与函数的零点：如果函数)(xfy =在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy =在区间 (a , b) 内有零点，即存在),(bac，使得0)(=cf，这个 c 也就是方程0)(=xf的根。

人教a版高中数学必修一教材分析篇一：人教A版高中数学必修1全套教案课题：1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3. 思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5. 元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A（或a A 6. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

高中数学必修一教材分析作为新课程高中数学的起始模块—必修一，它是由“第一章集合、第二章函数、第三章指数函数和对数函数、第四章函数应用”四部分内容组成.尽管“集合、函数、指数函数和对数函数”这三部分内容属于我国高中数学课程的传统内容，但和《全日制普通高级中学数学教学大纲（2002 年颁布）》版教材（下称《大纲》版教材）相比, 《高中数学课程标准》版教材（由于我省各地市使用的数学教材均为北师大版, 所以 , 下边的讨论均以北师大版教材为基础, 并简称其为《标准》版教材）以《高中数学课程标准》为基础对其所涉及的相当一部分内容作了新的处理，在要求上也有了一定程度的变化 . “第四章函数应用”内容包括“函数与方程、实际问题的函数建模”两部分，这是新课程中增加的新内容，旨在突出“函数与方程” 的数学思想、强调数学的实际应用. 下边为了便于讨论，我们分章对于教材作一分析.1集合集合是近代数学中的一个重要概念，集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础，它不仅与高中数学的许多内容有着联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。

中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简明地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理.本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章，这种安排与以往的教材的处理有很大的区别. 例如，§ 2 集合的基本关系，是将集合的包含和相等关系放在一起，并给出自集的概念；§ 3 集合的基本运算，是将集合的交、并、补放在这一节，并给出全集的概念，这样安排给学生展现出知识间的联系，便于学生学习.1.1课程标准要求（ 1）集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.（ 2）集合间的基本关系① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.② 在具体情境中，了解全集与空集的含义.（ 3）集合的基本运算① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.1.2教学目标集合语言是现代数学的基本语言. 使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容（集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础），因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习.1.2.1知识与技能⑴了解集合的含义，明确元素与集合的“属于”关系. 掌握描写某些数集的专用符号.⑵理解集合的表示法，能用集合语言对事物进行准确，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.⑶理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力 .⑷了解全集与空集的含义.⑸理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.⑹理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.⑺能使用Venn 图表达集合的关系及运算.1.2.2过程与方法⑴从学生比较熟悉的实例入手，通过列举丰富的实例，了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.⑵创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、图形语言、集合语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.⑶借助几何直观，运用Venn图和数轴表示集合的关系及集合的基本运算，从直观上帮助学生理解并运用集合语言处理问题，体现数形结合的思想.1.2.3情感、态度、价值观⑴在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成事实求是，扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题.⑵通过直观感知，类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识.1.3知识结构与教学安排1.3.1知识结构第一章集合现代数学的基石集合的含义与表示集合是一种数学语言1.3.2教学顺序集合1.3.2课时安排§ 1集合的含义与表示§ 2集合的基本关系§3.1 交集与并集§3.2 全集与补集复习小结1.4教学重点和难点集合的含义及表示集合的基本关系集合的基本运算约1课时约1课时约1课时约1课时约1课时列举法描述法Venn 图包含相等交集并集补集1.4.1教学重点（1）集合的概念与表示 .（2）集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.（3）交集与并集、全集与补集的概念.1.4.2教学难点（ 1）运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合.（ 2）属于关系与包含关系的区别.（ 3）交集与并集的概念的理解，交集与并集的符号之间的区别与联系.1.5教学建议1.5.1把握课标、教材的定位，明确教学目标●集合作为一种数学语言来学习，尽管集合是数学的一个重要概念，但教材中给出的集合的概念只是一个描述性的说明，在教学中注意通过实例使学生对集合的概念有一个初步认识●不抠概念，只要求能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题1.5.2充分利用几何直观●注重图形（Venn 图和数轴）的直观作用。

2.1等式性质与不等式性质一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.三、教科书编写意图及教学建议在初中，学生学习了用含有未知数的等式（方程）表示问题中的相等关系，为了解方程研究了等式的一些基本性质，本节在初中等式学习的基础上，类比等式的学习内容和方法，展开不等式的研究，首先类比用等式表示相等关系，用不等式表示问题中的不等关系；然后在对等式的基本性质进行梳理，归纳其中蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，并用不等式的性质证明简单命题，通过本节的学习，掌握不等式的性质，提高对等式和不等式的共性与差异的理解，加深对“代数性质”的认识，提高提出问题和解决问题的能力.1.相等关系与不等关系教科书从现实世界和日常生活中存在的相等关系、不等关系讲起，类比用等式表示相等关系，用问题1的4个例题说明了如何用不等式或不等式组表示实际问题或数学问题中蕴含的不等关系.与用等式表示相等关系类似，用不等式表示不等关系的关键也是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式.与用等式表示相等关系不同的是，有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”“不低于”“至多”“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示.关于问题2，要解决这个问题，需要用不等式表示其中的不等关系，还需要求不等式的解集.而如何解这个不等式呢，教科书提出“与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质”，这就引出了对不等式性质的研究.接下来，教科书没有立即开始研究不等式的性质，而是先讨论了确定两个实数大小关系的方法.在初中，学生学过了实数的大小关系是由这两个实数在数轴上的点的位置关系规定的，这可以看成确定实数之间大小关系的几何规则.这个规则尽管直观，但在比较两个实数的大小关系时并不实用，因此这里介绍了一种代数方法——两个实数大小关系的基本事实.这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础.在本部分内容的最后，作为对相等关系和不等关系的总结，也为了引出基本不等式，教科书设计了一个探究栏目，让学生在第24届国际数学家大会的会标中发现相等关系和不等关系.这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即222+>（设直角三角形的两条直角边的长为a，ba b ab（a b=时，中空部分缩为一个≠）），而当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b点，这时有相等关系222+=.这样，就引出了基本不等式的一种变形形式a b ab222+≥.在上述过程中，学生的困难在于想不到从面积的角度发现不等关系，a b ab教学中应加强引导.接下来，教科书利用完全平方公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解决不等式问题中的应用价值.2，等式性质与不等式性质教科书类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明和应用.为了帮助学生从等式的性质及其研究方法中获得启发，去研究不等式的性质，教科书设计了两个问题（教科书第40页的思考栏目和探究栏目）.通过这两个问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向.学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即a b b a<⇒>；就不等式与四则运算的关系而言，当>⇒<，b a a b乘一个负数时，不等号要调换方向，即a b<⇒<.c ac bc>，0不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的，在对不等式进行论证时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数.（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数.（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数.（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数.利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明.在表述不等式的基本性质时，教科书也做了一些改变.不等式的性质3是类比等式的性质3得到的，性质4是类比等式的性质4，5得到的，在表述它们时，教科书把加法和减法合并为“加法”，把乘法和除法合并为“乘法”，这也表明高中数学对运算的认识更趋于一般性.此外，考虑到对于同一个数学对象的多元联系表示，有利于加深学生对它的理解，教科书从不同角度表述了不等式的性质，例如对于性质3和性质4使用了自然语言叙述，对于性质3还用数轴上的实数点展现了不等式包含的动态过程及结果.教学中可以让学生用自然语言或图形语言表述其他不等式的性质.在得到并证明了不等式的基本性质之后，教科书用这些基本性质，推导出了其他一些常用的不等式的性质（性质5~7），这些性质可以作为结论在今后的推理中使用.另外，证明这些性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用.证明的关键是利用不等式的基本性质，对给定的不等式进行结构上的变形，例如“不等式两边同加一个数”“不等式两边同乘一个数”等，逐步把给定的不等式变形为要证明的不等式.正确地运用不等式的性质对不等式进行变形对学生来说有一定的难度，教学中可以通过让学生多练习、纠正其典型错误等方式逐步帮助学生掌握正确的方法.在本部分内容的最后，教科书安排了一道例题（例2），向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路，这个命题的证明比不等式的性质5~7的证明要复杂一些，因为已知条件与结论之间的联系不够明显，证明中需要对已知不等式做什么变形不太明确，对于这样的问题，教科书在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”证明命题的思路，但因为教科书没有专门介绍证明方法，所以本例的证明过程采用了学生更熟悉的“综合法”的格式，教师在教学中可以补充一些典型题目，引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.。

4.2指数函数一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：指数函数的概念、图象和性质.难点：指数函数概念及性质的理解.三、教科书编写意图及教学建议对于指数函数概念的介绍，教科书强调从实际问题中抽象出数量关系；并用一定的数学式子表达这种数量关系；在分析数学式子特征的基础上，归纳概括得到指数函数的定义.这个过程强调了指数函数概念的抽象概括.在研究指数函数性质的过程中，教科书强调数形结合思想方法的运用，利用指数函数的图象探究指数函数的性质，并用所得到的性质进一步理解指数函数的图象.本节教科书还充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值.例如，教科书从旅游人次的增长问题和碳14的衰减问题这两个实例引入指数函数的概念.这两个问题，一个是增长问题，一个是衰减问题.通过实例，有利于学生更好地感受指数函数模型，促进学生了解中国文化、关心社会.建议教学时结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值.根据本节内容具有数形结合的特点和计算的需要，在教学过程中要充分发挥信息技术的作用，尽量利用信息技术创设教学情境，为学生的数学探究和数学思维提供支持，更好地克服可能遇到的困难，理解指数函数的概念、图象和性质.4.2.1指数函数的概念1.问题的提出问题1是旅游经济的问题，A，B两地游客人数的增长和经济指标都源于真实数据，贴近现在国内的实际，利于学生从实际出发体会函数是刻画实际问题变化规律的数学模型；两地游客人数的变化一个呈指数增长、另一个呈线性增长，这种对比有利于学生理解指数函数的概念.这样的背景实例还具有一定的教育意义，即促进学生了解国家经济的发展、关心社会.教学时，也要注意发挥这个问题的数学育人的功能.问题2是碳14衰减的问题，生物体内的碳14含量随时间呈连续的指数衰减变化，这是一个经典的指数函数实例，有利于指数函数概念的理解.问题1和问题2一个是增长问题，一个是衰减问题，两个问题有利于学生从实际出发全面地认识指数函数.实际上，科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生包括碳14在内的放射性物质，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”.动植物在生长过程中衰减的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物体内的碳14含量不变.死亡后的动植物停止了与外界的相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年.这也是考古中常用碳14来推断年代的原因.教学中还可以让学生通过“阅读与思考”进一步了解放射性物质的衰减.2.指数函数概念的抽象概括教科书是通过问题1和问题2，分以下三步逐步抽象概括出指数函数的概念. 首先，从问题1出发，分别通过变量的数据和这些数据的图象初步抽象出实际问题的变化规律.教学中要先让学生观察数据的变化情况，当不能发现数据的变化规律时，引导学生采取其他方法发现变化规律，比如将数据转化为图象形式进行观察.通过图象可以直观地看到变化的趋势，但还不能准确地刻画这一变化规律.其次，引导学生利用已知数据来说明图象的变化规律，并从图象中得到启发去处理数据，从而数形结合地发现实际问题变化规律的本质.在问题1中，图象显示A 地景区的游客人次呈线性增长，B 地景区的游客人次呈非线性增长，这两种增长变化如何用数量表示？由此引出通过对数据进行运算来探究数据变化规律的一种基本方法.分别对A ，B 两地景区的数据做减法和除法运算可以发现，年增长率相等是B 地景区数据变化规律的本质.最后，给出具体问题变化规律的数学表示，并归纳概括出指数函数的一般表达式.根据问题1中B 地景区旅游人次年增长率相等的这一变化规律的本质，可以得到解析式 1.11x y =；由问题2可以得到解析式1573012xy ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.尽管两个问题的实际背景不同，但它们的解析式都具有x y a =的形式.所以，就可以抽象概括出“函数(0, 1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ”. 通过抽象和概括指数函数概念，可以帮助学生发展数学抽象的核心素养.3.指数增长和指数衰减的引入教科书在抽象概括指数函数概念的过程中，引入了指数增长和指数衰减.通过除法运算发现，B 地景区游客人次每年都以相同的增长率在增长，像这样增长率为常数的变化方式就是指数增长.同样地，死亡生物体内碳14含量每年都以相同的衰减率在衰减，像这样衰减率为常数的变化方式就是指数衰减.其实，增长率或衰减率相等在一定程度上体现了指数函数增长或衰减变化的本质.对于指数函数()(0, 1)x f x a a a =>≠且，其本质特征是：对任意x ，y ∈R ， ()()()f x y f x f y +=.因此，两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现：()()()()()()()()00000000232(1)x f x x f x x f x x f x n x a f x f x x f x x f x n x ∆+∆+∆+∆+∆=====+∆+∆+-∆，0x ∆>，n ∈N . 当00x =，1x ∆=时，上式即(1)(2)(3)()(0)(1)(2)(1)f f f f n a f f f f n ===⋯==-，n ∈N . 可见，两个具体事例引入指数增长和指数衰减可以帮助学生更清楚地认识指数函数的概念，更好地把握指数函数变化规律的本质.4.例题教学例1不仅可以让学生熟悉指数函数的解析式和对应关系，还可以让学生学习利用函数解析式列方程求底数a 的值.例2通过利用指数函数概念解决问题1和问题2有关的问题，让学生进一步了解指数函数的实际意义，并理解指数函数的概念. 同时引出形如(,0,1)x y ka k a a =∈>≠R 且的刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型.当初始量(0 )k x y =时的值不为1时，一般就用这种函数刻画具有指数增长或衰减变化规律的实际问题.结合例2，还可以让学生举出几个指数型函数的例子，这些例子可以是学生课外搜集的具有指数增长或衰减规律背景的具体实例，也可以是本章涉及的有关实际问题的具体实例，通过这些实例增强对指数函数模型的认识.4.2.2指数函数的图象和性质1.作出图象，概括指数函数的性质在幂函数的教学中，已经将函数图象作为研究函数性质的直观工具，学生在此过程中积累了利用函数图象研究函数性质的经验.在此基础上，指数函数的图象和性质的教学应该以学生为主，引导学生类比研究幂函数的图象和性质的过程和方法，从以下两个方面进行探究.（1）观察图象，概括性质这是本小节教学的重点，可以先让学生根据研究幂函数的经验思考：如何研究一个函数的性质？研究一个函数的性质主要是研究哪些方面？首先，作出函数的图象.教科书给出了两种作图方式，教学时可以在描点作图基础上，进一步介绍用信息技术根据函数解析式作图.第一种方式就是列表描点作图.由于图象是由点构成的，列表描点可以清楚地反映出各个点的坐标的变化情况，从而由点到线直观地发现函数图象所体现的性质.教学时可以从简单的指数函数2x y =开始，再到12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在研究了这一对函数之后，再研究具有类似对称关系的其他几对函数，从而概括它们的共同特征.列表描点作图也有两种方式；一种是通过人工计算各个点的坐标，然后列表描点作图；但最好是选择第二种方式，即利用计算工具直接计算各个点的坐标并列表，然后作图. 第二种方式就是根据函数解析式直接作图.这是画函数图象最便捷的方式，但只有利用具有函数作图功能的信息技术才能实现.为了更好地概括函数性质，应该对函数(0, 1)x y a a a =>≠且中的底数a 进行任意取值，作出大量相应的具体指数函数的图象，并通过跟踪图象上的点，观察点的坐标的变化.其次，根据图象概括函数的性质.先让学生根据所作的大量具体函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，然后概括指数函数的定义域、值域、定点和单调性.（2）由性质进一步认识图象我们一般是先作函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，在信息技术的帮助下，这样的研究既方便又直观.另外，我们也可以先研究函数的性质，然后由性质去进一步分析函数的图象，这样可以更好地培养学生的理性思维.在本小节的教学中，在由图象概括出函数的性质后，还可以让学生根据所得性质进一步分析函数的图象，从“以形助数”和“以数助形”两个方面体会数形结合的思想方法.2.“探究”的教学分析（1）教科书第116页的“探究”是让学生用一种作图的方式，首先获得“函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数2x y =的图象关于y 轴对称”的结论；然后利用这个结论，通过探究，让学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象.其目的是让学生学习用联系的观点看问题，以及通过逻辑推理获得数学结论.这样探究的好处是便于将指数函数x y a =分为1a >和01a <<两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳.直接引入函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不够自然，只有在探究之后才能有所体会.（2）教科书第117页的“探究”是让学生利用信息技术得到a 取任意值时函数x y a =的大量图象，并根据所作的这些图象直观地归纳出它们的共同特点.这样探究的好处是底数a 的取值自然，所作函数的图象也是自然产生的，而非事先规定的，且用信息技术能便捷地作出大量图象，易于进行归纳.但要将指数函数x y a =分为1a >和01a <<两类进行讨论，还需要学生从所作图象的过程中去发现，或由教师进行引导.在上述探究过程中，要有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，逐步完成表4.2-3的内容.3.信息技术的使用在不使用信息技术的条件下，只能人工列表描点作出有限的几个人为指定的特殊函数的图象，然后观察这几个图象来讨论指数函数的性质.但是，这会带来一系列的问题，比如，为什么要画这几个函数的图象？为什么少量的几个函数图象就可以代表一般的函数图象，由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数a 分为1a >和01a <<这两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能通过大量的函数图象看到其共性，更容易概括出函数的性质.信息技术在本小节的使用主要有以下两方面：（1）在同一平面直角坐标系内画出a 取任意值时函数x y a =的大量图象.可以设置a 的取值，然后通过控制a 的连续变化展示对应函数图象的分布情况；也可以逐个地取a 的值，然后分别作出对应函数的图象.（2）计算函数2x y =的自变量取值及其对应的函数值并列表，然后将所得有序实数对描点并画出函数的图象.同理，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，跟踪函数2x y =图象上的点，观察这些点关于y 轴的对称点，发现所有的对称点均在函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象上，并由相互对称的点的坐标关系分析函数2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的关系. 4.例题和练习的教学分析例3的主要目的是利用指数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的指数函数是关键也是难点.本例能够帮助学生进一步熟悉指数函数的性质，并促使他们形成用函数观点解决问题的意识.例4的主要目的是利用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促使学生形成用函数观点解决问题的意识.练习第1题，通过底数互为倒数的两个指数函数的关系，进一步熟悉指数函数的图象和性质，可结合本小节的“探究”完成.练习第2题，利用指数函数的单调性比较两个数的大小，进一步熟悉指数函数的性质，可结合例3完成.练习第3题，主要是利用图象体现实际问题的变化规律，建立与指数函数的概念、性质的联系.。

4.1指数一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：实数指数幂的运算及其性质.难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂.三、教科书编写意图及教学建议指数函数是以指数为自变量的一类函数，其定义域为实数集.为研究指数函数，需要把指数幂运算的范围进一步推广.类似于先把整数推广到有理数，然后把有理数推广到实数一样，本节教科书也是将指数幂由整数指数幂推广到有理数指数幂，然后推广到实数指数幂，进而为指数函数的学习奠定基础.在指数幂运算的推广过程中，“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍然成立”是核心思想.对此，学生在初中学习整数指数幂时，在由正整数指数幂到负整数指数幂的推广过程中已经有所体会，本节教学中要让学生进一步体会.学习指数幂的运算，必须解决无理数指数幂的问题.与对无理数的理解一样，对无理数指数幂的理解是本节教学的难点.对此，教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想引入无理数指数幂.教学中，可以类比初中用有理数逼近无理数的教学，让学生通过经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；然后在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂.由此让学生体会其中的极限思想，并从数和形两个角度认识到.4.1.1n次方根与分数指数幂学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如12S的以分数为指数的幂，那么这种以分数为指数的幂的意义是什么？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？这些都是自然而然要研究的问题.教科书就是从这样的问题出发引入本节内容.平方、开平方以及立方、开立方是学生熟悉的运算，它们两两互为逆运算.为了一般化，教科书首先把平方根、立方根的概念推广到n次方根，介绍n次方根的性质；然后在此基础上，建立n次方根与分数指数幂的关系，说明分数（有理数）指数幂的意义，并把整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂的情形.1.n次方根的概念及其性质初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根.类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，因为4(2)16±=，所以把2±叫做16的4次方根；同样，由于5232=，所以把2叫做32的5次方根.以此类推，就可以得出n次方根的概念.这种推广以具体的例子为载体，由特殊到一般，由具体到抽象，学生理解起来并不困难，通过n次方根的概念，也容易得到其性质，即（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n.（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n负的n次方根用符号表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并写成0)a>.（3）负数没有偶次方根.（4）0的任何次方根都是00=.进一步，根据n次方根的意义，可以把实数的n次方根推广到n次根式，实现数到式的推广，而且数的性质可以自然地推广到式，这就是数式通性在n次根式中的表现，由此我们容易得到教科书105页探究栏目中问题的答案：当n a=；当n为偶数时，,0, ||,0.a aaa a⎧==⎨-<⎩2.例1的设计及教学例1的作用是巩固n次方根的概念，.前3个小题涉及的都是具体的数，第4小题涉及字母.解决问题时，要特别注意当n 为偶数时最后结果的准确表示以及化简.例如对于最后一个小题，由于涉及字母a，b，其结果要用绝对值的形式表示，所以需要对这两个字母的大小关系进行分类讨论之后再化简.3.n次方根与分数指数幂的关系以n次方根的概念及其性质为基础，教科书进一步研究了n次方根与分数指数幂的关系.对于根式的被开方数的指数与根指数，存在整除与不能整除两种情况.教科书首先通过具体的实例说明，当根式的被开方数，如10a（看成幂的形式）的指数10能被根指数5整除时，可以表示为分数指数幂105a的形式.这样，就把10a的5次方根与分数指数幂105a联系起来，这种联系是非常自然的.整除的情况研究清楚了，自然就会提出“当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式”的问题.这也就是教科书105页的“思考”提出的问题，这是一个非常重要的问题，这个问题突破了，分数指数幂的推广就顺理成章了.教科书仍然是通过具体的实例，说明根据n次方根的概念及其性质，当根指数不能整除被开方数的指数时，为了使整数指数幕的运算性质，如()n k kna a=仍然成立，根式可以表示为分数指数幂的形式，如23(0)a a=>12(0)b b=>54(0)c c=>.在将n次方根表示为分数指数幂的过程中，核心思想是指数幂的运算性质仍然成立.这种兼容性为运算带来极大的方便，这同时说明了n次方根表示为分数指数幂的合理性.至此，关于正数的正分数指数幂的意义)*0,,,1mna a m n n=>∈>N.就顺理成章了.于是，在条件0a>，m，*n∈N，1n>下，根式都可以写成分数指数幂的形式，指数由整数推广到了正分数.类似正整数指数幂到负整数指数幂的推广，根据正分数指数幂的意义，可以规定正数的负分数指数幂的意义)*10,,,1mnmna a m n na-==>∈>N.负分数指数幂的规定，是完全类比负整数指数幂的规定.这种规定是合理的，它保持了正分数指数幂的运算性质.同样地，与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数幂x a中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数.由上可知，教科书通过具体实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，建立了分数指数幂与n次方根的关系：分数指数幂是n次方根的一种表示形式，两者是统一的.同时这种表示为后面的运算带来了极大的方便.另外，通过根式与分数指数幂的互化，可以巩固、加深对于根式和分数指数幂的理解.4.有理数指数幂的运算性质对有理数指数幂的运算性质，下面通过n次方根与有理数指数幂的关系给出证明.我们以（1）为例.首先考虑0r>，0s>的情况.由于r ，s 是有理数，所以n r m=，s p q =，其中m ，n ，p ，q 都是正整数，且m 与n 互质，p 与q 互质，所以q np mq np mqn q nr s r s p mp mp mp m p m a a a a a a a a a +++========.对于0r <，0s <的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明.5.例2～例4的设计及说明例2通过具体的数字运算，巩固分数指数幂的概念、意义以及分数指数幂中指数的运算性质.例3通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和n 次方根的互相转化，特别是把n 次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式.例4具有一定的综合性，需要综合运用n 次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质.例3与例4中，为了考虑问题的方便，而且主要是理解有关概念及运算性质，我们假定作为被开方数的字母均为正数.实际上，考虑到后面学习指数函数及对数函数，字母为负数有时没有意义.4.1.2无理数指数幂及其运算性质1.如何理解无理数指数幂指数幂中的指数由整数推广到有理数，比较自然，理解起来也不难.但是，指数是无理数时，这个指数幂有没有意义？如果有意义，其意义是什么？有理数指数幂的意义比较明显，它可以看成n 次方根，但无理数指数幂的意义就没有那么明显.在有理数扩充到实数的过程中，无理数的产生既有实际的背景，又有数学背景，如单位正方形对角线的长度.但是幂的指数由有理数推广到实数，指数变为无理数，很难有实际背景，这完全是数学理性思维的结果.不过这种推广，从思维的角度看，也是自然的.在有理数推广到实数的过程中，我们通过有理数的不足近似值和过剩近似值，，得出它的近似值，并说明它是无限不循环小数，是无理数的证明.同样，对于无理数指数幂，可以运用有理数推广到无理数的经验，通过有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法，认识无理数指数幂的意义.对于无理数指数幂的认识，教科书安排了一个探究栏目，从具体的.假设的不足近似值x （有理数）和过剩近似值y （有理数），根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，计算相应的5x ，5y 的值，并填入表中.可以发现，的不足近似值x 和过剩近似值y 时，相应的近似值都趋向于同一个数.这时，从差55x y -趋向于0，也可以进一步说明5x ，5y 都趋向于同一个数，这个数就是也就是说， 1.4 1.41 1.414 1.41425,5,5,5,和另一串逐渐减小的有理数指数幂 1.5 1.42 1.415 1.41435,5,5,5,逐步逼近的结果.由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）.逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数，这个数就是还是为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向——不断增大的方向（单调递增）和不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，，不仅在数轴上确实存在，而且是唯一的.这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案.这种方法在后面学习导数、积分等内容时，学生会感受得更加深刻.教科书通过“探究”中的表格和图4.1-1的数轴这两种方式展示逐步逼近的过程.用表格展示数据，呈现具体的数值，非常醒目；用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，两者结合，相得益彰.这样逐渐逼近的过程，比较直观，学生不难理解.通过逼近，使学生认识任何正数的实数次幂都是确定的实数这样一个结论.教学时，可以利用计算工具计算，近似值逐步精确，从而更好地看到也可以利用信息技术作图，在数轴上将程，加深学生对于无理数指数幂的理解.教科书接下来安排了一个思考栏目，让学生类比.在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>为无理数是一个确定的实数.这个结论使得以后能在实数范围内定义指数函数，在区间(0,)+∞内定义对数函数.这样，我们把指数幂(0)x a a >中指数x 的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数，即任何正数的实数指数幂是一个确定的实数.应当注意的是，在指数幂x a 中，通常要限定0a >这个条件.这是为了保证后续的指数函数x y a =对于任意实数x 都有意义.因为只有正数的任何实数次幂才都有意义，如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果底数是负数，指数为12n，仍然没有意义.因此我们限定0a 这个条件.本节中，无理数指数幂的理解是教学的一个难点.高中阶段只需知道任何正数的实数指数幂都是确定的实数即可，只要求能通过逼近的方法直观认识它，并不要求严格的证明.但是逼近的思想、用有理数近似表示无理数的方法，则需要学生掌握.2.实数指数幂的运算性质对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略.。

高中数学必修第一册教材分析作为新课程高中数学的起始模块—必修一，它是由“第一章集合与常用逻辑用语、第二章一元二次函数、方程和不等式、第三章函数的概念与性质、第四章指数函数与对数函数、第五章三角函数”五部分内容组成.下边为了便于讨论，我们分章对于教材作一一分析.1 集合与常用逻辑用语集合是近代数学中的一个重要概念，集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础，它不仅与高中数学的许多内容有着联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。

中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简明地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理.正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，说理有据。

本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章，这种安排与以往的教材的处理有很大的区别.例如，集合的基本关系，是将集合的包含和相等关系放在一起，并给出子集的概念；集合的基本运算，是将集合的交、并、补放在这一节，并给出全集的概念，这样安排给学生展现出知识间的联系，便于学生学习.学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，它包括数学上和日常生活中的应用。

教学目标集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容（集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础），因此高中数学课程中只是将集合作为一种语言来学习.⑴了解集合的含义，明确元素与集合的“属于”关系.掌握描写某些数集的专用符号.⑵理解集合的表示法，能用集合语言对事物进行准确，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.⑶理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力.⑷了解全集与空集的含义.⑸理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.⑹理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.⑺能使用Venn图表达集合的关系及运算.(8)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．(9)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．(10)通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”的含义．(11)通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．(12)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学重点和难点教学重点（1）了解集合的含义与表示.（2）理解集合间的包含与相等含义，子集与真子集的概念.（3）理解交集与并集、全集与补集的含义.(4)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．教学难点（1）运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合.（集合法的恰当选择）（2）属于关系与包含关系的区别.（3）交集与并集的概念的理解，交集与并集的符号之间的区别与联系.(4)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识结构与教学安排2 一元二次函数、方程和不等式通过具体情境感受不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。