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2821解直角直角三角形1

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28.2.1 解直角三角形

28.2.1 解直角三角形

28.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形1.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为( A )(A)2+ (B)2(C)3+(D)32.如图,☉O的直径AB=4,BC切☉O于点B,OC平行于弦AD,OC=5,则AD 的长为( B )(A)(B)(C) (D)3.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若a=8,c=10,则b= 6 ,cos A= ;(2)若∠A=30°,c=10,则a= 5 ,b= 5.4.关于直角三角形的可解条件,在直角三角形的六个元素中,除直角外,只要再知道两个元素(其中至少有一个是边),这个三角形的形状、大小就可以确定下来.解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条直角边或斜边和一条直角边)及已知一边和一个锐角( 一条直角边和一个锐角或斜边和一个锐角). 5.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知,a=35,c=35,求∠A,∠B,b.(2)已知,sin A=,c=6,求a,b;(3)已知,tan B=,b=9,求a,c;(4)已知,∠A=60°,△ABC的面积S=12,求a,b,c及∠B.解:(1)∠A=45°,∠B=45°,b=35.(2)a=4,b=2.(3)a=6,c=3.(4)a=6,b=2,c=4,∠B=30°.6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中线.(1)若BD=,∠B=30°,求AD的长;(2)若∠ABC=α,∠ADC=β,求证:tan β=2tan α.(1)解:在Rt△ABC中,BC=2BD=2,∠B=30°,∴AC=BCtan B=2×=,在Rt△ADC中,DC=BD=,∴AD==.(2)证明:在Rt△ABC中,tan∠ABC=,∵∠ABC=α,∴AC=BCtan α,在Rt△ADC中,tan∠ADC=,∵∠ADC=β,∴AC=DCtan β,故BCtan α=DCtan β.又∵BC=2DC,∴tan β=2tan α.7. 如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6,AC=5,∠A=30°.(1)求BD和AD的长;(2)求tan C的值.解:(1)∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠BDC=90°.在Rt△ADB中,AB=6,∠A=30°,∴BD=AB=3.∴AD=BD=3.(2)CD=AC-AD=5-3=2,在Rt△BDC中,tan C===.。

28-2-1解直角三角形 课件

28-2-1解直角三角形 课件

感悟新知
知1－练
1-1. 如图，△ ABC 中，AB=AC， BC=1 0 ，∠ B=36°， D 为BC 的中点， 则AD 的长是( C ) A.5sin36° B.5cos36° C.5tan36° D.10tan36°
感悟新知
知识点 2 直角三角形中的边角关系
知2－讲
1. 直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为a，b，c， 那么除直角∠ C外的五个元素之间有如下关系：
tan A a , 3 a , a 4 3, c 2a 8 3. b 3 12
感悟新知
知2－练
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，c=6. 解题秘方：求角时，一般用已知边比已知边，去找 未知角的某一个锐角三角函数.
感悟新知
解法提醒：
知2－练
解直角三角形选择关系式常遵循的原则：
感悟新知
(2)∠ B=72°，c=14；
知2－练
解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，c＝14， ∴∠A＝90°－72°＝18°.
∵sinB＝bc，∴b＝csinB. 即 b＝14sin72°≈14×0.951≈13.31.
∵cosB＝ac，∴a＝ccosB. 即 a＝14cos72°≈14×0.309≈4.33.
然后利用解直角三角形求边或角. 在作垂线时，要充分利 用已知条件， 一般在等腰三角形中作底边上的高，或过 特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构 造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相关 知识求解.
感悟新知
知2－讲
解：如图28.2-1 所示，过点A 作AE ⊥ BC，垂足为点E.

《2821解直角三角形》教案导学案

《2821解直角三角形》教案导学案

《2821解直角三角形》教案导学案教案：2821解直角三角形教学目标：1.学生能够理解并解决直角三角形的相关问题。

2.学生能够运用解直角三角形的方法计算相关量。

教学重难点：1.直角三角形的相关概念和性质。

2.解直角三角形的方法和步骤。

教学准备：1.教材：教科书《2821解直角三角形》。

2.教学工具：数学练习册、直角三角形的示意图、解直角三角形的步骤图。

教学过程：Step 1: 引入直角三角形的概念（15分钟）1.引导学生回顾直角三角形的定义和性质，并列举出直角三角形的特点。

2.给出直角三角形的示意图，让学生观察并找出直角三角形的特征。

3.引导学生思考与直角三角形相关的问题，如“如何求解直角三角形的边长”、“如何求解直角三角形的角度”等。

Step 2: 解直角三角形的方法（30分钟）1.解释解直角三角形的基本思路：已知两边长度或一边一角求解第三边或第二个角的大小。

2.讲解解直角三角形的步骤和方法，并给出解直角三角形的范例。

3.让学生进行小组讨论，并解答相关问题。

Step 3: 解直角三角形的练习（40分钟）1.分发练习册，让学生独立完成解直角三角形的练习题，并及时批改。

2.鼓励学生互相合作，解决困难，并让部分学生上台讲解解题思路和方法。

Step 4: 总结与拓展（15分钟）1.对解直角三角形的方法和步骤进行总结，并强调解题的重点和难点。

2.引导学生思考如何应用解直角三角形的知识解决实际问题。

3.结合其他几何知识，提出拓展问题，如“如何求解斜边为一个特殊值时的直角三角形的其他边长和角度”。

导学案：2821解直角三角形导学目标：1.了解直角三角形的特点和性质。

2.学会应用解直角三角形的方法解决问题。

导学过程：Step 1: 直角三角形的定义和性质（10分钟）1.回顾直角三角形的定义：一个三角形有一个角度为90°的角。

2.引导学生思考直角三角形的性质，如两条直角三角形的斜边相等、两条直角三角形的锐角互余等。

28.2.1解直角三角形

28.2.1解直角三角形

（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系CaBFra biblioteksin
A

A的对边 斜边

a c
sin
B

B的对边 斜边

b c
cos
A

A的邻边 斜边

b c
cos
B

B的邻边 斜边

a c
tan
A

A的对边 A的邻边

a b
tan
B

B的对边 B的邻边

b a
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠BAC的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
A
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2 6
CAD 30
43
因为AD平分∠BAC
C
D
B
CAB 60,B 30
AB 12, BC 6 3
补充练习
2．(2010·广东)如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD＝4， cosB＝45，则 AC＝________.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三 角形；
（1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B＝72°，c = 14. B
(3) ∠B＝30°，a = 7 . 解：（1）根据勾股定理
c a=30
C a2 b2 302 202 10 13 ∵ tan A a 30 3 1.5
c
c=14
b
∴ b c sin B 14sin 72 13.3148 B a C

28.2.1解直角三角形教案

28.2.1解直角三角形教案
（3）解决实际问题时，将直角三角形的性质和三角函数知识灵活运用；
难点解析：学生在解决实际问题时，可能难以将所学知识灵活运用。教师应设计丰富的实例，让学生在不同情境下运用直角三角形和三角函数知识，提高问题解决能力。
（4）理解直角三角形在现实生活中的应用，培养学生的数学建模素养；
难点解析：学生对直角三角形在实际生活中的应用可能认识不足，教师应通过举例和实践活动，让学生体会直角三角形在现实生活中的重要性，培养学生的数学建模素养。
在教学过程中，教师要关注学生的掌握情况，针对重点和难点内容进行讲解和强调，确保学生理解透彻。同时，通过举例和实践，帮助学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的核心素养。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“解直角三角形”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量或计算三角形边长和角度的情况？”（如测量旗杆的高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
4.增强学生的数学建模素养，通过探索直角三角形的性质和求解方法，培养学生运用数学知识构建模型解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握直角三角形的定义及特点，理解直角三角形的内角和边的关系；
举例：通过具体图形，使学生明确直角三角形的定义，了解直角三角形的内角和边长的关系，如直角三角形中，一个角是直角（90°），另外两个角的和为90°，即互补关系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、勾股定理和三角函数的重要性及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形原理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

《解直角三角形(第一课时)》教学PPT课件【初中数学】公开课

《解直角三角形(第一课时)》教学PPT课件【初中数学】公开课

活动五
2..直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直 角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条 边,就可以求出其余的所有未知元素.
3.求未知元素时，有时可选择的关系式不止一 种,应考虑计算的方便,先求角后求边。
4.计算时要尽量利用原始数据,以防误差扩大。
教学活动6、课堂练习：
斜边,一锐角(如c,∠A) 一直角边,一锐角(如a,∠A)
1)∠B=90°-∠A; (2)由sin A=,得a=c·sin A; (3)由cos A=,得b=c·cos A
(1)∠B=90°-∠A;
(2) 由tan A= a ,得b a
b
tan A
(3) 由sinA= a ,得c a
c
sin A
或者AB=2AC=4
BC 42 22 2 3
活动四
2.在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,AB=4,求∠A,∠B的度数和 BC的长.
解：∵ AC 2BC2 AB2
BC 42 22 2 3
sin B AC 1 AB 2
∴∠B=30° ∴∠A=90°-30°=60°
复习回顾
2. 特殊角的三角函数
1
2
3
sin30°＝ 2 ，sin45°＝ 2 ，sin60°＝ 2 ；
3
2
1
cos30°＝ 2 ，cos45°＝ 2 ，cos60°＝ 2 ；
3 tan30°＝ 3 ，tan45°＝ 1 ，tan60°＝ 3 .
活动一
如图所示，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方 向上，轮船向东航行5 km，到达C处时，轮船位于灯塔的 正南方，此时轮船距灯塔多少千米? (tan55°≈1.4281，结果保留两位小数)

2821解直角三角形教学设计

2821解直角三角形教学设计一、教学目标1.知识目标：通过本次教学，学生将学会解直角三角形的基本问题；掌握正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的相关公式。

2.能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和推理能力。

3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，增强学生的探究精神和学习动力。

二、教学重难点1.教学重点：掌握解直角三角形的基本方法和相关公式。

2.教学难点：熟练应用正弦定理、余弦定理解决直角三角形问题。

三、教学过程1.热身导入（5分钟）教师出示一个含有直角三角形的图片，让学生观察并回答：直角三角形的特点是什么？2.概念讲解（15分钟）教师介绍直角三角形的定义和性质，引导学生认识到直角三角形是边和角都具有特殊关系的三角形。

3.正弦定理与余弦定理讲解（15分钟）教师通过绘制各类直角三角形的示例，讲解正弦定理与余弦定理的含义和推导过程，引导学生理解两个重要定理的意义并能运用到实际问题的解决中。

4.解题策略的引入（10分钟）教师提供一些解题策略，例如：找到已知条件，寻找角度、边长间的关系等，并通过实例演示如何应用解题策略来解决直角三角形问题。

5.练习与巩固（20分钟）教师让学生进行各种类型的直角三角形问题练习，鼓励学生独立思考和解决问题，并及时给予指导和帮助。

6.拓展与应用（15分钟）教师提供一些拓展问题，让学生思考并尝试解答，例如：在一些角度下，两条边的长度变化时，是否会对第三条边产生影响？能否找到一种规律？7.总结与归纳（10分钟）教师与学生一起总结本节课所学内容，引导学生归纳正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的一般步骤和注意事项。

8.课堂小结（5分钟）教师对本节课进行总结，强调学生应掌握的知识要点和重要概念。

四、教学评价1.学生练习题的解答情况，包括正确率和解题思路。

2.学生课堂参与度和表现情况，包括回答问题的积极性和互动交流的能力。

3.学生对解决直角三角形问题的理解和应用程度的评估。

人教版九年级数学下册《28-2-1 解直角三角形》教学课件PPT初三公开课


如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cos A 1 ， 3
BC = 5， 试求AB的长.
解：∵C 90，cos A 1 ， ∴
3
AC 1 . AB 3
B
设 AB x, AC 1 x ∵AB2 AC2 BC2
3
∴ x2
1 3
2 x
52.
C
A
∴
x1
15 4
2
, x2
15 4
2（舍去）.
c
∴ a c cos B 14cos 72 4.33.
A
c=14 b B aC
A 90 72 18.
课堂检测
能力提升 题
如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
分析：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长， 从而求解．
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗? 不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出
你发现了
这个三角形的其他元素吗? 不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的 一边
其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
A
tan B b ,
a
b
20
a tan B tan 35 28.6.
c
b
35°
20
C
a
B
sin
B b , c
c
b sin B
20 sin 35
34.9.

完整2821解直角三角形


(2) ∠B＝72°，c = 14.
解： sin B ? b ,
c
b ? cgsin B ? 14? sin 72o ? 13.3.
AB ? 2 AC ? 2 2.
二 已知一边及一锐角解直角三角形
典例精析
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
A
解：∠A? 90o ? ∠B=90o ? 35o=55.o
c
b
Q tan B ? b , a
2035°Fra bibliotek∴a?
b tan B
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°，
∴CD= 1 AC ? 2,
2 AD=ACcos A ? 4?
3 ? 2 3.
D
2
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，
∴BD=CD=2.
BC
?
2 cos∠DCB
?
2
2.
∴AB? AD ? BD ? 2 ? 2 3.
A. 4 3 B.4
4
C.8 3
D.4 3
2.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3， 4
cosB= 5 ，则AC的长为（ B ）
A．3 B．3.75 C．4.8 D．5
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线 AD ? 4 3 ，解这个直角三角形.
A
解：cos ?
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA = 1 ，
3
BC = 5， 试求AB的长.

28.2.1 解直角三角形


6.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1515，8ຫໍສະໝຸດ tanA＝17 ，则AB＝
.
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝ 20 2 ，则∠A＝
45° ，∠B＝ 45°
，b＝ 20
.
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角
线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长
线上，8 若∠CAE＝15°，则AE＝
10.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝1 3
45°，sinB＝ ，AD＝1.求BC的长.
解：在 Rt△ABD 中，∵sinB＝AADB＝13，又∵AD＝1， ∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝ 32－12＝2 2. 在 Rt△ADC 中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1. ∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1.
A.R2－r2＝a2
B.a＝2Rsin36°
C.a＝2rtan36° D.r＝Rcos36°
13.在△ABC 中，AB＝12 2，AC＝13，cos∠B＝ 22，则 BC 的边长为( D ) A.7 B.8 C.8 或 17 D.7 或 17
14.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，边 AB 的垂直平分线
应用：过D作DH⊥AC于H， 则∠DHO＝90°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OD＝12BD＝12b， ∵∠DOH＝α，∴DH＝OD·sinα＝12bsinα，∴S△ACD＝12AC·DH＝ 12a×12bsinα＝14absinα，∴▱ABCD 的面积＝2S△ACD＝12absinα.
分别交边 BC，AB 于点 D，E，如果 BC＝8，tanA＝43，那 25
么 BD＝ 4 .
15.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为
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A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
1、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形
A
解： tan A BC 6 3 AC 2
A 60
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
2、 如图，在Rt△ABC中，∠B＝ 35°，b=20，解这个直角三角形
AD 4 3 2
CAD 30
A
6 43
因为AD平分∠BAC
C
D
B
CAB 60,B 30
AB 12, BC 6 3
反馈练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三 角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;（tan56.3° ≈ 1.5）
(2) ∠B＝72°，c = 14.（ sin72° ≈ 0.95；
三角函数 关系式
┌ A ∠A的邻边b C
sin A a ,sin B b
c
c
cos A b , cos A a
c
c
tan A a , tan B b
b
a
有斜用弦、无斜用切、取原避中、宁乘勿除。
布置作业 课本92页 1、 2（sin36° ≈0.5877、 cos36° ≈0.8092、 tan36° ≈0.7265 ） 6、（cos65° ≈0.4226、 tan65° ≈2.1445 ） 课本97页 1、2、3、6 说明：A组选作4道
（精确到0.1）（sin35°≈0.59; cos35 ° ≈ 0.81; tan35 ° ≈ 0.73）
A
c
b
35°
20
BБайду номын сангаас
a
C
你还有其他 方法求出c吗？
3、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
解：cos CAD AC 6 3
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中， A
除直角外，如果再知道两个元素（其
中至少有一个是 。），这个三角形 b
c
就可以确定下来，这样就可以由已知
的两个元素求出其余的三个元素．
Ca
B
思考：
直角三角形中，各边之间、各角之间、边角之间有哪 些关系？试写在练习本上。
cos72° ≈ 0.31 ； tan72° ≈ 3.08）
(1)解：根据勾股定理
B
C a2 b2 302 202 10 13
tan A a 30 3 1.5 b 20 2
A 56.3
c a=30
A b=20 C
B 90 A 90 56.3 33.7
(2)解：sin B b
A
c
b c sin B 14sin 72 13.3 c=14 b
cos B a c
B aC
a c cos B 14 cos 72 4.34
A 90 72 18
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
∠A＋ ∠ B＝90°
斜边c
B
∠A的对边a
解直角 三角形
a2+b2=c2
济水一中 黄小国
检查记忆
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。
解直角三角形
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
a b c （1）三边之间的关系 2
2
2（勾股定理）
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A