2019-2020年高三上学期期末数学试卷含解析(I)

2019-2020年高三上学期期末数学试卷含解析(I)

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B= ．

2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为 ．

3．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为 ．

4．根据如图所示的伪代码，则输出S的值为 ．

5．从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为

．

6．若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为 ．

7．已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ．

8．若函数的最小正周期为，则的值为 ．

9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2a2+3，S3=2a3+3，则公比q的值为 ．

10．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为

． 11．若实数x，y满足，则的最小值为 ．

12．已知非零向量满足，则与夹角的余弦值为 ．

13．已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为 ．

14．已知函数，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）

15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．

（1）求角A的值；

（2）若，求sin（B﹣C）的值．

16．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．

求证：（1）直线MN∥平面EBC；

（2）直线EA⊥平面EBC．

17．（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．

（1）求A，B两镇间的距离；

（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？

18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．

（i）当直线PA的斜率为时，求△MFN的外接圆的方程；

（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．

19．（16分）已知函数axexxf2)(2,axxxgln)(,Ra

（1）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；

（2）证明：f（x）≥g（x）；

（3）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax+b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

20．（16分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a，（an+1）（an+1+1）=6（Sn+n），n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若对于∀n∈N*，都有Sn≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；

（3）当a=2时，将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．

附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分0分）

21．如图，AB为半圆O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点，求证：AB•BC=2AD•BD．

[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）

22．已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a=，求实数a，b的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：ρsin（θ﹣）=m（m∈R），圆C的参数方程为（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为时，求m的值．

[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．已知a，b，c为正实数， +++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25．甲、乙、丙分别从A，B，C，D四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B题． （1）求甲选做D题，且乙、丙都不选做D题的概率；

（2）设随机变量X表示D题被甲、乙、丙选做的次数，求X的概率分布和数学期望E（X）．

26．已知等式（1+x）2n﹣1=（1+x）n﹣1（1+x）n．

（1）求（1+x）2n﹣1的展开式中含xn的项的系数，并化简：

++…+；

（2）证明：（）2+2（）2+…+n（）2=n．

2016-2017学年江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）联考高三（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，则A∪B= {﹣2，0，3} ．

【考点】并集及其运算．

【分析】利用并集定义直接求解．

【解答】解：∵集合A={﹣2，0}，B={﹣2，3}，

∴A∪B={﹣2，0，3}．

故答案为：{﹣2，0，3}．

【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意并集定义的合理运用．

2．已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为 ．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．

【解答】解：由（1﹣i）z=2i，

得=，

则z的模为：．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

3．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为 14 ．

【考点】茎叶图．

【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．

【解答】解：剩下的4个分数是：

42，44，46，52，

平均数是：46，

故方差是：（16+4+0+36）=14，

故答案为：14．

【点评】本题考查了读茎叶图问题，考查求平均数以及方差问题，是一道基础题．

4．根据如图所示的伪代码，则输出S的值为 20 ．

【考点】程序框图．

【分析】根据条件进行模拟计算即可．

【解答】解：第一次I=1，满足条件I≤5，I=1+1=2，S=0+2=2，

第二次I=2，满足条件I≤5，I=2+1=3，S=2+3=5，

第三次I=3，满足条件I≤5，I=3+1=4，S=5+4=9，

第四次I=4，满足条件I≤5，I=4+1=5，S=9+5=14，

第五次I=5，满足条件I≤5，I=5+1=6，S=14+6=20，

第六次I=6不满足条件I≤5，查询终止，

输出S=20，

故答案为：20 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．

5．从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为 ．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】基本事件总数n=，再用列举法求出所取2个数的和能被3整除包含的基本事件个数，由此能求出所取2个数的和能被3整除的概率．

【解答】解：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取2个数，

基本事件总数n=，

所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：

（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），

共有5个，

∴所取2个数的和能被3整除的概率p=．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

6．若抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数a的值为 1 ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的右焦点，由题意可得方程，解方程即可得到a的值．

【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），

双曲线的右焦点为（，0），

由题意可得为=2， 解得a=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，同时考查抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题．

7．已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为 ．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．

【解答】解：∵圆锥的底面直径与高都是2，

∴母线长为： =，

∴圆锥的侧面积为：πrl=．

故答案为：．

【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．

8．若函数的最小正周期为，则的值为 ﹣ ．

【考点】正弦函数的图象．

【分析】利用正弦函数的周期性求得ω，再利用诱导公式求得的值．

【解答】解：∵函数的最小正周期为=，∴ω=10，

则=sin（10π•﹣）=sin=sin=﹣sin=﹣，

故答案为：．

【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．