2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)
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2020届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）
注意事项：
1. 本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；
2. 答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3. 第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0. 5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题、本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数. 【详解】，.
故选：B.
【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
2.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
表示与的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.
【详解】由与图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：
中的元素个数为个
故选： 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是明确交集表示的含义为两函数交点个数，通过数形结合的方式可得到结果.
3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.
【详解】 与轴夹角为 与轴夹角为
又
故选：
【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.
【详解】若，
中，，，则，错误；
中，，，则，错误；
中，上单调递增 当时，，正确；
中，，，则，错误.
故选：
【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.
5.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】 将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.
6.的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差中项和等比中项定义可得到的关系，代入余弦定理中可求得，进而得到结果.
【详解】由题意得：，
由余弦定理得：
故选：
【点睛】本题考查余弦定理解三角形的问题，涉及到等差中项和等比中项的应用，属于基础题.
7.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角形中位线性质平行移动至，在中利用余弦定理可求得，根据异面直线所成角的范围可知所求的余弦值为. 【详解】连接交于点，取中点，连接
设
三棱柱为直三棱柱 四边形为矩形
为中点 且
又，
异面直线和所成角的余弦值为
故选：
【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号错误.
8.函数，在中随机取一个数，使的概率为（ ） A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的图象可确定时的取值范围，进而根据几何概型可求得结果.
【详解】当时， 所求概率
故选：
【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到根据正弦函数的函数值求解自变量的取值范围.
9.已知，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】由得： （当且仅当，即时取等号）
的最小值为
故选：
【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
10.已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】D
【解析】 【分析】
根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项.
【详解】中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；
中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向右平移个单位长度后得：，错误；
中，将横坐标缩短到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，错误；
中，将横坐标伸长到原来的倍得：；向左平移个单位长度后得：，正确.
故选：
【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.
11.设为上的奇函数，满足，且当时，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得对称轴，结合奇偶性可知周期为；可将所求式子通过周期化为，结合解析式可求得函数值.
【详解】由得：关于对称
又为上的奇函数 是以为周期的周期函数
且
故选：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.
12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，
由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，
将点的坐标代入双曲线的方程得，即，
设该双曲线的离心率为，则，整理得，
解得，因此，双曲线的离心率为.
故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.
【详解】
带入得切线的斜率，
切线方程为，整理得
【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.
14.已知， 则____________，____________.
【答案】 (1). . (2). .
【解析】
【分析】 利用二倍角公式和辅助角公式可将整理为，对应相等可得所求的的值.
【详解】（其中）
，
故答案为：；
【点睛】本题考查三角恒等变换化简的问题，涉及到辅助角公式和二倍角公式的应用，属于常考题型.
15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.
【答案】，（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数”的定义写出一个符合题意的函数即可.
【详解】由得： 的定义域为
又为定义域内的增函数 值域为
的一个“同域函数”为， 故答案为：，（答案不唯一）
【点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.
16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就. 秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.
改写成以下形式：
若
则____________.
【答案】0.
【解析】
【分析】
利用秦九韶算法表示出，代入整理可得结果.
【详解】
