专题 直线与圆的位置关系(真题测试)- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解(解析版)

2025届高考数学复习：历年高考真题专项（直线与圆、圆与圆的位置关系）阶梯练习[基础强化]一、选择题1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切 B．相交但不过圆心C．相交过圆心D．相离2．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是()A.相离 B．外切 C．相交 D．内切3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋2B．2C．1＋2D．2＋224．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有() A．4条B．3条C．2条D．1条5．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝() A．0 B．3C．3或0 D．3或06．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝22，则直线l的斜率k的值为()A．1 B．－1或1C．0或1 D．17．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2 B．－4 C．－6 D．－88．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P 作⊙M的切线P A，PB，切点为A，B，当|PM|ꞏ|AB|最小时，直线AB的方程为()A.2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝09．若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15 都相切，则l 的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x ＋12 C ．y ＝12 x ＋1 D ．y ＝12 x ＋12 二、填空题10．若圆x 2＋y 2－4x －4y ＝0上至少有3个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为2 ，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．11．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85 ”的m 的一个值________．12．过点P (1，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，则切线方程为______________．[能力提升]13．[2024ꞏ全国甲卷(理)]已知b 是a ，c 的等差中项，直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＋4y －1＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．2514．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )A ．1B ．154C ．104D ．6415．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b 的最小值为________．参考答案[基础强化]一、选择题1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是() A．相切 B．相交但不过圆心C．相交过圆心D．相离答案：B答案解析：圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝|2－2－5|22＋12＝5<6，∴两圆相交但不过圆心．2．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是()A.相离 B．外切 C．相交 D．内切答案：B答案解析：∵x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3，4)，半径r2＝3，又圆心距|C1C2|＝（0＋3）2＋（0－4）2＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋2B．2C．1＋22D．2＋22答案：A答案解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C(1，1)，半径为1，圆心C到直线x－y－2＝0的距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝2，∴圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝2＋1.4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有() A．4条B．3条C．2条D．1条答案：B答案解析：圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1C2|＝（－2－2）2＋（2＋1）2＝5，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2外切， ∴它们有3条公切线．5．已知直线l ：y ＝k (x ＋3 )和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B ．3C ．33 或0 D ．3 或0 答案：D答案解析：由题意得圆心(0，1)到直线kx －y ＋3 k ＝0的距离为1，即：|－1＋3k |k 2＋1 ＝1得k ＝0或k ＝3 .6．已知直线l 经过点(0，1)且与圆(x －1)2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝22 ，则直线l 的斜率k 的值为( )A ．1B ．－1或1C ．0或1D ．1 答案：D答案解析：由题意得圆心(1，0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离d 为d ＝|k ＋1|k 2＋1＝4－（2）2 ，得(k ＋1)2＝2(k 2＋1)，得k ＝1.7．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 答案：B答案解析：x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ， 则圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|12＋12＝2 ，由题意得2＋22＝2－a ，∴a ＝－4.8．已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |ꞏ|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A.2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x ＋y ＋1＝0答案解析：如图，由题可知，AB ⊥PM ，|PM |ꞏ|AB |＝2S 四边形APBM ＝2(S △P AM ＋S △PBM )＝2(|P A |＋|PB |)， ∵|P A |＝|PB |，∴|PM |ꞏ|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－|AM |2 ＝4|PM |2－4 ， 当|PM |最小时，|PM |ꞏ|AB |最小，易知|PM |min ＝54＋1＝5 ，此时|P A |＝1，AB ∥l ，设直线AB 的方程为y ＝－2x ＋b (b ≠－2)，圆心M 到直线AB 的距离为d ＝|3－b |5， |AB |＝4|P A ||PM | ＝45，∴d 2＋⎪⎪⎪⎪AB 2 2＝|MA |2，即（3－b ）25＋45 ＝4，解得b ＝－1或b ＝7(舍). 综上，直线AB 的方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.故选D. 9．若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15 都相切，则l 的方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x ＋12 C ．y ＝12 x ＋1 D ．y ＝12 x ＋12 答案：D答案解析：方法一(直接计算法) 由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 为y ＝kx ＋m ，直线l 与曲线y ＝x 的切点为A (x 0，y 0).由导数的几何意义可知12x 0＝k ，即x 0 ＝12k ，点A 既在直线l 上，又在曲线y ＝x 上，∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0＋m ，y 0＝x 0．∴kx 0＋m ＝x 0 ，即k ꞏ⎝⎛⎭⎫12k 2＋m ＝12k ，化简可得m ＝14k ，又∵直线l 与圆x 2＋y 2＝15 相切，∴|m |1＋k 2＝55 ，将m ＝14k 代入化简得16k 4＋16k 2－5＝0，解得k 2＝14 或k 2＝－54 (舍去).∵y ＝x 的图象在第一象限，∴k >0，∴k ＝12 ，∴m ＝12 ，∴l 的方程为y ＝12 x ＋12 .故选D.方法二(选项分析法) 由选项知直线l 的斜率为2或12 ，不妨假设为2，设直线l 与曲线y ＝x 的切点为P (x 0，y 0)，则12 x 0－12 ＝2.解得x 0＝116 ，则y 0＝14 ，即P ⎝⎛⎭⎫116，14 ，显然点P 在圆x 2＋y 2＝15 内，不符合题意，所以直线l 的斜率为12 ，又直线l 与圆x 2＋y 2＝15 相切，所以只有D 项符合题意，故选D.二、填空题10．若圆x 2＋y 2－4x －4y ＝0上至少有3个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为2 ，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．答案：[2－3 ，2＋3 ]答案解析：x 2＋y 2－4x －4y ＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心为(2，2)，半径为22 .当圆心到直线l 的距离为2 时，圆上恰好存在3个点到直线l 的距离为2 ，∴圆心到直线l 的距离应小于或等于2 ，∴|2k －2|1＋k 2≤2 ， ∴2－3 ≤k ≤2＋3 .11．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85 ”的m 的一个值________．答案：2(答案不唯一，可以是±12 ，±2中任意一个)答案解析：设直线x －my ＋1＝0为直线l ，由条件知⊙C 的圆心C (1，0)，半径R ＝2，C 到直线l 的距离d ＝21＋m 2 ，|AB |＝2R 2－d 2 ＝24－（21＋m 2）2＝4|m |1＋m 2.由S △ABC ＝85 ，得12 ×4|m |1＋m 2 ×21＋m 2 ＝85 ，整理得2m 2－5|m |＋2＝0，解得m ＝±2或m ＝±12 ，故答案可以为2.12．过点P (1，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，则切线方程为______________．答案：x ＝1或8x －15y －53＝0答案解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝1， 当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＋3＝k (x －1)， 即：kx －y －k －3＝0，由题意得|4k －2－k －3|k 2＋1 ＝3，得k ＝815 ， ∴切线方程为8x －15y －53＝0.[能力提升]13．[2024ꞏ全国甲卷(理)]已知b 是a ，c 的等差中项，直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＋4y －1＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．25 答案：C答案解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a －2b ＋c ＝0，所以直线ax ＋by ＋c ＝0恒过点P (1，－2).x 2＋y 2＋4y －1＝0化为标准方程得x 2＋(y ＋2)2＝5，则圆心C 为(0，－2)，半径r ＝5 ，则|PC |＝1，当PC ⊥AB 时，|AB |取得最小值，此时|AB |＝25－|PC |2 ＝4.故选C.14．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )A ．1B ．154C ．104D ．64 答案：B 答案解析：如图，x 2＋y 2－4x －1＝0得(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r ＝5 ，所以圆心到点(0，－2)的距离为（2－0）2＋（0＋2）2 ＝22 ，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin α2 ＝r 22 ＝522 ＝104 ，所以cos α2 ＝64 ，所以sin α＝2sin α2 cos α2 ＝2×104 ×6 ＝154 .故选B.15．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．答案：3x ＋4y －5＝0或7x －24y －25＝0或x ＋1＝0(答对其中之一即可) 答案解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O 1(0，0)，O 2(3，4)，r 1＝1，r 2＝4.因为|O 1O 2|＝r 1＋r 2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A (x ，y ).由O 1A ＝15 O 1O 2，得A (35 ，45 ).因为kO 1O 2＝43 ，所以切线l 1的斜率k 1＝－34 ，所以l 1：y －45 ＝－34 (x －35 )，即3x ＋4y －5＝0.由图象易得两圆均与直线l 2：x ＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l ：y ＝43 x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－43． 故直线l 与l 2的交点为P (－1，－43 ).由切线定理，得两圆的另一公切线l 3过点P .设l 3：y ＋43 ＝k (x ＋1).由点到直线的距离公式，得43√＝1，解得k ＝724 ，所以l 3：y ＋43 ＝724 (x ＋1)，即7x －24y －25＝0.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b 的最小值为________．答案：8答案解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x ＋y ＝2.点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，∴a ＋b ＝2，∴1a ＋9b ＝12 ⎝⎛⎭⎫1a ＋9b (a ＋b )＝12 ⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋9a b ≥12 ×(10＋6)＝8，当且仅当b a ＝9a b ，即b ＝3a 时取等号，所以1a ＋9b 的最小值为8.。

专题9.2 直线与圆的位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．【知识点展示】一．圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：.222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=220x y Dx Ey F ++++=①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔； (3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔.二．圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：2．圆的一般方程．：（）.3.点到直线的距离：.三．直线与圆相切1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；3.代数法：，方程组有一组不同的解. 四．直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；3.代数法：，方程组有两组不同的解. 五．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 六.常用结论 1．圆的三个性质2240D E F +->(2D -)2E -F E D 42122-+0422=-+F E D (2D -)2E -0422<-+F E D 00()A x y ，22200()()x a y b r <－＋－22200()()x a y b r =－＋－22200()()x a y b r >－＋－222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->000(,)P x y :0l Ax By C ++=0022Ax By Cd A B++=+d r =0∆=d r <0∆>1C 2C 12d C C =R r R r >d R r >+d R r =+R r d R r -<<+d R r =-0d R r ≤<-0d =(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x 2，y 2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 5．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.【常考题型剖析】题型一：求圆的方程例1.（2020·山东高考真题）已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22211x y ++-= B ．()()22214x y ++-= C ．()()22211x y -++= D ．()()22214x y -++=【答案】B 【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程. 【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=. 故选：B.例2.（重庆·高考真题（文））圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点()12，代入圆的方程即可求解. 【详解】因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =. 故选：A例3.（2022·全国·高考真题（文））过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭； 【解析】 【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭. 【规律方法】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 题型二：圆的方程综合应用例4.（2023·全国·高三专题练习）当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线l 垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可. 【详解】解：因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =， 又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.例5.（2016·天津·高考真题（文））已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=45C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】【详解】试题分析：设(,0)(0)C a a >222452,2535a a r =⇒==+（），故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【总结提升】涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 题型三：直线与圆相切例6.（2020·全国·高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A 5B 25C 35D 45【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ， 圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5， 圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为2255d -==所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B.例7.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离222d a b +若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以222d r a b+，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以222d r a b+，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以222d r a b+，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +， 所以222d r a b+，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.例8.（2020·浙江·高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______． 【答案】 323【解析】 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可.【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，2211k =+，2211k =+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-， 解得323k b ==. 323【规律方法】判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法． 题型四：直线与圆相交及弦长例9.（2023·全国·高三专题练习）过圆()22:11C x y -+=外一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B .若△P AB 为等边三角形，则过D (2，1)的直线l 被P 点轨迹所截得的最短弦长为________. 【答案】22【解析】 【分析】先根据∠APC ＝30°，可得P 点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l 与CD 垂直时，l 被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可 【详解】由题意知()1,0C ，连接PC ，因为△P AB 为等边三角形，所以∠APC ＝30°，所以12sin 30CP ==，所以P 点轨迹的方程为()2214x y -+=.因为()2221124-+=<，所以点D (2，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部.连接CD ，结合图形可知，当l 与CD 垂直时，l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短，最短弦长为22424222CD --=故答案为：22例10.（2022·天津·高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =_____． 【答案】2 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m 的等式，即可解得m 的值. 【详解】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,13圆心到直线()00x y m m -+=>1122m-+=由勾股定理可得22322m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =.故答案为：2. 【规律方法】 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 题型五：圆与圆的位置关系例11.（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆221:140C x y x +-=与圆222:(3)(4)15C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．内切C ．外切D ．相离【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由221:140C x y x +-=与圆222:(3)(4)15C x y -+-=，可得圆心12(7,0),(3,4)C C ，半径127,15R R ==，则2212(73)(04)42C C -+-=2121715,715R R R R -=+= 所以211221R R C C R R -<<+，所以两圆相交. 故选：A.例12.（2022·全国·高考真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =- 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离19116d ==+，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+， 当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意22113441p k k p k ⎧=⎪+⎪++=+，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =- 当切线为n 时，易知切线方程为1x =-， 故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.【规律方法】1.判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．3.公共弦长要通过解直角三角形获得． 题型六：直线、圆的综合应用例13.（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而 24PA MP -当直线MP l ⊥时，min 5MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.例14.（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上， 所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =， 依题意圆心到直线l 的距离()()223342132a ad a ----=≤-+，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦例15.（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆22:4210C x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为______． 45453【解析】【分析】根据圆的切线的性质，结合三角形面积2APBC S PA =四边形与12APBC S AB CP =四边形，化简可得4PA AB CP=，进而得到241AB CP=-AB 最短时，CP 最短求解即可【详解】圆22:4210C x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 由于P A ，PB 分别切圆C 于点A ，B ，则PA PB =， CA PA ⊥，CB PB ⊥，所以2ACP APBC S S CA PA ==四边形△，因为2CA CB r ===，所以2APBC S PA =四边形， 又PC AB ⊥，所以12APBC S AB CP =四边形， 所以14PA AB CP =，即24441PA AB CP CP ==- 所以AB 最短时，CP 最短，点C 到直线4y =的距离即为CP 的最小值， 所以min 3CP =，所以AB 的最小值为445419-=45例16.（2023·全国·高三专题练习）已知线段AB 的端点B 的坐标是()5,1，端点A 在圆()221:1(3)4C x y -+-=上运动．(1)求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；(2)设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；(3)若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值． 【答案】(1)22(3)(2)1x y -+-= (2)45MN =293 【解析】 【分析】(1) 设00(,)A x y ，(,)P x y ，可得002521x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入圆()221:1(3)4C x y -+-=化简即可； (2) 联立方程()()22134x y -+-=和()()22321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=,再由弦长公式可求得结果；(3) 作2C 关于x 轴得对称点()'232C -，，连接'12C C 与x 轴交于Q 点，根据时'123AQ CQ C C +≥-求解即可.（1）设00(,)A x y ，(,)P x y ，点A 在圆221:1(3)4C x y -+-=（），所以有：()22001(3)4x y -+-=，P 是A ，B 的中点，005212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002521x x y y =-⎧⎨=-⎩，得P 得轨迹方程为：22(3)(2)1x y -+-=；（2）联立方程()()22134x y -+-=和()()22321x y -+-=，得MN 所在公共弦所在的直线方程230x y --=，设1C 到直线MN 得距离为d ，则233455d --=,所以1625425MN =-45MN = （3）作出2C 关于x 轴得对称点()'232C -，，如图所示；连接'12C C 与x 轴交于Q 点，点Q 即为所求，此时'123293AQ CQ C C +≥-=，所以AQ CQ +293.【规律方法】 （一）最值问题1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2.求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． （二）求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 注：从高考命题看，与圆相关轨迹问题，往往与圆锥曲线有关. （三）几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．。

直线与圆的地点关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆地点关系的判断方法一是方程的看法，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用鉴别式 来议论地点关系 .① ＞0，直线和圆订交 . ② =0，直线和圆相切 . ③＜0，直线和圆相离 .方法二是几何的看法，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 .① d ＜R ，直线和圆订交 . ② d=R ，直线和圆相切 . ③ d ＞R ，直线和圆相离 .2.直线和圆相切，这种问题主假如求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种状况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种状况.3.直线和圆订交，这种问题主假如求弦长以及弦的中点问题 .●点击双基1.（ 2005 年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线2 22（ x+y ） +1+m=0 与圆 x +y =m的地点关系为A. 相切B. 订交C.相切或相离D. 订交或相切解读：圆心到直线的距离为d=1m，圆半径为m .2∵ d － r =1 m－ m = 1（m － 2 m +1） = 1（ m － 1） 2≥ 0，222∴直线与圆的地点关系是相切或相离 .答案： C2.圆 x 2＋ y 2－ 4x+4y+6=0 截直线 x － y － 5=0 所得的弦长等于A. 6B. 5 22解读：圆心到直线的距离为2，半径为 2 ，弦长为 2( 2)2( 2)2= 6.22答案： A3.（ 2004 年全国卷Ⅲ， 4）圆 x 2+y 2－4x=0 在点 P （ 1， 3）处的切线方程为A. x+ 3 y － 2=0B. x+ 3 y － 4=0－3 y+4=0D. x －3 y+2=0解法一：x 2+y 2－ 4x=0y=kx － k+3x 2－ 4x+（ kx － k+3 ）2 =0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k=3.3∴ y － 3 =3（ x － 1），即 x － 3 y+2=0.3解法二：∵点（ 1，3 ）在圆 x 2 +y 2－ 4x=0 上，∴点 P 为切点，进而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .又∵圆心为（2， 0），∴3· k=－1.2 1解得 k=3，∴切线方程为 x － 3 y+2=0.3答案： D4.（ 2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x － y － 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A （0，－4）、 B （0，－ 2），则圆 C 的方程为 ____________.解读：∵圆 C 与 y 轴交于 A （ 0，－ 4）， B （ 0，－ 2），∴由垂径定理得圆心在 y=－ 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x － y －7=0 上，y=－3，解 得 ∴联立2x － y －7=0.∴圆心为（ 2，－ 3），半径 r =|AC |=2 2 [3 ( 4)] 2 = 5 .∴所求圆 C 的方程为（ x －2） 2+（ y+3 ）2=5. 答案：（ x － 2） 2+（ y+3） 2=55.若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 y 2 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是 ___________.解读：利用数形联合 .答案：－ 1＜ k ≤ 1 或 k=－2●典例解析【例 1】 已知圆 x 2+y 2+x －6y+m=0 和直线 x+2y － 3=0 交于 P 、 Q 两点，且 OP ⊥ OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解析：因为 OP ⊥ OQ ，所以 k OP · k OQ =－ 1，问题可解 .222解：将 x=3－ 2y 代入方程 x +y +x － 6y+m=0，得 5y － 20y+12+m=0.12 my 1+y 2=4， y 1y 2=.5∵ OP ⊥ OQ ，∴ x 1x 2+y 1 y 2=0.而 x1=3－ 2y1，x2 =3－ 2y2，∴x1x2=9 － 6（ y1+y2） +4y1y2.∴ m=3，此时＞0，圆心坐标为（－1，3），半径r =5. 22评论：在解答中，我们采纳了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但一定注意这样的交点能否存在，这可由鉴别式大于零帮助考虑.【例 2】求经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（ y+3）2=37 的交点，且圆心在直线x－ y－4=0 上的圆的方程.解析：依据已知，可经过解方程组（x+3）2+y2=13 ，22得圆上两点，x +（ y+3） =37由圆心在直线x－y－ 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可依据已知，设所求圆的方程为（x+3）2 +y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3）2－ 37］ =0，再由圆心在直线 x－ y－ 4=0 上，定出参数λ，得圆方程 .解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（y+3）2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3 ）2－ 37］ =0.睁开、配方、整理，得（x+3）2 +（y+3）2=4 28+ 9(12 ) .111(1) 2圆心为（－3，－3），代入方程x－ y－4=0 ，得λ=－ 7.11故所求圆的方程为（x+1）2+（ y+7）2=89. 222评论：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆 C1、 C2订交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D 1x+E1y+F1） +λ（ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （λ ∈R 且λ ≠－1）.它表示除圆C2之外的全部经过两圆C1、 C2公共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－ 1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】已知圆C：（ x－1）2＋（ y－ 2）2＝ 25，直线l：（ 2m+1） x+（ m+1） y－7m －4=0 （ m∈R） .（1）证明：无论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 .解析：直线过定点，而该定点在圆内，本题即可解得.（1）证明： l 的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0.2x+y－ 7=0 ， x=3，∵ m∈R，∴得x+y－4=0 ， y=1，即 l 恒过定点 A（ 3，1） .∵圆心 C（ 1，2），｜ AC｜＝ 5 ＜5（半径），∴点 A 在圆 C 内，进而直线l 恒与圆 C 订交于两点 .（2）解：弦长最小时， l⊥ AC，由 k AC＝－1，2∴l 的方程为 2x－ y－ 5=0.评论：若定点 A 在圆外，要使直线与圆订交则需要什么条件呢？思虑议论求直线过定点，你还有其他方法吗？●闯关训练夯实基础1.若圆（ x－ 3）2＋（ y+5 ）2＝ r 2上有且只有两个点到直线 4x－ 3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是A. （4， 6）B.［4， 6）C.（ 4，6］D.［ 4， 6］解读：数形联合法解.答案： A2.（ 2003 年春天北京）已知直线ax+by+c=0（ abc≠0）与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C.是钝角三角形D. 不存在解读：由题意得| a 0 b0c |=1，即 c2 =a2+b2，∴由｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜组成的三a 2b2角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2005 年春天北京， 11）若圆 x2+y2+mx－1=0 与直线 y=－ 1 相切，且其圆心在y 轴4的左边，则 m 的值为 ____________.解读：圆方程配方得（ x+ m）2+y2=m2 1，圆心为（－m，0） . 242由条件知－m<0，即 m>0. 2又圆与直线 y=－1 相切，则0－（－ 1） =m 2124，即 m =3，∴ m= 3 .答案：34.（ 2004年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线 x2+y2－ 6x－ 2y－ 15=0 所截得的弦长等于____________.解读：由 x2+y2－ 6x－ 2y－15=0 ，得（ x－ 3）2+（ y－ 1）2=25.知圆心为（ 3， 1）， r=5.由点（ 3， 1）到直线 x+2y=0 的距离 d= |32 | = 5 .5可得1弦长为 2 5 ，弦长为4 5 . 2答案： 455.自点 A（－ 3，3）发出的光芒l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光芒所在的直线与圆 x2＋y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0 相切，求光芒 l 所在直线的方程 .解：圆（ x － 2） 2＋（ y － 2） 2＝ 1 对于 x 轴的对称方程是（ x － 2） 2＋（ y ＋ 2） 2＝ 1.设 l 方程为 y － 3＝ k （ x ＋3），因为对称圆心（ 2，－ 2）到 l 距离为圆的半径1，进而可得 k 1＝－ 3 ， k 2＝－ 4．故所求 l 的方程是 3x ＋ 4y － 3＝ 0 或 4x ＋ 3y ＋ 3＝0.436.已知 M （ x 0， y 0）是圆 x 2+y 2=r 2（ r >0）内异于圆心的一点，则直线 x 0x+y 0y=r 2 与此圆有何种地点关系 ?解析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O （0， 0）到直线 x 0x+y 0y=r 2 的距离为 d=r 2 .x 02 y 02∵ P （ x 0， y 0）在圆内，∴ 22x 0 y 0 <r .则有 d>r ，故直线和圆相离 . 培育能力7.方程 ax 2+ay 2－ 4（a － 1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出此中半径最小的圆的方程 .解：（ 1）∵ a ≠0 时，方程为［ x －2(a1) ］2 +（ y+ 2 ） 2 = 4( a 2 2a 2) ，a a a 2因为 a 2－2a+2 ＞ 0 恒建立， ∴ a ≠0 且 a ∈ R 时方程表示圆 .（ 2） r 2=4 · a22a2=4［2( 1－ 1)2+1］，a 2a 2 2∴ a=2 时， r min 2=2.此时圆的方程为（ x － 1） 2+（ y － 1） 2=2.8.（文）求经过点A （－ 2，－ 4），且与直线 l ： x+3y － 26=0 相切于（ 8， 6）的圆的方程.解：设圆为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3D － E=－ 36， 2D+4E －F=20， 8D+6E+F=－ 100. D=－ 11， ∴ E=3，F=－ 30.∴圆的方程为 x 2+y 2－ 11x+3y －30=0.（理）已知点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点，定点 Q （ 4， 0） .（ 1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（ 2）设∠ POQ 的均分线交 PQ 于 R ，求 R 点的轨迹方程 .解：（ 1）设 PQ 中点 M （ x ， y ），则 P （ 2x － 4， 2y ），代入圆的方程得（x － 2）2+y 2=1.（ 2）设 R （ x ， y ），由| PR |= |OP|= 1 ，|RQ| |OQ | 2设 P （ m ，n ），则有3x4m=，n=3y，2代入 x 2+y 2=4 中，得 （ x － 4） 2+y 2=16（ y ≠ 0） .39研究创新9.已知点 P 到两个定点 M （－ 1， 0）、 N （ 1， 0）距离的比为 2，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（ x ，y ），由题设有|PM |= 2，|PN |即 (x 1) 2y 2 = 2 · (x 1) 2y 2 ，整理得 x 2+y 2－6x+1=0.①因为点 N 到 PM 的距离为 1， |MN |=2，所以∠ PMN =30°，直线 PM 的斜率为±3.3直线 PM 的方程为 y=±3（ x+1） .3②将②代入①整理得x 2－ 4x+1=0.解得 x 1=2+ 3 ， x 2=2－ 3 .代入②得点 P 的坐标为（ 2+ 3 ，1+ 3 ）或（ 2－ 3，－1+ 3 ）；（ 2+ 3，－1－3 ）或（ 2－ 3，1－ 3）.直线 PN 的方程为 y=x － 1 或 y=－ x+1. ●思悟小结1.直线和圆的地点关系有且仅有三种：相离、相切、订交.判断方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2.解决直线与圆的地点关系的相关问题，常常充足利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学设计点睛1.相关直线和圆的地点关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确立.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线组成的直角三角形；与圆订交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半组成的直角三角形.3.相关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确立点与圆、直线与圆、圆与圆的地点关系时，常常要用到距离，所以，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟掌握，灵巧运用.拓展题例【例 1 】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，必定点为A（ 1， 2），要使过定点A （1， 2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围 .解：将圆的方程配方得（x+a）2+（ y+1）243a2C 的坐标为（－a，－2=4，圆心21），半径43a2r=4，条件是 4－ 3a2＞ 0，过点 A（ 1， 2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即(1a)2(21)2＞43a 2.242化简得 a +a+9 ＞ 0.4－3a2＞ 0，由a2 +a+9＞ 0，－2 3＜ a＜2 3，33解之得a∈R.∴－2 3＜a＜2 3. 33故 a 的取值范围是（－23，2 3）.33【例 2】已知⊙ O 方程为 x2+y2=4，定点 A（ 4， 0），求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆圆心的轨迹 .解析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件，而后将这个几何条件坐标化，即获得它的轨迹方程 .解法一：设动圆圆心为P（ x， y），因为动圆过定点 A，所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O 外切时， |PO |=|PA|+2；当动圆 P 与⊙ O 内切时， |PO |=|PA|－2.综合这两种状况，得 ||PO|－ |PA||=2.将此关系式坐标化，得| x2y2－ ( x 4)2y2|=2.化简可得（ x－ 2）2－y2=1. 3解法二：由解法一可得动点P 知足几何关系||OP|－ |PA||=2，即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点， 2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（ 2， 0），实半轴长=1，半焦距c =2，虚半轴长ab = c2a 2= 3 ，所以轨迹方程为（ x － 2） 2－ y 2=1.3。

第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。

专题9.2 直线与圆的位置关系（真题测试）一、单选题1．（2022·北京·高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ） A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-2．（2021·北京·高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．±1B ．2±C ．3±D ．2±3．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．74．（2020·全国·高考真题（文））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2023·全国·高三专题练习）过点（7，-2）且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是（ ）A ．()()22515x y -++=B ．()()225113x y -+-= C ．()()224413x y -++= D ．()()221652x y -++= 6．（2018·全国·高考真题（理））直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦D ．2232⎡⎤⎣⎦7．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +12 8．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C ：224210x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（ ）A 25B 45C 25D 5二、多选题9．（2022·山东青岛·二模）已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（ ）A ．圆C 的半径3r =B ．点(1,22在圆C 的内部C ．直线:330l x +=与圆C 相切D ．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交10．（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =11．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知O 为坐标原点，圆M ：()()22cos sin 1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 与圆224x y +=内切B ．直线cos sin 0x y αα+=与圆M 相离C ．圆M 上到直线2x y +=1的点最多两个D ．过直线32x y +=P 作圆M 的切线，切点为A ，B ，则四边形PAMB 面积的312．（2022·全国·模拟预测）已知点P 在圆224O x y +=：上，点()30A ，，()04B ，，则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225 B ．满足AP BP ⊥的点P 有3个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是210三、填空题13．（2019·浙江·高考真题）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.14.（2021·天津·高考真题）3y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．15．（2022·全国·高考真题（文））设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．16．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．四、解答题17.（2023·全国·高三专题练习）已知三点(2,0),(1,3),(2,2)A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，(1)求圆C 的方程;(2)判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长．18．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E 过定点()2,0P ，且y 轴被圆E 所截得的弦长恒为4．(1)求圆心E 的轨迹方程．(2)过点P 的直线l 与E 的轨迹交于A ，B 两点，()2,0M -，证明：点P 到直线AM ，BM 的距离相等．19．（2022·辽宁·高三期中）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．(1)求线段AB 的垂直平分线方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且23MN =l 的方程． 20．（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．21．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知圆M 的方程为22315222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求过点39,22⎛⎫ ⎪⎝⎭N 与圆M 相切的直线l 的方程； (2)过点(1,1)P 作两条相异直线分别与圆M 相交于A ，B 两点，若直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．22．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程； （3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.。

专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。