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322 （2）函数模型的应用实例（教学设计）教学目标：知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.情感、态度、价值观：体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值.教学重点难点：重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题.难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.一、新课引入：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目. 67岁的马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件.这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真.结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要•分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病的一般流行机制、非典的特殊性、我国政府所采取的一系列强有力措施的基础上，根据疾病控制中心每日发布的数据，利用统计学的方法和流行病传播机理建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.二、师生互动，新课讲解：例1 :（课本第104页例5）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：（课本P104）课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型.同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性.例2 :（课本第105页例6）某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：cm；体重：kg）2 ）若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常？1）借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图；2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正确定的函数模型，使其拟合程度更好？课堂练习（课本P106练习NO: 1）例3:根据市场调查商品在最近40天内的价格P （万元）与时间t的关系，用图（1）中的一条折线表示，销售量Q 与时间t的关系用图（2）中的线段表示（t € N+）。
2019-2020年高中数学必修一教案：第3章函数模型应用实例（2）●三维目标1．知识与技能(1)掌握指数函数和对数函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题．(2)掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力．2．过程与方法(1)经历运用指数函数和对数函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力．(2)经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题．3．情感、态度与价值观了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：指数函数模型、对数函数模型的应用．难点：依据题设情境，建立函数模型．●教学建议1．关于对所学函数及其性质的复习建议教师引导学生回顾、梳理幂、指数、对数函数的图象与性质．在学习过程中引导学生与所学的函数模型联系，降低函数模型建立的难度．2．关于函数模型应用的教学建议教师要求学生强化数学语言的转换意识，提高阅读理解的能力，要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验二次函数、幂数、指数、对数函数与现实世界的密切联系及它们在刻画现实问题中的作用．教学过程：问题导思：指数函数、对数函数的图像与性质有那些？某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图3－4－4所示的曲线．图3－4－4(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．【思路探究】 解答本题应先求出函数解析式再将第(2)问转化为解不等式问题求解．【自主解答】 (1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt ，将M (1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝(12)t －a ， 将点(3,1)代入得a ＝3.∴y ＝(12)t －3. 综上有y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，(0≤t ≤1)，(12)t －3，(t >1).(2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5. ∴所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝7916个小时．1．这是一个一次函数，指数函数相结合的题目，根据条件设出解析式或结合图象中的已知点求解析式是解答本题的关键．2．在实际问题中，还常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基数为N ，平均增长率为P ，则对于时间x 的产值或产量y ，可以用公式y ＝N (1＋P )x 表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．储蓄中的复利问题也属于这一类型．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【解】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的公式，可得0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的公式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.易错易误分析：求解实际应用题时考虑不全面致误某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝(5x －0.5x 2)万元(0≤x ≤5)，其中x 是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大．【错解】 设年产量为x 百台，则利润函数为：T (x )＝(5x －0.5x 2)－(0.5＋0.25x )＝－0.5x 2＋4.75x －0.5＝－0.5(x －4.75)2＋10.78125，当x ＝4.75时，T (x )max ＝10.78125万元．【错因分析】 忽略了年产量大于500台的情形．【防范措施】 有些题目中条件是分情况的，条件不同，方案也不同，一定要分清，避免盲目求解，出现错误．【正解】 当x ≤5时，同上．当x >5时，只能售出500台，利润函数为：T (x )＝(5×5－0.5×52)－(0.5＋0.25x )＝12－0.25x ，此时T (x )<12－0.25×5＝10.75.故当年产量是475台时，工厂所得的利润最大．课堂小结：1．建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤．2．实际问题中对几种增长模型的选择：(1)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；(3)而幂函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化规律.当堂达标检测：1．某动物数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到________只．【解析】 由已知第一年有100只，得a ＝100，将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300.【答案】 3002．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为________．【解析】 因为该设备每年比上一年价值降低b %，所以n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n . 【答案】 a (1－b %)n课后作业：1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．【解析】 依题意可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)，所以当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．2．．现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)【解】 现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1 h 后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100； 2 h 后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 h 后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；4 h 后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100； 可见，细胞总数y (个)与时间x (h )之间的函数关系为：y ＝100×(32)x ，x ∈N *，由100×(32)x >1010，得(32)x >108， 两边取以10为底的对数，得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2. ∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45， ∴x >45.45. 故经过46 h ，细胞总数超过1010个.课后反思：。
函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。
函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。
本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。
二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。
2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。
3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。
三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。
2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。
3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。
4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。
5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。
六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
实际问题引入，激发学生兴趣．
归纳一般的应用题的求
教学过程与操作设计：。
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
3.2.2函数模型的应用实例教案教学目标知识与技能掌握一些普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。
过程与方法通过实例，感知并体会函数在实际生活中的应用，能利用函数图象、解析式等有关知识正确解决生活中的数学问题。
情感、态度与价值观通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题的能力。
教学重点与难点:函数模型的选取与求解。
教学过程设计第一课时已知函数模型解实际问题例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。
解：（1）阴影部分的面积为50×1 + 80×1 + 90×1 + 75×1 +65×1 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km。
（2）根据上图，有502004,0180(1)2054,1290(2)2134,2375(3)2224,3465(4)2299,45t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩，这个函数的图象如右图所示。
h VH 小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。
练习1：向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）(A) (B) (C) (D)练习2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。
课题：§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅱ）
教学目标：
知识与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价．
情感、态度、价值观体会数学在实际问题中的应用价值．
教学重点：
重点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
难点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．
教学程序与环节设计：
实际问题引入，激发学生兴趣．
型的广泛应用．
教学过程与操作设计：。
第2课时 函数模型的应用举例导入新课思路1.(事例导入)一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v 0,加速度为a,那么经过t 小时它的速度为多少？在这t 小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v 0+at,s=v 0t+21at 2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型. 不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 思路2.(直接导入)前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题. 推进新课 新知探究 提出问题①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情1°画出2000～2003年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之. 2°2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？ ②什么是函数拟合？③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程. 讨论结果：①1°如图3-2-2-5， 设f(x)＝ax ＋b,代入（1，4）、（3，7）,得⎩⎨⎧=+=+7,b 3a 4,b a 解得a=23，b=25.∴f(x)=23x+25. 检验：f(2)＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1；f(4)＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1. ∴模型f(x)=23x+25能基本反映产量变化. 2°f(7)＝13，13×70%＝9.1，2006年年产量应约为9.1万件.图3-2-2-5②函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程.③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：图3-2-2-6应用示例思路1例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为480－40(x－1)=520－40x(桶).由于x＞0,且520－40x＞0,即0＜x＜13,于是可得y=(520－40x)x－200=－40x2+520x－200,0＜x＜13.易知,当x=6.5时,y 有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 变式训练某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 解：（1）设在原来基础上增加x 台，则每台生产数量为384-4x 件，机器台数为80+x ， 由题意有y=(80+x)(384-4x).（2）整理得y=-4x 2+64x+30 720，由y=-4x 2+64x+30 720,得y=-4(x-8)2+30 976，所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件. 点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·b x 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系. 解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图3-2-2-7）.根据点的分布特征，可以考虑用y=a·b x 作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型.如果取其中的两组数据（70，7.90）,(160,47.25),代入y=a·b x,得⎩⎨⎧1∙=∙=.0025.47,9.770b a b a用计算器算得a≈2,b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3-2-2-8），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)将x=175代入y=2×1.02x ，得y=2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22>1.2, 所以这个男生偏胖.图3-2-2-7 图3-2-2-8变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC ）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·b x +c （其中a 、b 、c 为常数），且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？ 解：(1)若以f(x)=px 2+qx+r 作模拟函数，则依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6,r 3q 9p 3,r 2q 4p 1,r q p 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===,0,21,21r q p 所以f(x)=21x 2+21x.(2)若以g(x)=a·b x +c 作模拟函数，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6,c ab 3,c ab 1,c ab 32解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===3,23,38c b a所以g(x)=38·(23)x -3. (3)利用f(x)、g(x)对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为： f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位， ∵|f(5)－16|<|g(5)－16|, 故选f(x)=21x 2+21x 作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近. 思路2例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为1206t 吨,其中0≤t≤24.(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导. 思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题. 解：设供水t 小时，水池中存水y 吨，则(1)y=400+60t-1206t =60(t 6-)2+40(1≤t≤24),当t=6时，y min =40(吨),故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨. (2)依条件知60(t 6-)2+40<80,1≤t≤24, 解得38<t<332,33238-=8. 故一天24小时内有8小时出现供水紧张.例22007泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0<x<1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润=（出厂价一成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y 与x 的关系式；(2)为使日利润有所增加，求x 的取值范围. 解：(1)由题意得 y=［60×(1+0.5x)-40×(1+x)］×1 000×(1+0.8x) =2 000(-4x 2+3x+10)(0<x<1).(2)要保证日利润有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)4060(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,0342x x x 解得0<x<43.所以为保证日利润有所增加，x 应满足0<x<43. 点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体. 知能训练2007广东韶关统考，文18某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.解：(1)设该厂应隔x(x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1， ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6（元）. ∴x 天饲料的保管与其他费用共有 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x 2-3x(元). 从而有y 1=x1(3x 2-3x+300)+200×1.8 =x300+3x+357,可以证明y 1=x300+3x+357,在（0，10）上为减函数，在（10，+∞）上为增函数. ∴当x=10时，y 1有最小值417,即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2，则 y 2=x 1(3x 2-3x+300)+200×1.8×0.85=x300+3x+303(x≥25). ∵函数y 2在［25,+∞）上是增函数,∴当x=25时，y 2取得最小值为390.而390<417, ∴该厂应接受此优惠条件. 拓展提升如何用函数模型解决物理问题？例：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1,a 2,…,a n 共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从a 1,a 2,a 3,…,a n 推出的a=________.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题. 解：由题意可知，所求a 应使y=(a-a 1)2+…+(a -a n )2最小, 由于y=na 2-2(a 1+a 2+…+a n )2a+(a 12+a 22+…+a n 2).若把a 看作自变量，则y 是关于a 的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值. 因为n>0，二次函数f(a)图象开口方向向上,当a=n 1(a 1+a 2+…+a n )时，y 有最小值, 所以a=n1(a 1+a 2+…+a n )即为所求.点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y=(a-a 1)2+(a-a 2)2+…+(a -a n )2,然后运用函数的思想方法去解决问题.解题关键是将函数式化成以a 为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用. 课堂小结1.巩固函数模型的应用.2.初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题. 作业课本P 107习题3.2B 组1、2.设计感想本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；课本的例3是函数模型的应用，例4是函数拟合的应用，这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考.习题详解(课本第98页练习) 1.y 2.2.设第1轮病毒发作时有a 1=10台被感染,第2轮,第3轮,…,依次有a 2台,a 3台,…被感染,依题意有a 5=10×204=160.答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染. (课本第101页练习) 三个函数图象如下:图3-2-2-9由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以稳定的速度增加. (课本第104页练习)1.(1)已知人口模型为y=y 0e rt ,其中y 0表示t=0时的人口数,r 表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y=5e 0.003t . 当y=10时,解得t≈231.所以,1881年世界人口数约为1650年的2倍.同理,可知2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 2.由题意有75t-4.9t 2=100, 解得t=9.425.6075⨯±,即t 1≈1.480,t 2≈13.827.所以,子弹保持在100 m 以上的时间t=t 2-t 1≈12.35,在此过程中,子弹最大速率 v 1=v 0-9.8t=75-9.8×1.480=60.498 m/s.答:子弹保持在100米以上高度的时间是12.35秒,在此过程中,子弹速率的范围是v ∈(0,60.498).(课本第106页练习)1.(1)由题意可得y 1=150+0.25x, y 2=x150+0.25, y 3=0.35x,y 4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出y 4=0.1x-150的图象如下.图3-2-2-10由图象可知,当x<1500件时,该公司亏损;当x=1500件时,公司不赔不赚;当x>1500件时,公司赢利.2.(1)列表.(2)画散点图.图3-2-2-11 3.确定函数模型.甲:y1=-x2+12x+41,乙:y2=-52.07×0.778x+92.5.(4)做出函数图象进行比较.图3-2-2-12图3-2-2-13图3-2-2-14计算x=6时,y 1=77,y 2=80.9. 可见,乙选择的模型较好. (课本第107页习题3.2)A 组1.(1)列表.(2)描点.图3-2-2-15(3)根据点的分布特征,可以考虑以d=kf+b 作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据(1,14.2)、(4,57.5),有⎩⎨⎧=+=+57.5,b 4k 14.2,b k解得⎩⎨⎧≈≈-0.2.b 14.4,k 所以d=14.4f-0.2.将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以发现,这个函数模型与已知数据拟合程度较好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系.图3-2-2-162.由31020=(60)2a,得a=35361⨯⨯.由31050=35361⨯⨯x 2,得x=3010. 因为3010<100,所以这辆车没有超速.3.(1)x=⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤.5.65.3),5.3(50150,5.35.2,150,5.20,60t t t t t t (2)v=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤.5.65.3,50,5.35.2,0,5.20,60t t t图略.4.设水池总造价为y 元,水池长度为x m,则y=(12x+x 2400)95+61200×135, 画出函数y 1=(12x+x 2400)95+61200×135和函数y 2=7的图象.图3-2-2-17由图可知,若y 1≤7,则x 应介于［x 1,x 2］之间,x 1,x 2即为方程(12x+x 2400)95+61200×135=70 000的两个根.解得x 1≈6.4,x 2≈31.3.答:水池的长与宽应该控制在［6.4,31.3］之间.5.将x=0,y=1.01×105和x=2400,y=0.90×105分别代入y=ce kx,得到⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯=,1090.0,1001.1240055kcec 解得c=⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-,10805.4,1001.155k c 所以y=1.01×105e 510805.4-⨯-x. 当x=5596m 时,y=0.772×105(Pa)<0.775×105(Pa).答:这位游客的决定是冒险的决定. 6.由500≤2500(108)t<1500,解得2.3<t≤7.2. 答:应该在用药2.3小时后及7.2小时以前补充药.B 组1.(1)利用计算器画出1990~2000年国内生产总值的图象如下.图3-2-2-18(2)根据以上图象的特征,可考虑用函数y=kx+b 刻画国民生产总值发展变化的趋势. 取(1994,46670)(1998,76967.1)两组数据代入上式,得⎩⎨⎧+=+=b,1998k 76967.1b,1994k 46670解得⎩⎨⎧==35.-15056434.b 7574.275,k 这样,我们就得到了函数模型y=7574.275x-15056434.35.作出上述函数图象如下.图3-2-2-19根据上述函数图象,我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映国民生产总值的发展变化.(3)以x=2 004代入以上模型可得y=122 412.75亿元,由此可预测2004年的国民生产总值约为122 412.75亿元.2.(1)点A,B 的实际意义为当乘客量为0时,亏损1(单位);当乘客量为1.5单位时,收支持平;射线AB 上的点的实际意义为当乘客量小于1.5时公司将亏损,当乘客量大于1.5时公司将赢利.(2)图2的建议是:降低成本而保持票价不变;图3的建议是:提高票价而保持成本不变.。
