2020年3月第一次在线大联考(新课标Ⅰ卷) 理科数学试题

2020年3月高三第一次在线大联考【江苏卷】英语BFor most of us, work is the central, dominating fact of life. We spend more than half our conscious hours at work, preparing for work, traveling to and from work. What we do there largely determines our standard of living and our status to a considerable extent. It is sometimes said that because leisure has become more important, the injustices of work can be pushed into a comer, and that because most work is pretty intolerable, the people who do it should compensate for its boredom, frustrations and humiliations by concentrating their hopes on the other parts of their lives. For the foreseeable future, however, the material and psychological rewards which work can provide will continue to play a vital part in determining the satisfaction that life can offer.Yet only a small minority can control the pace at which they work or the conditionswhere their work is done; only for a small minority does work offer scope for creativity, imagination or initiative.Inequality at work is still one of the most glaring（明显的）forms of inequality in our society. We cannot hope to solve the more obvious problems of industrial life, many of which arise from the frustrations created by inequality at work, unless we handle it determinedly.The most glaring inequality is that between managers and the rest. For most managers, work is an opportunity and a challenge. Their jobs engage their interest and allow them to develop their abilities. They are constantly learning. They are able to exercise responsibility. They have a considerable degree of control over their own and others' working lives. Most important of all, they have opportunities to initiate. By contrast, for most manual workers, work is a boring, dull, even painful experience. Theyspend all their working lives in intolerable conditions. The majority have little control over their work. It provides them with no opportunity for personal development. Many jobs are so routine that workers feel themselves to be mere cogs （齿轮）in the bureaucratic machine. As a direct consequence of their work experience, many workers feel alienated （疏远）from their work and their firm.58. In the writer's opinion, people judge others mainly by_________.A. the amount of money they earnB. the type of work they doC. the time they spend at workD. the place where they work59. According to the writer, to solve problems in an industrial society, we _________ .A. have to get rid of the unequal aspects in workB. should create more working opportunities for the poorC. had better cancel all managing positions in a companyD. should encourage the manual workers to promote efficiency60. What advantage does the writer say managers have over workers?A. They have complete control over themselves.B. They can work at what interests them.C. They get time off to learn constantly.D. They won't be out of work.B【语篇导读】本文为说明文。

全国大联评2020届高三第一次大联考理科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|1}A x y x ==-和集合2{|}B y y x ==，则A B I 等于（ ） A ．{}(0,1),(1,0) B ．[0,)+∞ C ．[1,1]- D ．[0,1]2．已知x R ∈，复数11i z x =+，22i z =-，若12z z ⋅为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．2或12- D ．1 3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为（ ）A.9B.18C.27D.364．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ） A ．1123 B ．112 C ．12127D ．121 5．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若“p q ∧”为假命题，则“p q ∨”为假命题B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“若1x >，则11x<”的逆否命题为真命题 D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”6．已知直线240x y +-=经过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点2F ，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，1F 是椭圆的左焦点，且1||||AB AF =，则椭圆的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y += C ．221106x y += D ．2215x y +=7．为了得到函数cos 2y x =的图象，可以将函数sin(2)4y x π=+的图象（ ）A ．向左移4π个单位 B ．向左移8π个单位 C ．向右移4π个单位D ． 向右移8π个单位8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多 面体的侧面最大面的面积为（ ）A ．B ． CD ．29. 设20201202020192019,2019log ,2020log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.c b a >>B.b c a >>C.b a c >>D. a b c >>10．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在(0,1)上恰有一个极值点和一个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．3(,]2ππ B ．3[,)2ππ C ． (,]2ππ D ． [,)2ππ 11．已知O 为ABC ∆的外心，若2AO BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定12．过双曲线22221xy a b-=（0a b >>）右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=u u u r u u u r ，O 为坐标原点，且OAB ∆内切圆半径为12a ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 1 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年3月全国新课标I卷高三第一次在线大联考理科综合能力检测本卷满分300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 S 32 K 39 Ca 40 Fe 56Cu 64 Se 79一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某种神经递质与人皮肤瘙痒密切相关，下列有关叙述，错误的是A．大脑皮层受损可能影响痒觉的形成B．神经递质分泌时，细胞膜面积增大C．该神经递质的分泌跟某些细胞器活动有关D．与神经递质结合的受体分布于细胞质中2．细胞分化的本质是基因的选择性表达，很多分子参与其中，如图是某转运RNA分子结构。

下列有关说法正确的是A．转运RNA上的反密码子是AUGB．病毒体内也可进行基因的选择性表达C．有些酶的形成不需要转运RNA参与D．转运RNA不参与细胞凋亡过程3．核基因A突变为a1导致编码的蛋白质有氨基酸改变，a1还可以突变为a2。

下列叙述合理的是A．碱基对的增添是A基因突变为a1基因的唯一原因B．a2和a1是一对等位基因C．a1基因表达时不需要rRNA参与D．蛋白质中氨基酸发生改变是指氨基酸的排列顺序发生变化4．如图可显示某些物质对酶的影响。

下列说法错误的是A．竞争性抑制剂与底物的结构完全不同B．酶只能催化一种或一类化学反应C．酶的催化作用使细胞代谢在温和条件下快速进行D．非竞争性抑制剂可以改变酶的结构5．下列关于群落结构和群落演替的叙述，正确的是A．群落的水平结构与土壤湿度、光照强度等无关B．同一时间栽培，水稻长势相同，稻田群落不存在水平结构C．自然群落的演替导致种间关系越来越简单D．人类活动可改变群落演替的方向和速度6．某块实验田中种植了某种二倍体作物，有一株作物的基因型是AABB，其周围还生长着其他基因型的植株，若不考虑基因突变，则这株作物的子代可能出现的基因型之一是A．aabb B．AABB C．aaBb D．Aabb7．化学在科技进步方面发挥着重要的作用。

数学 第1页（共14页） 2020年3月高三第一次在线大联考（江苏卷）数学I（满分：160分 考试时间：120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|125}=∈-<A x x R ，{2,1,1,2}=--B ，则=I A B ____________．2．设复数z 满足(1i)42i +=-z ，其中i 是虚数单位，若z 是z 的共轭复数，则=z ____________．3．国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19，则这五位同学答对题数的方差是____________．4．函数()ln(1)=-f x x ____________．5．如图是一个算法的流程图，若输出y 的值是5，则输入x 的值为____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)作倾斜角为135︒的直线l ，已知直线l 与圆2220+-=x y x 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于____________．7．某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E 和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是____________．8．已知x 为实数，向量(2,1)=-a ，(1,)=x b ，且⊥a b ，则|2|+=a b ____________．9．已知π4cos()25-=-α，且π(,0)2∈-α，则2π2cos )4+-αα的值是____________． 10．有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三。

2020年3月全国新课标I卷高三第一次在线大联考理科综合能力检测本卷满分300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 S 32 K 39 Ca 40 Fe 56Cu 64 Se 79一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某种神经递质与人皮肤瘙痒密切相关，下列有关叙述，错误的是A．大脑皮层受损可能影响痒觉的形成B．神经递质分泌时，细胞膜面积增大C．该神经递质的分泌跟某些细胞器活动有关D．与神经递质结合的受体分布于细胞质中2．细胞分化的本质是基因的选择性表达，很多分子参与其中，如图是某转运RNA分子结构。

下列有关说法正确的是A．转运RNA上的反密码子是AUGB．病毒体内也可进行基因的选择性表达C．有些酶的形成不需要转运RNA参与D．转运RNA不参与细胞凋亡过程3．核基因A突变为a1导致编码的蛋白质有氨基酸改变，a1还可以突变为a2。

下列叙述合理的是A．碱基对的增添是A基因突变为a1基因的唯一原因B．a2和a1是一对等位基因C．a1基因表达时不需要rRNA参与D．蛋白质中氨基酸发生改变是指氨基酸的排列顺序发生变化4．如图可显示某些物质对酶的影响。

下列说法错误的是A．竞争性抑制剂与底物的结构完全不同B．酶只能催化一种或一类化学反应C．酶的催化作用使细胞代谢在温和条件下快速进行D．非竞争性抑制剂可以改变酶的结构5．下列关于群落结构和群落演替的叙述，正确的是A．群落的水平结构与土壤湿度、光照强度等无关B．同一时间栽培，水稻长势相同，稻田群落不存在水平结构C．自然群落的演替导致种间关系越来越简单D．人类活动可改变群落演替的方向和速度6．某块实验田中种植了某种二倍体作物，有一株作物的基因型是AABB，其周围还生长着其他基因型的植株，若不考虑基因突变，则这株作物的子代可能出现的基因型之一是A．aabb B．AABB C．aaBb D．Aabb7．化学在科技进步方面发挥着重要的作用。

2020届高三第一次在线大联考数学 （新课标Ⅱ卷）理科 2020年3月（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -2．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x =<<I B ．{|2}A B x x =<I C ．{|2}A B x x =<UD ．{|12}A B x x =-<<U3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．64．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为A ．1637B ．949C ．937D ．3115．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 6．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]-ππ的图象大致为A BC D7．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3608．0y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 A ．2B 1 CD 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为A ．B ．C ．5D10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C D11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=.其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量,a b 的夹角为2π3,则|2|-a b =_________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πcos()12α-=_________.15．已知数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，11a =，12nn n a a +=，则6a =_________，200S =_________.16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a bB c-=. （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求ABC △的周长的最小值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==. （1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）.（1）若直线l 过点F ,12OA OB ⋅=-u u u r u u u r，求C 的方程； （2）当0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.20．（本小题满分12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.21．（本小题满分12分）已知函数ln()e x xf xa=-.（1）若()f x在[1,2]上是减函数，求实数a的最大值；（2）若01a<<，求证：2ln ()a f xa+≥.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-. （1）求()f x 的最小值； （2）求不等式|4|()x f x x>的解集.全解全析1．B 【解析】因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．2．D 【解析】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}A B x x =-<<U ,故选D ．3．C 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ．方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 4．C 【解析】由题图得，3,4AB BG CI ===，根据题意得5DI =.五边形AGFID 的面积为112534343722AGFID S =+⨯⨯+⨯⨯=五边形，正方形ABCD 的面积为9，因此，所求概率为937P =.故选C ．5．D 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B 正确；猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C 正确；猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D 错误.故选D ．6．A 【解析】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．7．B 【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ．8．B 【解析】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o，则||AE =，所以双曲线C的离心率为1e =.故选B ．9．B 【解析】延长1C P 与BC 交于点E ，则点E 为BC 中点，连接AE ，取11A D 中点F ，连接AF ，1C F ，则四边形1AEC F 就是正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面,四边形1AEC F 是的菱形，连接1,AC EF ，所以1AC EF ⊥，且1AC EF ==1AEC F的面积为故选B ．10．D 【解析】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PF Q △中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==故选D ． 11．A 【解析】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 12．D 【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 13【解析】因为单位向量,a b 的夹角为2π3，所以2π1||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以|2|-a b==14【解析】因为πππ()()6124αα++-=，所以πππ()1246αα-=-+.因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+=.πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin()12464646αααα-=-+=+++1(()3-=. 15．8，100323⨯-（写为100101223+-也得分） 【解析】由11a =，12nn n a a +=得，22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以112n n a a +-＝，所以{}n a 的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则26228a =⨯=，1001001001011002001(12)2(12)2233231212S ⨯-⨯-=+=+-=⨯---.16．27π4【解析】一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角,所以容器体积的最小值为2327ππ()3=24⨯⨯. 17．（本小题满分12分）【解析】（1）因为22cos a bB c-=，所以2cos 2b c B a +=，（1分） 由余弦定理得222222a c b b c a ac+-+⋅=，化简得222a b c ab +-=，可得222122a b c ab +-=，解得1cos 2C =，（4分）又因为(0,)C ∈π，所以π3C =.（6分）（2）因为1sin 2ABC S ab C ===△6ab =，（8分）则a b +≥（当且仅当a b =时，取等号）.（9分）由（1）得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==（当且仅当a b =时，取等号），解得c ≥.（11分）所以a b c ++≥a b c ===， 所以ABC △的周长的最小值为（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB的三等分点，可得BF =. 因为2AB AD ==，BC CD ==AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，（1分）因为tan AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分）因为tan AB AFB BF ∠==60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，（3分） 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .（4分） 又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .（5分）因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .（6分）（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =. 又因为4PC =，BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .（7分） 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则C ，(0,2,0)A，P ，所以BC =u u u r，BP =u u u r，2,0)AC =-u u u r，(0,AP =-u u u r.（8分） 设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rm m，即11100y ⎧==⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得1)=-m .（9分）设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n，即222220y y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩， 令21z =，可得=n .（10分）所以,cos ==m n，则n s ,i ==m n所以二面角A PC B --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】设1122(,),(,)A x y B x y .（1）由题意知(,0)2p F ，221212(,),(,)22y y A y B y p p .设直线l 的方程为()2px ty t =+∈R ，（1分）由222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p --=，则222440p t p ∆=+>， 由根与系数的关系可得212122,y y pt y y p +==-，（3分）所以22212122344y y OA OB y y p p ⋅=+=-u u u r u u u r .（4分） 由12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，得23124p -=-，解得4p =.（5分）所以抛物线C 的方程为28y x =.（6分）（2）设直线l 的方程为(,0)x ny m n m =+∈≠R ，（7分）由22y px x ny m ⎧=⎨=+⎩得2220y pny pm --=，由根与系数的关系可得122y y pm =-，（9分）所以2221212121222(2)2044y y pm OA OB x x y y y y pm p p -⋅=+=+=-=u u u r u u u r ，解得2m p =.（11分） 所以直线l 的方程为2()x ny p n =+∈R ，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，直线l 过定点(2,0)p .（12分）20．（本小题满分12分）分）设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27B ξ， （5分） 则1010720()C ()()2727k k kP k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=，由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.（8分）②由上可得一件手工艺品质量为所以X 的分布列为21．（本小题满分12分）【解析】（1）1()e (0)x f x x ax'=->，（1分） 在[1,2]上，因为()f x 是减函数，所以1()e 0xf x ax'=-≤恒成立， 即1e x x a ≥恒成立，只需max 1(e )xx a≥.（3分）令()e x t x x =，[1,2]x ∈，则()e e x xt x x '=+，因为[1,2]x ∈，所以()0t x '>.所以()e x t x x =在[1,2]上是增函数，所以2max (e )2e x x =， 所以212e a ≥，解得2102ea <≤.（4分） 所以实数a 的最大值为212e .（5分） （2）ln ()e (0)xx f x x a =->，1()e x f x ax'=-. 令1()e (0)xg x x ax =->，则21()e x g x ax'=+， 根据题意知()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数.（7分）又因为11()e 10a g a=->，当x 从正方向趋近于0时，1ax趋近于+∞，e x 趋近于1，所以1()e 0xg x ax =-<，所以存在01(0,)x a ∈，使01()e 0x g x ax =-=， 即001e x ax =，000ln()ln ln x ax a x =-=--，（9分） 所以对任意0(0,)x x ∈，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上是减函数； 对任意0(,)x x ∈+∞，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在0(,)x +∞上是增函数， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .（10分）由于001e x ax =，00ln ln x x a -=+，则0000000ln ln 11ln ln 2ln ()e xx x a x a a af x a ax a ax a a a a a+=-=+=++≥=+== 2ln a a +，当且仅当001x ax a ==，即01x =时取等号，所以当01a <<时，2ln ()af x a+≥．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，（2分） 直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=sin cos 60θρθ--=， 由cos x ρθ=,sin y ρθ=得直线l60x --=.（5分） （2）曲线C 是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，（6分） 圆心到直线l751122=-=， 点(2,0)到直线l4=，（9分） 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为4，最小值为52.（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为2.（5分） （2）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于224x x x >⎧⎨+->⎩，解得3x >，（8分）所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .（10分）。

2020届高三数学3月线上联考试题理考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝A.4B.－4C.8D.－82.已知a，b∈R，3＋ai＝b－(2a－1)i，则|3a＋bi|＝A. B.2 C.3 D.43.若x，y满足约束条件，则x＝4x＋y的取值范围为A.[－5，－1]B.[－5，5]C.[－1，5]D.[－7，3]4.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A.i≤3?B.i≤4?C.i≤5?D.i≤6?5.设双曲线，，的离心率分别为e1，e2，e3，则A.e3<e2<e1B.e3<e1<e2C.e1<e2<e3D.e2<e1<e36.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为A. B. C. D.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央。

出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。

问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺。

将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)。

试问水深、芦苇的长度各是多少?假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④。

其中所有正确结论的编号是A.①③B.①③④C.①④D.②③④8.将函数f(x)＝sin(3x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)为奇函数，则m的最小值为A. B. C. D.9.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为h2，则A. B. C. D.10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在[0，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是A.[－，－1]B.[－1，－]C.[－，0]D.[0，1]11.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位。

2020届天津市高三第一次在线大联考（3月）数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合1,0,1,2,3,4{},{|,3}A B x x =-=∈≤R 则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{4}C ．{3,4}D ．{1,0,1,2}-【答案】B【解析】由图可知，阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集中的元素后剩下的元素，得解. 【详解】解：由图可知，阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集中的元素后剩下的元素．即(){1,0,1,2,3,4}{|3}{4}U A B x x =-∈>=R I I ð， 所以阴影部分所表示的集合是{4}， 故选：B ． 【点睛】本题考查了韦恩图，重点考查了集合交、并、补的运算，属基础题.2．若复数z 满足1iz i =+，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,1)-C ．(1,1)D ．(1,1)--【答案】A【解析】由复数除法运算可得1z i =-，再确定复数z 对应的点的坐标即可. 【详解】解：由1iz i =+，得2i i(1i)i i i11z +==+=-， 所以复数z 对应的点的坐标为(1,1)-， 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数除法运算，重点考查了复平面内复数z 对应的点的坐标，属基础题.3．函数2()ln f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由函数的定义域可排除B ，D ，再结合导数的应用可排除A ，得解. 【详解】解：由函数2()ln f x x x =-可得，函数()f x 的定义域为{|0}x x >，故排除B ，D ，根据函数2()ln f x x x =-，可得'()f x =21212(0)x x x x x--=>， 由'()f x >0，得22x >，即函数()f x 在2)2+∞上单调递增， 由'()f x <0得202x <<，即函数()f x 在2(0,2上单调递减， 可以排除A ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的图像，重点考查了导数的应用，属基础题.4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】B【解析】分析处理频率分布直方图中的数据求解即可. 【详解】解：依题意，得[12(0.050.050.15)]25n -⨯++=， 解得50n =， 故选：B ． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，属基础题.5．已知抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线223312y x -=的一个焦点，则a =（ ） A ．2 B ．4 C ．12D ．14【答案】D【解析】先求出双曲线、抛物线的标准方程，再求出双曲线、抛物线的焦点坐标，运算即可得解. 【详解】解：抛物线的方程为2(0)y ax a =>，即其标准方程为2()10x y a a>=，则其焦点坐标为F 1(0,)4a， 又双曲线方程为223312y x -=，即其标准方程为2211233y x -=，则其焦点坐标为（0，1），由题意可得，114a=，解得14a =，故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，重点考查了双曲线、抛物线的焦点坐标的求法，属基础题.6．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则（ ）A ．113212111(())(log )(())233f f f <-<B ．113212111(())(())(log )233f f f <<-C ．113212111(log )(())(())323f f f -<<D ．113212111(())(())(log )323f f f <<-【答案】C【解析】由偶函数性质()()()f x f x f x -==，再结合函数的单调性即可得解. 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以1122211(log )(log )(log 3)33f f f -==． 又因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且11133221110()()()1log 3332<<<<<，所以113212111(log )(())(())323f f f -<<．故选：C ． 【点睛】本题考查了偶函数的性质，重点考查了函数单调性的应用，属基础题.7．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法：夹在两个平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的（不超过三次）多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一．即()046hV S S S '=++，式中h ，S ，S '，0S 依次为几何体的高、上底面积、下底面积、中截面面积．如图，现将曲线21(0)4y x x =≥与直线4y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体，则利用辛卜生公式可求得该几何体的体积为（ ）A ．16πB ．32πC ．8πD ．16【答案】B【解析】根据“辛卜生公式”：()046hV S S S '=++，根据旋转体特点，结合已知即可得解. 【详解】解：由题意，该几何体的高为h y =时，其截面面积为244x y y π=π⋅=π， 故可以利用辛卜生公式求该几何体的体积．由题意可知该几何体中，'0S =，048S π⨯2==π，2416S =π⋅=π，所以所求体积4(16048)326V =⨯++⨯=πππ，故选：B ． 【点睛】本题考查了求旋转体体积，解题关键是能够理解“辛卜生公式”，重点考查了理解能力及运算能力，属基础题.8．已知函数2()2cos 23sin 4f x x x =+，则下列判断错误的是（ ） A ．函数()6y f x π=-的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的值域为[1,3]-D ．()f x 的图象关于点(,1)24-π对称 【答案】A【解析】先利用降幂公式及辅助角公式可得()2sin(4)16f x x π=++，再结合三角函数的性质及值域逐一判断即可得解. 【详解】解：由题意，2()2cos 23sin4cos43sin412sin(4)16f x x x x x x π==++=++，对于选项A ，()6f x -π=2sin[4()]2sin(4)121cos46621x x x πππ-++=-+=-+，其最小正周期为242ππ=，故A 错误；对于选项B ，令4++,62x k k ππ=π∈Z ，得,124k x k ππ=+∈Z ，当1k =时，得3x π=，所以B 正确；对于选项C ，()2sin(4)16f x x π=++，由sin(4)[1,1]6x π+∈-，得()[1,3]f x ∈-，所以C正确；对于选项D ，令4+,6x k k π=π∈Z ，得,244k x k ππ=-+∈Z ，当0k =时，24x π=-，所以D 正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数的性质，属中档题.9．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1 B．C．(0,3-D．(0,3-【答案】D【解析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f xg x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得01x =01x =+，要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题10．命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++<，写出命题p 的否定：__________．【答案】x R ∀∈，2220x x ++≥【解析】由特称命题的否定是全称命题即可得解. 【详解】解：由命题p 是特称命题，则其否定是全称命题， 所以命题p 的否定为：x R ∀∈，2220x x ++≥． 故答案为：x R ∀∈，2220x x ++≥. 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题，属基础题. 11．621()x x的展开式中，2x -的系数为__________． 【答案】15【解析】由621()x x 的展开式通项公式656216621C ()()(1)C rr r r r rr T x x x--+=-=-，令6522r-=-，再求解即可. 【详解】解：根据621)x 的展开式通项公式656216621C ()(1)C rr r r r rr T x x--+=-=-可得：令6522r-=-，解得2r =， 所以2x -的系数为226C (1)15-=． 故答案为：15. 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用，重点考查了运算能力，属基础题. 12．已知某篮球运动员投篮命中率为34，若在一次投篮训练中连续投篮100次，X 表示投进的次数，则X 的方差()D X =__________． 【答案】18.75（填754也得分） 【解析】由X 满足二项分布，利用方差公式求解即可. 【详解】解：由题意可知，X 满足二项分布，故3375()100(1)=18.75444D X =⨯⨯-=，故答案为：18.75． 【点睛】本题考查了二项分布及方差的求法，属基础题.13．点P 是圆22:(1)(1)1C x y -+-=上的动点，点Q 是直线:2l x y -=上的动点，若线段PQ 与直线l 的夹角始终为45︒，则线段PQ 的最小值是__________．【答案】2【解析】由点到直线的距离公式可得：圆心到直线l 距离为d =性质可得||)PQ d r ≥-，再求解即可. 【详解】解：由题意，圆C 的圆心坐标为(1,1)，则圆心到直线:20l x y --=距离为d ==所以||)1)2PQ d r ≥-=故答案为：2【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题. 14．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：，所以原式变形为：，所以最小值是3．【考点】基本不等式求最值15．如图，在矩形ABCD 中，已知4AB =，2AD =，点E 是AD 的中点，点F 为边CD 上一点，若AF 与BE 相交于点G ，且10AF BE ⋅=-u u u r u u u r，则EF BG ⋅u u u r u u u r =__________．【答案】–8【解析】先建立平面直角坐标系，再结合向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (4，0)，E (0，1)．设(,2)F x ，则(,2)AF x =u u u r ，(4,1)BE =-u u u r，所以4210AF BE x ⋅=-+=-u u u r u u u r，所以3x =， 所以(3,2)F ，所以直线AF 的方程为23y x =，易得直线BE 的方程为114y x =-+， 联立23114y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得128(,)1111G ，所以328(,)1111BG =-u u u r ， 又因为(3,1)EF =u u u r，所以3283()181111EF BG ⋅=⨯-+⨯=-u u u r u u u r ，故答案为：-8． 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 8sin a B A =，π4C =，22265a cb ac +-=．（1）求c 的长；（2）求πcos()6A -的值．【答案】（1）（2【解析】（1）先由正弦定理得8b =，再结合余弦定理求出4sin 5B =，然后结合sin sin c b C B=求解即可； （2）由两角和、差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由sin 8sin a B A =，结合正弦定理，得8ab a =，所以8b =，因为22265a c b ac +-=，所以222635cos 225ac a c b B ac ac +-===．因为0πB <<，所以4sin 5B =，由正弦定理sin sin c b C B=，可得8sin 24sin 5b Cc B ⋅===（2）在ABC V 中，πA B C ++=，所以π()A B C =-+，于是πππcos cos()cos()cos cos sin sin 444A B C B B B =-+=-+=-+， 又3cos 5B =，4sin 5B =，故32422cos 55A =-⨯+⨯=， 因为0πA <<，所以272sin 1cos A A =-=． 因此πππ2372172+6cos()cos cos sin sin 6662A A A -=+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，2AB =，AC BD O =I ，PO ⊥底面ABCD ，点E 在棱PD 上．（1）求证：平面PBD ⊥平面ACE ；（2）若2OP =，点E 为PD 的中点，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（227． 【解析】（1）由线面垂直的性质可得PO AC ⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，即可证明平面PBD ⊥平面ACE ；（2）先由二面角的平面的作法可得POE ∠即为二面角P AC E --的平面角，再求解即可.【详解】证明：（1）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥，因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又BD PO O =I ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ACE ，故平面PBD ⊥平面ACE ．（2）如图，连接OE ，则OE ⊂平面ACE ，由（1）可得，AC OE ⊥，AC OP ⊥，故POE ∠即为二面角P AC E --的平面角，在菱形ABCD 中，2AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以23BD =，3OD =，又2PO =，所以222(3)7PB PD ==+=，由点E 为PD 的中点，易得172OE PD ==，172PE PD ==， 所以POE △为等腰三角形，在POE △内过点E 作高，垂足为H ，则1HO =， 所以27cos cos 7HO POE HOE OE ∠=∠=== 即二面角P AC E --的余弦值为27．【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，重点考查了二面角的平面角的作法及求法，属中档题.18．已知椭圆C ：2222 1(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，右焦点到左顶点的距离为1+2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，且以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）27y x -=或27y x +=-．【解析】（1）由已知条件可得22212a c c e a a b c ⎧+=+⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，再求解即可；（2）以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F 等价于0FA FB ⋅=u u u r u u u r ，再联立直线与椭圆方程求解即可.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，依题意得2221a c c e a a b c ⎧+=+⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得11a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）联立2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，化简得2234220x mx m ++-=，由2221612(22)8240m m m ∆=-⨯-=-+>，得m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=， 因为以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F ，所以0FA FB ⋅=u u u r u u u r． 由（1）可知F （1，0），所以11(1,)FA x y =-u u u r ，22(1,)FB x y =-uu r ，所以11221212121212(1,)(1,)(1)(1)()1FA FB x y x y x x y y x x x x y y =-⋅=-⋅-=--++++u u u r u u u r ，因为212121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++，所以22121212121212()1()2(1)()+10FA FB x x x x x x m x x m x x m x x m ⋅=+++++++-+=-+=u u u r u u u r ， 即222242(1)()+1033m m m m -⨯+--+=， 整理得23410m m +-=，解得(m ， 所以直线l的方程为y x =，即y x =y x =． 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，重点考查了直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题. 19．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11b =，2311a S +=，432b a b -=．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21log ,212,2n n n b a n m c n m +=-⎧=⎨=⎩，其中*m N ∈，求*121211()()n i i i n c c =-+∈⋅∑N ． 【答案】（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）21n n +． 【解析】（1）由数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，结合已知条件求其基本量即可得解；（2）由2121n c n -=-，2121n c n +=+，即212+111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -==⨯-⋅-+-+，再累加求和即可得解.【详解】 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d ．由2311a S +=，432b a b -=，得11211133113a q b d b d a q b d ++=⎧⎨+-=+⎩， 将11a =，11b =代入，得23820q d d q +=⎧⎨-=⎩，解得2q =（负值舍去），2d =， 故12n n a -=，21n b n =-．（2）由21log ,212,2n n n b a n m c n m+=-⎧=⎨=⎩，其中*m N ∈， 得2121n c n -=-，2121n c n +=+， 所以212+111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -==⨯-⋅-+-+， 所以1212111111111111()(1)(1)233557212122121n i i i n c c n n n n =-+=⨯-+-+-++-=⨯-=⋅-+++∑L ． 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式的求法，重点考查了数列裂项累加求和法，属中档题.20．已知函数()ln 1,f x x x ax a =-+∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，求证：21(1)n n n n -+-<+⋅（3）求证：21e 2ln (e 2)x x x x x+≥-++-． 【答案】（1）(,1]-∞；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）不等式()0f x ≥恒成立等价于1ln a x x ≤+恒成立，即min 1(ln )a x x ≤+，再构造函数1()ln F x x x=+，利用导数求其最小值即可得解； （2）由（1）知当1a =时，有ln 10x x x -+≥恒成立，所以1ln 1x x ≥-，然后令*21,n x n =>∈N ，即1ln2ln212n nn =>-，再不等式左右两边分别累加求和即可得解； （3）由（1）可知，当1a =时， 1ln 10x x+-≥在(0,+)x ∈∞上恒成立，即要证21e 2ln (e 2)x x x x x +≥-++-等价于21e (+ln (e 2)1)01x x x x x--+---≥，即只需证当0x >时，2e (e 2)10x x x ----≥，再构造函数2()e (e 2)1(0)x h x x x x =----≥，利用导数求证即可.【详解】解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由()0f x ≥，得ln 10x x ax -+≥， 所以1ln a x x ≤+恒成立，即min 1(ln )a x x≤+． 令1()ln F x x x =+，则'22111()x F x x x x -=-=， 令'()0F x >，解得1x >，令'()0F x <，解得01x <<，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以函数1()ln F x x x=+的最小值为(1)1F =，所以1a ≤， 即a 的取值范围是(,1]-∞．（2）由（1）知当1a =时，有ln 10x x x -+≥恒成立，所以1ln 1x x≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令*21,n x n =>∈N ，得1ln2ln212n nn =>-， 所以11ln212⨯>-，212ln212⨯>-，313ln212⨯>-，L ，1ln212n n ⨯>-， 以上各式相加，得2111(12)ln2()222n n n +++>-+++L L ， 所以11(1)(1)122ln2112212n n n n n n ⨯-+>-=-+-，即21(1)n n n n -+-<+⋅（3）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥， 即1ln 10x x+-≥在(0,+)x ∈∞上恒成立． 要证21e 2ln (e 2)x x x x x +≥-++-，即证21e (+ln (e 2)1)01x x x x x --+---≥， 只需证当0x >时，2e (e 2)10x x x ----≥．令2()e (e 2)1(0)x h x x x x =----≥，则'()e 2(e 2)x h x x =---．令()e 2(e 2)x u x x =---，则'()e 2x u x =-．由'()0u x =，得ln2x =．当(0,ln2)x ∈时，'()0u x <，()u x 单调递减；当[ln2,)x ∈+∞时，'()0u x >，()u x 单调递增．即'()h x 在(0,ln2)上单调递减，在[ln2,)+∞上单调递增．而'(0)1(e 2)3e 0h =--=->，'(ln 2)(1)0h h'<=，所以0(0,ln2)x ∃∈，使得'0()0h x =．当0(0,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当0(,1)x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增．又(0)110h =-=，(1)e 1(e 2)10h =----=，所以对0x ∀>，()0h x ≥恒成立，即x 2e (e 2)10x x ----≥． 综上所述，21e 2ln (e 2)x x x x x+≥-++-成立.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型.。

高三数学上学期第一次联考试卷理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅2．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．43．在△ABC中， =， =．若点D满足=（）A． + B． C． D．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．C．f（x）=x2 D．f（x）=sinx5．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位6．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．37．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2608．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种B．84种C．70种D．35种9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．510．函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．11．设椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P（a，b）满足|F1F2|=|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1） B．∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．15．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．16．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．18．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．（I）试估计该校数学的平均成绩；（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．附：若 X～N（μ，σ2），则P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．20．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N 关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．四、选作题（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC；（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．（20xx•海南模拟）已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．选修4-5：不等式选讲24．（20xx•江西校级二模）已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．20xx-20xx学年广东省三校联合体高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．{y|0＜y＜} B．{y|0＜y＜1} C．{y|＜y＜1} D．∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={y|y=log2x，x＞1}，∴A=（0，+∞）∵B={y|y=（）x，x＞1}，∴B=（0，）∴A∩B=（0，）故选A．【点评】本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域．2．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．3．在△ABC中， =， =．若点D满足=（）A． + B． C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．【解答】解：由题意可得=====故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=x2 B．C．f（x）=x2 D．f（x）=sinx【考点】程序框图．【专题】操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案．【解答】解：∵A：f（x）=x2、C：f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件①又∵B：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．6．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】开放型；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||yB﹣yC|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍），故选：B【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．7．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．【解答】解：解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{an}为等差数列，∴sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2n﹣sn，s3n﹣s2n，…成等差数列．8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种B．84种C．70种D．35种【考点】分步乘法计数原理．【分析】本题既有分类计数原理也有分步计数原理．【解答】解：甲型1台与乙型电视机2台共有4•C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故选C【点评】注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．10．函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=﹣（﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣（﹣+x）cosx=（﹣x）=﹣f（x），故函数f （x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x=π，f（x）＞0，故排除D，但是当x趋向于0时，f（x）＞0，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．11．设椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P（a，b）满足|F1F2|=|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|=16，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线PF2的方程为y=（x﹣c），代入椭圆方程，消去y并整理，求出M，N的坐标，利用|MN|=16，可求椭圆的方程．【解答】解：因为点P（a，b）满足|F1F2|=|PF2|，所以=2c，整理得2e2+e﹣1=0，所以e=．所以a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线PF2的方程为y=（x﹣c），代入椭圆方程，消去y并整理，得5x2﹣8cx=0，解得x=0或c，得M（0，﹣c），N（c， c），所以|MN|=c=16，所以c=5，所以椭圆方程为．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1） B．∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选A．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m= ﹣2 ．【考点】偶函数．【专题】计算题．【分析】根据偶函数的定义可得f（x）=f（﹣x）然后整理即可得解．【解答】解：∵函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数∴f（x）=f（﹣x）∴（﹣x）2+（m+2）（﹣x）+3=x2+（m+2）x+3∴2（m+2）x=0①即①对任意x∈R均成立∴m+2=0∴m=﹣2故答案为﹣2【点评】本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值．事实上通过本题我们可得出一个常用的结论：对于关于x的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则x的奇次项不存在即奇次项的系数为0，若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为0！14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】利用微积分基本定理即可求出．【解答】解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．【点评】熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．15．设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题．16．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3] ．【考点】余弦定理．【专题】压轴题；解三角形．【分析】由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．【解答】解：△ABC中，由余弦定理可得 2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b=c 时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得 b+c＞a=1，故有 a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为（2，3]．【点评】本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．18．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．（I）试估计该校数学的平均成绩；（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．附：若 X～N（μ，σ2），则P（u﹣3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112（2）由于根据正态分布：P（120﹣3×5＜X＜120+3×5）=0.9974故所以前13名的成绩全部在130分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的学生有50×（0.12+0.08）=10所以X的取值为0，1，2，3．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布列为X 0 1 2 3P数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N 关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即，可得．利用，可得．（II）由（I）可得直线AB的方程为： =1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB 垂直平分线段NS，可得b，解得即可．【解答】解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为： =1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】开放型；导数的综合应用．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （o，）（）f'（x）﹣ 0 +f（x）↓↑所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，]上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，]上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．四、选作题（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2﹣DE2=AE×EC；（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．【考点】相似三角形的判定；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（I）由D是的中点，可得∠ABD=∠CBD，根据圆周角定理，可得∠CBD=∠ECD，进而可得△BCD∽△CED，根据相似三角形性质可得CD2=DE×DB，进而得到CD2﹣DE2=AE×EC（II）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，进而根据圆心角定理得到∠ACD的大小【解答】解：（Ⅰ）∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，∴△BCD∽△CED，∴=，∴CD2=DE×DB，∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，∴CD2﹣DE2=AE×EC．…（6分）（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，∴∠COD=60°．∴∠CBD=∠COD=30°，∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）【点评】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角定理，其中（1）的关键是证明△BCD∽△CED，（2）的关键是求出△ODC为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（20xx•海南模拟）已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．【点评】本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（20xx•江西校级二模）已知a+b=1，a＞0，b＞0．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值三角不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由题意可得+=（+）（a+b）=5++，由基本不等式可得；（Ⅱ）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴+的最小值为9；（Ⅱ）若不等式+≥|2x﹣1|﹣|x+1|对任意a，b恒成立，则需|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，可转化为，或或，分别解不等式组可得﹣7≤x≤﹣1，≤x≤11，﹣1＜x＜综合可得x的取值范围为[﹣7，11]【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和绝对值不等式，属中档题．21 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