新设计数学苏教必修三讲义：2.1.3 分层抽样

2.1.3分层抽样学习目标 1.理解分层抽样的概念(难点)；2.会用分层抽样从总体中抽取样本(重点)；3.了解两种抽样法的联系和区别.知识点一分层抽样1.分层抽样的概念一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”.分层抽样具有如下特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)按比例确定每层抽取个体的个数；(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样的方法；(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是样本容量n总体容量N，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法2.分层抽样的步骤分层抽样的步骤是：(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)1.在分层抽样中，每一个个体被抽到的可能性是相等的；()2.在各层中抽取的个体数与该层个体数之比等于抽样比；()3.分层抽样中，具体分多少层是固定的.()★答案★ 1.√ 2.√ 3.×知识点二抽样方法的比较简单随机抽样、分层抽样的比较如下表所示：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少分层抽样将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取在各层抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成分层抽样的总体具有什么特性？提示分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.题型一对分层抽样概念的理解【例1】为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求________(填序号).①每层等可能抽样；②每层抽取的个体数相等；③每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i＝n·N iN(i＝1,2,3，…，k)个个体(其中k是层数，n是抽取的样本容量，N i是第i层中个体的个数，N是总体的容量)；④只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制.解析虽然每层等可能地抽样，但是没有指明每层中应抽取几个个体，故①不正确；由于每层的容量不一定相等，每层也不一定抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能情况就不一样了，因此②也不正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数k无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，故③正确；④不正确，因为每层抽取的个体数是有限制的.★答案★③规律方法分层抽样的特点主要有：(1)适用总体由差异明显的几部分组成的情况；(2)分成的各层互不交叉；(3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等，都是nN(n为样本容量，N为总体容量)，与层数及分层无关；(4)是不放回抽样；(5)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中所占的比例；(6)分层抽样是建立在简单随机抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获得的样本更具有代表性，更充分反映了总体的情况，在实践中的应用更为广泛.【训练1】有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件.现从中抽出8件进行质量分析，则应采取的抽样方法是________.解析总体是由差异明显的几部分组成，符合分层抽样的特点，故采用分层抽样.★答案★分层抽样题型二分层抽样的应用【例2】一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，请用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本，应如何抽取？解第一步，确定抽样比：20∶(100＋60＋40)＝1∶10.第二步，确定每层中抽取的样本数：从一级品中抽取100×110＝10(个)，从二级品中抽取60×110＝6(个)，从三级品中抽取40×110＝4(个).第三步，各层抽样：用简单随机抽样法或系统抽样法抽取一级品10个，二级品6个，三级品4个.第四步，将每层抽取的个体组合在一起构成样本.规律方法利用分层抽样抽取样本的操作步骤：(1)将总体按一定标准进行分层；(2)确定抽样比；(3)按抽样比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)；(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本.【训练2】一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是________.解析抽样比为40800＝120，故各层抽取的人数依次为160×120＝8,320×120＝16,200×120＝10,120×120＝6.★答案★8,16,10,6方向1 抽样方法的选择【例3－1】某校有教职工240人，其中教师160人，行政人员48人，后勤人员32人.为了了解职工的收入情况，需要从中抽取一个容量为30的样本，有以下两种抽样方法：方法一：将240人按照1～240进行编号，然后制作出有编号1～240的240个形状、大小相同的号签，并将号签放入一个不透明的箱子里均匀搅拌，然后从中抽取30个号签，编号和号签相同的30个人被选出.方法二：按照人数的比例，从教师中抽出20人，从行政人员中抽出6人，从后勤人员中抽出4人，可抽到30人(从各类人员中抽取所需人员时均采用随机数表法).则方法一是________，方法二是________.解析根据各个抽样方法的定义，方法一显然为抽签法，属于简单随机抽样；方法二根据各类人数比例来抽样，根据分层抽样的定义，该方法属于分层抽样.★答案★简单随机抽样分层抽样方向2 抽样方法的比较【例3－2】在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个.方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.对于上述问题，下列说法正确的是________(填序号).①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是1 5；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征.解析根据三种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体被抽到的可能性都相等，都是nN，故①正确，②错误；由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法②抽到的样本更有代表性，③正确，故①③正确.★答案★①③方向3 抽样方法的具体应用【例3－3】为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察.为了全面地反映实际情况，采取以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同).①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名).根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面两种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面两种抽取样本的步骤.解(1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)上面二种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法.(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩.第二种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中应该把全体学生分成三个层次；第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每层抽取的个体数依次为1057，4207，1757，即15,60,25；第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本.规律方法(1)两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系.在应用时要根据实际情况选取合适的方法.(2)两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的.课堂达标1.某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生抽了85人，则该校的男生数是________人.解析男生人数占总人数的比等于抽到男生人数占样本容量的比，可得男生数为1 200×200－85200＝690(人).★答案★6902.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中共抽取40名学生进行调查，则应在丙专业中抽取的学生人数为________.解析由题意知按分层抽样法进行抽样，抽样比为40150＋150＋400＋300＝125，所以应在丙专业中抽取的人数为400×125＝16.★答案★163.下列问题中宜采用的抽样方法依次为：(1)________；(2)________；(3)________.(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某社区有1 200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为120的样本；(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.解析4.央视春晚直播不到20天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________.解析持“支持”态度的网民抽取的人数为48×8 0008 000＋6 000＋10 000＝48×13＝16.★答案★165.一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人.为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请用分层抽样的方法抽取样本.解法一三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分应抽取个体数分别为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20，得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取14人，2人和4人.法二分层抽样中的抽样比为20160＝18.由112×18＝14,16×18＝2,32×18＝4，可得业务人员、管理人员、后勤服务人员应分别抽取14人，2人和4人.确定样本的组成部分之后，下面在层内运用简单随机抽样法抽样.课堂小结1.对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1)样本容量n总体容量N＝各层抽取的样本数该层的容量；(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比.2.选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法.(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数表法.(3)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法.基础过关1.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________.解析由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层抽样法.★答案★分层抽样法2.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中最合理的抽样方法是________(填序号).①简单随机抽样；②按性别分层抽样；③按学段分层抽样.解析因为已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.为了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.★答案★③3.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.解析设男生抽取x人，则有45900＝x900－400，解得x＝25.★答案★254.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.解析根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.★答案★605.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作为样本，若用分层抽样的方法，则40岁以下年龄段应抽取________人.解析40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20.★答案★206.选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个.解(1)总体容量较小，用抽签法.①将30个篮球编号，编号为00,01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.(2)总体由差异明显的两层组成，需选用分层抽样.①确定抽取个数.因为1030＝13，所以甲厂生产的应抽取2113＝7(个)，乙厂生产的应抽取9×13＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本.(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002， (300)②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码.7.一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及以上的有95人.为了了解这个单位的职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁到49岁的职工；50岁及以上的职工.(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及以上的职工中抽取95×15＝19(人).(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.(4)将每层抽取的个体组合在一起构成样本.能力提升8.问题：①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本； ②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.简单随机抽样；Ⅱ.分层抽样.其中问题与方法能配对的是________. 解析 对于①，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于②，由于总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样.★答案★ ①Ⅱ，②Ⅰ9.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________.解析 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1 200＝y 6 000＝z 2 000，x ＋y ＋z ＝46，解得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝30，z ＝10.故填6,30,10.★答案★ 6,30,1010.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和如图②所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.解析由题意知样本容量为(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，其中高中生人数为2 000×2%＝40，高中生的近视人数为40×50%＝20.★答案★200,2011.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C产品的数量是________件.解析设C产品的数量为x件，则A产品的数量为(1 700－x)件，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知1 700－xa＋10＝xa＝1 300130，解得x＝800.★答案★80012.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，求乙设备生产的产品总数.解由题设，抽样比为804 800＝160.设甲设备生产的产品为x件，则x60＝50，∴x＝3 000. 故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800(件).13. (选做题)某社区小学三个年级各班人数如下表所示.量的120的抽样方案.解第一步确定一年级、二年级、三年级的被抽个体数.一年级、二年级、三年级的学生数分别为：一年级：45＋48＋52＝145，二年级：46＋54＋50＝150，三年级：45＋55＋55＝155.由于总体容量与样本容量的比为20∶1，所以样本中包含的各部分个体数应为145÷20≈7,150÷20≈8,155÷20≈8.第二步将一年级的被抽个体数分配到一年级1班、2班、3班中.因为一年级1班、2班、3班的人数比为45∶48∶52，所以一年级1班、2班、3班的被抽个体数分别为7÷145×45≈2,7÷145×48≈2,7÷145×52≈3.第三步用同样的方法将二年级的被抽个体数分配到二年级1班、2班、3班中，结果分别为2人、3人、3人.第四步用同样的方法将三年级的被抽个体数分配到三年级1班、2班、3班中，结果分别为2人、3人、3人.第五步再用简单随机抽样在对应班级中抽取.。