分层抽样-人教A版高中数学必修三

2.1.3 分层抽样一、基础过关1．某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本，进行某项调查，则应抽取中学数为( ) A．70 B．20 C．48 D．22．具有A、B、C三种性质的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素分别抽取( ) A．12、6、3 B．12、3、6 C．3、6、12 D． 3、12、6 3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生( ) A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人4．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法( )①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③5．某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．7．某学校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则此学校共有高中学生多少人？8．某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3 000件，4 000件，8 000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？二、能力提升9．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽样本的方法是( ) A．简单随机抽样B．系统抽样C．先从中年人中剔除1人，再用分层抽样D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样10．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．11．一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．三、探究与拓展12．某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n 的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.答 案1．B 2.C 3.B 4.D 5.18 9 6.157．解 高二年级被抽取45－20－10＝15(人)，被抽取的比例为15300＝120， ∴x ＝400，z ＝200.∴此学校共有高中学生900人．8．解 总体中的个体数N ＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，样本容量n ＝150，抽样比例为n N ＝15015 000＝1100，所以应该在第1条流水线生产的产品中随机抽取3 000×1100＝30(件)产品，在第2条流水线生产的产品中随机抽取4 000×1100＝40(件)产品，在第3条流水线生产的产品中随机抽取8 000×1100＝80(件)产品．这里因为每条流水线所生产的产品数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法．9．D 10.8811．解 (1)系统抽样方法：将200个产品编号1,2，…，200，再将编号分为20段，每段10个编号，第一段为1～10号，…，第20段为191～200号．在第1段用抽签法从中抽取1个，如抽取了6号，再按预先给定规则，通常可用加间隔数10，第二段取16号，第三段取26号…，第20段取196号，这样可得到一个容量为20的样本．(2)分层抽样方法：因为样本容量与总体的个体数的比为20∶200＝1∶10，所以一、二、三级品中分别抽取的个体数目依次是100×110，60×110，40×110，即10,6,4.将一级品的100个产品按00,01,02，…，99编号，将二级品的60个产品按00,01,02，…，59编号，将三级品的40个产品按00,01,02，…，39编号，采用随机数表法，分别抽取10个，6个，4个．这样可得容量为20的一个样本．12．解 因为采用系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n 是36的约数，且36n是6的约数，即n 又是6的倍数，n ＝6,12,18或36，又n ＋1是35的约数，故n 只能是4,6,34，综合得n ＝6，即样本容量为6.。

课时分层作业(十一) 分层抽样(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．直接运用分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样C [因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．]2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250 A [由题意得，n3 500＋1 500＝703500，解得n ＝100.] 3．一批灯泡400只，其中20 W 、40 W 、60 W 的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( )A ．20，15，5B ．4，3，1C ．16，12，4D ．8，6，2A [40×48＝20.40×38＝15，40×18＝5.] 4．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3D [不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率均为n N .]5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x 份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )A ．60B ．80C ．120D ．180C [11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，抽样比为13，因为分层抽取样本的容量为300，故回收问卷总数为30013＝900份，故x ＝900－120－180－240＝360份，360×13＝120份．] 二、填空题6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．16 [在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为样本容量总体容量.所以每个个体被抽取的可能性是20120＝16.] 7．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件．800 [抽样比130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中取1个个体，又A 产品的样本容量比C 产品的多10，故A 产品比C 产品多100件，故12(3 000－1300－100)＝800(件)为C 产品数量．]8．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；(3)体育彩票000 001～100 000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖．(1)________ (2)________ (3)________．(1)抽签法 (2)分层抽样 (3)系统抽样9．某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？[解] (1)按老年、中年、青年分层抽样，抽取比例为402 000＝150. 故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，(2)按管理、技术开发、营销、生产进行分层，用分层抽样，抽取比例为252 000＝180， 故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．10．为了考察某校的教学水平，抽查了该学校高三年级部分学生的本年度考试成绩．为了全面地反映实际情况，采取以下三种考察方式(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成绩；③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．[解] (1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩． 第二种方式抽样的步骤如下：第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为x ；第二步：在其余的13个班中，选取学号为x ＋50k (1≤k ≤12，k ∈Z )的学生，共计14人． 第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为1057，4207，1757，即15，60，25； 第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．[能力提升练]1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10A [该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000人，则样本容量为10 000×2%＝200人，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.]2．某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为001，002，003，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为001，002，003，…，270，并将整个编号平均分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①007，034，061，088，115，142，169，196，223，250；②005，009，100，107，111，121，180，195，200，265；③011，038，065，092，119，146，173，200，227，254；④036，062，088，114，140，166，192，218，244，270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A ．②③都不能为系统抽样B ．②④都不能为分层抽样C ．①④都可能为系统抽样D ．①③都可能为分层抽样D [系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距还不一定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个元素是否在001～027范围内，结果发现④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k ＝27010＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此排除A ，C ；若采用分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001～108范围内要有4个编号，在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样(其中①③在每一层内采用了系统抽样，②在每一层内采用了简单随机抽样)，所以排除B.]3．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的5，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．6 [因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以“剪纸”社团的人数为800×25＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z＝32＋3＋5＝310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310＝96.由题意知，抽样比为50800＝116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116＝6.] 4．某机关老年、中年、青年的人数分别为18，12，6，现从中抽取一个容量为n 的样本，若采用系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体．当样本容量增加1时，若采用系统抽样，需在总体中剔除1个个体，则样本容量n ＝________．6 [当样本容量为n 时，因为采用系统抽样时不用剔除个体，所以n 是18＋12＋6＝36的约数，n 可能为1，2，3，4，6，9，12，18，36.因为采用分层抽样时不用剔除个体，所以n 36×18＝n 2，n 36×12＝n 3，n 36×6＝n6均是整数，所以n 可能为6，12，18，36.又因为当样本容量增加1时，需要剔除1个个体，才能用系统抽样，所以n ＋1是35的约数，而n ＋1可能为7，13，19，37，所以n ＋1＝7，所以n ＝6.]5．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？[解] (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比：1207 500＝2125， 所以有500×2125＝8，3 000×2125＝48， 4 000×2125＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64. 分层抽样的步骤是①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本．④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤是①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001，0 002，0 003，…，3 000.②在随机数表上随机选取一个起始位置．③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．(3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1，2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1，2，…，62.从中随机抽取一个号码，若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23，85，147，209，271，333，395，457，…，3 929.。

第一章 算法初步（略）第二章 统计2.1 随机抽样1、总体和样本（1）总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体． （2）个体：把每个研究对象叫做个体．（3）总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．（4）样本容量：为了研究总体x 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：1x ，2x ，3x ， ……，n x 研究，我们称它为样本．．．其中个体的个数称为样本容量．．．．. 2、简单随机抽样（1）定义：一般地，设一个总体包含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样.（2）特点：① 被抽取样本的总体个数N 是有限的；② 样本是从总体中逐个抽取的； ③ 是一种不放回抽样；④ 每个样本被抽中的可能性相同（概率相等）；⑤ 总体单位之间差异程度较小和数目较少时，采用简单随机抽样. （3）常用的方法⎩⎨⎧.②；①随机数法抽签法3、系统抽样（等距抽样或机械抽样）：（1）定义：当总体中的个体较多时，可将总体分为均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样叫做系统抽样.（2）步骤：① 编号：先将总体的N 个个体编号；② 分段：确定分段间隔k ，对编号进行分段，当n N 是整数时，取n N k =（当nN 不是整数时，要先剔除零头）；③ 确定第1个编号：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l ；④ 成样：按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号（k l +），再加k 得到第3个个体编号（k l 2+），依次进行下去，直到获取整个样本．4、分层抽样：（1）定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样．（2）步骤：① 分层：根据题意，将总体分成互不交叉的层；② 定抽样比：根据总体中的个体数N 和样本容量n 计算抽样比Nn k =； ③ 定各层抽取的数目：确定第i 层应该抽取的个体数目k N n i i ⨯=； ④ 抽取个体：在各层中随机抽取该层确定的个体数目.5、三种抽样方法的异同点：2.2 用样本估计总体1、频率、样本容量、频数的关系2、作频率分布直方图的步骤(1) 求极差，即计算最大值与最小值的差； (2) 决定组距与组数； (3) 将数据分组；(4) 计算各小组的频率，列频率分布表； (5) 画频率分布直方图.3、众数、中位数、平均数4、平均数、方差、标准差（1）平均数：nx x x x x n++++=321（2）方 差：nx x x x x x x x s n 22322212)()()()(-++-+-+-=（3）标准差：[]22322212)()()()(1x x x x x x x x ns s n -++-+-+-==. 5、从频率分布直方图中估计众数、平均数、中位数（1）众 数：最高矩形所在组的组中值即为众数的估计值. （2）平均数：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. （3）中位数：中位数左边和右边直方图的面积相等.2.3 变量间的相关关系1、散点图将样本中的n 个数据点),(11y x ，),(22y x ，…，),(n n y x 描在直角坐标系中，所得到的图形叫做散点图.2、正相关与负相关（1）正相关：从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内. （2）负相关：从散点图上看，点分布在从左上角到右下角的区域内.3、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．【重要结论】散点可能在回归直线上，也可能不再回归直线上，但样本点的中心),(y x 必在回归直线上.（其中x 、y 分别为变量x 和y 的平均数.）4、最小二乘法（1）定义：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．．．．．．．．．．．．．．．的方法叫做最小二乘法． （2）求法：设线性回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y ax n x yx n y x x x y y x x b ni i ni ii n i i ni i i例1：根据上表得到回归直线方程为a x yˆ7.0ˆ+=，据此可预测，当x =15时，y 的值为（ ） A . 7.8 B . 8.2 C . 9.6 D . 8.5例2：为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天根据上表得到回归直线方程为9.5467.0ˆ+=x y，由于表中一个数据模糊不清，请你推断该数据的值为（ ）A . 67B . 68C . 68.3D . 71 例3：【2014全国2卷理18】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：∑∑==---=ni ini iix x y yx x b121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=. 解：（1）方法一（利用第一个bˆ的公式）：根据题意，列表如下：所以，∑∑==---=ni ii iix x y yx x b121)())((ˆ5.02814==，x b y aˆˆ-=3.245.03.4=⨯-=. 所以，线性回归方程为3.25.0ˆ+=x y. 方法二（利用第二个bˆ的公式）：根据题意，列表如下： 所以，∑∑==--=ni ii ii x n xyx n yx b1221ˆ5.0471403.4474.1342=⨯-⨯⨯-=，x b y a ˆˆ-=3.245.03.4=⨯-=. 所以，线性回归方程为3.25.0ˆ+=x y.（2）由于线性回归方程3.25.0ˆ+=x y是增函数，所以，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加.2015年对应的x =9，此时8.63.295.0ˆ=+⨯=y，即该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为6.8千元.第三章 概率3.1 随机事件的概率1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例nn A f An =)(为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率)(A f n 稳定在某个常数上，把这个常数记作)(A P ，称为事件A 的概率.（6）频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.2、事件的关系与运算【注】：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件.3、概率的基本性质（1）任何事件的概率0≤P (A )≤1；（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；（3）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P (A ∪B )= P (A )+ P (B )；（4）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P (A ∪B )=1，P (A )=1—P (B ).3.2 古典概型 3.3 几何概型1、基本事件（1）概念：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不可再分的最简单的随机事件，在一次试验中只能有一个基本事件发生.（2）特点 ⎩⎨⎧.基本事件的和件）都可以表示成几个任何事件（除不可能事②斥的；任何两个基本事件是互①2、古典概型（1）定义：我们将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． ① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ② 每个基本事件出现的可能性都相等． （2）古典概型概率公式 基本事件的总数包含的基本事件的个数事件A A P =)(.3、几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．（2）特点 ⎩⎨⎧.事件发生的概率都相等等可能性，即每个基本②限个；结果（基本事件）有无无限性，即每次试验的①（3）计算公式: 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(.。

2019届数学人教版精品资料
课时作业(十一) 分层抽样
A组基础巩固
1．某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是() A．抽签法B．随机数法
C．系统抽样法D．分层抽样法
答案：D
2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是()
A．2 B．3
C．5 D．13
答案：C
3．(2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为()
A.90 B．100
C．180 D．300
解析：由题意，老年和青年教师的人数比为900∶1600＝9∶16. 因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选C.
答案：C
4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是() A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
解析：依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项。

必修3
第一章算法初步
1.1算法与程序框图
1.1.1算法的概念(1课时)
1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构(3课时)
(程序框图与顺序结构, 条件结构, 循环结构与程序框图的画法)
1.2基本算法语句
1.2.1输入语句、输出语句与赋值语句(1课时)
1.2.2条件语句(1课时)
1.2.3循环语句(1课时)
1.3算法案例(2课时)
(辗转相除法与更相减损术, 秦九韶算法与进位制)
第二章统计
2.1 随机抽样
2.1.1 简单随机抽样(1课时)
2.1.2 系统抽样(1课时)
2.1.3 分层抽样(2课时)
(分层抽样, 三种抽样方法的联系)
2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(2课时)
(频率分布表与频率分布直方图, 频率分布折线图与茎叶图)
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
(众数、中位数、平均数,标准差)
2.3 变量间的相关关系(2课时)
(变量间的相关关系与散点图, 线性回归方程)
第三章概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率(1课时)
3.1.2 概率的意义(1课时)
3.1.3 概率的基本性质(1课时)
3.2 古典概型
3.2.1 古典概型(2课时)
(古典概型的定义, 古典概型的计算)
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生(1课时)
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型(1课时)
3.3.2 均匀随机数的产生(1课时)
高中数学资料归纳 1。

《分层抽样》教学设计四川省泸县第二中学卿琳莉教材新课标人教A版必修3一．教学内容解析在信息化社会，数据是一种重要的资源．凡有大量数据出现的地方，必会用到统计．统计由收集数据、整理数据、分析数据三部分工作构成．在这三项工作中，收集数据是整理和分析的前提和基础．本课所学内容“分层抽样”是收集数据的一种方法，它属于程序性知识，安排在普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修3第二章统计第一节随机抽样．它既是学生义务教育阶段统计知识的延续，又是在学生学习了简单随机抽样和系统抽样的基础上，结合两种抽样的特点和适用范围，针对个体间具有明显差异的总体，为提高样本的代表性，介绍学习的第三种收集数据的方法．因此，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法是教学的重点．二．教学目标设置《普通高中数学课程标准》与“数学核心素养”要求：通过高中数学课程学习，学生能“结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性”．“参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法”．“学生能提升获取有价值信息的意识和能力，适应数字化学习”．据此，结合本节教学内容的特点，制定教学目标为：1．通过实例，了解分层随机抽样的必要性、特点和适用范围；2．掌握各层样本量比例分配的方法；3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题；4．培养学生的统计思维，提升数据分析能力．三．学生学情分析本课授课班级为四川泸县第二中学高一年级层级最高的学生，他们具有扎实的数学基础，熟悉对数字的直接运算处理，思维敏锐，具有一定的分析问题、解决问题的能力．要达成本课所设教学目标、完成预设的教学内容，学生还存在以下差距：1．认知方面：对个体间具有明显差异的总体，怎样收集数据才能确保收集的数据具有代表性；2．技能方面：如何确定各层的样本容量和如何在各层抽取样本．因此，本节教学的难点是：分层抽样的必要性和各层样本量的确定．四．教学策略分析为突破难点，为突出重点，我采用了从特殊到一般的教学思路和突出学生主体活动的教学理念，让学生获得数学知识和概念，再用典型案例剖析所学数学概念，深化对概念理解．即设置不同的具体案例，以问题为主线，通过学生感悟生活、自主学习、合作探究，观察、归纳、抽象提炼出不同案例的共同特点，提示出事物的本质．为达成提升学生“获取有价值信息的意识和能力”，我通过设计简单的实际情境，采用开放式问题，让学生设计恰当的抽样方法解决问题．为实现以上教学策略，需要学生课外收集数据、多媒体、Excel软件等信息技术支持和支撑．五．教学过程设计（一）设立目标，自主调查（课外完成）活动案例1：调查本校高一学生的平均身高．方式与要求：将全班分成五个小组进行调查，于上课前一天上交数据．每组学生采用的抽样方法如下：第一组：在田径场抽取40名高一学生．（简单随机抽样）第二组：抽取高一每班学号为1号的学生（各班人数相同）．（系统抽样）第三组：抽取高一年级两个班，以这两个班的学生作为样本．（抽签法）第四组：在高一年级教学区抽取20名男生与20名女生．（简单随机抽样）第五组：在食堂抽取30名高一学生．（简单随机抽样）设计意图：让学生亲身经历、参与调查过程．（二）分析数据，感悟冲突展示学生活动所收集的数据，活动照，并用Excel软件将每小组的统计结果做成柱状图．思考：这5组数据产生差异的原因是什么？生：抽取样本的方法不同造成差异．师：对比这5种抽样方法，你觉得你们小组抽取样本的方法合理吗？第一组、第五组的样本中，男生偏多，属于方便样本．其实，无论是简单随机抽样还是系统抽样，都有可能导致方便样本（男生偏多或女生偏多），所以第二组、第三组的抽样方法不够合理．设计意图：让学生学会用数据分析问题，从数字思维转入统计思维，让学生意识到简单随机抽样和系统抽样的局限性．（三）合作探究，生成概念问题1：从统计数据来看，哪些因素可能影响高一学生的平均身高？生1：性别．生2：年龄．用Excel软件分析数据做出柱状图，发现无论用哪种抽样方法，男生组的平均身高都高于女生的平均身高．而高一学生的年龄对其平均身高的影响并不大．故影响高一学生平均身高最主要的因素是性别．在五个组中，第四组考虑了性别差异，故用第四组的数据估计高一学生的平均身高更合理一些．设计意图：为引出分层抽样的概念做第一次铺垫，初步引导学生感受分层抽样中分层的依据．同时通过对数据的分析，增强学生用数据分析问题的能力．问题2：第四组抽取的样本中，男女比例为1：1，按照此比例抽取的样本能否很好的代表总体？为什么？生1：合理，因为性别影响高一学生平均身高，故样本中男女生各占一半．生2：不合理，需要知道总体中男女生的比例．为了使样本结构与总体结构一致，需统计出高一年级男女生的人数，男生人数为1245，女生人数为1351，比值大约为9:10，故选取的样本中男女比例应该为9:10．设计意图：引导学生理解要保持样本结构与总体结构的一致性，为引出分层抽样的概念做第二次铺垫．案例2：假设某地区共有24300名学生，此地区教育部门为了了解本地区的中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．你认为应该怎样抽取样本？（其中①男生12300人，女生12000人，②高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人．）生1：按照性别比例，分别抽取男生123人，女生120人．师：性别是影响视力的主要因素吗？生2：学段是影响视力的主要因素，所以按学段抽取学生，抽取高中生24人，初中生109人，小学生110人．设计意图：加强学生对影响问题的主要因素的判别，再次感受分层抽样的特点．问题3：两个案例中的抽样方法有什么共同点？生1：都要考虑影响总体的因素，然后进行分层．生2：抽取样本时都按照比例抽取．师：像这样抽取样本的方法叫做分层抽样．请大家归纳概括分层抽样的概念．分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．（分析关键词）设计意图：通过总结两个案例抽样方法的共同点，引导学生总结出分层抽样的概念．（四）辨析概念，升华理解回顾本节阅读与思考——一个著名的案例（抽样中的泰坦尼克事件），分析预测结果出错的原因是什么．生1：未考虑总体的结构，只对富人做了调查．生2：未按照分层抽样的要求，对各阶层的人按比例抽取样本．通过思考，学生明白当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．这种方法得到的样本，其样本的结构与总体的结构保持了一致性，比前两种方法具有更好的代表性，并且可以得到各层的子样本以估计各层的信息．设计意图：让学生对分层抽样进行深化理解，了解分层抽样的适用范围．此外，通过此案例，学生体会到数据有时候会“说谎”，所以在面对广告中大量数据时，首先要辨析真假，此外要坚决抵制用虚假广告欺骗消费者这种不诚信的行为，渗透思想品德教育．问题4：分层抽样的步骤是什么？生：先根据对总体的了解进行分层，确定比例后，再各层抽取．可分为四个步骤：（1）分层——根据已有信息，将总体分成互不相交的层；（2）定比——根据总体中的个体数N 与样本容量n 确定抽样比n k N=； （3）定量——确定第i 层应该抽取的样本数i i n N k ≈⨯（i N 为第i 层所包含的个体数），使得各i n 之和为n ；（4）抽样——在各个层中，按步骤3中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n 的样本．设计意图：让学生根据案例总结分层抽样的步骤，掌握分层抽样的具体操作方法．（五）学以致用，精致概念某校共有430名教师，现要抽取20%的教师以调查该校教师的身体状况，请你设计一个抽样方案．生1：简单随机抽样．生2：系统抽样．生3：按性别分层．生4：按年龄分层．师：比较优点、不足．设计意图：此题属于开放性题，既与课堂引入相呼应，也是课堂的延伸．通过此题，学生学会根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．问题5：简单随机抽样、系统抽样和分成抽样各有其特点和适用范围，三种抽样方法的优点和缺点分别是什么？总结获得表格：设计意图：让学生掌握三种抽样方法的特点、优缺点、适用范围，构建知识网络结构．（六）总结反思，纳入体系1．结合本课涉及的案例，谈谈你对分层抽样的认识．生1：为什么要进行分层抽样以及分层抽样的概念、步骤．生2：分层抽样的适用范围．师：经过今天学习，在“大数据”的今天，收集数据的方法至此我们有了三种方法——简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．2．通过本节课的学习，了解抽样的必要性、三种抽样方法的适用范围、以及如何抽样．（七）作业布置，巩固延伸1．必做题：教材习题2.1 A组第5题；2．探究题：某市教育部门为了了解本市的中小学生的近视情况及其形成原因，要抽取本地的中小学生进行调查，该市中小学人数的分布情况如下表所示（单位：人）：请根据上述基本数据，设计一个样本容量为总体中个体数量的千分之一的抽样方案．。

学习目标1.正确理解分层抽样；
2.掌握分层抽样的一般步骤；
3.正确理解分层抽样、系统抽样、简单随机抽样的区别和
联系，并且选择适当正确的方法进行抽样.
重
点难点1.掌握分层抽样的特点和一般步骤；
2.根据实际情况选择正确的抽样方法.
学习过程与方法
问题：某校高一、高二和高三年级分别有学生1000，800和700名，为了了解全校学生的视力情况，欲从中抽取容量为100的样本，怎样抽样较为合理．
【分析】如果在2500名学生中随机抽取100名学生作为样本，或者在三个年级中平均抽取学生组成样本，这样的样本是否合理？能否反映总体情况？
自主学习课本P12，并回答：
1、分层抽样的概念：将总体按其分成若干类
型，然后在每个类型中随机抽取一定的样本.
这样的抽样方法称为分层抽样
2、分层抽样的步骤为：
3、每层如何抽取样本？如何计算每层抽取样本个数？
精讲互动
例1某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体说明过程，并说明抽取的公平合理性。

【解】
例2某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体健康状况，需要从他们中间抽取一个容量为36的样本，应怎样进行抽样？。