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（三）、例题讲解：
已知抛物线的方程为y2=4x,直线l经过 点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直 线与抛物线:只有一个公共点;有两个 公共点:没有公共点.
（三）、例题讲解：
变式题3：已知直线y=(a+1)x与曲线 y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.
（三）、例题讲解：
练习5：已知直线y=kx+2与抛物线 y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为
o F ( p ,0) x
2
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
（二）归纳：抛物线的几何性质
图形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2=2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2=-2px x（p>0） F
（三）、例题讲解：
练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的
弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是
A. 或
5
6
6
B. 或
3
4
4
C . 或
2
3
3
D.
2
（三）、例题讲解：
练习4：若直线l经过抛物线y2=4x的焦 点,与抛物线相交于A，B两点,且线段 AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长.
o F ( p ,0) x
2
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱ 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限
延伸。
2、对称性
(x, y) 关于x轴 (x, y) 对称
由于点也满 (x, y)
足，y2=故2p抛x 物线
y2=2px
(p>0)关于x轴对称.
（三）、例题讲解：
例5：求抛物线y2=64x上的点到直 线4x+3y+46=0的距离的最小值,并 求取得最小值时的抛物线上的点的 坐标.
（三）、例题讲解：
练习7：抛物线y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0的距离的最小值是
A.
4 3
B
.
7 5
C
.
8 5
D.3
（三）、例题讲解：
练习8： 抛物线y2=x和圆(x-3)2+y2=1上最近 的两点之间的距离是()
A.1
B.2
C.
1 10
2
D.
1 11
2
（三）、例题讲解：
例6：已知抛物线y=2x2上两点
A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m
对称,若x1x2=-1/2,则m的值为()
A.
2 3
B.2
C
.
5 2
D
.
3 2
（三）、例题讲解：
变式题6：已知直线y=x+b与抛物线
x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为
A.1
B.1或 3
C .0
D.1或 0
（三）、例题讲解：
例4：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x 的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线 方程.
练习6：求以Q(1,-1)为中点的抛物线 y2=8x的弦AB所在的直线方程.
（三）、例题讲解：
变式题4：求过点P(0,1)且与抛物 线y2=2x只有一个公共点的直线方 程.
A.x2 8 y
B.x2 4 y
C.x2 2 y
D.x 2
1 2
y
（三）、例题讲解：
练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X
轴，点M（-5,2)到5焦点距离为6,则抛
物线的标准方程为
A.y2 4x B.y2 2x C.y2 2x D.y2 4x或x2 36 y
（三）、例题讲解：
坐标原点),求b的值.
A.
2 3
B.2
C
.
5 2
D
.
3 2
（三）、例题讲解：
正三角形的一个顶点位于原点,另 外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0) 上,求这个三角形y 的边长.
A
O
x
分析:
B
观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如
果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易
求出三角形的边长.
解：如图，设正三角形 OAB的顶点A、B在抛物
焦点
准线
F
(
3 2
,0)
x
3 2
F (1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4 y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
开口向上 开口向下
一、抛物线的几何性质
y
P(x,y)
1、范围
由抛物线y2=2px（p>0）
而 2 px y2 0
A
x1 0，x2 0，2 p 0，
O
x
x1 x2 .
B
由此可得 | y1 || y2 |，即线段AB关于x轴对称.
设A( x1, y1 )因为x轴垂直于AB，且AOx 30o，
所以 y1 tan 30o 3 .
x1
3
x1
y12 ， 2p
y
y1 2 3 p.
x 0 1 23 4 …
y 0 2 2.8 3.5 4
…
(2)描点：
y
(3)连线：
1
O1
x
（三）、例题讲解：
变式题１：求并顶点在坐标原点，对 称轴为坐标轴，并且经过点M （２，2 2 ），抛物线的标准方程。
（三）、例题讲解：
练习１：顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，并且经过点M（4,２)的抛物线 的标准方程为
y2=-2px （p>0） x2=2py （p>0）
x2=-2py （p>0）
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x y2 4x
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
课堂练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是. 16
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线上y，2 其中4x一个顶点为坐标
原点，则这个三角形的面积为。48 3
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、 离心率、通径;
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
下面请大家得出其余三种标准方程抛物线 的几何性质。
5、开口方向
抛物线y2=2px（p>0）的开
口方向向右。
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
３、顶点
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2=2px（p>0）当 y=0时,x=0,因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。
4、离心率
抛物线上的点与焦点的 距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离 心率，由抛物线的定义， 可知e=1。
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2=2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2=-2py F (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ），求 它的标准方程，并用描点法画出图形。
解： 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐
标原点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
y2 4x 作图：
(1)列表（在第一象限内列表）
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
线上，且坐标分别为（ x1，y1）、（x2，y2），则
y12 2 px1，y22 2 px2 . 又 | OA || OB |，所以：x12 y12 x22 y22，
即：x12 x22 2 px1 2 px2 0， y
（x1 x2）（x1 x2 2 p） 0.
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
2.4.2抛物线的几何性质
07.01.05
一、复习回顾：
前面我们已学过椭圆与双曲线的 几何性质,它们都是通过标准方程 的形式研究的,现在请大家想想抛 物线的标准方程、图形、焦点及 准线是什么?
